精品解析：湖北省华中师范大学附属中学2025届高三综合测试数学试题

华中师范大学附属中学2025届高三综合测试 数 学 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 1. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 2. 已知，，(i为虚数单位)，则（ ） A. B. 1 C. D. 3 3. 函数在上的最小值为（ ） A. －1 B. C. D. 4. 某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（ ） A. 7.6 B. 7.8 C. 8 D. 8.2 5. 过抛物线的焦点，且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆，过点的直线l与圆O交于B，C两点，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 7. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 8. 设函数.若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知向量，，，若点，，能构成三角形，则实数不可以是（ ） A. B. C. 1 D. 10. 已知数列是公比为q的等比数列，，若数列有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q的值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 若函数有三个零点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若成等差数列，则 D. 若成等比数列，则 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 由样本数据，求得回归直线方程为，且，若去除偏离点（4，10）后，得到新的回归直线方程为，则去除偏离点后，相应于样本点的残差值为______. 13. 在中，是边的中点，连接，则______. 14. 两位同学在研究三角形时，分别用三角形的周长和面积刻画三角形三个顶点的“集中程度”，你认为这两位同学的刻画方式更合适的是___________，请你再给出一种刻画三角形三个顶点的“集中程度”的方式__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记为等比数列的前项和，已知，，数列是公差为1的等差数列，且=，数列满足. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的最小值及取得最小值时的值． 16. 盒中有四张卡片，分别标有数字，现从盒中任取两张卡片． （1）求两张卡片的数字之积为偶数的概率； （2）取后放回，重复操作次，记取到两张卡片上标有的数字中有偶数、有奇数、既有偶数又有奇数的次数分别为，求：（结果用含的代数式表达）. 17. 已知三棱台（图2）的平面展开图（图1）中，和均为边长为2的等边三角形，B、C分别为AE、AF的中点，，，在三棱台ABC-DEF中 （1）求证：； （2）求平面ABC与平面ACFD所成二面角的正弦值． 18. 已知焦点在轴的双曲线C的两条渐近线互相垂直，且经过点 ． （1）求双曲线C的标准方程. （2）设，直线l与C的两支交于两点（在第一象限），与y轴交于点Q，记直线的斜率分别为 . （i）求直线PQ的斜率k（用表示）； （ii）若，求的坐标. 19. 已知函数. （1）当时. （i）判断在上极值点的个数，并说明理由； （ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证： （2）当时，直线为曲线y的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：. 已知：若函数图象上恰好存在相异的两点P、Q，满足曲线在P和Q处的切线重合，则称P、Q为曲线y的“双重切线”，直线PQ为曲线的“双重切线”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华中师范大学附属中学2025届高三综合测试 数 学 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 1. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 2. 已知，，(i为虚数单位)，则（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值. 【详解】， 利用复数相等的充分必要条件可得：. 故选：C. 3. 函数在上的最小值为（ ） A. －1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦型三角函数在区间上的最值的求解方法得出答案. 【详解】当时，， 则当时，， 故选：B. 4. 某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（ ） A. 7.6 B. 7.8 C. 8 D. 8.2 【答案】B 【解析】 【分析】首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算可得. 【详解】这组数据一共有5个数，中位数为8， 从小到大排列，8的前面有2个数，后面也有2个数， 又唯一的众数为9，则有两个9， 其余数字均出现一次， 则最大数字为9， 又极差为3，所以最小数字为6， 所以这组数据为6、7、8、9、9， 所以平均数为：. 故选：B. 5. 过抛物线的焦点，且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的焦点坐标和直线垂直的斜率关系求解. 【详解】抛物线的焦点为， 设与直线垂直的直线方程为， 代入，可得，故所求直线方程为， 即. 故选：B. 6. 已知圆，过点的直线l与圆O交于B，C两点，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件可得，结合图形得出，然后根据转化法利用向量积求出向量的模即可 【详解】如图，在中，，，，，， 所以. 故选：D 7. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设棱长为1，，建立如图坐标系，根据计算点P坐标和向量，再写出平面的一个法向量的坐标，根据构建关系，求其值域即可． 【详解】如图，设正方体棱长为1，，则， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 则，故，，又，则，所以． 在正方体中，可知体对角线平面， 所以是平面的一个法向量， 所以． 所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值． 所以． 故选：A． 8. 设函数.若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式和三角函数值域可得，再由可得，即可求出的最小值为. 【详解】因为， 所以. 因为，所以， 故，. 所以， 解得， 故，其最小值为. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知向量，，，若点，，能构成三角形，则实数不可以是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求与，使之共线并求出的值，即可得解． 【详解】因为， ． 假设三点共线，则，即． 所以只要，则三点即可构成三角形. 故选：C 10. 已知数列是公比为q的等比数列，，若数列有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】 先分析得到数列有连续四项在集合，，18，36，中，再求等比数列的公比. 【详解】 数列有连续四项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中 数列有连续四项在集合，，18，36，中 又数列是公比为的等比数列， 在集合，，18，36，中，数列的连续四项只能是：，36，，81或81，，36，. 或. 故选：BD 11. 若函数有三个零点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若成等差数列，则 D. 若成等比数列，则 【答案】BC 【解析】 【分析】A项由零点个数可知单调区间至少三个，求导函数，转化为二次函数判别式求解可得；B项利用三次函数三根式表达形式，求导后赋值通分化简可得；C项将三根式展开，利用对应系数相等建立根与系数的关系，化简运算即可；D项由根与系数的关系消元转化，用分别表示即可判断. 【详解】A项，由题意得有三个零点， 则至少有三个单调区间，故有两个不等实根， 所以，解得，故A错误； B项，由题意可知， 则， ， 同理 ，故B正确； C项， ， 若成等差数列，则， 则，，则， 所以，即，故C正确； D项，若成等比数列，则，， 故，， 则，由，可知，故D错误． 故选：BC 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于三次函数一般式与三根式两种不同表达式的应用.问题解决中要注意二者的等量关系应用，探索根与系数的关系，如CD项的处理；再就是要注意不同形式的选择使用，如B项中三元并列结构式的证明，我们可以选择三根式形式进行运算，使问题解决清晰简捷. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 由样本数据，求得回归直线方程为，且，若去除偏离点（4，10）后，得到新的回归直线方程为，则去除偏离点后，相应于样本点的残差值为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求剩余数据的中心点，再代入回归直线方程求，再代入求，即可求残差值. 【详解】由于回归直线过样本中心点，当时，， 去除偏离点后，剩余数据的中心点为， 则，， 将点的坐标代入回归直线方程，可得，解得，所以，新的回归直线方程为，当时，， 所以，去除偏离点后，相应于样本点的残差值为. 故答案为：. 13. 在中，是边的中点，连接，则______. 【答案】##0.2 【解析】 【分析】设，在中，由正弦定理求得，再得，然后由诱导公式以及两角差的余弦公式求得，从而在中由余弦定理求得，然后在中由正弦定理求得，从而可得其正切值． 【详解】设，则.在中， 由正弦定理，得， 所以.又， 所以为锐角，所以， 所以 .在中，由余弦定理，得，故. 在中，由正弦定理，得， 所以，所以， 所以. 故答案为：． 14. 两位同学在研究三角形时，分别用三角形的周长和面积刻画三角形三个顶点的“集中程度”，你认为这两位同学的刻画方式更合适的是___________，请你再给出一种刻画三角形三个顶点的“集中程度”的方式__________. 【答案】 ①. 三角形的周长 ②. 三角形最长边的长度（或三角形三条中线的长度和、三角形三个顶点到内心的距离之和，答案合理即可） 【解析】 【分析】分析三角形面积和周长随着顶点集中程度的变化情况，言之有理即可. 【详解】当顶点分散时，三角形面积和周长增大；当顶点集中时，三角形面积和周长减小. 但极限情况下，若三点共线，面积为0，而周长不为0，故三角形的周长更适合刻画三角形三个顶点的“集中程度”. 同理，三角形最长边的长度、三角形三条中线的长度和或三角形三个顶点到内心的距离之和等均可作为刻画三角形三个顶点的“集中程度”的方式. 故答案为：三角形的周长；三角形最长边的长度（或三角形三条中线的长度和、三角形三个顶点到内心的距离之和，答案合理即可）. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记为等比数列的前项和，已知，，数列是公差为1的等差数列，且=，数列满足. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的最小值及取得最小值时的值． 【答案】（1）， （2），和. 【解析】 【分析】（1）解方程组求出等比数列公比，即可求得；继而可求出等差数列的首项，即可求得的通项公式； （2）结合（1）可得数列的通项公式，利用作差法可判断数列单调性，即可求得答案. 【小问1详解】 设等比数列的公比为q， ，， 可知,故，解得，故， 又数列是公差为1的等差数列，且， 故，即，解得， 故； 【小问2详解】 由于，则， 则， 当时，，当时，，即， 故数列的最小值为，此时和. 16. 盒中有四张卡片，分别标有数字，现从盒中任取两张卡片． （1）求两张卡片的数字之积为偶数的概率； （2）取后放回，重复操作次，记取到两张卡片上标有的数字中有偶数、有奇数、既有偶数又有奇数的次数分别为，求：（结果用含的代数式表达）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型及对立事件的概率公式计算可得； （2）记取到偶数、奇数、既有偶数又有奇数分别为事件，求出、、，即可得到，，，再根据二项分布的期望公式计算可得. 【小问1详解】 记“两张卡片的数字之积为偶数”为事件， 则事件的对立事件为两张卡片均是奇数， 所以． 【小问2详解】 每次操作，记取到偶数、奇数、既有偶数又有奇数分别为事件， 所以，， 所以，，， 故，， 所以． 17. 已知三棱台（图2）的平面展开图（图1）中，和均为边长为2的等边三角形，B、C分别为AE、AF的中点，，，在三棱台ABC-DEF中 （1）求证：； （2）求平面ABC与平面ACFD所成二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：取的中点，的中点，所以， 所以，，，四点共线， 因为，， 所以，，又， 所以平面， 因为平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，的中点，证明，，，四点共线，由线线垂直证明线面垂直，即可证明； （2）延长交的延长线于点，由余弦定理可得，过作交于，过作交于，可得平面，建立空间直角坐标系，由向量方法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长交的延长线于点，由平面展开图可得， 所以， 由余弦定理可得，过作交于， 所以，又， 所以， 所以，， 故过作交于， 由（1）知，，故平面， 如图，建立空间直角坐标系， 所以，，，，， ，，， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 由得，令，则， 由得，令，则， 所以，所以， 所以平面ABC与平面ACFD所成二面角的正弦值为. 18. 已知焦点在轴的双曲线C的两条渐近线互相垂直，且经过点 ． （1）求双曲线C的标准方程. （2）设，直线l与C的两支交于两点（在第一象限），与y轴交于点Q，记直线的斜率分别为 . （i）求直线PQ的斜率k（用表示）； （ii）若，求的坐标. 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）设双曲线的方程为，根据双曲线过点，代入求得，即可得到双曲线的标准方程； （2）（i）设点，直线和，联立方程组，分别求得，，设直线与轴交于点，求得，结合斜率公式，得到； （ii）设，根据，求得，进而求得的坐标. 【小问1详解】 解：因为双曲线的渐近线互相垂直，可得，可设双曲线的方程为， 因为双曲线过点，可得，解得，即， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 解：（i）设点，直线的方程为，的方程为， 联立方程组，解得，则，即， 同理可得：， 直线过和，与轴交于点，则的方程为， 令，可得， 又由，， 则， 又由直线的斜率为，其中， 则； （ii）由是直线与的夹角，设，则， 因为，代入可得 ，， 则，即，解得， 又因为点在第一象限，所以，可得，即的直线方程为， 又由，所以点. 19. 已知函数. （1）当时. （i）判断在上极值点的个数，并说明理由； （ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证： （2）当时，直线为曲线y的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：. 已知：若函数图象上恰好存在相异的两点P、Q，满足曲线在P和Q处的切线重合，则称P、Q为曲线y的“双重切线”，直线PQ为曲线的“双重切线”. 【答案】（1）（i）当时，函数. 在上极值点的个数为1个. 对求导，根据求导公式，令， 对求导，. 当时，在上，在上， 在内，的符号会发生变化， 因为上连续，且，又符号变化， 所以存在使得先正后负，即先正后负， 根据极值点的定义，在上有一个极值点. （ii）已知，令，即，可得. 设与的交点横坐标为， 因为的周期为，且在上单调递增， 相邻两个交点之间，的图象变化一个周期。 考虑与的图象关系，， 对于在上，单调递减， 从可知，（因为一个周期内与有一个交点，且两交点间水平距离大于半个周期）， 又因为与的交点不会超过一个周期的距离，所以， 所以； （2）当时， 设为双重切线的两个切点， 则在处的切线方程为， 在处的切线方程为， 因为两条切线重合，则，即，则或， 不妨设（取一种情况分析），则直线的斜率为， 设此时直线的斜率， 设此时直线的斜率， 则，因为根据三角函数的图象和性质， 令求导， 当求时，通过分析的单调性，可知当靠近时，较大； 当求时，靠近时，较大； 不妨设，则，由三角函数的图像和性质可知， 当在相应区间内时，，则 所以，故得证. 【解析】 【分析】（1）利用函数求导计算函数的极值点；利用函数求导计算函数极值点，结合函数的周期得到所证结果； （2）根据双重切线的定义得到斜率表达式，再通过求导、三角函数性质等进行分析和证明 【小问1详解】 （i）略 （ii）略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $