专题13.3 三角形的高线、中线及角平分线（高效培优讲义）数学人教版2024八年级上册

专题13.3 三角形的高线、中线及角平分线 教学目标 1. 掌握三角形的高线及其画法，并能够判断三角形的高线或用高线判断三角形的形状； 2. 掌握三角形的中线及其性质，并能够利用中线解决与面积和周长的相关题目。 3. 掌握三角形的角平分线及其性质，并能够结合高线与中线进行综合应用。 教学重难点 1. 重点 （1）三角形的高线； （2）三角形的中线； （3）三角形的角平分线。 2. 难点 （1）画钝角三角形的高线及其等面积法的应用； （2）中线与中线分得的三角形的面积与周长的关系。 知识点01 三角形的高 1. 三角形高线的定义： 如图，过三角形的顶点作对边的垂线， 顶点 与 垂足 之间的线段是三角形的高线。 BD是△ABC的高BD ⊥ AC 2. 三角形高的画法： 一靠：将三角尺的一条直角边靠在要作高的边上； 二移：移动三角尺，使另一条直角边通过要作高的顶点； 三画：画出垂线段。 3. 锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形所有高线的图示： 4. 三角形的垂心： 三角形有 3 条高线，且三条高线交于一点，这个点叫做三角形的 垂心 。 5. 高线与垂心的位置与三角形形状的关系： 锐角三角形的三条高都在 三角形内部 ，垂心在 三角形内部 。 直角三角形有两条高是 三角形的边 ，垂心在 三角形的直角顶点上 。 钝角三角形有两条高在 三角形外 ，垂心在 三角形外 。 【即学即练1】 1．作出三角形的三条高． 【答案】作图见解析． 【解答】解： 如图，AD、BE、CF即为所求． 【即学即练2】 2．如图，在△ABC中，边BC上的高为线段（　　） A．AF B．CE C．DB D．AB 【答案】A 【解答】解：△ABC中，边BC上的高为线段AF． 故选：A． 【即学即练3】 3．三角形三条高线所在直线交于三角形外部的是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．都有可能 【答案】B 【解答】解：由题意知，如果一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，那么这个三角形是钝角三角形． 故选：B． 【即学即练4】 4．三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，则此三角形是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【解答】解：∵三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上， ∴此三角形是直角三角形． 故选：A． 知识点02 三角形的中线 1. 三角形中线的定义： 如图，三角形的顶点与 对边中点 的连线段叫做三角形的中线。 2. 三角形中线的性质： ①AM是三角形的中线M是BC的 中点 BM ＝ CM＝ BC。 ②中线平分三角形的 面积 。即： ③中线分三角三角形的周长差等于对应另两边的差。即： ④三角形有 3 条中线，且三条中线交于一点，叫做三角形的 重心 。 【即学即练1】 5．如图，△ABC中，CD为AB边上的中线，点E是CD的中点，连接BE，若△ABC的面积为8，则△BEC的面积是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解答】解：∵CD为AB边上的中线，△ABC的面积为8， ∴S△BCDS△ABC8＝4． ∵点E是CD的中点， ∴S△BECS△BCD4＝2， 所以△BEC的面积为2， 故选：D． 【即学即练2】 6．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为16cm，AB比AC长3cm，则△ACD的周长为（　　） A．13cm B．16cm C．19cm D．21cm 【答案】A 【解答】解：由题意得，AB＝AC+3， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， ∵△ABD的周长为16cm， ∴AB+BD+AD＝AC+3+DC+AD＝16（cm）， 则AC+DC+AD＝13（cm）， ∴△ACD的周长＝AC+DC+AD＝13（cm）， 故选：A． 知识点03 三角形的角平分线 1. 三角形角平分线的定义： 如图。三角形的一个内角平分线与这个角对边相交，顶点和交点之间 的 线段 是三角形的角平分线。 2. 三角形角平分线的性质： ①AD是三角形的角平分线∠1 ＝ ∠2。 ②三角形的角平分线把三角形分得的两个小三角形的面积比等于被角平分线分边分得的两条线段比。即 。（这两个三角形的高相等） ③三角形有 3 条角平分线，三条角平分交于一点，这一点叫做三角形的 内心 。 【即学即练1】 7．如图所示，若有∠BAD＝∠CAD，∠BCE＝∠ACE，则下列结论中错误的是（　　） A．AD是△ABC的角平分线 B．CE是△ACD的角平分线 C．∠BCE∠ACB D．CE是∠ABC的平分线 【答案】D 【解答】解：A、∵∠BAD＝∠CAD，∴AD是△ABC的角平分线，正确； B、∵∠BCE＝∠ACE，∴CE是∠ACD的平分线，正确； C、∵CE是∠ACD的平分线，∴∠BCE∠ACB，正确； D、错误． 故选：D． 【即学即练2】 8．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的外角平分线，若∠DAC＝20°，问∠EAC＝（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 【答案】B 【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠DAC＝20°， ∴∠BAC＝2∠DAC＝40°， ∴∠B+∠ACD＝140°， ∴∠EAC∠FAC（∠B+∠ACD）＝70°． 故选：B． 题型01 判断三角形某一边上的高 【典例1】下列能表示△ABC的边BC上的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：△ABC的边BC上的高为AE，如图， ． 故选：B． 【变式1】如图，在△ABC中，线段BE表示△ABC的边AC上的高的图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：过点B作AC的垂线，且垂足在直线AC上， 所以正确画出AC边上的高的是D选项， 故选：D． 【变式2】如图△ABC中，AD是哪条边上的高（　　） A．AB B．AC C．BC D．BD 【答案】C 【解答】解：根据三角形高的定义可得： 过A点作AD⊥BC交BC的延长线于点D， 故AD是BC边上的高． 故选：C． 【变式3】如图，在△ABC中，BC边上的高是（　　） A．BE B．AF C．CD D．CF 【答案】B 【解答】解：△ABC中，BC边上的高是AF． 故选：B． 题型02 利用高线和垂心的位置判断三角形的形状 【典例1】如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，则这个三角形的形状一定是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【解答】解：一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，这个三角形是直角三角形． 故选：D． 【变式1】如果三角形有一条高与三角形的一条边重合，那么这个三角形的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【解答】解：一个三角形有两条高与其边重合，则这正是直角三角形的两个直角边，所以该三角形为直角三角形． 故选：B． 【变式2】三角形三条高线所在直线交于三角形外部的是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．内角为30°、80 【答案】B 【解答】解：由题意知，如果一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，那么这个三角形是钝角三角形． 故选：B． 【变式3】若一个三角形三条高的交点在三角形内部，则这个三角形的形状为　锐角　 三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：一个三角形三条高的交点在三角形内部，则这个三角形的形状为锐角三角形． 题型03 等面积求三角形的边或高 【典例1】如图，已知∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，BC＝3，则点A到线段BC的距离为　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：由条件可知AC⊥BC， ∴点A到线段BC的距离为线段AC的长，即为4． 故答案为：4． 【变式1】如图，在三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，AC＝5cm，则点C到直线AB的距离为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】C 【解答】解：根据点到直线的距离可知： ∵∠B＝90°，BC＝4cm， ∴点C到直线AB的距离为：4cm． 故选：C． 【变式2】如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．则AD的长 　4.8　 cm； 【答案】4.8． 【解答】解：∵AD是△ABC的高，∠CAB＝90°， ∴S△ABCAB•ACBC•AD， ∴6×810×AD， 解得：AD＝4.8， 故答案为：4.8． 题型04 三角形的中线与面积 【典例1】三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 【答案】B 【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形． 故选：B． 【变式1】如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点，则阴影部分的面积为 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接AE，BF，CD， ∵点D、E、F分别是线段AF、BD的中点， ∴AD＝DF，BE＝ED， ∴S△ADE＝S△ABE，S△ABE＝S△FDE， 同理可得：△ABC被分为7个面积相同的三角形， ∴阴影部分的三角形的面积是△ABC的面积的， ∵△ABC的面积为10， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：． 【变式2】如图，已知D，E，F分别为AC，BC，BD的中点，若四边形ADEF的面积为15，则△ABC的面积为 　40　 ． 【答案】40 【解答】解：∵点F是BD的中点， ∴S△BED＝2S△DEF，S△ABD＝2S△ADF， ∵点E是BC的中点， ∴S△BDC＝2S△BDE＝4S△DEF， ∵点D为AC的中点， ∴S△ABD＝S△BCD，S△ABC＝2S△ABD， ∴2S△ADF＝4S△DEF， 即S△ADF＝S△DEF， ∵四边形ADEF的面积为15， ∴S△ADF+S△DEF＝15， ∴， 解得S△ADF＝10， ∴S△ABC＝2S△ABD＝4S△ADF＝4×10＝40， 故答案为：40． 【变式3】如图，G为△ABC三边中线AD，BE，CF的交点，，则阴影部分的面积为（　　） A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．8cm2 【答案】A 【解答】解：∵G为△ABC三边中线AD，BE，CF的交点， ∴S△ABD＝S△ADC，S△BGD＝S△CDG，S△AFG＝S△BFG，S△AGE＝S△CGE， ∴S△AGB＝S△AGC，S△AFG＝S△AGE， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 题型05 三角形的中线与周长 【典例1】如图，△ABC的周长是16，AD是BC边上的中线，AB＝6，CD＝3，则△ABD与△ACD 的周长之差为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【解答】解：△ABC的周长为16， ∴AB+AC+BC＝16， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD＝3，则BC＝6， ∴AC＝16﹣AB﹣BC＝16﹣6﹣6＝4， ∵△ABD的周长为AB+BD+AD，△ACD的周长为AC+CD+AD， ∴AB+BD+AD﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝6﹣4＝2， 故选：A． 【变式1】如图，在周长为20cm的△ABC中，AD是边BC上的中线，已知CD＝4cm，AC＝7cm，则AB的长为（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 【答案】B 【解答】解：∵AD是边BC上的中线， ∴BC＝2CD＝8（cm）， ∵△ABC的周长＝20cm， ∴AB+AC+BC＝20（cm）， ∴AB＝20﹣7﹣8＝5（cm）， 故选：B． 【变式2】如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD的周长比△ACD的周长多3cm．若AB＝10cm，则AC的长为（　　） A．5cm B．6cm C．8cm D．7cm 【答案】D 【解答】解：∵AD是边BC上的中线， ∴BD＝DC， ∵△ABD的周长比△ACD的周长多3cm， ∴（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝3cm， ∵AB＝10cm， ∴AC＝7cm， 故选：D． 【变式3】在△ABC中，AB＝18，BC＝16，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为41，那么△BCD的周长是（　　） A．39 B．41 C．43 D．无法确定 【答案】A 【解答】解：∵BD是AC边上的中线， ∴AD＝CF， ∵△ABD的周长为41，AB＝18， ∴18+AD+BD＝41， ∴AD+BD＝23， ∴CD+BD＝23， ∵BC＝16， ∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝16+23＝39， 故选：A． 题型06 三角形的中线、高线及角平分线综合 【典例1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE，BF分别是△ABC的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（　　） A．∠ABF＝∠CBF B．∠ABC＝∠CAD C．S△ABE＝S△ACE D．AF＝CF 【答案】D 【解答】解：A、∵BF是△ABC的角平分线， ∴∠ABF＝∠CBF， ∴结论A正确， 故该选项不符合题意； B、∵AD是△ABC的高线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABC+∠BAD+∠ADB＝180°， ∴∠ABC+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠ABC＝∠CAD， ∴结论B正确， 故该选项不符合题意； C、∵AE是△ABC的中线， ∴BE＝CE， ∴， 即S△ABE＝S△ACE， ∴结论C正确， 故该选项不符合题意； D、∵BF是△ABC的角平分线，无法判定BF是△ABC的中线， ∴结论D错误， 故该选项符合题意； 故选：D． 【变式1】如图，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，AB＝BD．则下列结论中不一定正确的是（　　） A．AB＝CD B．FG＝GC C．∠ABE＝2∠FCB D．∠BFH＝∠BHF 【答案】B 【解答】解：A、∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， ∵AB＝BD， ∴AB＝CD，故本选项结论正确，不符合题意； B、FG与GC的大小不能确定，故本选项结论不一定正确，符合题意； C、∵∠ABC＝90°， ∴∠ABE+∠EBC＝90°， ∵BE⊥AC， ∴∠BCE+∠EBC＝90°， ∴∠ABE＝∠BCE， ∵CF是△ABC的角平分线， ∴∠BCE＝2∠FCA＝2∠FCB， ∴∠ABE＝2∠FCB，故本选项结论正确，不符合题意； D、∵∠ABC＝90°， ∴∠BFH＝90°﹣∠FCB， ∵BE⊥AC， ∴∠EHC＝90°﹣FCA， ∴∠BFH＝∠EHC， ∵∠BHF＝∠EHC， ∴∠BFH＝∠BHF，故本选项结论正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H．下面说法中：①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③∠BAD＝2∠ACF；④AF＝FB．正确的是　①②③　 ．（填序号） 【答案】①②③． 【解答】解：∵BE是中线， ∴AE＝CE， ∴S△ABE＝S△BCE． ∴①说法正确，符合题意； ∵CF是角平分线， ∴∠ACF＝∠BCF． ∵AD为高线， ∴∠ADC＝90°． ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°， ∴∠ABC＝∠CAD． ∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF， ∴∠AFG＝∠AGF． ∴②说法正确，符合题意； ∵AD为高， ∴∠ADB＝90°． ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°， ∴∠ACB＝∠BAD． ∵CF是∠ACB的平分线， ∴∠ACB＝2∠ACF， ∴∠BAD＝2∠ACF． ∴③说法正确，符合题意； 根据条件不能说明AF＝BF， ∴④说法不正确，不符合题意； 综上所述，正确的是①②③， 故答案为：①②③． 【变式3】如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　1　 ； （2）若∠ABC＝62°，CD是△ABC的高，求∠BOC的度数． 【答案】（1）1； （2）121°． 【解答】解：（1）∵CD是中线， ∴BD＝AD， ∵BC＝3，AC＝2， ∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝3+AD+CD，△ACD的周长＝AD+CD+AC＝2+AD+CD， ∴△BCD的周长﹣△ACD的周长＝3+AD+CD﹣（2+AD+CD）＝1． 故答案为：1． （2）CD是△ABC的高， ∴∠CDB＝90°， ∵∠ABC＝62°，BE是△ABC的角平分线， ∴∠ABE∠ABC62°＝31°， ∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°． 1．画△ABC的BC边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：画△ABC的BC边上的高，即过点A作BC边的垂线． 故选：C． 2．下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，联结一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 【答案】B 【解答】解：A、三角形的高、中线是线段，角平分线也是线段，故本选项说法错误，不符合题意； B、三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，说法正确，符合题意； C、钝角三角形的两条角平分线在三角形的外部，一条在三角形内部，故本选项说法错误，不符合题意； D、在三角形中，联结一个顶点和它对边中点的线段叫作三角形的中线，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．若一个△三条高线的交点恰好是△的一个顶点，则这个△是（　　） A．锐角△ B．钝角△ C．直角△ D．都有可能 【答案】C 【解答】解：∵一个△三条高线的交点恰好是△的一个顶点， ∴三角形有两边垂直， ∴此三角形为直角三角形． 故选：C． 4．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：由题意可得：BD＝CD， ∴周长之差是AB+AD+BD﹣（AD+AC+CD）＝AB﹣AC＝7﹣5＝2． 故选：C． 5．下列说法错误的是（　　） A．锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点 B．钝角三角形有两条高线在三角形的外部 C．直角三角形只有一条高线 D．任意三角形都有三条高线、中线、角平分线 【答案】C 【解答】解：A、正确，任意三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点； B、正确，钝角三角形有两条高线在三角形的外部； C、错误，直角三角形也有三条高线； D、正确． 故选：C． 6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，且AD，AE，BF分别是△ABC的高线，中线和角平分线，且AD与BF相交于点G，下列结论不一定正确的是（　　） A．∠BAD＝∠C B．∠AGF＝∠AFG C．S△ABE＝S△AEC D．AC﹣AE＜DE 【答案】D 【解答】解：A、由条件可知AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵∠ACB+∠CAD+∠ADC＝180°， ∴∠ACD+∠ADC＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠BAD＝∠C， ∴结论A正确，故该选项不符合题意； B、由条件可知∠ABF＝∠CBF， ∵∠BAC＝∠ADB＝90°， ∴∠ABF+∠AFB＝∠DBG+∠BGD， ∴∠BGD＝∠AGF， ∵∠BGD＝∠AGF， ∴∠AGF＝∠AFG， ∴结论B正确，故该选项不符合题意； C、由条件可知BE＝CE， ∴， 即S△ABE＝S△AEC， ∴结论C正确，故该选项不符合题意； D、∵AC﹣AE＜CE，但不一定小于DE， 故选项D错误，符合题意， 故选：D． 7．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC边上的中点，连接CD，DE，DF．已知△ABC的面积为4，则阴影部分的面积为（　　） A．1 B．3 C．2 D．2.5 【答案】C 【解答】解：由题意可得：， ∵E为AC边的中点，△ADC的面积为2， ∴， ∵F为BC边的中点，△DBC的面积为2， ∴， ∴S阴影＝S△DEC+S△DBF＝1+1＝2， 故选：C． 8．如图，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，AB＝BD．给出下列结论：①AB＝CD；②FG＝GC；③∠ABE＝2∠FCB；④∠BFH＝∠BHF．其中一定正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵AB＝BD， ∴AB＝CD；故①正确； ∵BE，CF分别是△ABC的高和角平分线， ∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∠ACB＝2∠ACF＝2∠FCB， ∴∠ABE+∠BAC＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ACB+∠BAC＝90°， ∴∠ABE＝∠ACB＝2∠FCB；故③正确； ∵∠ABC＝90°，∠BEC＝90°， ∴∠BFH+∠FCB＝90°，∠ECF+∠EHC＝90°， ∵∠BCF＝∠ECF， ∴∠BFH＝∠CHE， ∵∠CHE＝∠BHF， ∴∠BFH＝∠BHF；故④正确； 条件不足，无法得到FG＝GC；故②错误； 故选：A． 9．如图，AD、CE是△ABC的两条高，，CE+AD＝7，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵AD、CE是△ABC的两条高， ∴△ABC的面积AB•CEBC•AD， ∵， ∴4×CEAD， ∵CE+AD＝7， ∴AD， ∴△ABC的面积BC•AD． 故选：A． 10．如图，△DEF的面积为1，且AD＝DC，BE＝2CE，DF＝3BF，则△ABC的面积为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【解答】解：∵AD＝DC，BE＝2CE，DF＝3BF， ∴点D是线段AC的中点， ∴BD是中线， ∵点E是线段BC的三等分点， ∴， ∵点F是线段BD的四等分点， ∴， 设E到BD的距离为h1， ∴， ∵△DEF的面积为1， ∴， ∴， 设点D到BC的距离为h2， ∴， ∴， ∴， ∵BD是△ABC的中线， ∴S△ABC＝2S△BCD＝4， 故选：C． 11．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，AD为BC边上的中线，若△ACD的周长为22，则△ABD的周长是　24　 ． 【答案】24． 【解答】解：∵AD为BC边上的中线， ∴BD＝DC， ∵△ACD的周长为22， ∴AC+AD+CD＝22， ∴AC+AD+BD＝22， ∵AC＝8， ∴AD+BD＝14， ∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝10+14＝24， 故答案为：24． 12．已知AD是△ABC的高，若∠BAD＝60°，∠CAD＝40°，则∠BAC的度数是　100°或20°　 ． 【答案】100°或20°． 【解答】解：分两种情况： ①如图1，当高AD在△ABC的内部时， ∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+40°＝100°； ②如图2，当高AD在△ABC的外部时， ∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣40°＝20°， 综上所述，∠BAC的度数为100°或20°． 故答案为：100°或20°． 13．AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，若∠BAC＝100°，则∠ADE＝　50　 °． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC＝100°， ∴∠BAD＝∠CAD100°＝50°， ∵DE∥AB， ∴∠ADE＝∠BAD＝50°． 故答案为50． 14．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　1　 cm2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC4＝2（cm2）， 同理S△BDE＝S△CDES△BCE2＝1（cm2）， ∴S△BCE＝2（cm2）， ∵F为EC中点， ∴S△BEFS△BCE2＝1（cm2）． 故答案为1． 15．如图，在△ABC中，AD为中线，DE和DF分别为△ADB和△ADC的高，若AB＝6，AC＝8，DF＝3，则DE＝　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：∵在△ABC中，AD为中线， ∴S△ABD＝S△ACD， ∵DE和DF分别为△ADB和△ADC的高， ∴，即， ∴DE＝4， 故答案为：4． 16．如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），连接CD交BE于点O． （1）若CD是中线，BC＝5，AC＝3，则△BCD与△ACD的周长差为 　2　 ； （2）若CD⊥AB，∠ABC＝60°，求∠BOC的度数． 【答案】（1）2； （2）120°． 【解答】解：（1）∵CD是△ABC的中线， ∴AD＝BD， ∵BC＝5，AC＝3， ∴△BCD与△ACD的周长＝（BC+BD+CD）﹣（AC+AD+CD）＝BC﹣AC＝5﹣3＝2， 故答案为：2； （2）∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°， ∵BE是△ABC的角平分线，∠ABC＝60°， ∴∠ABE∠ABC＝30°， ∴∠BOC＝∠BDC+∠ABE＝120°． 17．在△ABC和△ADC中，∠B＝90°，∠D＝90°，EF⊥BC交AC于点F． （1）在△ABC中，BC边上的高是 　AB　 ． （2）在△AEC中，AE边上的高是 　CD　 ． （3）若AB＝8，AE＝10，CD＝6，求△AEC的面积及CE的长． 【答案】（1）AB； （2）CD； （3）S△AEC＝30，CE＝7.5． 【解答】（1）根据三角形的高的定义可知，在△ABC中，BC边上的高是AB． 故答案为：AB． （2）根据三角形的高的定义可知，在△AEC中，AE边上的高是CD． 故答案为：CD． （3）． ． 可得CE＝7.5． 18．已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H． （1）∠2与∠DCB相等吗？为什么？ （2）试说明CD是△ABC的高． 【答案】（1）∠2＝∠DCB，理由见解答过程； （2）证明见解答过程． 【解答】解：（1）∠2＝∠DCB， 理由如下：∵∠1＝∠ACB， ∴DE∥BC， ∴∠2＝∠DCB； （2）∵∠2＝∠3，∠2＝∠DCB， ∴∠3＝∠DCB， ∴HF∥CD， ∵FH⊥AB， ∴CD⊥AB，即CD是△ABC的高． 19．如图所示，已知AD是△ABC的边BC上的中线． （1）作出△ABD的边BD上的高． （2）若△ABC的面积为10，求△ADC的面积． （3）若△ABD的面积为6，且BD边上的高为3，求BC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图所示： （2）∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABC的面积为10， ∴△ADC的面积△ABC的面积＝5． （3）∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD的面积为6， ∴△ABC的面积为12， ∵BD边上的高为3， ∴BC＝12×2÷3＝8． 20．如图，在△ABC中，AD，AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线． （1）若∠BED＝46°，∠BAD＝25°，求∠BAF的大小； （2）若△ABC的面积为40，BD＝5，求AF的长． 【答案】（1）90°； （2）8． 【解答】解：（1）∵∠BED＝∠ABE+∠BAE，∠BED＝46°，∠BAD＝25°， ∴∠ABE＝∠BED﹣∠BAD＝46°﹣25°＝21°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABE＝2×21°＝42°， ∵AF为高， ∴∠AFB＝90°， ∴∠BAF＝90°﹣∠ABF＝90°﹣42°＝48°． （2）∵AD为中线，BD＝5， ∴BC＝2BD＝10， ∵△ABC的面积为40， ∴， ∴AF＝8． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13.3 三角形的高线、中线及角平分线 教学目标 1. 掌握三角形的高线及其画法，并能够判断三角形的高线或用高线判断三角形的形状； 2. 掌握三角形的中线及其性质，并能够利用中线解决与面积和周长的相关题目。 3. 掌握三角形的角平分线及其性质，并能够结合高线与中线进行综合应用。 教学重难点 1. 重点 （1）三角形的高线； （2）三角形的中线； （3）三角形的角平分线。 2. 难点 （1）画钝角三角形的高线及其等面积法的应用； （2）中线与中线分得的三角形的面积与周长的关系。 知识点01 三角形的高 1. 三角形高线的定义： 如图，过三角形的顶点作对边的垂线， 与 之间的线段是三角形的高线。 BD是△ABC的高BD AC 2. 三角形高的画法： 一靠：将三角尺的一条直角边靠在要作高的边上； 二移：移动三角尺，使另一条直角边通过要作高的顶点； 三画：画出垂线段。 3. 锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形所有高线的图示： 4. 三角形的垂心： 三角形有 条高线，且三条高线交于一点，这个点叫做三角形的 。 5. 高线与垂心的位置与三角形形状的关系： 锐角三角形的三条高都在 ，垂心在 。 直角三角形有两条高是 ，垂心在 。 钝角三角形有两条高在 ，垂心在 。 【即学即练1】 1．作出三角形的三条高． 【即学即练2】 2．如图，在△ABC中，边BC上的高为线段（　　） A．AF B．CE C．DB D．AB 【即学即练3】 3．三角形三条高线所在直线交于三角形外部的是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．都有可能 【即学即练4】 4．三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，则此三角形是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 知识点02 三角形的中线 1. 三角形中线的定义： 如图，三角形的顶点与 的连线段叫做三角形的中线。 2. 三角形中线的性质： ①AM是三角形的中线M是BC的 BM CM＝ BC。 ②中线平分三角形的 。即： ③中线分三角三角形的周长差等于对应另两边的差。即： ④三角形有 条中线，且三条中线交于一点，叫做三角形的 。 【即学即练1】 5．如图，△ABC中，CD为AB边上的中线，点E是CD的中点，连接BE，若△ABC的面积为8，则△BEC的面积是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【即学即练2】 6．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为16cm，AB比AC长3cm，则△ACD的周长为（　　） A．13cm B．16cm C．19cm D．21cm 知识点03 三角形的角平分线 1. 三角形角平分线的定义： 如图。三角形的一个内角平分线与这个角对边相交，顶点和交点之间 的 是三角形的角平分线。 2. 三角形角平分线的性质： ①AD是三角形的角平分线∠1 ∠2。 ②三角形的角平分线把三角形分得的两个小三角形的面积比等于被角平分线分边分得的两条线段比。即 。（这两个三角形的高相等） ③三角形有 条角平分线，三条角平分交于一点，这一点叫做三角形的 。 【即学即练1】 7．如图所示，若有∠BAD＝∠CAD，∠BCE＝∠ACE，则下列结论中错误的是（　　） A．AD是△ABC的角平分线 B．CE是△ACD的角平分线 C．∠BCE∠ACB D．CE是∠ABC的平分线 【即学即练2】 8．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的外角平分线，若∠DAC＝20°，问∠EAC＝（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 题型01 判断三角形某一边上的高 【典例1】下列能表示△ABC的边BC上的高的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在△ABC中，线段BE表示△ABC的边AC上的高的图是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图△ABC中，AD是哪条边上的高（　　） A．AB B．AC C．BC D．BD 【变式3】如图，在△ABC中，BC边上的高是（　　） A．BE B．AF C．CD D．CF 题型02 利用高线和垂心的位置判断三角形的形状 【典例1】如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，则这个三角形的形状一定是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【变式1】如果三角形有一条高与三角形的一条边重合，那么这个三角形的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【变式2】三角形三条高线所在直线交于三角形外部的是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．内角为30°、80 【变式3】若一个三角形三条高的交点在三角形内部，则这个三角形的形状为　 　 三角形． 题型03 等面积求三角形的边或高 【典例1】如图，已知∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，BC＝3，则点A到线段BC的距离为　 　 ． 【变式1】如图，在三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，AC＝5cm，则点C到直线AB的距离为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【变式2】如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．则AD的长 　 　 cm； 题型04 三角形的中线与面积 【典例1】三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 【变式1】如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点，则阴影部分的面积为 　 ． 【变式2】如图，已知D，E，F分别为AC，BC，BD的中点，若四边形ADEF的面积为15，则△ABC的面积为 　 　 ． 【变式3】如图，G为△ABC三边中线AD，BE，CF的交点，，则阴影部分的面积为（　　） A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．8cm2 题型05 三角形的中线与周长 【典例1】如图，△ABC的周长是16，AD是BC边上的中线，AB＝6，CD＝3，则△ABD与△ACD 的周长之差为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1】如图，在周长为20cm的△ABC中，AD是边BC上的中线，已知CD＝4cm，AC＝7cm，则AB的长为（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 【变式2】如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD的周长比△ACD的周长多3cm．若AB＝10cm，则AC的长为（　　） A．5cm B．6cm C．8cm D．7cm 【变式3】在△ABC中，AB＝18，BC＝16，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为41，那么△BCD的周长是（　　） A．39 B．41 C．43 D．无法确定 题型06 三角形的中线、高线及角平分线综合 【典例1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE，BF分别是△ABC的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（　　） A．∠ABF＝∠CBF B．∠ABC＝∠CAD C．S△ABE＝S△ACE D．AF＝CF 【变式1】如图，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，AB＝BD．则下列结论中不一定正确的是（　　） A．AB＝CD B．FG＝GC C．∠ABE＝2∠FCB D．∠BFH＝∠BHF 【变式2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H．下面说法中：①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③∠BAD＝2∠ACF；④AF＝FB．正确的是　 　 ．（填序号） 【变式3】如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　 　 ； （2）若∠ABC＝62°，CD是△ABC的高，求∠BOC的度数． 1．画△ABC的BC边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，联结一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 3．若一个△三条高线的交点恰好是△的一个顶点，则这个△是（　　） A．锐角△ B．钝角△ C．直角△ D．都有可能 4．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．下列说法错误的是（　　） A．锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点 B．钝角三角形有两条高线在三角形的外部 C．直角三角形只有一条高线 D．任意三角形都有三条高线、中线、角平分线 6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，且AD，AE，BF分别是△ABC的高线，中线和角平分线，且AD与BF相交于点G，下列结论不一定正确的是（　　） A．∠BAD＝∠C B．∠AGF＝∠AFG C．S△ABE＝S△AEC D．AC﹣AE＜DE 7．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC边上的中点，连接CD，DE，DF．已知△ABC的面积为4，则阴影部分的面积为（　　） A．1 B．3 C．2 D．2.5 8．如图，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，AB＝BD．给出下列结论：①AB＝CD；②FG＝GC；③∠ABE＝2∠FCB；④∠BFH＝∠BHF．其中一定正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 9．如图，AD、CE是△ABC的两条高，，CE+AD＝7，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 10．如图，△DEF的面积为1，且AD＝DC，BE＝2CE，DF＝3BF，则△ABC的面积为（　　） A．3 B． C．4 D． 11．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，AD为BC边上的中线，若△ACD的周长为22，则△ABD的周长是　 　 ． 12．已知AD是△ABC的高，若∠BAD＝60°，∠CAD＝40°，则∠BAC的度数是　 　 ． 13．AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，若∠BAC＝100°，则∠ADE＝　 　 °． 14．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　 cm2． 15．如图，在△ABC中，AD为中线，DE和DF分别为△ADB和△ADC的高，若AB＝6，AC＝8，DF＝3，则DE＝　 　 ． 16．如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），连接CD交BE于点O． （1）若CD是中线，BC＝5，AC＝3，则△BCD与△ACD的周长差为 　 　 ； （2）若CD⊥AB，∠ABC＝60°，求∠BOC的度数． 17．在△ABC和△ADC中，∠B＝90°，∠D＝90°，EF⊥BC交AC于点F． （1）在△ABC中，BC边上的高是 　 　 ． （2）在△AEC中，AE边上的高是 　 　 ． （3）若AB＝8，AE＝10，CD＝6，求△AEC的面积及CE的长． 18．已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H． （1）∠2与∠DCB相等吗？为什么？ （2）试说明CD是△ABC的高． 19．如图所示，已知AD是△ABC的边BC上的中线． （1）作出△ABD的边BD上的高． （2）若△ABC的面积为10，求△ADC的面积． （3）若△ABD的面积为6，且BD边上的高为3，求BC的长． 20．如图，在△ABC中，AD，AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线． （1）若∠BED＝46°，∠BAD＝25°，求∠BAF的大小； （2）若△ABC的面积为40，BD＝5，求AF的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$