专题1.1 集合的概念与表示（高效培优讲义）数学苏教版2019高一必修第一册

专题1.1 集合的概念与表示 教学目标 1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用. 2.理解集合中元素的基本属性，初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，会用集合的两种表示方法表示一些简单集合. 3.理解集合相等、有限集、无限集、空集等概念． 4.感知数学知识与实际生活的密切联系，培养学生解决实际的能力； 教学重难点 1.重点 元素与集合的“属于”关系，用符号语言刻画集合. 2.难点 集合中元素的特性，列举法、描述法表示集合. 知识点01 集合的概念 1. 集合的概念： 一般地，一定范围内某些___确定的_______、__不同的__________对象的全体组成一个集合．通常用大写拉丁字母__,,,…__来表示集合． 元素：集合中的_____每一个对象___________称为该集合的元素，简称___元_____．通常用小写拉丁字母__,,,…__表示集合的元素． 【即学即练】 1．下列所给的对象能组成集合的是（ ） A．“金砖国家”成员国 B．接近1的数 C．著名的科学家 D．漂亮的鲜花 【答案】A 【分析】利用集合元素的确定性对选项逐一分析，由此判断出正确选项. 【解析】对于A，“金砖国家”成员国即巴西，俄罗斯，印度，中国，南非，能组成集合，故A正确； 对于B，C，D三个选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合. 故选：A. 知识点02 元素与集合 1．元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说______属于____，记作__________ . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说_____不属于____，记作__________. 2.集合元素的三大特性 (1)确定性：_____集合的元素必须是确定的_____． (2)互异性：_____对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的_____． (3)无序性：_____集合中的元素可以任意排列_____． 【即学即练】 1．已知下面的两个实例： （1）用A表示高一(3)班全体学生组成的集合. （2）用a表示高一(3)班的一位同学，b表示高一(4)班的一位同学. 思考：那么a，b与集合A分别有什么关系? 【解析】a是集合A中的元素,b不是集合A中的元素. 2．（1）所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？ 【解析】不能.其中的元素不确定集合中的元素是确定的 （2）由1,3,0,5,︱-3︳这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？ 【解析】不正确.集合中只有4个不同元素1，3，0，5. 集合中的元素是互异的 （3）高一（5）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？ 【解析】集合没有变化集合中的元素是没有顺序的 知识点03 集合的表示方法与分类 1.集合的表示方法 （1）．列举法：将集合的元素____一一列举____出来，并置于花括号“{　}”内的表示集合的方法叫做列举法． 注意：①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （2）.描述法：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为______，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （3）.（韦恩图法）： 为了直观地表示集合，我们常画一条__封闭____的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种图形称为图。 2.集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有__有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有__无限个元素__的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 （3）不含任何元素的集合称为空集，记作________． 3.常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 【即学即练】 1．选择适当的方法表示下列集合： （1）不小于1且不大于17的质数组成的集合A； （2）所有正奇数组成的集合B； （3）绝对值不大于3的所有整数组成的集合C； （4）直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合D． 【答案】(1)；(2)；(3) (4) 【分析】 （1）求出不小于1且不大于17的所有质数，用列举法表示； （2）所有正奇数有无数个，用描述法表示； （3）求出绝对值不大于3的所有整数，用列举法表示； （4）抛物线上的点有无数个，用作为代表元，用描述法表示． (1) 不小于1且不大于17的质数有，用列举法表示：； (2) 所有正奇数有无数个，用描述法表示：； (3) 绝对值不大于3的所有整数只有，用列举法表示：； (4) 直角坐标平面上，抛物线上的点，用描述法表示：． 【解析】(1)； (2) ； (3) (3) (4) 2．已知集合，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过解方程进行求解即可. 【解析】因为，或，或， 所以， 故选：D 3．已知①；②；③④，其中正确的为 （填序号）. 【答案】①③ 【分析】由元素与集合的关系直接判断即可. 【解析】；；；，故①③正确. 故答案为：①③ 4．集合中实数的取值范围是 ． 【答案】. 【分析】根据集合中元素的互异性，即可求解. 【解析】由集合，根据集合元素的互异性，可得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 知识点04 集合相等 如果两个集合所含的元素___完全相同_________(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等． 【即学即练】 1.若集合则值为（  ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由集合相等和集合中元素的互异性，可得出结果. 【解析】由题意可知，，且， 故选：C 题型01 集合的概念 【典例1】下列说法中，正确的个数是（  ） ①的近似值的全体构成一个集合 ②自然数集N中最小的元素是0 ③在整数集Z中，若，则 ④一个集合中不可以有两个相同的元素 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据集合的定义、自然数集、整数集的定义判断. 【解析】①的近似值的全体没有确定性，不能构成集合，错误； ②自然数集N中最小的元素是0，正确； ③在整数集Z中，若，则，整数的相反数还是整数，正确， ④一个集合中不可以有两个相同的元素，根据集合的定义知正确， 故选：C． 【变式1】下列各组对象的全体能构成集合的有（  ） （1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据集合中元素的确定性判断可得答案. 【解析】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合. 故选：C. 【变式2】以下对象：①上海市现有各高中的校名；②很接近的所有实数；③方程在实数范围内的解；④平面直角坐标系内的一些点；⑤所有大于3或小于1的实数． 能够组成集合的序号是______． 【答案】①③⑤ 【分析】利用集合元素的性质，依次判断即可得解. 【解析】对于①，上海市现有各高中的校名，满足集合元素的性质，构成集合； 对于②，接近的所有实数，接近程度无法确定，即不满足集合元素的确定性，不构成集合； 对于③，方程在实数范围内的解，构成集合； 对于④，“一些点”，无明确的标准，对于某些点是否在“一些点”中无法确定，即不满足集合元素的确定性，不构成集合； 对于⑤，所有大于3或小于1的实数，构成集合或 所以能够组成集合的序号是①③⑤ 故答案为：①③⑤ 题型02 元素与集合的关系的判定 【典例1】已知集合，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用元素与集合的关系判断即可. 【解析】由集合，即集合是所有的偶数构成的集合. 所以，，， 故选：D 【变式1】已知a、b、c为非零实数，记代数式的值所组成的集合为M，则下列判断中正确的是（  ） A．0M B．-4M C．2∈M D．4∈M 【答案】D 【分析】对a，b，c分类讨论求出原代数式所有可能得值即可. 【解析】令， 若全为正数，则 ；若全为负数，则， 若中有2个正数一个负数，则，若中有2个负数，1个正数，则， ； 故选：D. 【变式2】（多选）下列说法错误的是（  ） A．0∈∅ B．∅＝{0} C．∅中元素的个数为0 D．∅∈{0} 【答案】ABD 【分析】根据空集的定义即可判断各选项. 【解析】空集是不含任何元素的集合，∅中元素的个数为0， 对于A，，A错； 对于B，，B错； 对于C，∅中元素的个数为0，C对； 对于D，，D错. 故选：ABD 题型03 利用元素与集合的关系求参 【典例1】已知集合，若，则中所有元素之和为（  ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据，依次令中的三个元素分别等于1，根据集合中元素的互异性作出取舍，求得结果. 【解析】若，则，矛盾； 若，则，矛盾，故， 解得（舍）或， 故，元素之和为， 故选：C 与集合元素有关问题的解题方法： （1）研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义．（2）利用集合元素的限制条件求参数值时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 【变式1】若是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是（  ） A．3.14 B．-5 C． D． 【答案】D 【分析】由代表实数集，代表有理数集，对四个数判断是无理数即可. 【解析】由题意知a是实数，但不是有理数，故a应为无理数， 故可以为. 故选：D. 【变式2】（多选）已知集合,若,则满足条件的实数可能为（  ） A.2 B.-2 C.-3 D.1 【答案】AC 【分析】根据，依次令中的三个元素分别等于2，根据集合中元素的互异性作出取舍，求得结果. 【解析】由题意得或。 若,即,则或。 检验:当时,,与元素互异性矛盾,舍去。 当时,,与元素互异性矛盾,舍去。 若,即,则或, 经验证或为满足条件的实数。 故选：AC。 题型04 集合的表示方法 【典例1】下列说法： ①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}； ②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}； ③方程组的解集为{x＝1，y＝2}． 其中正确的有（  ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】D 【分析】x3=x的解为-1，0，1，因为x∈N从而可知①错误；实数集可以表示为{x|x为实数}或R，故②错误；集合{x=1，y=2}表示x=1与y=2两条直线，故③错误． 【解析】∵x3=x的解为-1，0，1， ∴集合{x∈Z|x3=x}用列举法表示为{-1，0，1}，故①正确； 实数集可以表示为{x|x为实数}或R，故②错误；方程组的解集为{（1，2）}，集合{x=1，y=2}中的元素是x=1，y=2；故③错误； 故选：D． 【变式1】集合用列举法表示是（  ） A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5} C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4} 【答案】D 【分析】由题知，再列举出来即可得答案. 【解析】由题知 故选：D 【变式2】将集合用列举法表示为______． 【答案】 【分析】是自然数集，是整数集，所以对分类取值、逐一计算即可. 【解析】因为，所以 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 综上，. 故答案为： 题型05 集合中元素的个数的判断及其应用 【典例1】已知集合，则集合的元素个数为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据集合的定义与运算法则，进行计算即可. 【解析】由题意知，，， 当，时，， 当，时，， 所以， 所以集合中的元素个数为4. 故选：C. 【典例2】若集合中只有一个元素，则实数（  ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 【答案】D 【分析】分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解. 【解析】当时，由可得，满足题意； 当时，由只有一个根需满足， 解得. 综上，实数的取值为0或1. 故选：D. 【变式1】已知集合，则集合中元素的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据，所以可取，即可得解. 【解析】由集合，， 根据， 所以， 所以中元素的个数是3. 故选：C 【变式2】已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由已知求出集合A，进一步得到m的范围. 【解析】由题意可知，可得. 故选：D 【变式3】若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程及根的判别式列式求解即得. 【解析】依题意，方程有两个不等的实根，则且，解得且， 所以实数m的取值范围为且. 故选：B. 【变式4】已知集合，， ，则C中元素的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意写出集合C的元素，可得答案. 【解析】由题意，当时， ，当，时， ， 当，时， ， 即C中有三个元素， 故选：C. 题型06 集合元素互异性的应用 【典例1】已知，则x的值为__________． 【答案】0或2 【分析】根据，由，，， 并利用集合的互异性判断求解. 【解析】因为， 所以当时，集合为 不成立； 当 时，集合为 ，成立； 当 时，解得 （舍去）或， 若，则集合为，成立. 所以x的值为0或2 故答案为：0或2 【变式1】在集合中，的值可以是（  ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】A 【分析】首先排除不可以取的值，可得时不符题意，当时满足题意，即可得解. 【解析】首先确定不可以取的值，由可得或， 由可得， 当可得， 所以的值不能取-1，，，3， 当时有可以取， 故选：A 【变式2】集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】根据集合中元素的互异性可得答案. 【解析】根据集合中元素的互异性得， 故三角形一定不是等腰三角形. 故选：A. 题型07 集合相等及其应用 【典例1】下列各组集合表示同一集合的是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据集合相等的条件判断即可 【解析】选项A，两个集合表示点集元素与元素不一样，故A错误； 选项B，集合为点集，而集合为实数集，故不相同，所以B选项错误； 选项C，由集合中元素具有无序性，所以集合与集合相同，故C正确； 选项D，集合为实数集，而集合为点集，故不相同，所以D选项错误； 故选：C. 【典例2】设,集合,则　　　　.  【答案】0 【分析】由集合相等和集合中元素的互异性，可得出结果. 【解析】由题意知,因为. 所以,则,所以,. 故. 集合是由一些确定的、不同的东西组成的全体，元素是集合的组成对象。集合具有确定性、互异性和无序性。常用列举法、描述法、语言描述法和韦恩图法表示集合。解题技巧包括利用数轴、检验元素互异性等。掌握集合的基本概念和方法技巧，对于解决集合问题具有重要意义。 【变式1】下列集合中表示同一集合的是（  ） A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)} B．M＝{2，3}，N＝{3，2} C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} D．M＝{2，3}，N＝{(2，3)} 【答案】B 【分析】先弄清该集合是数集、点集，然后由集合相等说明集合中元素完全相同. 【解析】选项A中的集合M是由点(3，2)组成的点集，集合N是由点(2，3)组成的点集，故集合M与N不是同一个集合； 选项C中的集合M是由一次函数y＝1－x图象上的所有点组成的集合，集合N是由一次函数y＝1－x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合； 选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合；对于选项B，由集合中元素的无序性，可知M，N表示同一个集合． 故选B． 【变式2】下列各组中表示相同集合的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据相同集合的意义，逐项分析判断作答. 【解析】对于A，集合M，P含有的元素相同，只是顺序不同，由于集合的元素具有无序性，因此它们是相同集合，A是； 对于B，因为，则，因此集合M，P都表示所有偶数组成的集合，B是； 对于C，，即，C是； 对于D，因为集合M的元素是实数，集合P中元素是有序实数对，因此集合M，P是不同集合，D不是. 故选：ABC 【变式3】已知，且，则＝________． 【答案】或1 【分析】根据集合相等得到方程组，求出，舍去不合要求的根，得到答案. 【解析】因为，所以①或②， 解①得或，其中不符合集合元素的互异性，舍去； 解②得或，其中不符合集合元素的互异性，舍去； 所以或. 故答案为：或1 1．下列各组对象能构成集合的是（ ） A．全体较高的学生 B．所有素数 C．2023年高考数学难题 D．所有正方形 【答案】BD 【分析】AC不满足集合的确定性，BD满足集合的确定性. 【解析】A选项中“比较高”标准不明确，不符合确定性，不能构成集合，A错误； B选项，所有素数满足确定性，能构成集合，B正确； C选项，“难题”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合，C错误； D选项，所有正方形满足确定性，能构成集合，D正确 故选：BD 2．已知集合下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求解. 【解析】因为， 所以A、C错误， 因为，所以，所以B错误， 又，所以，所以D正确， 故选:D． 3．已知集合，若，则实数a的值为（ ） A．1 B．1或0 C．0 D．-1或0 【答案】C 【分析】根据或，求出，保留符合元素互异性的值即可. 【解析】 若，即时，，不符合集合元素的互异性，舍去； 若，即（舍去）或时，， 故. 故选：C. 4．集合用列举法可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合中元素满足的条件求出的值，再利用列举法表示可得正确选项. 【解析】因为，所以，可得， 因为，所以，集合， 故选：B. 5．设集合，则C中元素的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意求出集合C，再得到C中元素的个数即可． 【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}， ∴集合C={5，6，7，8}， ∴C中元素的个数为4， 故选：B． 6．若，则等于（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】由题意可知只有一个实数根，讨论和，由根的判别式可得答案. 【解析】∵，∴只有一个实数根. 当时，，此时； 当时，，所以，此时. ∴.故或. 故选：B. 7．（多选）已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项. 【解析】当均为负数时，； 当两负一正时，； 当两正一负时，； 当均为正数时，； ∴，A、B错误，C、D正确. 故选：CD 8．（多选）已知集合，若，则满足条件的实数x可能为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】AC 【解析】由题意得，或， 若，即， 或， 检验：当时，，与元素互异性矛盾，舍去； 当时，，与元素互异性矛盾，舍去． 若，即， 或， 经验证或为满足条件的实数． 故选：AC． 9．（多选）已知集合，则下列说法中正确的是（ ） A．但 B．若，其中，则 C．若，其中，则 D．若，其中，则 【答案】BC 【分析】A选项，求出，，故；BC选项，通过计算可以得到，；D选项，时，不符合要求，D错误. 【解析】，故，，所以，A错误； ，其中，，故，B正确； ，其中，，故，C正确； 因为，若，此时无意义，故，D错误. 故选：BC 10．若集合，则N中元素的个数为　　　　　　． 【答案】9 【分析】根据集合中元素的特征即可列举求解. 【解析】由可知集合,故共有9个元素， 故答案为：9 11．已知集合，且，则实数a的取值范围为　　　　　　． 【答案】 【分析】首先根据题意得到，即恒成立，即可得到答案. 【解析】因为，，， 所以，即满足. 即恒成立，即. 故答案为： 12．若为单元素集，则实数a的取值的集合为______． 【答案】 【分析】由方程只有一解可得，注意方程增根情形． 【解析】由题意方程只有一解或两个相等的实根， (*)，,，此时，方程的解为，满足题意，； 若方程(*)有一个根是，则另一根是，，； 若方程(*)有一个根是，则另一根是，，． 综上，的取值集合为． 故答案为：． 13．已知．根据下列条件，求实数a的值构成的集合． （1）当； （2）当M是单元素集； （3）当M是两个元素的集合. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）由判别式小于0可得（方程为一元二次方程）； （2）由二次项系数为0或一元二次方程的判别式为0柯得； （3）由方程为一元二次方程，且判别式大于0可得． 【解析】(1)，，，所以的范围是； (2)时，，满足题意， ，，此时，满足题意， (3)由题意方程有两个不等实根，且，解得且， 所以的范围是，． 14．设集合A由实数构成，且满足：若（且），则． (1)若，试证明集合A中有元素－1，； (2)判断集合A中至少有几个元素，并说明理由； (3)若集合A是有限集，求集合A中所有元素的积． 【答案】(1)证明见解析；(2)3个，理由见解析；(3)1或－1 【分析】（1）由，结合，分析即可得证； （2）若（且），则，，，从而可得出结论； （3）由（2）知A中元素的个数为，再分为奇数和为偶数，即可得出答案. 【解析】(1)证明：∵，∴． ∵，∴． ∴集合A中有元素－1，； (2)由题意，可知若（且）， 则，，， 且，，， 故集合A中至少有3个元素； (3)由（2）知A中元素的个数为． 又集合A是有限集，且， 所以若为奇数，则集合A中所有元素的积为； 若为偶数，则集合A中所有元素的积为1． 所以集合A中所有元素的积为1或－1． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 集合的概念与表示 教学目标 1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用. 2.理解集合中元素的基本属性，初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，会用集合的两种表示方法表示一些简单集合. 3.理解集合相等、有限集、无限集、空集等概念． 4.感知数学知识与实际生活的密切联系，培养学生解决实际的能力； 教学重难点 1.重点 元素与集合的“属于”关系，用符号语言刻画集合. 2.难点 集合中元素的特性，列举法、描述法表示集合. 知识点01 集合的概念 1. 集合的概念： 一般地，一定范围内某些__________、________对象的全体组成一个集合．通常用大写拉丁字母___________来表示集合． 元素：集合中的________________称为该集合的元素，简称________．通常用小写拉丁字母____________表示集合的元素． 【即学即练】 1．下列所给的对象能组成集合的是（ ） A．“金砖国家”成员国 B．接近1的数 C．著名的科学家 D．漂亮的鲜花 知识点02 元素与集合 1．元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说_________，记作_________ . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说________，记作_________. 2.集合元素的三大特性 (1)确定性：_________________________________________． (2)互异性：_________________________________________． (3)无序性：_________________________________________． 【即学即练】 1．已知下面的两个实例： （1）用A表示高一(3)班全体学生组成的集合. （2）用a表示高一(3)班的一位同学，b表示高一(4)班的一位同学. 思考：那么a，b与集合A分别有什么关系? 2．（1）所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？ （2）由1,3,0,5,︱-3︳这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？ （3）高一（5）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？ 知识点03 集合的表示方法与分类 1.集合的表示方法 （1）．列举法：将集合的元素_______________出来，并置于花括号“{　}”内的表示集合的方法叫做列举法． 注意：①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （2）.描述法：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为__________________，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （3）.（韦恩图法）： 为了直观地表示集合，我们常画一条_________________的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种图形称为图。 2.集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有_________________素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有_________________的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 （3）不含任何元素的集合称为空集，记作______． 3.常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 【即学即练】 1．选择适当的方法表示下列集合： （1）不小于1且不大于17的质数组成的集合A； （2）所有正奇数组成的集合B； （3）绝对值不大于3的所有整数组成的集合C； （4）直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合D． 2．已知集合，则（  ） A． B． C． D． 3．已知①；②；③④，其中正确的为 （填序号）. 4．集合中实数的取值范围是 ． 知识点04 集合相等 如果两个集合所含的元素____________(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等． 【即学即练】 1.若集合则值为（  ） A．0 B．1 C． D． 题型01 集合的概念 【典例1】下列说法中，正确的个数是（  ） ①的近似值的全体构成一个集合 ②自然数集N中最小的元素是0 ③在整数集Z中，若，则 ④一个集合中不可以有两个相同的元素 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】下列各组对象的全体能构成集合的有（  ） （1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】以下对象：①上海市现有各高中的校名；②很接近的所有实数；③方程在实数范围内的解；④平面直角坐标系内的一些点；⑤所有大于3或小于1的实数． 能够组成集合的序号是______． 题型02 元素与集合的关系的判定 【典例1】已知集合，则（  ） A． B． C． D． 【变式1】已知a、b、c为非零实数，记代数式的值所组成的集合为M，则下列判断中正确的是（  ） A．0M B．-4M C．2∈M D．4∈M 【变式2】（多选）下列说法错误的是（  ） A．0∈∅ B．∅＝{0} C．∅中元素的个数为0 D．∅∈{0} 题型03 利用元素与集合的关系求参 【典例1】已知集合，若，则中所有元素之和为（  ） A．3 B．1 C． D． 与集合元素有关问题的解题方法： （1）研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义．（2）利用集合元素的限制条件求参数值时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 【变式1】若是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是（  ） A．3.14 B．-5 C． D． 【变式2】（多选）已知集合,若,则满足条件的实数可能为（  ） A.2 B.-2 C.-3 D.1 题型04 集合的表示方法 【典例1】下列说法： ①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}； ②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}； ③方程组的解集为{x＝1，y＝2}． 其中正确的有（  ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式1】集合用列举法表示是（  ） A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5} C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4} 【变式2】将集合用列举法表示为______． 题型05 集合中元素的个数的判断及其应用 【典例1】已知集合，则集合的元素个数为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例2】若集合中只有一个元素，则实数（  ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 【变式1】已知集合，则集合中元素的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【变式3】若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【变式4】已知集合，， ，则C中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型06 集合元素互异性的应用 【典例1】已知，则x的值为__________． 【变式1】在集合中，的值可以是（  ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【变式2】集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 题型07 集合相等及其应用 【典例1】下列各组集合表示同一集合的是（  ） A．， B．， C．， D．， 【典例2】设,集合,则　　　　.  集合是由一些确定的、不同的东西组成的全体，元素是集合的组成对象。集合具有确定性、互异性和无序性。常用列举法、描述法、语言描述法和韦恩图法表示集合。解题技巧包括利用数轴、检验元素互异性等。掌握集合的基本概念和方法技巧，对于解决集合问题具有重要意义。 【变式1】下列集合中表示同一集合的是（  ） A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)} B．M＝{2，3}，N＝{3，2} C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} D．M＝{2，3}，N＝{(2，3)} 【变式2】下列各组中表示相同集合的是（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知，且，则＝________． 1．下列各组对象能构成集合的是（ ） A．全体较高的学生 B．所有素数 C．2023年高考数学难题 D．所有正方形 2．已知集合下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 3．已知集合，若，则实数a的值为（ ） A．1 B．1或0 C．0 D．-1或0 4．集合用列举法可以表示为（ ） A． B． C． D． 5．设集合，则C中元素的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．若，则等于（ ） A． B．或 C． D．或 7．（多选）已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 8．（多选）已知集合，若，则满足条件的实数x可能为（ ） A．2 B． C． D． 9．（多选）已知集合，则下列说法中正确的是（ ） A．但 B．若，其中，则 C．若，其中，则 D．若，其中，则 10．若集合，则N中元素的个数为　　　　　　． 11．已知集合，且，则实数a的取值范围为　　　　　　． 12．若为单元素集，则实数a的取值的集合为______． 13．已知．根据下列条件，求实数a的值构成的集合． （1）当； （2）当M是单元素集； （3）当M是两个元素的集合. 14．设集合A由实数构成，且满足：若（且），则． (1)若，试证明集合A中有元素－1，； (2)判断集合A中至少有几个元素，并说明理由； (3)若集合A是有限集，求集合A中所有元素的积． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $