精品解析：四川省德阳中学校2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

德阳中学高2024级高一下学期5月月考 数学试卷 命题人：田锟 审题人：刘劲显 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 复数z满足，则复数z的虚部是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，与的夹角为锐角的一个充分不必要条件是（ ） A. B. 且 C. D. 4. “大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成.如图，记榴花塔高为，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得，，，在点处测得塔顶的仰角为30°，则塔高为（ ） A B. C. D. 5. 函数在上单调递减，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 6. 如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知向量满足，且向量在方向上的投影向量为．若动点C满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知非零平面向量，的夹角为，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，分别是角的对边，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则三角形有一解 B C. 若，则等腰三角形 D. 若，则面积的最大值为 11. 十七世纪法国数学家费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形．求作一点．使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，它的答案是：当三角形的三个角均小于时，则该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点，在费马问题中，所求点称为费马点．已知在中，，CM是的角平分线，交于，为的费马点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 外接圆半径为 D. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则__________. 13. 设P内一点，且，则________． 14. 在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知，，且，则的周长为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点分别为，D在直线BC上． （1）若，求点D的坐标； （2）若，求点D的坐标． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）若，点D为AC中点，求BD长． 17. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）函数的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到，若在上有两个零点，求的取值范围. 18. 如图，经过村庄A有夹角为的两条公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求，工厂P在以MN为直径的半圆弧上． （1）如何设计，使得村庄A到两个仓库M，N的距离之和最大，并求出最大值？ （2）如何设计，使得工厂生产的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远），并求出最大距离？ 19. 如图所示，在平面四边形ABCD中，正三角形． （1）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求角B的大小； （2）克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段BD的长取最大值时，求． （3）求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 德阳中学高2024级高一下学期5月月考 数学试卷 命题人：田锟 审题人：刘劲显 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 复数z满足，则复数z的虚部是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，进而可求得，可得结论. 【详解】因为， 则， 故复数z的虚部是1． 故选：C． 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值. 【详解】因为，则， 则. 故选：C. 3. 已知向量，与的夹角为锐角的一个充分不必要条件是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出与的夹角为锐角的充要条件，其对应集合的真子集即满足题意. 【详解】因为， 所以， 解得， 当与共线时，，解得， 所以与的夹角为锐角的充要条件为且， 故四个选项中只有为与的夹角为锐角的一个充分不必要条件， 故选：D 4. “大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成.如图，记榴花塔高为，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得，，，在点处测得塔顶的仰角为30°，则塔高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先在中利用正弦定理求，再在中求即可. 【详解】依题意，中，，，即， 解得. 在中，，即. 故选：A. 5. 函数在上单调递减，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的单调减区间，利用为前者的子集可求的取值范围. 【详解】令，故， 所以函数的减区间为， 因为在上为减函数， 故存在，使得，因为， 所以，所以，故， .则的最大值为. 故选：B. 6. 如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由共线、共线分别可得、，进而得、求参数，得，最后由且共线求参数. 【详解】由共线，则，， 所以①， 由共线，则，， 所以②， 由①②知：，则，故， 由，则， 由共线，则，可得. 故选：A 【点睛】关键点点睛：令、，利用不同参数及表示出为关键. 7. 已知向量满足，且向量在方向上的投影向量为．若动点C满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用数形结合及极化恒等式，化，求解即可． 【详解】解：如图， 根据投影向量定义知，，则，且， 因为，所以点C在以O为圆心，半径的圆上运动． 设M是AB的中点，由极化恒等式得：， 因为，此时， 即最小值为， 故选：D． 8. 已知非零平面向量，的夹角为，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数量积的定义及运算律可得，再利用数量积的运算律变形，并结合基本不等式求解即得. 【详解】由向量，的夹角为及，得，即， 则，令， 于是 ，当且仅当，即时取等号， 由，解得， 所以当且时，取得最大值. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据解析式直接判断奇偶性与单调性即可求解. 【详解】选项A：的定义域为，为奇函数不是增函数，故A不符合题意； 选项B：函数定义域为R，设， 则，所以为奇函数， 又为增函数，所以为增函数，故B符合题意； 选项C：函数的定义域为R，为奇函数和增函数，故C符合题意； 选项D：函数的定义域为，不是奇函数，故D不符合题意. 故选：BC. 10. 在中，分别是角的对边，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则三角形有一解 B. C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则面积的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正弦定理，求得，结合，得到有两解，可判定A错误；根据三角形的射影定理，可判断B正确；利用正弦定理和三角恒等变换的公式，得到，可判定C正确；利用余弦定理和基本不等式，可判定D正确. 详解】对于A中，由正弦定理，可得， 因为，且，所以有两解，所以A错误； 对于B中，如图所示，过点作， 则，所以B正确； 对于C中，因为，由正弦定理得， 又因为，可得， 所以， 即， 可得，所以为等腰三角形，所以C正确； 对于D中，因为，由余弦定理， 可得， 当且仅当时，等号成立，所以， 所以面积的最大值为，所以D正确. 故选：BCD. 11. 十七世纪法国数学家费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形．求作一点．使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，它的答案是：当三角形的三个角均小于时，则该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点，在费马问题中，所求点称为费马点．已知在中，，CM是的角平分线，交于，为的费马点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 外接圆半径为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，结合面积公式，求得的长，可判定A正确；在中，利用三角形的面积公式，可判定B正确；利用余弦定理，求得，结合正弦定理，求得外接圆的半径，可判定C错误；由，利用三角形的面积公式，求得，结合向量的数量积的计算公式，可得判定D正确. 【详解】对于A中，因为，且是的角平分线， 可得，且， 所以，解得，所以A正确； 对于B中，在中，由且， 可得，所以B正确； 对于C中，在中，因为， 由余弦定理，可得， 所以， 又由是的角平分线，可得，可得， 在中，由正弦定理，可得， 所以的外接圆的半径为，所以C错误； 对于D中，由， 在中，，即， 在中，， 则点与的三个顶点的连线两两成角为，即， 又由， 可得， 所以， 所以D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数除法求出，再利用复数乘方运算求得答案. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 13. 设P为内一点，且，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】设的中点是，连接，根据平面向量线性运算法则，得到，即可求得. 【详解】设的中点是，连接，由，可得， 因为，所以，所以， 所以为的三等分点（靠近点的分点），即， 所以． 故答案为：. 14. 在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知，，且，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理可得，化简可得，进而可求得，结合面积可求得，可求周长. 【详解】因，所以， 由余弦定理可得，整理得， 由余弦定理可得，又，， 因为，又，所以，所以， 又，可得，所以， 所以，所以， 所以的周长为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点分别为，D在直线BC上． （1）若，求点D的坐标； （2）若，求点D的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点D的坐标为，利用向量相等得到的方程组，求解即可； （2）设点D的坐标为，利用向量的数量积与共线向量的坐标表示可得的方程组，求解即可. 【小问1详解】 设点D的坐标为，则， ，，解得， 点D的坐标为． 【小问2详解】 设点D的坐标为，， 又C，B，D三点共线， 而， ， 解方程组，得．点D的坐标为． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）若，点D为AC中点，求BD长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再利用两角和的正弦公式进行化简可求出，即可求得角B； （2）利用平面向量的线性运算可得，等式左右同时平方根据数量积的定义代入相应值即可求得BD. 【小问1详解】 由正弦定理得， 在中，，所以， 所以，于是， 因为，所以， 又，所以． 【小问2详解】 因为为的中点， 所以， 所以 ， 所以． 17. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）函数的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到，若在上有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简，从而求得的最小正周期； （2）利用三角函数平移的性质求得，令，从而将问题转化为与的图象有两个交点，由此得解. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期为. 【小问2详解】 将的图象向左平移个单位长度， 得到的图象， 令，则在上单调递增，在上单调递减， 且， 若在上有两个零点， 则关于的方程在上有两个不相等的实数根， 即与的图象有两个交点， 所以的取值范围为. 18. 如图，经过村庄A有夹角为的两条公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求，工厂P在以MN为直径的半圆弧上． （1）如何设计，使得村庄A到两个仓库M，N的距离之和最大，并求出最大值？ （2）如何设计，使得工厂生产的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远），并求出最大距离？ 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 分析】（1）设，由余弦定理和基本不等式，求得，进而得到，求得，即可求得得到最大值； （2）设的中点为，建立直角坐标系以为坐标原点，为轴，求得的中点D的坐标为，得到，由（1）求得，进而得到，确定点的位置. 【小问1详解】 解：设， 在中，由余弦定理得， 可得，所以， 当且仅当时，等号成立，所以， 因为，所以，可得， 即当时，取等号；所以取最大值为4． 【小问2详解】 解：由于使得工厂生产的噪声对居民的影响最小，即取最大值， 设的中点为，建立直角坐标系以为坐标原点，为轴， 可得，且 所以的中点D的坐标为， 因为， ， 由（1）可知：，所以， 即，当且仅当时取等号； 所以，即当时， 连接并延长与以为直径的圆的交点，即为点. 19. 如图所示，在平面四边形ABCD中，为正三角形． （1）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求角B的大小； （2）克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段BD的长取最大值时，求． （3）求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，求得，进而得到，即可求解； （2）根据题意，得到，不妨设，列出方程，求得，结合余弦定理，即可求解； （3）设，由余弦定理得，再由正弦定理求得，求得，结合三角函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由，可得， 所以， 整理得，所以， 因为，可得，所以， 又因为，因为，所以． 【小问2详解】 解：因为，且为等边三角形，， 所以，所以，即BD的最大值为3，取等号时， 所以， 不妨设，则，解得， 所以，所以． 【小问3详解】 解：在中，设， 由余弦定理得， 因为为正三角形，所以， 在中，由正弦定理，可得， 所以，， 因为， 又因为，所以为锐角，则， 所以 ， 因为，所以当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$