河北省保定市部分学校2024-2025学年高二下学期期末模拟检测数学试题

高二数学参考答案 第1 页(共5页) 河北省2025年高二年级第二学期期末模拟检测 数学参考答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C D D A C D A AB ABD ACD 1.B 【解析】根据题意得,f(1)=f2 =ln 1+1=1,故选B. 2.C 【解析】由题意得 A={x|-1≤x≤4},又 B= x a-3≤x≤3a ,且 A⊆B,所以需满足 a-3≤-1, 3a≥4, 解得43≤a≤2.故选 C. 3.D 【解析】∵4x 2+1≤ 18 x-43,∴22x 2+2≤2-3x+4,即2x2+2≤-3x+4,即2x2+3x-2≤0,∴-2≤x≤ 1 2 ,故不等式的解集为 -2,12 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 ,故选D. 4.D 【解析】将列联表中的数据代入公式计算得χ2= 2n× n3× n 3- 2n 3× 2n 3 2 n×n×n×n = 2n 9>10.828 ,解得n> 48.726,又n∈N*,n3∈N *,2n 3∈N *,所以n的最小值为51.故选D. 5.A 【解析】因为随机变量ξ~N2,16 ,又因为Pξ<2m =Pξ>4-m ,则2m+4-m=4,解得m=0, Pξ<m-2 =Pξ<-2 =Pξ<2-4 = 1-0.682 7 2 =0.158 65,故选A. 6.C 【解析】根据题意得,右边的8个位置停放这3辆汽车,其中有5个空位,要求左右两边均有空位,则五 个空位有4个间隙,共有A34=24种,故选C. 7.D 【解析】根据题意可知:这些数分别为 C33,C34,C35,…,C310,则由 Cmn+1=Cmn+Cm-1n 逐步应用得:C33+ C34+C35+…+C310=C44+C34+C35+…+C310=C411=330,所以这些数和为330,故选D. 8.A 【解析】 因 为 x+2y+3z=2,所 以 x+2y+1 +3z=4,所 以 4 3x+ 1 y+1+ 1 z = x+2y+1 +3z 3x+ 1 y+1+ 1 z ,所以4 3x+ 1y+1+1z =2+2y+1 z +6y+1 x + 3zy+1+3+ 9z x+ x y+1+ x z+3 ,又2y+1 z + 3z y+1≥26 ,当且仅当y+1= 6 2z 时等号成立,6y+1 x + x y+1≥26 , 当且仅当y+1= 6 6x 时等号成立,9z x+ x z≥29=6 ,当且仅当x=3z时等号成立,三个等号可同时成 立,所以 43x+ 1 y+1+ 1 z 􀭠􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 min =14+46,当且仅当x=12-265 ,y= 26-7 5 ,z=12-2615 时等号成 立,所以3 x+ 1 y+1+ 1 z 的最小值为7 2+6 ,故选A. 9.AB 【解析】显然A310=C310A33,故A正确;因为Cm10=C2m+110 ,所以m=2m+1或m+2m+1=10,计算可 得m=-1(舍去)或m=3,故B正确;由A32x=60A2x-1计算可得2x2x-1 2x-2 =60x-1 x-2 , 所以x=1(舍)或x=3或x=5,故C不正确;Cmn= n! m! (n-m)!= n m× n-1 ! m-1 ! (n-m)!= n mC m-1 n-1,故 D不正确.故选AB. 高二数学参考答案 第2 页(共5页) 10.ABD 【解析】因为随机事件A 和B 满足P A =45 ,P A􀭺B =35 ,因为P A =P A􀭺B +P AB ,所 以P AB =P A -P A􀭺B =15 ,又因为P 􀭿A􀭺B +P A􀭺B +P 􀭿AB +P AB =1,所以P 􀭿A􀭺B = 1-P A􀭺B -P 􀭿AB -P AB =110 ,所以P 􀭺B 􀭿A =P (􀭿A􀭺B) P 􀭿A = 1 10 1 5 =12 ,故选ABD. 11.ACD 【解析】对于A,a=-1时,fx = 1 3x 3+x2-3x,fx 的定义域为R,f'x =x2+2x-3= x+3 x-1 ,令f'x =0,得x=-3或1,当x∈ -∞,-3 ∪ 1,+∞ 时,f'x >0;当x∈ -3,1 时,f'x <0,故函数fx 的极大值点为-3,极小值点为1,故A正确;对于B,f'x =x2+ 2x+2a-1 ,f' x =2x+2=0,x=-1,f(-1)=-2a+ 5 3 ,故函数fx 的图象关于点 -1,-2a+53 中 心对称,故B错误;对于C,设切线在曲线y=fx 上的切点为 m,13m 3+m2+(2a-1)m ,此切线的斜率为 m2+2m+(2a-1),所以切线方程为y- 13m 3+m2+(2a-1)m􀭠􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 = m2+2m+(2a-1) (x-m),化 简可得y= m2+2m+(2a-1) ]x- 2 3m 3-m2,因为切线过点(1,0),所以23m 3-2m=2a-1有三个 解,设h m =23m 3-2m,分析函数h(m)的图象可得-43<2a-1< 4 3 ,所以-16<a< 7 6 ,故C正确; 对于D,f'x =x2+2x+2a-1,其图象对称轴为x=- 2 2=-1 ,若函数fx 在 1,3 上存在唯一的 极值点,则f'x 只有一个零点在 1,3 内,因为f'x 图象的对称轴为x=-1<1,所以f'1 <0, f'3 >0,即2a+2<0且14+2a>0,解得-7<a<-1,故D正确,故选ACD. 12.4 【解析】根据题意得,ax+ x 5 展开式中含x 的项为C45 a x 1 · x 4=C45ax,所以C45a=20,所 以a=4. 13.6 【解析】函数f(x)满足f(x+1)是偶函数,可得f(x)的图象关于x=1对称,函数f(2x+1)的图象 关于点 -12 ,0 中心对称,所以f(x)的图象关于点(0,0)中心对称,所以函数f(x)周期为4,所以 f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=0,f1 =2,f3 =-2,f5 =2,所以∑ 6 i=1 ifi =1×f1 +2×f2 + 3×f3 +4×f4 +5×f5 +6×f6 =6. 14.2e-1 【解析】根据题意,设切点为 t,e2t-t ,因为f'x =2e2x-1,所以 e2t-t=mt+n, m=2e2t-1, 解得 m=2e2t-1, n=1-2t e2t, 所以m+2n=41-t e2t-1.令gt =41-t e2t-1,则g't =4e2t1-2t ,分析可 得,当t∈ -∞,12 时,g't >0,gt 单调递增;当t∈ 12,+∞ 时,g't <0,gt 单调递减,所以 gt max=g 1 2 =2e-1,即m+2n的最大值为2e-1. 15.【解】根据题意,(1)因为第二、三、四项的二项式系数成等差数列,∴2C2n=C1n+C3n, 2分………………… 所以n=7. 3分………………………………………………………………………………………………… 所以展开式的二项式系数和为27=128. 4分………………………………………………………………… 高二数学参考答案 第3 页(共5页) (2)2x-1x 7 的二项展开式中,各个项的二项式系数分别为C07,C17,C27,…,C77, 所以二项式系数最大值为C37,C47, 6分……………………………………………………………………… 所以展开式中二项式系数最大的项为C37(2x)4 - 1 x 3 ,C47(2x)3 - 1 x 4 , 所以二项式系数最大的项为-560x,280x . 8 分……………………………………………………………… (3)二项展开式中系数绝对值最大的项为2x+1x 7 展开式中一项, 二项展开式2x+1x 7 展开后的各项系数分别为C0727,C1726,C2725,…,C7720, 10分……………………… 计算可得最大值为C2725,所以该二项展开式中系数绝对值最大的项为C272x 5 - 1 x 2 =672x3. 13分 …… ………………………………………………………………………………………………………… 16.【解】(1)随机变量X 可以取的值是1,2,3, 1分……………………………………………………………… 所以P X=1 = C14C22 C36 =420= 1 5 , P X=2 = C24C12 C36 =1220= 3 5 , P X=3 = C34C02 C36 =420= 1 5 , 4分……………………………………………………………………………… 所以X 的分布列为 X 1 2 3 P 15 3 5 1 5 数学期望E X =1×15+2× 3 5+3× 1 5=2. 6 分………………………………………………………… (2)①由题意得P= C16C25C23 C36C36 =180400= 9 20. 10 分……………………………………………………………… ②根据条件概率,可得P= C14 C24C12 =13. 15 分………………………………………………………………… 17.【解】(1)由f(x+y)=f(x)f(y)+f(0)-1,令x=y=0时, f(0)=f(0)f(0)+f(0)-1,解得f(0)=±1, 3分………………………………………………………… 若f(0)=-1,则当y=0时,f(x)=f(x)f(0)+f(0)-1,解得f(x)=-1,与题意不符,舍去, 所以f(0)=1. 5分…………………………………………………………………………………………… (2)由(1)得f(x+y)=f(x)f(y), 因为当x>0时,0<f(x)<1,当x<0时,f(x)>1, 又f(0)=1,所以f(x)>0,由f(x+y)=f(x)f(y)可得f (x+y) f(x) =f (y), 7分……………………… 令x+y=x1,x=x2,y>0,所以x1>x2,可得 f(x1) f(x2)=f (x1-x2)<1, 所以函数f(x)在定义域上单调递减. 10分………………………………………………………………… (3)因为f(1)= 1 2 ,f(x+y)=f(x)f(y), 高二数学参考答案 第4 页(共5页) 所以当x=1,y=-1时,f(0)=f(1)f(-1)=1,解得f(-1)= 1 f1 =2 , 11分……………………… 令x=-1,y=-1,可得f -2 =f -1 f -1 =4, 又函数f(x)在定义域上单调递减, 所以f(x-x2)>4⇔f(x-x2)>f -2 ⇔x-x2<-2, 13分…………………………………………… 解得x>2或x<-1. 14分…………………………………………………………………………………… 所以不等式f(x-x2)>4的解集为 -∞,-1 ∪2,+∞ . 15分……………………………………… 18.【解】(1)因为∑ 6 i=1 y2i=510,∑ 6 i=1 yi-􀭵y 2=∑ 6 i=1 y2i-2􀭵yyi+􀭵y2 =∑ 6 i=1 y2i-6􀭵y2=24, 所以􀭵y2=81,得到􀭵y=9, 3分………………………………………………………………………………… 所以6+8+m+n+11+12 6 =9 ,所以m+n=17. 5分……………………………………………………… (2)因为􀭺x=5+7+9+11+13+156 =10 , 6分……………………………………………………………… 又r= ∑ 6 i=1 xi-􀭺x yi-􀭵y ∑ 6 i=1 xi-􀭺x 2· ∑ 6 i=1 yi-􀭵y 2 = 2021 , ∑ 6 i=1 xi-􀭺x 2=5-10 2+7-10 2+9-10 2+11-10 2+13-10 2+15-10 2=70, 所以∑ 6 i=1 xi-􀭺x yi-􀭵y = 20 21× 70× 24=40 , 所以b̂= ∑ 6 i=1 xi-􀭺x yi-􀭵y ∑ 6 i=1 xi-􀭺x 2 =4070= 4 7 , 10分……………………………………………………………… 又因为􀭵y=9,̂a=􀭵y-̂b􀭺x=9- 4 7×10= 23 7 , 12分…………………………………………………………… 所以ŷ= 4 7x+ 23 7. 13 分……………………………………………………………………………………… (3)根据题意得,a=m- 47×9+ 23 7 ,b=n- 47×11+237 , 15分……………………………………… 所以a+b=m+n-18=-1. 17分………………………………………………………………………… 19.【解】(1)由题意得f'x = 3cos x2+cos x -3sin x -sin x 2+cos x 2 = 6cos x+3 2+cos x 2 , 1分………………… 令6cos x+3=0,由x∈(0,π),得x=2π3 , 2分…………………………………………………………… 当x∈0,2π3 时,f'x >0,当x∈ 2π3,π 时,f'x <0, 所以函数f (x)在0,2π3 上单调递增,在 2π3,π 上单调递减, 4分………………………………………… 所以函数f (x)在0,π 上的最大值为f2π3 =3. 5分…………………………………………………… (2)根据题意得,h(x)=ax-ln x,∴h'x =ax-1x , 若a≤0,则h'(x)≤0,h(x)在(0,+∞)上单调递减, 此时函数h(x)最多只有一个零点,不满足题意; 7分……………………………………………………… 高二数学参考答案 第5 页(共5页) 当a>0时,由h'(x)>0得x>1a ;由h'(x)<0得0<x<1a , 所以h(x)在0,1a 上单调递减,在 1a,+∞ 上单调递增, 所以h(x)的最小值为h 1a =a×1a-ln1a =1+ln a, 又当x→0时,hx →+∞,当x→+∞时,hx →+∞, 所以当函数h(x)有两个零点时,h 1a =1+ln a<0,解得a<1e , 又a>0,所以0<a<1e , 所以实数a的取值范围为0,1e . 10分……………………………………………………………………… (3)根据题意得,xg(x)>f(x)-1⇔xln x+1> 3sin x 2+cos x , 由(2)知当a=1时,h(x)≥h(1)=1, 12分………………………………………………………………… 所以x-ln x≥1,易得1x+ln x≥1,所以1+xln x≥x. 令H(x)=x- 3sin x 2+cos x ,所以H'(x)= cos x-1 2 2+cos x 2≥0 ,所以H(x)单调递增, 所以当x>0时,H(x)>H(0)=0, 所以x> 3sin x 2+cos x ,即1+xln x≥x> 3sin x 2+cos x , 所以原不等式成立. 17分……………………………………………………………………………………… 绝密★启用前 河北省2025年高二年级第二学期期末模拟检测 数学 班级 姓名 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试 卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知函数f(x)= a(z-1)+1,z>1'则f)的值为 f(x+1),x≤1， A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知集合A={xx2-3x-4≤0}，B={xa一3≤x≤3a},且A二B,则实数a的取值范围为 A专a<2 Ba>2或a<号 Da≥2或a<号 3.已知不等式4+≤（得） 成立，则x的取值范围为 A.[-2,-1] B.[-2,1] c[1, D[-2 4.AI模型正在改变着我们的工作和生活方法，某机构为了了解对DeepSeek的使用情况与性别 的关系，随机调查了2m(n∈N)人，得到如下2X2列联表（单位：人）： 使用情况 性别 合计 经常使用 不经常使用 男性 n 3 女性 2n 3 n 合计 2n 依据小概率值a=0,O01的独立性检验认为对DeepSeek的使用情况与性别有关系，则n的最 小值为 n(ad-bc)2 (附：X2-a+bc+)aeh+dn=a+b+e+d,am=10,823) A.48 B.49 C.50 D.51 高工数学第1页（共4页） 扫描全能王创建 5.设随机变量~N(2,16),若P(<2m)=P(>4一m),则P(传<m一2)= [附：若随机变量X~N(,o2),则P(4一σ≤X≤μ十σ)≈0.6827，P(μ-2a≤X≤μ十2a)≈ 0.9545,P(μ一3o≤X≤u十3g)≈0.9973] A.0.15865 B.0.3173 C.0.02275 D.0.0027 6.已知某停车场一排有10个停车位，已经有一辆停在左边第二个位置，现又有3辆汽车需要停 放，停放之后要求这3辆汽车的两边都有空位，则停放的方法有 A.4种 B.20种 C.24种 D.120种 7.如图所示的“杨辉三角”中，第3行到第10行的各行的第4个数的和为 第0行 1 第1行 第2行 第3行 33 第4行 14641 第5行 15101051 第6行1 615201561 44 A.124 B.185 C.220 D.330 8,已知x>0>-12>0,2+3z=2-z,则+y+的最小值为 A名+6 B+6 C5+6 2 2 D号+6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列结论正确的是 A.Aio=CioA B.若C0=C8+1,则m=3 C.若A2=60A-1,则x=3 D.Cm=nCm1 10.已知随机事件A,B满足P(A)=兰，PAB)=号，PB)=0,则下列结论正确的是 AP)=君 BPMB)-号 cp)-号 DP西I团-号 1.已知函数fG)=号+z2+2a-1Dx(a∈R0,则下列结论正确的是 A.若a=一1，则函数f(x)的极小值点是1 B,函数fe)的图象关于点1,2a+号)中心对称 C若过点1,0)有三条直线与曲线y-f红)相切，则实数a的取值范图为(-日，) D,若函数f(x)在(1,3)上存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为（一7，一1） 高二数学第2页（共4页） 扫描全能王创建 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在（仁+反）展开式中x的系数为20，则实数a的值为 13.若定义在R上的函数f(x)满足f(z+1)是偶函数，函数f(2x+1)的图象关于点 (仁是0)中心对称，若fQ)=2,则之f) 14.已知曲线f(x)=e红一x的一条切线为y=mz十n,则m十2m的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)已知(2x-是) 的展开式中第二、三，四项的二项式系数成等差数列. (1)求展开式中二项式系数和； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中系数绝对值最大的项. 16.(本小题满分15分)某个学习小组有6名同学，其中男生4人，女生2人，现从中选出3人参 加一项活动，记男生的人数为X. (1)求X的分布列和数学期望； (2)现从该小组6名同学中重新选取3人参加另一项活动. ①求两次活动中恰好有一人都参加的概率； ②已知第一次活动有两名男生参加，求第二次活动这两名男生也参加的概率。 17.(本小题满分15分)已知函数f(x)在R上满足f(x十y)=f(x)f(y)十f(0)-1,且当x>0 时，0<f(x)<1;当x<0时，f(x)>1. (1)求f(0)的值； (2)判断并证明函数f(x)的单调性； (3)若f1)=2,求不等式f(红-x2)>4的解集 高二数学第3页（共4页） 扫描全能王创建 18.(本小题满分17分)某农科研究所想要研究某种农产品的亩产量y(单位：吨)与施肥量x(单 位：千克)之间的关系，通过调研得到一些数据如下表： 旅肥量无 女 7 11 13 15 亩产量y 6 8 次 11 12 20 已知m<,且y的相关系数r一√分，说明x,y满足线性回归， 参考数据2=510,20，-1=24，参考公式6- 2x,-x0y-y) ,a=y-b·x, 2-2 2(x,-)y,-y) (1)求m十n的值； (2)求y关于x的回归直线方程； (3)若施肥量为9,11时的残差分别为a,b,求a十b的值 19.(本小题满分17分)已知函数fx)=?中c0s'gc)=hx. (1)求函数f(x)在(0，π)上的最大值； (2)若函数h(x)=ax一g(x)有两个零点，求实数a的取值范围： (3)证明：xg(x)>f(x)一1. 高二数学第4页（共4页） 扫描全能王创建