专题1.2 常用的逻辑用语（五类核心考点精讲）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

专题1.2 常用逻辑用语 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 5 【课程标准】 5 【考情分析】 5 【2026考向预测】 5 三、知识点•逐点夯实 6 知识点1、充分条件、必要条件、充要条件 6 知识点2、全称量词与存在量词 6 【常用结论】 6 四、重点难点•分类突破 7 考点1 判断充分条件与必要条件 7 考点2 根据充分条件与必要条件求参数范围 9 考点3 全称量词命题与存在量词命题的真假 12 考点4 根据命题的真假求参数范围 15 考点5 全称量词命题与存在量词命题的否定 17 五、分层训练 20 A、基础保分 20 B、综合提升 25 一、5年高考•真题感悟 1．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 2．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 1.了解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其否定。 2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义。 3.理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定。 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度 2024年新Ⅱ卷，第2题，5分 全称（存在）量词命题的否定及其真假判断 简单 2024年全国甲卷，第9题，5分 充分必要条件的判断 一般 2023年新I卷，第7题，5分 充分条件与必要条件 一般 2023年北京卷，第8题，5分 充分条件与必要条件 一般 【2026考向预测】 从近几年高考命题来看，常用逻辑用语没有单独命题考查，偶尔以已知条件的形式出现在其他考点的题目中．重点关注如下两点： （1）集合与充分必要条件相结合问题的解题方法； （2）全称量词命题与存在量词命题的否定和以全称量词命题与存在量词命题为条件，求参数的范围问题． 三、知识点•逐点夯实 知识点1．充分条件、必要条件、充要条件 1、定义 如果命题“若，则”为真（记作），则是的 ；同时是的 ． 2、从逻辑推理关系上看 （1）若且，则是的 条件； （2）若且，则是的 条件； （3）若且，则是的 条件（也说和等价）； （4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件． 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件．所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立（即如果不成立，则肯定不成立）． 知识点2．全称量词与存在量词 （1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做 ，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做 ．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为 ，读作“对任意属于，有成立”． （2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做 ，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做 ．存在量词命题 可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）． 知识点3．含有一个量词的命题的否定 （1）全称量词命题的否定为 ． （2）存在量词命题的否定为 ． 注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一． 【常用结论】 1、从集合与集合之间的关系上看设． （1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”． （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件． 2、全称量词命题与存在量词命题真假的判断 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例． （2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题． 四、重点难点•分类突破 考点1 判断充分条件与必要条件 例1．（2025·四川成都·三模）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 例2．（2025·天津和平·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练1】．（2025·广东茂名·二模）设集合，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练2】．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知平面向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点2 根据充分条件与必要条件求参数范围 例3．（2025·福建泉州·模拟预测）设，，若是的充分条件，则（    ） A． B． C． D． 例4．（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知公比为的等比数列的前项和为，则满足对任意，恒成立的一个充分不必要条件是（    ） A．， B．， C．， D． 例5．（2024·全国·一模）已知是定义域为的奇函数，且时，，则“在上单调递增”的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】．（2025·河南·模拟预测）已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 【变式训练4】．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5】．（2025·吉林·三模）若是两条直线，是两个平面，且．设，则是的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点3 全称量词命题与存在量词命题的真假 例6．（24-25高三下·江西·开学考试）（多选题）关于下列命题，说法正确的是（   ） A．若为奇函数，则 B．“”是“”的充分不必要条件 C．命题，则命题的否定为 D．已知数据，则这组数据的分位数是78 例7．（2025·贵州毕节·模拟预测）给出下列四个命题： ①； ②； ③； ④函数的图象向左平移个单位得到的图象． 其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练6】．（2024·陕西西安·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【变式训练7】．（2024·陕西咸阳·模拟预测）下列命题中，真命题是（    ） A．“”是“”的必要条件 B． C． D．的充要条件是 考点4 根据命题的真假求参数范围 例8．（2025·宁夏银川·二模）若命题：“，都有”为真命题，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 例9．（2024·河南·模拟预测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练8】．（2024·陕西宝鸡·一模）命题“任意，”为假命题，则实数a的取值范围是 ． 【变式训练9】．（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 考点5 全称量词命题与存在量词命题的否定 例10．（2025·天津和平·三模）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 例11．（2024·四川成都·一模）命题“，”的否定形式是　　 A．， B．， C．， D．， 【变式训练10】、（2024·湖南邵阳·一模）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11】．（2025·云南·模拟预测）命题“”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 五、分层训练 一、单选题 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·天津红桥·二模）已知命题 ，命题，则命题是命题的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·天津南开·二模）已知，则“”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025·北京朝阳·二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025·河北石家庄·一模）如果，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 6．（2025·宁夏石嘴山·三模）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．当时，的最小值是5 C．若数列是等比数列，则数列是等差数列 D．已知为函数的极小值点，则等于2 7．（2025·四川成都·模拟预测）下列说法不正确的是（    ） A．复数的虚部是 B．若随机变量，满足，则 C．已知命题，则为 D．在一元线性回归分析中，如果的值为，说明变量间存在微弱相关关系 8．（2025·河南·三模）若，则“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 10．（2024·西藏拉萨·一模）已知命题：“，”为真命题，则的取值为 . 11．（2025·江苏·三模）在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 12．（2025·甘肃金昌·二模）已知函数，写出一个“的图象关于直线对称，且在上单调”的充分不必要条件： . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 常用逻辑用语 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 5 【课程标准】 5 【考情分析】 5 【2026考向预测】 5 三、知识点•逐点夯实 6 知识点1、充分条件、必要条件、充要条件 6 知识点2、全称量词与存在量词 6 【常用结论】 6 四、重点难点•分类突破 7 考点1 判断充分条件与必要条件 7 考点2 根据充分条件与必要条件求参数范围 9 考点3 全称量词命题与存在量词命题的真假 12 考点4 根据命题的真假求参数范围 15 考点5 全称量词命题与存在量词命题的否定 17 五、分层训练 20 A、基础保分 20 B、综合提升 25 一、5年高考•真题感悟 1．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、向量垂直的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 2．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】充要条件的证明 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明、判断等差数列、由递推关系证明数列是等差数列、求等差数列前n项和 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 4．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【详解】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 1.了解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其否定。 2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义。 3.理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定。 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度 2024年新Ⅱ卷，第2题，5分 全称（存在）量词命题的否定及其真假判断 简单 2024年全国甲卷，第9题，5分 充分必要条件的判断 一般 2023年新I卷，第7题，5分 充分条件与必要条件 一般 2023年北京卷，第8题，5分 充分条件与必要条件 一般 【2026考向预测】 从近几年高考命题来看，常用逻辑用语没有单独命题考查，偶尔以已知条件的形式出现在其他考点的题目中．重点关注如下两点： （1）集合与充分必要条件相结合问题的解题方法； （2）全称量词命题与存在量词命题的否定和以全称量词命题与存在量词命题为条件，求参数的范围问题． 三、知识点•逐点夯实 知识点1．充分条件、必要条件、充要条件 1、定义 如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件． 2、从逻辑推理关系上看 （1）若且，则是的充分不必要条件； （2）若且，则是的必要不充分条件； （3）若且，则是的的充要条件（也说和等价）； （4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件． 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件．所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立（即如果不成立，则肯定不成立）． 知识点2．全称量词与存在量词 （1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”． （2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）． 知识点3．含有一个量词的命题的否定 （1）全称量词命题的否定为，． （2）存在量词命题的否定为． 注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一． 【常用结论】 1、从集合与集合之间的关系上看设． （1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”． （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件． 2、全称量词命题与存在量词命题真假的判断 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例． （2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题． 四、重点难点•分类突破 考点1 判断充分条件与必要条件 例1．（2025·四川成都·三模）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由，得或，则不一定成立，如； 由，得且，则必成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 例2．（2025·天津和平·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】探求命题为真的充要条件、由正切（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】由充分必要条件的概念判断即可. 【详解】若，则，反之若，则， 所以是的充要条件. 故选：C 【变式训练1】．（2025·广东茂名·二模）设集合，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据已知条件，推得是的真子集，即可判断． 【详解】∵集合， ， ∴是的真子集， 是的充分不必要条件． 故选：A． 【变式训练2】．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知平面向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、由向量共线（平行）求参数 【分析】由平面向量共线的坐标表示及充分条件，必要条件的定义即可得到答案. 【详解】若，则有，解得或， 所以“”是“”的不充分条件； 若，则，，所以， 所以“”是“”的必要条件， 综上，”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 考点2 根据充分条件与必要条件求参数范围 例3．（2025·福建泉州·模拟预测）设，，若是的充分条件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据充分条件在集合中的表示方法，判断集合的包含关系即可. 【详解】由题意，得，因为是的充分条件， 所以即， 已知二次函数，开口向上，与轴交于， 仅当满足． 故选：D． 例4．（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知公比为的等比数列的前项和为，则满足对任意，恒成立的一个充分不必要条件是（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据前n项和可得等价于，结合等比数列分析可得等价于，.结合选项分析判断. 【详解】因为，等价于，等价于，可得， 且为等比数列，可得，， 若，则，得， 可知，当时，，不合题意， 所以若，可得，，即，； 若，，可得， 所以等价于，. 可知：选项C是的充要条件； 选项A是的充分不必要条件； 选项BD是既不充分也不必要条件； 故选：． 例5．（2024·全国·一模）已知是定义域为的奇函数，且时，，则“在上单调递增”的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】探求命题为真的充要条件、函数奇偶性的应用、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据函数的奇偶性结合函数的单调性与二次函数的性质列不等式即可得“在上单调递增”的充要条件的的取值范围. 【详解】因为是定义域为的奇函数，则， 且时，， 若在上单调递增，则，解得, 故“在上单调递增”的充要条件是“”. 故选：D. 【变式训练3】．（2025·河南·模拟预测）已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】先解绝对值不等式和含参的一元二次不等式得出p和q对应的等价条件，再结合是的充分不必要条件得到集合间的包含关系，则参数m的范围可求. 【详解】由可得，即， 由可得，即， 又因为是的充分不必要条件，所以， 所以(等号不同时成立)，解得， 故答案为：. 【变式训练4】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据必要不充分条件求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解二次不等式分别求出和的范围，根据必要不充分条件的概念列不等式求解即可. 【详解】因为，即， 则或，即， 又是的必要不充分条件，则或，即或. 则的取值范围为. 故选：B 【变式训练5】．（2025·吉林·三模）若是两条直线，是两个平面，且．设，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明、线面关系有关命题的判断 【分析】由线面平行的性质定理和判定定理结合充要条件的判定可得. 【详解】若，由线面平行的性质定理可得，充分性成立； 若，，由线面平行的判定定理可得，必要性成立. 所以是的充要条件. 故选：C 考点3 全称量词命题与存在量词命题的真假 例6．（24-25高三下·江西·开学考试）（多选题）关于下列命题，说法正确的是（   ） A．若为奇函数，则 B．“”是“”的充分不必要条件 C．命题，则命题的否定为 D．已知数据，则这组数据的分位数是78 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、特称命题的否定及其真假判断、函数奇偶性的应用、总体百分位数的估计 【分析】对于A，由奇函数的概念可判断，对于B，由得到或，可判断，对于C，由特称命题的否定为全称命题即可判断，对于D，由百分位数的概念求解即可判断； 【详解】若是奇函数且在处有定义，则，A错误； 由得，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，B正确； 命题，则命题的否定为，C正确； 将数据从小到大排序为72，75，75，78，79，85，86，87，87，90，这组数据的分位数是第4个数与第5个数的平均数，即，D错误． 故选：BC． 例7．（2025·贵州毕节·模拟预测）给出下列四个命题： ①； ②； ③； ④函数的图象向左平移个单位得到的图象． 其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假、求图象变化前（后）的解析式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据全称命题和特称命题的真假判断方法，以及导数研究单调性，辅助角公式和函数图象的平移变换等知识来逐一分析这四个命题的真假，进而确定真命题的个数. 【详解】对于，因为，所以. 根据对数函数的性质，对数函数在上单调递增，所以，故命题①为真命题. 若，则，和都是无理数，不存在有理数使得，所以命题②为假命题. 令，，对求导，可得. 令，即，解得. 当时，，，所以，单调递增； 当时，，，所以，单调递减. 则在处取得极大值，也是最大值，，所以，即，故命题③为真命题. 函数的图象向左平移个单位，根据“左加右减”的原则，得到. 根据诱导公式，可得. 而，所以命题④为假命题. 综上，真命题有①③，共个. 故选：B. 【变式训练6】．（2024·陕西西安·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断特称（存在性）命题的真假、利用导数证明不等式、判断全称命题的真假 【分析】首先判断命题为假命题，令，，利用导数说明函数的单调性，即可判断命题为真命题，即可得解. 【详解】因为，所以，恒成立， 所以命题为假命题，则为真命题； 令，，则， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以对任意的恒成立，所以在上单调递增， 所以，即对任意的恒成立，故命题为真命题，则为假命题； 所以和都是真命题. 故选：B 【变式训练7】．（2024·陕西咸阳·模拟预测）下列命题中，真命题是（    ） A．“”是“”的必要条件 B． C． D．的充要条件是 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】探求命题为真的充要条件、判断全称命题的真假、比较指数幂的大小、必要条件的判定及性质 【分析】举反例来判断ACD，利用指数函数的性质判断B. 【详解】对于A，当时，满足，但不满足，故“”不是“”的必要条件，故错误； 对于B，根据指数函数的性质可得，对于，即，故正确； 对于C，当时，，故错误； 对于D，当时，满足，但不成立，故错误. 故选：B. 考点4 根据命题的真假求参数范围 例8．（2025·宁夏银川·二模）若命题：“，都有”为真命题，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据题目条件可得出：命题：“，都有”为真命题；再构造函数，利用导数判断其为增函数，进而可得出结果. 【详解】因为命题：“，都有”为真命题， 所以命题：“，都有”为真命题. 令，. 则. 因为， 所以， 所以函数为增函数. 又因为， 所以. 故选：B. 例9．（2024·河南·模拟预测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据全称命题的真假求参数 【分析】已知原命题为假命题，那么它的否定“”为真命题.对于一元二次函数，要使其对于任意实数都大于等于，则需要考虑其判别式的取值范围. 【详解】已知原命题为假命题，那么它的否定“”为真命题. 对于一元二次函数，要使其对于任意实数都大于等于. 因为恒成立，所以，即，解得. 故选：A. 【变式训练8】．（2024·陕西宝鸡·一模）命题“任意，”为假命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、对勾函数求最值 【分析】首先求命题为真命题时的取值范围，再求其补集，即可求解. 【详解】若命题“任意，”为真命题，则， 设，，，当时，等号成立， 由对勾函数的性质可知，当时，函数单调递减，当单调递增， ，，所以， 即， 所以命题“任意，”为假命题，则的取值范围为. 故答案为： 【变式训练9】．（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】根据题意，为真命题，恒成立问题分离参数求解. 【详解】由题，为真命题， 所以，对， 又在上的最小值为， ， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 考点5 全称量词命题与存在量词命题的否定 例10．（2025·天津和平·三模）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可求解. 【详解】命题“，”的否定是“，”， 故选：D 例11．（2024·四川成都·一模）命题“，”的否定形式是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可． 【详解】解：命题“，”为特称命题，其否定为全称命题， 则否定是：，， 故选：． 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，结合特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键． 【变式训练10】、（2024·湖南邵阳·一模）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】根据全称命题或者特称命题的否定判断即可； 【详解】根据全称命题或者特称命题的否定， 所以 的否定为， 故选：D. 【变式训练11】．（2025·云南·模拟预测）命题“”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据题意，由全称命题的否定是特称命题即可得到结果. 【详解】命题“”的否定是“，”. 故选：B. 五、分层训练 一、单选题 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 其否定为：，. 故选：C 2．（2025·天津红桥·二模）已知命题 ，命题，则命题是命题的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断指数函数的单调性 【分析】利用指数函数单调性可判断得出结论. 【详解】根据题意由指数函数的单调性可知能推出， 即充分性成立； 由可推出，不能推出，即必要性不成立； 因此命题是命题的充分不必要条件. 故选：A 3．（2025·天津南开·二模）已知，则“”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】求解分式不等式，求得的范围，进而从充分性和必要性进行判断即可. 【详解】，即，，解得或； 故当时，可以推出；当，推不出； 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（2025·北京朝阳·二模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算、判断命题的必要不充分条件、二倍角的正弦公式 【分析】根据二倍角的正弦公式结合同角三角函数的关系化弦为切，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】由， 得，解得或， 由，得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5．（2025·河北石家庄·一模）如果，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】充要条件的证明、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】由不等式的性质作差后分别证明充分性和必要性即可. 【详解】若，，则， 则，即，充分性成立； 若，，则， 所以，必要性成立， 所以如果，那么“”是“”的充要条件. 故选：C 二、多选题 6．（2025·宁夏石嘴山·三模）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．当时，的最小值是5 C．若数列是等比数列，则数列是等差数列 D．已知为函数的极小值点，则等于2 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断等差数列、基本不等式求和的最小值、求已知函数的极值点 【分析】利用必要不充分条件的定义判断A；利用基本不等式求出最小值判断B；举例说明判断C；求出函数的极小值点判断D. 【详解】对于A，当时，，“”是“”的充分不必要条件，A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，取，数列是等比数列，而当为奇数时无意义，C错误； 对于D，函数，求导得，当或时， ；当时，，因此分别是的极大值点和极小值点，，D正确. 故选：BD 7．（2025·四川成都·模拟预测）下列说法不正确的是（    ） A．复数的虚部是 B．若随机变量，满足，则 C．已知命题，则为 D．在一元线性回归分析中，如果的值为，说明变量间存在微弱相关关系 【答案】ABCD 【难度】0.65 【知识点】相关系数的意义及辨析、方差的性质、全称命题的否定及其真假判断、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数的概念判断A，根据随机变量方差的性质判断B，由全称命题的否定是存在性命题判断C，根据相关系数的概念可判定D. 【详解】对于A，复数的虚部是，故A错误； 对于B，随机变量满足，则，故B错误； 对于C，命题，则为：或，故C错误； 对于D，在一元线性回归分析中，越接近于1，说明变量间线性相关程度越强，故D错误. 故选：ABCD. 8．（2025·河南·三模）若，则“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式相关性质即可求解. 【详解】，故“”是“”的充要条件，故A错误； 由得能推出， 反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 由可得， 故，反之不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 易知“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 9．（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】根据题意，为真命题，恒成立问题分离参数求解. 【详解】由题，为真命题， 所以，对， 又在上的最小值为， ， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 10．（2024·西藏拉萨·一模）已知命题：“，”为真命题，则的取值为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据全称命题的真假求参数 【分析】由命题为真命题可知等式恒成立，进而列方程，解方程即可. 【详解】因为命题：“，”为真命题， 即等式恒成立， 则， 解得， 故答案为：. 11．（2025·江苏·三模）在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列、判断命题的充分不必要条件、充要条件的证明 【分析】根据等比数列的定义和通项公式，结合充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】令，则， 令，则， 以此类推，得， 则数列是以为首项，为公比的等比数列. 若数列是等比数列，设其公比为，则， 所以，， 得， 当时，； 当时，不成立. 所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A 12．（2025·甘肃金昌·二模）已知函数，写出一个“的图象关于直线对称，且在上单调”的充分不必要条件： . 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用正弦函数的对称性求参数、判断命题的充分不必要条件 【分析】通过正弦型函数对称轴整体代入法及周期构造不等式求解即可. 【详解】由题意，得，解得， 又在上单调，所以， 即，解得， 当时，，当时，，此时在上单调递减，符合题意； 当时，，当时，，此时在上单调递减，符合题意； 当时，当时，，，此时在上不单调，不符合题意； 同理可继续验证，其中符合题意. 因此“的图象关于直线对称，且在上单调”的充要条件为“”. 故答案为：（答案不唯一） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$