2024-2025学年中考专题复习-几何专练

专题　几何-基础题型 目录 【平行线的性质与判定】 1 【垂直平分线的性质与判定】 10 【平移的性质】 11 【位似图形的性质】 12 【解直角三角形的应用】 12 【圆】 14 【几何综合】 22 【平行线的性质与判定】 1．（2025•孝义市一模）自行车尾灯内部的角反射器是由许多垂直的平面镜组成，其工作原理如图2所示，平面镜AO⊥BO，当光线CD射向镜面OB时，经过两次反射后，光线EF沿平行于CD的方向射出，若∠1＝50°，则∠2的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】C 【分析】根据题意先作OH∥EF，再利用平行线性质得∠HOD＝50°，继而再利用平行线性质即可得到答案． 【解答】解：作OH∥EF， ∴OH∥EF∥CD， ∵∠1＝50°， ∴∠HOD＝50°， ∵AO⊥BO， ∴∠AOB＝90°， ∴∠EOH＝90°﹣50°＝40°， ∴∠2＝40°， 故选：C． 【点评】本题考查平行线性质，垂直定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． 2．（2025•太原一模）如图，一个平面镜EF放置在两个互相平行的挡板m和n之间，平面镜EF与挡板n形成的锐角为23°．一支激光笔从点A处发出的光束投射到平面镜上的点B处，反射光束投射到挡板m上的点C处．设光束AB所在直线与挡板m的交点为D，若∠DBF＝∠CBE＝52°，则∠BCD的度数为（　　） A．75° B．76° C．104° D．105° 【答案】A 【分析】延长CB交n于K，由三角形的外角性质得到∠CKL＝∠FBK+∠EFK＝75°，由平行线的性质推出∠BCD＝∠CKL＝75°． 【解答】解：延长CB交n于K， ∵平面镜EF与挡板n形成的锐角为23°， ∴∠EFK＝23°， ∵∠FBK＝∠CBE＝52°， ∴∠CKL＝∠FBK+∠EFK＝75°， ∵m∥n， ∴∠BCD＝∠CKL＝75°． 故选：A． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠BCD＝∠CKL． 3．（2025•朔州模拟）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠EDC＝20°，则∠ABC等于（　　） A．20° B．70° C．80° D．90° 【答案】B 【分析】由DE⊥BC，可得出∠CED＝90°，结合三角形内角和为180°，可求出∠C的度数，由AB∥CD，再利用“两直线平行，内错角相等”，即可求出∠ABC的度数． 【解答】解：∵DE⊥BC， ∴∠CED＝90°， ∴∠C＝180°﹣∠CED﹣∠EDC＝180°﹣90°﹣20°＝70°． 又∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠C＝70°． 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质、垂线以及三角形内角和定理，牢记“两直线平行，内错角相等”及“三角形内角和是180°”是解题的关键． 4．（2025•山西模拟）如图，已知直角三角板ABC的直角顶点A在直线m上，∠C＝60°，直线m∥n，若∠2＝55°，则∠1的度数是（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° 【答案】A 【分析】利用平行线的性质即可解决问题． 【解答】解：如图所示， ∵∠C＝60°，∠2＝55°， ∴∠3＝65°． ∵m∥n， ∴∠4＝∠3＝65°． 又∵∠BAC＝90°， ∴∠1＝90°﹣65°＝25°． 故选：A． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 5．（2025•介休市一模）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与地面平行，∠BCD＝68°，∠BAC＝52°，已知AM与CB平行，则∠MAC的度数为（　　） A．52° B．60° C．68° D．112° 【答案】B 【分析】由平行线的性质可得∠ABC＝∠BCD＝68°，再由三角形的内角和可求得∠ACB＝60°，再次利用平行线的性质即可求∠MAC的度数． 【解答】解：∵AB，CD都与地面平行，∠BCD＝68°， ∴∠ABC＝∠BCD＝68°， ∵∠BAC＝52°， ∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝60°， ∵AM与CB平行， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°． 故选：B． 【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 6．（2025•山西模拟）如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次的拐角∠B＝135°，第二次拐角C处有一路灯，白天某一时刻，路灯CE的影子CF与BC的夹角∠BCF＝97°，则∠FCD的度数为（　　） A．38° B．45° C．46° D．49° 【答案】A 【分析】根据平行线的性质可得∠BCD＝∠B＝135°，再根据角的和差关系即可求解． 【解答】解：∵一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次的拐角∠B＝135°， ∴AB∥CD， ∴∠BCD＝∠B＝135°， ∵∠BCF＝97°， ∴∠FCD＝∠BCD﹣∠BCF＝135°﹣97°＝38°， 故选A． 【点评】本题考查的是中心投影，平行线的性质，熟知以上知识是解题的关键． 7．（2025•榆次区一模）一副三角板如图放置，∠A＝45°，∠E＝30°，DE∥AC，则∠1的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．120° 【答案】C 【分析】利用平行线的性质求出∠2＝∠A＝45°，根据三角形内角和求出∴∠C＝∠DGB，进一步求出∠1． 【解答】解：如图，∵DE∥AC， ∴∠2＝∠A＝45°． ∴∠D＝60°， ∴∠DGB＝180°﹣45°﹣60°＝75°． ∵∠1+∠DGB＝180°， ∴∠1＝180°﹣75°＝105°． 故选：C． 【点评】本题考查平行线的性质、邻补角，三角形的内角和定理，熟练运用平行线的性质是关键． 8．（2025•运城模拟）如图，有一个角为30°的直角三角板放置在一个长方形直尺上，若∠1＝22°，则∠2的度数为（　　） A．158° B．142° C．134° D．135° 【答案】B 【分析】过点E作EF∥AB，得出EF∥AB∥CD，根据平行线的性质结合直角三角板的特征即可求解． 【解答】解：如图，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FEG＝∠1＝22°， 由题意知∠N＝30°，∠M＝90°， ∴∠MEN＝60°， ∴∠MEF＝∠MEN﹣∠FEG＝60°﹣22°＝38°， ∵EF∥AB， ∴∠BHE+∠MEF＝180°， ∴∠BHE＝142°， ∴∠2＝∠BHE＝142°， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 9．（2025•长治一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝135°，∠ACD＝80°，∠CBD＝20°，则∠COD的度数为（　　） A．75° B．53° C．85° D．90° 【答案】A 【分析】根据平行线的性质求出∠OCB＝55°，再根据三角形外角的性质可得结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠BAC＝∠ACD＝80°， ∵∠BAD＝135°， ∴∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝135°﹣80°＝55°， ∵AD∥BC， ∴∠BCA＝∠CAD＝55°， ∵∠CBD＝20°， ∴∠COD＝∠CBD+∠BCA＝20°+55°＝75°， 故选：A． 【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握其性质是解题的关键． 10．（2024•长治模拟）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝54°．当∠MAC为（　　）度时，AM与CB平行． A．16 B．60 C．66 D．114 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【解答】解：∵AB，CD都与地面l平行， ∴AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∴∠BAC+∠ACB+∠BCD＝180°， ∵∠BCD＝60°，∠BAC＝54°， ∴∠ACB＝66°， ∴当∠MAC＝∠ACB＝66°时，AM∥CB， 故选：C． 【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 11．（2024•长治模拟）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为8米，⊙O半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　） A．2米 B．4米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】连接OC交AB于点H，根据垂径定理得到米，OC⊥AB，再根据勾股定理得到OH2+AH2＝OA2即可得解． 【解答】解：连接OC交AB于点H， 依题得：米，OC⊥AB，OA＝OC＝6米， 设OH＝x，即CH＝6﹣x， ∵Rt△AOH中，OH2+AH2＝OA2， 即x2+42＝62， 解得， 即米， ∴米， 即点C到弦AB所在直线的距离是米． 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理． 22．（2025•长治一模）光从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，用直线m，n表示一块玻璃的两个面，且m∥n．现有一束光线AB从空气射向玻璃，BC是折射光线，D为射线AB延长线上一点．若∠1＝20°，∠2＝145°，则∠3＝　125°　 ． 【答案】125°． 【分析】先根据补角的定义求出∠DBE的度数，进而可得出∠CBE的度数，由平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：∵∠2＝145°，∠1＝20°， ∴∠DBE＝180°﹣145°＝35°， ∴∠CBE＝∠1+∠DBE＝20°+35°＝55°， ∵m∥n， ∴∠3＝180°﹣55°＝125°． 故答案为：125°． 【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 【垂直平分线的性质与判定】 13．（2025•山西模拟）如图，在△ABC中，以点C为圆心，BC长为半径画弧，交AB边于点D，再分别以点B，D为圆心，BC的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线CF交AB边于点E．若BE＝1，EC＝3，AC＝7，则AD的长为　　 ． 【答案】． 【分析】利用垂直平分线的性质得出AB⊥CE，BE＝DE＝1，并根据勾股定理即可求AD的值． 【解答】解：由作图可知AB⊥CE，BE＝DE＝1， ∵AE2+CE2＝AC2， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理的应用以及垂直平分线的作图与性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【平移的性质】 14．（2025•太原一模）如图，将△ABC沿着AB的方向平移得到△A'B'C'，其中A'C'与BC交于D，连接CC′，则下列结论一定成立的是（　　） A．A′B＝CC′ B．∠A＝∠B' C．B′C′＝2BD D．∠B'＝∠BCC' 【答案】D 【分析】由将△ABC沿着AB的方向平移得到△A'B'C'，知BC＝B'C'，BC∥B'C'，可得四边形BCC'B'是平行四边形，故∠B'＝∠BCC'，可判断选项D正确． 【解答】解：∵将△ABC沿着AB的方向平移得到△A'B'C'， ∴BC＝B'C'，BC∥B'C'， ∴四边形BCC'B'是平行四边形， ∴∠B'＝∠BCC'， 故选：D． 【点评】本题考查平移的性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． 【位似图形的性质】 26．（2025•山西模拟）如图，△ABC与△DFE位似，点O为位似中心，若△ABC与△DFE的面积比为4：9，则为　　 ． 【答案】． 【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DFE，AB∥DF，根据相似三角形的性质得到，证明△AOB∽△DOF，根据相似三角形的性质计算即可． 【解答】解：∵△ABC与△DFE位似， ∴△ABC∽△DFE，AB∥DF， ∵△ABC与△DFE的面积比为4：9， ∴△ABC与△DFE的相似比为2：3，即， ∵AB∥DF， ∴△AOB∽△DOF， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查的是位似变换，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【解直角三角形的应用】 24．（2025•朔州模拟）如图是传送带和水平地面所成斜坡的示意图，传送带和地面所成斜坡的坡度i为1：，若该传送带把某物体从地面传送到离地面15米高的地方，那么该物体所经过的路程恰好是 　30　 米． 【答案】30． 【分析】过点B作BC⊥水平面于C，根据坡度的概念、正切的定义得到∠A＝30°，再根据含30°角的直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：如图，过点B作BC⊥水平面于C， ∵斜坡AB的坡度为1：， ∴tanA， ∴∠A＝30°， ∵BC＝15米， ∴AB＝2BC＝30米， 故答案为：30． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，正确理解坡度与坡角的关系是解题的关键． 25．（2025•长治一模）如图，一个滑雪爱好者乘滑雪板沿斜坡上的滑雪道笔直滑下208米，若斜坡滑雪道的坡度（指斜坡的铅直高度与水平宽度的比）为5：12，则他在这次滑雪时下降的高度是　80　 米． 【答案】80． 【分析】根据坡度的概念、勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：如图，构造直角三角形ABC， 设他下降的高度AC＝x米， ∵斜坡的坡度为5：12， ∴AC＝5x米，BC＝12x米， 由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， 即（5x）2+（12x）2＝2082， 解得：x＝16（负值舍去）， ∴他下降的高度为16×5＝80米， 故答案为：80． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用——坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 【圆】 15．（2025•大同二模）如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D，C，连接BC，若∠A＝40°，则∠ACB的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】C 【分析】连接OB，由切线的性质推导出∠ABO＝90°，因为∠A＝40°，所以∠AOB＝90°﹣∠A＝50°，则∠ACB∠AOB＝25°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OB， ∵射线AB与⊙O相切于点B，∴AB⊥OB， ∴∠ABO＝90°， ∵∠A＝40°， ∴∠AOB＝90°﹣∠A＝50°， ∴∠ACB∠AOB＝25°， 故选：C． 【点评】此题重点考查切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 16．（2025•朔州模拟）一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长50m，测得圆周角∠ACB＝45°，则这个人工湖的直径AD为（　　） A．25m B．50m C．25m D．100m 【答案】B 【分析】连接OB，由同弧说对圆周角等于圆心角的一半可知∠AOB＝90°，在Rt△AOB中，由勾股定理可知，AO＝25m，所以AD＝50m． 【解答】解：如图，连接OB， ∵∠ACB＝45°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝90°， ∵AB＝50m，OA＝OB， ∴2OA2＝2500， ∴AOAB＝25m， ∴AD＝2AO＝50m， 故选：B． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，以及勾股定理的应用，关键是证出∠AOB＝90°，在Rt△AOB中，由勾股定理算出AO的长． 17．（2025•山西模拟）如图是某宣传版面的平面示意图．其形状是扇形的一部分，AD和BC都是半径的一部分．小强测得∠ADC＝∠BCD＝120°，DC＝60cm，AD＝BC＝40cm，则这块宣传版面的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长AD和BC得到交点为圆心O，进一步求出∠AOB的度数，再根据弧长公式求出弧AB的长即可求出宣传版面的周长． 【解答】解：延长AD和BC交于点O， 则点O为圆心． ∵∠ADC＝∠BCD＝120°， ∴∠ODC＝∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠O＝60°，OD＝DC＝60cm， ∴AO＝AD+OD＝100cm， ∴（cm）， ∴宣传版面的周长为（）cm． 故选：C． 【点评】本题主要考查了弧长的计算及圆周角定理，熟知弧长的计算公式是解题的关键． 18．（2025•山西模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，连接BC，过点O作OD∥BC，与⊙O交于点D，连接DC，若∠B＝α，则∠CDO的度数为（　　） A． B．180°﹣α C．a D． 【答案】D 【分析】根据等边对等角，可得∠OCB＝∠B＝α；根据直径所对的圆周角等于90度可得∠ACB＝90，进而可得∠ACO＝90°﹣α；由平行线的性质得∠AOD＝∠B＝α；由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得，进而求出，再根据等边对等角，即可求解． 【解答】解：连接OC，AC， ∵OC＝OB，∠B＝α， ∴∠OCB＝∠B＝α， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90， ∴∠ACO＝∠ACB﹣∠OCB＝90°﹣α， ∵OD∥BC， ∴∠AOD＝∠B＝α， ∵， ∴， ∴， ∵OC＝OD， ∴∠CDO， 故选：D． 【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟知以上知识是解题的关键． 19．（2025•榆次区一模）如图，AB与⊙O相切于点A，连接BO并延长交⊙O于点C，连接AC．若∠B＝28°，则∠C的度数为（　　） A．28° B．29° C．31° D．62° 【答案】C 【分析】连接OA，根据AB与⊙O相切于点A，可知∠OAB＝90°，所以可得∠AOB＝62°，根据三角形外角的性质可得：． 【解答】解：如图所示，连接OA， ∵AB与⊙O相切于点A， ∴∠OAB＝90°， 又∵∠B＝28°， ∴∠AOB＝90°﹣∠B＝90°﹣28°＝62°， 又∵OC＝OA， ∴∠C＝∠OAC， ∵∠AOB＝∠OAC+∠C＝2∠C， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，掌握以上性质是解题的关键． 20．（2025•运城模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD，BC．若∠BAC＝32°，则∠D的度数为（　　） A．68° B．58° C．32° D．64° 【答案】B 【分析】根据圆中直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，根据直角三角形中两个锐角互余可得：∠B＝58°，根据∠D和∠B都是所对的圆周角可得：∠D＝∠B＝58°． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝32°， ∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣32°＝58°， ∴∠D＝∠B＝58°． 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，掌握以上性质是解题的关键． 21．（2025•孝义市一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为的中点，若∠D＝125°，则∠DAB的度数为　70　 °． 【答案】70． 【分析】连接OD、OC，根据圆内接四边形的性质求出∠B，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BOC，进而求出∠BOD，根据圆周角定理解答即可． 【解答】解：如图，连接OD、OC， ∵四边形ABCD为⊙O内接四边形，∠ADC＝125°， ∴∠B＝180°﹣125°＝55°， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠B＝55°， ∴∠BOC＝180°﹣55°×2＝70°， ∵点C为的中点， ∴∠DOC＝∠BOC＝70°， ∴∠BOD＝140°， 由圆周角定理得：∠DAB∠BOD＝70°， 故答案为：70． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 22．（2025•大同二模）如图，已知⊙O的直径AE＝10cm，∠B＝∠EAC，则AC的长为　5cm　 ． 【答案】5cm． 【分析】连接CE，根据圆周角定理得出∠B＝∠E，∠ACE＝90°，求出∠E＝∠EAC＝45°，解直角三角形求出AC即可． 【解答】解：连接CE， ∵AE为⊙O的直径， ∴∠ACE＝90°， ∵圆周角∠B和∠E都对着， ∴∠B＝∠E， ∵∠B＝∠EAC， ∴∠E＝∠EAC， ∵∠ACE＝90°， ∴∠E＝∠EAC＝45°， ∴sinE， ∵AE＝10cm， 即sin45°， 解得：AC＝5（cm）， 故答案为：5cm． 【点评】本题考查了解直角三角形和圆周角定理，注意：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角． 23．（2025•山西模拟）如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PO的延长线交⊙O于点B，连接AB，若∠PAB＝122°，则∠P的度数为　26°　 ． 【答案】26°． 【分析】如图，连接OA，根据切线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：如图，连接OA， ∵PA是⊙O的切线， ∴OA⊥PA， ∴∠PAO＝90°， ∵∠PAB＝122°， ∴∠BAO＝32°， ∵OA＝OB， ∴∠B＝∠BAO＝32°， ∴∠AOP＝2∠B＝64°， ∴∠P＝90°﹣64°＝26°， 故答案为：26°． 【点评】本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【几何综合】 27．（2025•大同二模）如图，对折矩形ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN．若AE＝1，则MN的长为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】连接AN，由矩形的性质得∠BAD＝90°，由折叠得BE＝AE＝1，NB＝NA，NB＝AB，则AB＝2AE＝2，NB＝NA＝AB，由等边三角形的性质得∠ABN＝60°，则∠ABM＝∠NBM∠ABN＝30°，所以MB＝2MA，由ABMA＝2，得MN＝MA，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接AN， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， 由折叠得BE＝AE＝1，NB＝NA，NB＝AB，MN＝MA， ∴AB＝2AE＝2，NB＝NA＝AB， ∴△ABN是等边三角形， ∴∠ABN＝60°， ∴∠ABM＝∠NBM∠ABN＝30°， ∴MB＝2MA， ∵ABMA＝2， ∴MN＝MA， 故选：C． 【点评】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 28．（2025•运城模拟）如图，在▱ABCD中，∠A＝60°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，BC于M，N两点，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点E，交CD的延长线于点F，连接CE，若点E恰好是AD的中点，则的值为 　　 ． 【答案】． 【分析】由作图可知，BF是∠ABC的平分线，则∠ABF＝∠CBF，由▱ABCD，点E恰好是AD的中点，可得AE＝DE，∠F＝∠CBF，则BC＝CF，△BCF是等腰三角形，证明△FDE≌△BAE（AAS），则EF＝BE，CE⊥BF，然后作答即可． 【解答】解：由作图可知，BF是∠ABC的平分线， ∴∠ABF＝∠CBF， ∵四边形ABCD是平行四边形，点E恰好是AD的中点， ∴CD∥AB，AE＝DE，∠BCD＝∠A＝60°， ∴∠F＝∠ABF，∠FDE＝∠BAE， ∴∠F＝∠CBF， ∴BC＝CF，△BCF是等腰三角形， ∵∠F＝∠ABF，∠FDE＝∠BAE，DE＝AE， ∴△FDE≌△BAE（AAS）， ∴EF＝BE， ∴CE⊥BF， ∴∠BEC＝90°， ∵， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，特殊角的三角函数，熟练掌握平行四边形的性质，作角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 29．（2025•孝义市一模）如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，交AB于点E． （1）实践与操作：利用尺规作∠CAB的平分线，交CE于点O，交CD于点F，连接EF（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）猜想与证明：试猜想四边形ACFE的形状，并加以证明． 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）由角平分线的定义可得∠ACE＝∠FCE，∠CAF＝∠EAF，由平行线的性质可得∠AEC＝∠FCE，∠AFC＝∠EAF，则可得∠ACE＝∠AEC，∠CAF＝∠AFC，进而可得AC＝AE，AC＝CF，则AE＝CF，可得四边形ACFE是平行四边形，再结合AC＝AE，可得四边形ACFE是菱形． 【解答】解：（1）如图，射线AF即为所求． （2）四边形ACFE是菱形． 证明：∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠FCE． ∵AB∥CD， ∴∠AEC＝∠FCE， ∴∠ACE＝∠AEC， ∴AC＝AE． ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠EAF， ∵AB∥CD， ∴∠AFC＝∠EAF， ∴∠CAF＝∠AFC， ∴AC＝CF， ∴AE＝CF， ∴四边形ACFE是平行四边形． ∵AC＝AE， ∴四边形ACFE是菱形． 【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 30．（2025•太原一模）如图，已知在△ABC中，∠B＝90°，点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE． （1）实践与操作：利用尺规在△ABC外部作∠CAG＝∠C，射线AG交DE的延长线于点F（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）； （2）猜想与证明：猜想（1）中的四边形ABDF的形状，并加以证明． 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可． （2）由题意得AG∥BC，DE为△ABC的中位线，则DE∥AB，可得∠B+∠BAF＝180°，∠B+∠BDF＝180°，即∠BAF＝90°，∠BDF＝90°，从而可得四边形ABDF为矩形． 【解答】解：（1）如图，∠CAG即为所求． （2）四边形ABDF为矩形． 理由：∵∠CAG＝∠C， ∴AG∥BC， ∴∠B+∠BAF＝180°， ∵∠B＝90°， ∴∠BAF＝90°． ∵点D，E分别是BC，AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥AB， ∴∠B+∠BDF＝180°， ∴∠BDF＝90°． ∴四边形ABDF为矩形． 【点评】本题考查作图—基本作图、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、矩形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 31．（2025•大同二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线． （1）尺规作图：作AC的垂直平分线，垂足为点O，分别交CD于点E，AB于点F．连接AE，CF（要求：不写作法，保留作图痕迹并标明字母）； （2）判断四边形AECF的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）由平行四边形的性质可得OA＝OC，AB∥CD，证明△AOF≌△COE，可得CE＝AF，进而可得四边形AECF为平行四边形．由线段垂直平分线的性质可得AE＝CE，则可得四边形AECF为菱形． 【解答】解：（1）如图，直线EF即为所求． （2）四边形AECF为菱形． 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AB∥CD， ∴∠ACE＝∠CAF，∠CEO＝∠AFO， ∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴CE＝AF， ∵AB∥CD， ∴四边形AECF为平行四边形． ∵直线EF为线段AC的垂直平分线， ∴AE＝CE， ∴四边形AECF为菱形． 【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质、菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 32．（2025•朔州模拟）如图，矩形ABCO中，延长AO到D，使DO＝AO，延长CO到E，使EO＝CO，连接AE，ED，DC，AC． （1）试判断四边形AEDC的形状，并说明理由； （2）若，求四边形AEDC的面积． 【分析】（1）根据对角线互相垂直的矩形是菱形判断证明即可； （2）根据菱形面积＝对角线乘积的一半进行计算即可． 【解答】解：（1）四边形AEDC是菱形．理由如下： ∵DO＝AO，EO＝CO， ∴四边形AEDC是平行四边形， ∵四边形ABCO是矩形， ∴∠AOC＝90°，即 AD⊥EC， ∴平行四边形AEDC是菱形． （2）∵四边形AEDC是菱形，∠EAC＝120°，∠CDE＝120°， ∴∠AED＝180°﹣∠EAC＝60°， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴AD＝2AO＝4、3cm，EC＝2OE＝12cm． ∴菱形AEDC的面积为：． 【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、含30°角的直角三角形性质，熟练掌握以上知识点是关键． 33．（2025•介休市一模）如图，平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°． （1）求作：AB的垂直平分线MN，交AB于点M， 交BD延长线于点N（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）在（1）的条件下，设直线MN交AD于E，连接BE，且∠C＝22.5°，求证：NE＝AB． 【分析】（1）利用基本作图，作AB的垂直平分线即可； （2）先根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C＝22.5°，再利用线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，MN⊥AB，则∠EBA＝∠A＝22.5°，接着判断△DEB为等腰直角三角形得到DE＝DB，然后证明△NDE≌△ADB，从而得到结论． 【解答】（1）解：如图，MN为所作； （2）证明：如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A＝∠C＝22.5°， ∵MN垂直平分AB， ∴EA＝EB，MN⊥AB， ∴∠EBA＝∠A＝22.5°， ∴∠DEB＝∠A+∠EBA＝45°， ∵∠ADB＝90°， ∴△DEB为等腰直角三角形， ∴DE＝DB， ∵∠N+∠NED＝90°，∠A+∠MEA＝90°， 而∠NED＝∠AEM， ∴∠N＝∠A， 在△NDE和△ADB中， ， ∴△NDE≌△ADB（AAS）， ∴NE＝AB． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知线段的垂直平分线）．也考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质． 34．（2025•长治一模）如图，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝120°，直线AC与⊙O相切． （1）尺规作图：过点B作BD⊥AC于点D，交⊙O于点E，连接AE．（不写作法，保留作图痕迹） （2）请判断四边形AOBE的形状，并说明理由． 【分析】（1）以点B为圆心，任意长为半径画弧交AC于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点距离的为半径画弧交于一点，过点B和这点作直线即可； （2）连接OE，分别证明△BOE和△AOE是等边三角形，可证明OA＝AE＝OB＝BE，从而可得结论． 【解答】解：（1）如图，线段BD为所求； （2）四边形AOBE为菱形． 理由：如图，连接OE． ∵直线AC与⊙O相切， ∴OA⊥AC， ∴∠OAC＝90°． ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∴OA∥BD， ∴∠AOB+∠OBD＝180°． ∵∠AOB＝120°， ∴∠OBD＝60°． ∵OB＝OE， ∴△OBE为等边三角形， ∴OB＝OE＝BE，∠EOB＝60°， ∴∠EOA＝60°， ∴△AOE为等边三角形， ∴AE＝OE＝OA， ∴BE＝AE＝OA＝OB， ∴四边形AOBE为菱形． 【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，作垂线，菱形的判定，切线的性质等知识，正确作图是解答本题的关键． 35．（2024•长治模拟）阅读：如图1，点A是⊙O外一点，点P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为3，OA长度为5，则根据：PA≥OA﹣OP，得到点P到点A的最短距离为：5﹣3＝2． 解决问题： （1）如图2，已知正方形ABCD的边长为4，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN交于点P． ①证明：△ABM≌△BCN； ②求点P到点C的最短距离． （2）如图3，在平面直角坐标系中，等边△OAB的边OB在x轴正半轴上，点A（3，m），m＞0，点D从B点出发，沿BO运动到O，点E同时从O点以相同的速度出发，沿OA运动到A，连接AD、BE，交点为F，M是y轴上一点，求FM的最小值． 【分析】（1）①利用SAS证明三角形全等即可； ②根据条件确定P点在以AB为直径的圆上，取AB的中点O，连接OP、PC，OC，当P、O、C三点共线时，PC有最小值为OC＝OP； （2）先证明△ABD≌△BOE（SAS），可得∠AFB＝120°，由此可知A、B、F三点共圆，作△ABF的外接圆N，连接AN，BN，MN，FN，当F、M、N三点共线时，FM有最小值为MN﹣FN，当MN⊥y轴时，MN有最小值6，连接ON交AB于点G，则ON垂直平分AB，求出NF＝NB＝2，即可求FM的最小值为6﹣2． 【解答】（1）①证明：由题可知BM＝CN，、 ∵AB＝BC，∠ABM＝∠BCN， ∴△ABM≌△BCN（SAS）； ②解：∵△ABM≌△BCN， ∴∠CBN＝∠BAM， ∵∠ABP+∠CBN＝90°， ∴∠BAP+∠ABP＝90°， ∴∠APB＝90°， ∴P点在以AB为直径的圆上， 取AB的中点O，连接OP、PC，OC， ∴PC≤OM+CO， ∴当P、O、C三点共线时，PC有最小值为OC＝OP， ∵OB＝2，BC＝4， ∴OC＝2， ∴PC的最短距离为22； （2）解：由题可知，OE＝BD， ∵△ABO是等边三角形， ∴∠EOB＝∠ABD＝60°，OB＝AB， ∴△ABD≌△BOE（SAS）， ∴∠BAD＝∠OBE， ∴∠AFB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABF＝180°﹣（∠OBE+∠ABF）＝180°﹣60°＝120°， ∴A、B、F三点共圆， 作△ABF的外接圆N，连接AN，BN，MN，FN， 当F、M、N三点共线时，FM有最小值为MN﹣FN， 当MN⊥y轴时，MN有最小值6， ∵点A（3，m），△OAB是等边三角形， ∴BO＝AB＝OA＝6， 连接ON交AB于点G， ∵AO＝OB，AN＝BN， ∴ON垂直平分AB， ∴∠OGB＝90°， ∵∠OBG＝60°， ∴∠ONB＝30°， ∴GBBO＝3， ∵∠ONB＝60°， ∴∠NBG＝30°， ∴BN32， ∵NF＝NB， ∴FM的最小值为6﹣2． 【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握垂径定理，三角形全等的判定及性质，等边三角形的性质，定角定弦作圆是解题的关键． 36．（2024•山西）综合与探究 问题情境：如图1，四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AD于点F． 猜想证明： （1）判断四边形AECF的形状，并说明理由； 深入探究： （2）将图1中的△ABE绕点A逆时针旋转，得到△AHG，点E，B的对应点分别为点G，H． ①如图2，当线段AH经过点C时，GH所在直线分别与线段AD，CD交于点M，N．猜想线段CH与MD的数量关系，并说明理由； 【答案】（1）四边形AECF为矩形，理由详见解析；（2）①CH＝MD，理由详见解析． 【分析】（1）根据矩形的判定方法（有三个角是直角的四边形是矩形）很容易证出； （2）①方法一可先证△HAM≌△DAC，得出AM＝AC，减去公共边得出CH＝MD．方法二证△CDH≌△MHD，可直接得出CH＝MD； 【解答】解：（1）四边形AECF为矩形．理由如下： ∵AE⊥BC，CF⊥AD， ∴∠AEC＝90°，∠AFC＝90°， ∵四边形ABCD 为菱形， ∴AD∥BC， ∴∠AFC+∠ECF＝180°，∠ECF＝180°﹣∠AFC＝90° ∴四边形AECF为矩形． （2）①CH＝MD．理由如下： 证法一： ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D． ∵△ABE 旋转得到△AHG， ∴AB＝AH，∠B＝∠H． ∴AH＝AD，∠H＝∠D． ∵∠HAM＝∠DAC， ∴△HAM≌△DAC， ∴AM＝AC， ∴AH﹣AC＝AD﹣AM， ∴CH＝MD． 证法二： 如图，连接HD． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠ADC， ∵△ABE 旋转得到△AHG， ∴AB＝AH，∠B＝∠AHM， ∴AH＝AD，∠AHM＝∠ADC， ∴∠AHD＝∠ADH， ∴∠AHD﹣∠AHM＝∠ADH﹣∠ADC， ∴∠MHD＝∠CDH， ∵DH＝HD， ∴△CDH≌△MHD， ∴CH＝MD． 【点评】本题主要考查了四边形综合以及菱形的性质、矩形的判定和性质、旋转的性质，熟练掌握这些基础知识是解题关键． 37．（2024•山西模拟）“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线．将△ABD沿射线BC的方向平移，得到△EFG，其中点A，B，D的对应点分别为E，F，G，如图2，当线段EF经过点D时，连接DC，GC，请判断四边形DFCG的形状，并说明理由． 数学思考 （1）请回答老师提出的问题； 深入探究 （2）老师将图2中的△EFG绕点F按逆时针方向旋转得到△PFQ，其中点E，G的对应点分别为P，Q，线段PF，QF分别与边BD交于点M，N．如图3，当PQ∥BD时，让同学们提出新的问题． ①“勤学小组”提出问题：试猜想线段PM和FM的数量关系，并证明； 【答案】（1）矩形，见解析；（2）①PM＝FM．见解析；②． 【分析】（1）四边形DFCG是矩形，由平移的性质得到DG＝BF，DG∥BF，EF∥AB，从而得到∠EFC＝∠ABC＝90°，根据BD为AC边上的中线，推出，进而证明△BCD是等腰三角形，推出BF＝CF，CF＝DG，证明四边形DFCG是平行四边形，再根据∠DFC＝90°，即可证明四边形DFCG是矩形； （2）①由平移的性质得到∠E＝∠A，AD＝EG，BD＝FG，BD∥FG，从而得到∠EFG＝∠BDF，由（1）可得BD＝AD，进而得到∠E＝∠EFG＝∠A＝∠BDF，在图3中，由旋转的性质得到∠P＝∠E，EF＝PF，根据平行线的性质推出∠P＝∠DMF，易证FM＝FD，再根据四边形DFCG是矩形，推出，即可证明PM＝FM； 【解答】解：（1）四边形DFCG是矩形， 理由如下：∵△ABD平移得到△EFG， ∴DG＝BF，DG∥BF，EF∥AB， ∴∠EFC＝∠ABC＝90°， ∵BD为AC边上的中线， ∴， ∴△BCD是等腰三角形， ∵∠EFC＝∠ABC＝90°， ∴EF⊥BC， ∴BF＝CF， ∴CF＝DG， ∵CF∥DG， ∴四边形DFCG是平行四边形， ∵∠DFC＝90°， ∴四边形DFCG是矩形； （2）①PM＝FM， 证明：在图2中，∵△ABD平移得到△EFG， ∴∠E＝∠A，AD＝EG，BD＝FG，BD∥FG， ∴∠EFG＝∠BDF 由（1）可得，BD＝AD， ∴EG＝FG， ∴∠E＝∠EFG＝∠A＝∠BDF， 在图3中，△EFG旋转得到△PFQ， ∴∠P＝∠E，EF＝PF， ∵PQ∥BD， ∴∠P＝∠DMF， ∴∠BDF＝∠DMF， ∴FM＝FD， 由图2可知，四边形DFCG是矩形， ∴∠FDG＝90°， ∵， ∴， ∴PM＝FM； 【点评】本题考查平移的性质，旋转的性质，矩形的判定，直角三角形的特征，相似三角形判定与性质，解直角三角形等腰三角形的判定与性质，勾股定理，综合性较强，熟练运用平移与旋转的性质是解题的关键． 38．（2025•黎城县校级模拟）综合与探究 问题情境： 在正方形ABCD中，E是AB边上的一个动点，连接CE将△BCE沿直线CE翻折，得到△B′CE，点B的对应点B′落在正方形ABCD内． 猜想证明： （1）如图1，连接BB′并延长，交AD边于点F．求证：BF＝CE． （2）如图2，当E是AB边的中点时，连接AB′并延长，交CD边于点H，将△ADH沿直线AH翻折，点D恰好落在直线CE上的点D′处，AD′交B′E于点M，D′H交B′C于点N．试判断四边形B′MD′N的形状，并说明理由． 问题解决： 【答案】（1）见解析； （2）四边形B′MD′N是矩形，理由见解析； 【分析】（1）设BF和CE相交于点O，证明△BCE≌△ABF（ASA），即可得到BF＝CE； （2）证明∠B′MD′＝∠AD′H＝∠MB′N＝90°，即可证明四边形B′MD′N是矩形； 【解答】（1）证明：如图，设BF和CE相交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴∠ABF+∠OBC＝90°， 由折叠可知，CE垂直平分BB′， ∴∠BOC＝90°， ∴∠BCE+∠OBC＝90°， ∴∠BCE＝∠ABF， 在△BCE和△ABF中， ， ∴△BCE≌△ABF（ASA）， ∴BF＝CE； （2）解：四边形B′MD′N是矩形；理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，∠D＝∠B＝90°， ∴∠EAB′＝∠AHD， ∵E是AB边的中点， ∴AE＝EB， 由折叠的性质可知：BE＝EB′，∠CB′E＝∠B＝90°， ∴AE＝EB′， ∴∠B′AE＝∠EB′A， 由折叠的性质可知：∠AHD′＝∠AHD，∠AD′H＝∠ADH＝90°， ∴∠EB′A＝∠AHD′， ∴EB′∥D′H， ∴∠B′MD′+∠AD′H＝180°， ∴∠B′MD′＝90°， ∴∠B′MD′＝∠AD′H＝∠MB′N＝90°， ∴四边形B′MD′N是矩形； 【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定和性质、轴对称的性质等知识，添加必要的辅助线构造全等是解题的关键． 39．（2025•榆次区一模）综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学结论．如图1，将边长为4的正方形ABCD绕边AD的中点O顺时针旋转，得到正方形EFGH，点A，B，C，D的对应点分别为点E，F，G，H，直线EF与直线CD交于点M． 猜想证明： （1）如图2，在正方形ABCD旋转过程中，当点A的对应点E恰好落在对角线AC上时，试判断此时四边形OEMD的形状，并说明理由； 深入探究： （2）在图1中，猜想线段CM与MF的数量关系，并说明理由； 【答案】（1）四边形OEMD为正方形；理由见解答过程； （2）CM＝FM；理由见解答过程； （3）或，理由见解答过程． 【分析】（1）由旋转性质得OA＝OE，再证明出四边形OEMD为矩形，继而证明出本题答案； （2）连接OM，证明Rt△OEM≌Rt△ODM，继而得到本题答案； 【解答】解：（1）四边形OEMD为正方形；理由如下： 由旋转可得OA＝OE． ∵四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形， ∴AD＝CD，∠D＝90°，∠E＝90°， ∴∠CAD＝45°， 又∵OA＝OE， ∴∠AEO＝∠CAD＝45°， ∴∠AOE＝90°， ∴∠EOD＝90°， ∴四边形OEMD为矩形， 又∵O为AD的中点， ∴OA＝OD， ∴OE＝OD， ∴四边形OEMD为正方形； （2）CM＝FM；理由如下： 连接OM，如图1， ， 在Rt△OEM和Rt△ODM中， ， ∴Rt△OEM≌Rt△ODM（HL）， ∴EM＝DM， ∵四边形ABCD和四边形EFGH为全等的正方形， ∴CD＝EF， ∴CM＝FM； 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查正方形判定及性质，全等三角形判定及性质，矩形判定及性质，旋转性质，相似三角形判定及性质等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键． 40．（2025•山西模拟）综合与实践 问题情境：数学活动课上，活动小组探究平行四边形折叠过程中的一些结论，如图1，已知平行四边形ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠C＜90°，将平行四边形ABCD沿过点D的直线折叠，使点C落在AD边上的点E处，折痕与BC交于点F． 初步探究： （1）判断四边形CDEF的形状，并说明理由； 深入探究：如图2，取线段DF边上的一点O（不含点D，F），过点O作BC边的垂线分别与AD，BC交于点I，J，将平行四边形ABCD沿直线IJ折叠，使点C落在BC边上的点H处，使点D落在AD边上的点G处，连接GH． （2）若随着点O的运动，GH与DF始终保持平行，请求∠C的度数； 【答案】（1）菱形，理由见解析； （2）∠C＝60°； 【分析】（1）根据翻折得到DE＝DC，∠CDF＝∠EDF，则由平行四边形ABCD，根据平行线+角平分线得到等腰三角形，那么CF＝CD，则DE＝CF，结合平行，先证明为平行四边形，再根据一组邻边相等即可证明； （2）先证明四边形DGHF为平行四边形，结合翻折可得CF＝CD＝DF，那么△CFD为等边三角形，即可求解； 【解答】解：（1）四边形CDEF为菱形；理由如下： ∵将平行四边形ABCD沿过点D的直线折叠，使点C落在AD边上的点E处，折痕与BC交于点F， ∴DE＝DC，∠CDF＝∠EDF， ∵平行四边形ABCD，AD∥BC， ∴∠EDF＝∠CFD， ∴∠CDF＝∠CFD， ∴CF＝CD， ∴CF＝DE， ∴四边形CDEF为平行四边形， ∵DE＝DC， ∴四边形CDEF为菱形； （2）∵GH∥DF，DG∥HF， ∴四边形DGHF为平行四边形， ∴GH＝DF， 将平行四边形ABCD沿直线IJ折叠，使点C落在BC边上的点H处，使点D落在AD边上的点G处， ∴GH＝DC，而CF＝CD， ∴CF＝CD＝DF， ∴△CFD为等边三角形， ∴∠C＝60°； 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，翻折变换，菱形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质，难度较大，正确和合理添加垂线解直角三角形是解题的关键． 41．（2025•太原一模）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探索图形运动变化中元素之间的不变关系．如图1，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4．点D是射线BC上的一个动点，连接AD，将线段AB绕点D逆时针旋转90°得到线段EF（点E，F分别是A，B的对应点）． 特例分析： （1）创思小组先研究了点D与点C重合时的情形，如图2．连接AE，CE，CF．请判断此时线段AE与CF的数量关系和位置关系，并证明你的结论； 深入探究： （2）博闻小组沿着上述思路继续探究，他们改变点D的位置，提出了如下问题，请你解答： ①如图3，当点D在线段BC上，连接AE，CF，猜想线段AE与CF的数量关系和位置关系，说明理由； 【答案】（1）AE＝CF，AE∥CF，证明见解析； （2）①AE＝CF，AE∥CF，证明见解析； 【分析】（1）易得△ABC≌△EFC（SSS），再证四边形AEFC是平行四边形，即可得解； （2）连接AD，ED，FD，并延长FD交AC于点G，先证△ABD≌△EFD（SSS），再证四边形AEFC是平行四边形，即可得解； 【解答】解：（1）AE＝CF，AE∥CF． 证明：∵线段AB绕点D逆时针旋转90°得到线段EF， ∴AB＝EF，CA＝CE，CB＝CF，∠ACE＝90°， ∴△ABC≌△EFC（SSS）， ∴∠BAC＝∠FEC， ∵∠BAC＝90°， ∴∠FEC＝90°＝∠ACE， ∴EF∥AC， ∵AB＝AC， ∴EF＝AC， ∴四边形AEFC是平行四边形， ∴AE＝CF，AE∥CF． （2）解：①AE＝CF，AEl∥CF． 理由：连接AD，ED，FD，并延长FD交AC于点G． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴， ∵线段AB绕点D逆时针旋转90°得到线段EF， ∴AB＝EF，DA＝DE，DB＝DF，∠BDF＝90°， ∴△ABD≌△EFD（SSS）， ∴∠B＝∠EFD＝45°， ∵∠CDG＝∠BDF＝90°， ∴∠DCG+∠DGC＝90°， ∴∠DGC＝45°， ∴∠DGC＝∠EFD， ∴EF∥AC， ∵EF＝AB＝AC， ∴四边形AEFC是平行四边形， ∴AE＝CF，AE∥CF． ②由题知，以BD为腰，则可BD＝BE或DB＝DE， 但是从点D运动轨迹和图形来看，若DB＝DE，则DB＝DA， 当D在线段BC上时，此时E和B重合，不存在△BDE， 当D在射线BC上时，此时∠BAD＞90°，不存在DA＝DB， 故只需讨论BD＝BE即可； ①如图，当点D在线段BC上时，记DE与AB交点为P， 由前述可知△ABD≌△EFD（SSS）， ∴∠BAD＝∠E，AB＝EF＝4， ∵∠BPE＝∠DPA， ∴∠ABE＝∠ADE＝90°， 根据题意可知∠ABC＝45°，∠DBF＝45°， ∴∠ABF＝90°， ∴∠ABE+∠ABF＝180°， ∴E、B、F共线， 设BD＝BE＝x，则DF＝x，BFx， ∵BF＝EF﹣BE＝4﹣x， ∴4﹣xx， 解得x＝4，即BD＝4； 【点评】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 42．（2025•孝义市一模）综合与探究 问题情境：在数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，点E是矩形ABCD的边AB上一点，DF⊥CE，垂足为点F，且BE＝CF．求证：AE＝EF． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题； 拓展探究： “兴趣小组”在图1的基础上，将△CDF以点C为中心顺时针旋转，得到△C′D′F′（点D与D′对应），并提出新的问题，请你解决这两个问题； （2）如图2，若点F′恰好落在边CD上，连接FF′并延长交DD′于点P．猜想线段PF′与DD′的数量关系，并说明理由； 【答案】（1）见解析； （2）猜想：，理由见解析； 【分析】（1）利用矩形性质得DC∥AB，DC＝AB，∠B＝90°，再证明△CDF≌△ECB，再利用全等的性质得CD＝CE，继而得到本题答案； （2）根据旋转性质可得CF＝CF'，CD＝CD'，△CD'F′≌△CDF，再得∠DFF′＝∠PF′D'，利用外角和定理得CF'F＝∠F'DF+∠DFF'，继而得∠DD'F′＝∠D'F′P，后得∠PDF'＝∠PF'D，再利用等边对等角即可证明； 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴DC∥AB，DC＝AB，∠B＝90°， ∴∠DCF＝∠CEB， ∵DF⊥CE， ∴∠DFC＝90°， 又∵BE＝CF， ∴△CDF≌△ECB（ASA）， ∴CD＝CE， ∴AB＝CE， ∴AB﹣BE＝CE﹣CF， ∴AE＝EF． （2）解：；理由如下： 由旋转，得CF＝CF'，CD＝CD'，△CD'F'≌△CDF， ∴∠CF'D'＝∠CFD＝90°，∠CFF'＝∠CF'F，∠CD'F'＝∠CDF， ∴∠CFF'+∠DFF'＝90°，∠CF'F+∠PF'D'＝90°， ∴∠DFF'＝∠PF'D'， ∵∠CF'F是△DFF'的外角， ∴∠CF'F＝∠F'DF+∠DFF'， 又∵∠CD'D＝∠CD'F'+∠DD'F'， ∴∠DFF'＝∠DD'F'， ∴∠DD'F'＝∠D'F'P， ∴PD'＝PF'， 又∵∠DD'F'+∠D'DF'＝90°，∠PF'D+∠PF'D'＝90°， ∴∠PDF'＝∠PF'D， ∴PD＝PF'， ∴PD＝PD'， ∴； 【点评】本题考查矩形性质，全等三角形判定及性质，外角和定理，等腰三角形性质，旋转性质，相似三角形判定及性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 43．（2025•大同二模）综合与探究 问题情境： 如图1，两块全等的三角形纸片ABC，DEF叠放在一起，AB＝AC＝DE＝DF＝5，BC＝EF＝6． 初步探究： （1）如图2，将△DEF沿BA方向平移，当点E与点A重合时，连接CF．试判断四边形ACFD的形状，并说明理由； 深入探究： （2）将图2位置的△DEF绕点A顺时针旋转得到△D′EF′．D，F的对应点分别是D′，F′． ①如图3，当EF′⊥BC时，垂足为G，D′F′与BC交于点H，求线段GH的长； 【答案】（1）菱形，理由见解析； （2）①； 【分析】（1）由题易得四边形ACFD是平行四边形，再根据AC＝DE＝DA即可得解； （2）①先求出BG＝3，AG＝4，通过线段转换得到F'G＝2，再证△ABG∽△HF′G即可得解； 【解答】解：（1）菱形． 理由如下：∵图2中的△DEF 是由△ABC平移得到的， ∴AC＝FD，AC∥FD， ∴四边形ACFD是平行四边形， 又∵AC＝DE，即AC＝DA， ∴▱ACFD是菱形． （2）①∵△DEF是由△ABC 平移得到的， ∴∠DEF＝∠B， ∵DE＝DF， ∴∠DEF＝∠DFE， ∴∠B＝∠DFE， 在△ABC中，∵AB＝AC，EF⊥BC， ∴，∠AGB＝90°， 在Rt△ABG中，， ∵△D′EF′是由△DEF绕点A旋转得到的， ∴∠F'＝∠DFE， ∴∠F'＝∠B， ∴AF′＝AF，F′G＝AF﹣AG＝AF﹣AG＝6﹣4＝2， 又∵∠AGB＝∠HGF'， ∴△ABG∽△HF′G， ∴，即， ∴； 【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算，掌握旋转的性质，锐角三角函数的计算，数形结合分析，分类讨论思想是关键． 44．（2025•朔州模拟）综合与探究 问题情境：在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线BC上任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE． 尝试发现： （1）如图1，当点D在线段BC上时，求线段BE与CD的数量关系； 类比探究： （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，线段BE与CD是否存在（1）中的数量关系？如果存在，写出BE与CD的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由； 拓展探究： 【答案】（1）BECD； （2）存在BECD，理由见解答过程； 【分析】（1）过E作EM⊥CB于M，证明△ACD≌△DME（AAS），可得AC＝DM，CD＝EM，从而可得△BEM是等腰直角三角形，故BEBMCD； （2）过点E作EM⊥BC交BC于点M，证明△ACD≌△DME（AAS），有CD＝EM，AC＝DM，可得△BEM是等腰直角三角形，即可得BEBMCD； （3）当D在CB的延长线上（点D在点C的右侧）时，过点E作EM⊥CB 于点M，连接CE，证明△ACD≌△DME（AAS），可得CD＝EM，AC＝DM，求出CE，即得cos∠ECD；当D在BC的延长线上（点D在点C的左侧）时，过点E作EM⊥CB 于点M，连接CE，同理可得cos∠ECD． 【解答】解：（1）BECD，理由如下： 过E作EM⊥CB于M，如图： 由旋转得：AD＝DE，∠ADE＝90°， ∴∠ADC+∠EDM＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝∠DME＝90°，∠ADC+∠CAD＝90°， ∴∠CAD＝∠EDM， ∴△ACD≌△DME（AAS）， ∴AC＝DM，CD＝EM， ∵AC＝BC， ∴BC＝DM， ∴BM＝DM﹣BD＝BC﹣BD＝CD， ∴BM＝EM， ∵EM⊥CB， ∴△BEM是等腰直角三角形， ∴BEBMCD； （2）存在BECD；理由如下： 过点E作EM⊥BC交BC于点M，如图： 由旋转得AD＝DE，∠ADE＝90°， ∴∠ADC+∠EDM＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝∠DME＝90°，∠ADC+∠CAD＝90°， ∴∠CAD＝∠EDM， ∴△ACD≌△DME（AAS）， ∴CD＝EM，AC＝DM， ∵AC＝BC， ∴DM＝BC， ∴BM＝BC﹣CM＝DM﹣CM＝CD， ∴BM＝EM， ∵EM⊥CB， ∴△BEM是等腰直角三角形， ∴BEBMCD； 【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，锐角三角函数，等腰直角三角形三边的关系等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 45．（2025•山西模拟）综合与探究 问题情境：在正方形ABCD中，E是AB边上的一个动点，连接CE将△BCE沿直线CE翻折，得到△B′CE，点B的对应点B′落在正方形ABCD内． （1）如图1，连接BB′并延长，交AD边于点F．猜想线段BF与CE的数量关系并说明理由． （2）如图2．当E是AB边的中点时，连接AB′并延长，交CD边于点H，将△ADH沿直线AH翻折，点D恰好落在直线CE上的点D′处，AD′交B′E于点M，D′H交B′C于点N．判断四边形B′MD′N的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）四边形B′MD′N是矩形，理由见解析； 【分析】（1）设BF和CE相交于点O，证明△BCE≌△ABF（ASA），即可得到BF＝CE； （2）证明∠B′MD′＝∠AD′H＝∠MB′N＝90°，即可证明四边形B′MD′N是矩形； 【解答】解：（1）BF＝CE， 理由：如图，设BF和CE相交于点O， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴∠ABF+∠OBC＝90°， 由折叠可知，CE垂直平分BB′， ∴∠BOC＝90°， ∴∠BCE+∠OBC＝90°， ∴∠BCE＝∠ABF， 在△BCE和△ABF中， ， ∴△BCE≌△ABF（ASA）， ∴BF＝CE； （2）四边形B′MD′N是矩形；理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，∠D＝∠B＝90°， ∴∠EAB′＝∠AHD， ∵E是AB边的中点， ∴AE＝EB， 由折叠的性质可知：BE＝EB′，∠CB′E＝∠B＝90°， ∴AE＝EB′， ∴∠B′AE＝∠EB′A， 由折叠的性质可知：∠AHD′＝∠AHD，∠AD′H＝∠ADH＝90°， ∴∠EB′A＝∠AHD′， ∴EB′∥D′H， ∴∠B′MD′+∠AD′H＝180°， ∴∠B′MD′＝90°， ∴∠B′MD′＝∠AD′H＝∠MB′N＝90°， ∴四边形B′MD′N是矩形； 【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定和性质、轴对称的性质等知识，添加必要的辅助线构造全等是解题的关键. 追风赶月莫停留，平芜尽处是春山。第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $$专题 几何-基础题型 目录 【平行线的性质与判定】 1 【垂直平分线的性质与判定】 4 【平移的性质】 4 【位似图形的性质】 4 【解直角三角形的应用】 5 【圆】 5 【几何综合】 7 【平行线的性质与判定】 1.(2025•孝义市一模)自行车尾灯内部的角反射器是由许多垂直的平面镜组成,其工作原理如图2所示,平面镜AO⊥BO,当光线CD射向镜面OB时,经过两次反射后,光线EF沿平行于CD的方向射出,若∠1=50 ,则∠2的度数是( ) 1题 2题 A.20 B.30 C.40 D.50 2.(2025•太原一模)如图,一个平面镜EF放置在两个互相平行的挡板m和n之间,平面镜EF与挡板n形成的锐角为23 .一支激光笔从点A处发出的光束投射到平面镜上的点B处,反射光束投射到挡板m上的点C处.设光束AB所在直线与挡板m的交点为D,若∠DBF=∠CBE=52 ,则∠BCD的度数为( ) A.75 B.76 C.104 D.105 3.(2025•朔州模拟)如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图,其中AB∥CD,DE⊥BC,∠EDC=20 ,则∠ABC等于( ) 3题 4题 A.20 B.70 C.80 D.90 4.(2025•山西模拟)如图,已知直角三角板ABC的直角顶点A在直线m上,∠C=60 ,直线m∥n,若∠2=55 ,则∠1的度数是( ) A.25 B.35 C.45 D.55 5.(2025•介休市一模)图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图,图2是其示意图,其中AB、CD都与地面平行,∠BCD=68 ,∠BAC=52 ,已知AM与CB平行,则∠MAC的度数为( ) 5题 6题 A.52 B.60 C.68 D.112 6.(2025•山西模拟)如图,一条公路两次拐弯后,和原来的方向相同,第一次的拐角∠B=135 ,第二次拐角C处有一路灯,白天某一时刻,路灯CE的影子CF与BC的夹角∠BCF=97 ,则∠FCD的度数为( ) A.38 B.45 C.46 D.49 7.(2025•榆次区一模)一副三角板如图放置,∠A=45 ,∠E=30 ,DE∥AC,则∠1的度数为( ) 7题 8题 A.95 B.100 C.105 D.120 8.(2025•运城模拟)如图,有一个角为30 的直角三角板放置在一个长方形直尺上,若∠1=22 ,则∠2的度数为( ) A.158 B.142 C.134 D.135 9.(2025•长治一模)如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,∠BAD=135 ,∠ACD=80 ,∠CBD=20 ,则∠COD的度数为( ) A.75 B.53 C.85 D.90 10.(2024•长治模拟)某市为了方便市民绿色出行,推出了共享单车服务.图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图,图②是其示意图,其中AB,CD都与地面l平行,∠BCD=60 ,∠BAC=54 .当∠MAC为( )度时,AM与CB平行. A.16 B.60 C.66 D.114 11.(2024•长治模拟)明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”(一种水利灌溉工具)的工作原理.如图2,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心O在水面上方,且⊙O被水面截得弦AB长为8米,⊙O半径长为6米,若点C为运行轨道的最低点,则点C到弦AB所在直线的距离是( ) 11题 12题 A.2米 B.4米 C.米 D.米 12.(2025•长治一模)光从一种介质射向另一种介质时会发生折射.如图,用直线m,n表示一块玻璃的两个面,且m∥n.现有一束光线AB从空气射向玻璃,BC是折射光线,D为射线AB延长线上一点.若∠1=20 ,∠2=145 ,则∠3=_ . 【垂直平分线的性质与判定】 13.(2025•山西模拟)如图,在 ABC中,以点C为圆心,BC长为半径画弧,交AB边于点D,再分别以点B,D为圆心,BC的长为半径画弧,两弧交于点F,作射线CF交AB边于点E.若BE=1,EC=3,AC=7,则AD的长为_. 【平移的性质】 14.(2025•太原一模)如图,将 ABC沿着AB的方向平移得到 A'B'C',其中A'C'与BC交于D,连接CC′,则下列结论一定成立的是( ) A.A′B=CC′ B.∠A=∠B' C.B′C′=2BD D.∠B'=∠BCC' 【位似图形的性质】 26.(2025•山西模拟)如图, ABC与 DFE位似,点O为位似中心,若 ABC与 DFE的面积比为4:9,则为_. 【解直角三角形的应用】 24.(2025•朔州模拟)如图是传送带和水平地面所成斜坡的示意图,传送带和地面所成斜坡的坡度i为1:,若该传送带把某物体从地面传送到离地面15米高的地方,那么该物体所经过的路程恰好是_米. 25.(2025•长治一模)如图,一个滑雪爱好者乘滑雪板沿斜坡上的滑雪道笔直滑下208米,若斜坡滑雪道的坡度(指斜坡的铅直高度与水平宽度的比)为5:12,则他在这次滑雪时下降的高度是_米. 【圆】 15.(2025•大同二模)如图,射线AB与⊙O相切于点B,经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D,C,连接BC,若∠A=40 ,则∠ACB的度数为( ) A.15 B.20 C.25 D.30 16.(2025•朔州模拟)一个圆形人工湖如图所示,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长50m,测得圆周角∠ACB=45 ,则这个人工湖的直径AD为( ) A.25m B.50m C.25m D.100m 17.(2025•山西模拟)如图是某宣传版面的平面示意图.其形状是扇形的一部分,AD和BC都是半径的一部分.小强测得∠ADC=∠BCD=120 ,DC=60cm,AD=BC=40cm,则这块宣传版面的周长为( ) A. B. C. D. 18.(2025•山西模拟)如图,已知AB是⊙O的直径,点C为圆上一点,连接BC,过点O作OD∥BC,与⊙O交于点D,连接DC,若∠B= ,则∠CDO的度数为( ) A. B.180 ﹣ C.a D. 19.(2025•榆次区一模)如图,AB与⊙O相切于点A,连接BO并延长交⊙O于点C,连接AC.若∠B=28 ,则∠C的度数为( ) A.28 B.29 C.31 D.62 20.(2025•运城模拟)如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,连接AC,AD,BC.若∠BAC=32 ,则∠D的度数为( ) A.68 B.58 C.32 D.64 21.(2025•孝义市一模)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB为⊙O的直径,点C为的中点,若∠D=125 ,则∠DAB的度数为_ . 22.(2025•大同二模)如图,已知⊙O的直径AE=10cm,∠B=∠EAC,则AC的长为_ . 23.(2025•山西模拟)如图,PA是⊙O的切线,A为切点,PO的延长线交⊙O于点B,连接AB,若∠PAB=122 ,则∠P的度数为_ . 【几何综合】 27.(2025•大同二模)如图,对折矩形ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平.再一次折叠纸片,使点A落在EF上的点N处,并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时得到线段BN,MN.若AE=1,则MN的长为( ) A. B.1 C. D.2 28.(2025•运城模拟)如图,在 ABCD中,∠A=60 ,以点B为圆心,适当长为半径作弧,分别交AB,BC于M,N两点,再分别以点M,N为圆心,大于的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线BP,交AD于点E,交CD的延长线于点F,连接CE,若点E恰好是AD的中点,则的值为 _ . 29.(2025•孝义市一模)如图,AB∥CD,CE平分∠ACD,交AB于点E. (1)实践与操作:利用尺规作∠CAB的平分线,交CE于点O,交CD于点F,连接EF(要求:尺规作图并保留作图痕迹,不写作法,标明字母); (2)猜想与证明:试猜想四边形ACFE的形状,并加以证明. 30.(2025•太原一模)如图,已知在 ABC中,∠B=90 ,点D,E分别是BC,AC的中点,连接DE. (1)实践与操作:利用尺规在 ABC外部作∠CAG=∠C,射线AG交DE的延长线于点F(要求:保留作图痕迹,标明字母,不写作法); (2)猜想与证明:猜想(1)中的四边形ABDF的形状,并加以证明. 31.(2025•大同二模)如图,四边形ABCD是平行四边形,AC是对角线. (1)尺规作图:作AC的垂直平分线,垂足为点O,分别交CD于点E,AB于点F.连接AE,CF(要求:不写作法,保留作图痕迹并标明字母); (2)判断四边形AECF的形状,并说明理由. 32.(2025•朔州模拟)如图,矩形ABCO中,延长AO到D,使DO=AO,延长CO到E,使EO=CO,连接AE,ED,DC,AC. (1)试判断四边形AEDC的形状,并说明理由; (2)若,求四边形AEDC的面积. 33.(2025•介休市一模)如图,平行四边形ABCD中,∠ADB=90 . (1)求作:AB的垂直平分线MN,交AB于点M, 交BD延长线于点N(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法,不下结论) (2)在(1)的条件下,设直线MN交AD于E,连接BE,且∠C=22.5 ,求证:NE=AB. 34.(2025•长治一模)如图,点A,B在⊙O上,且∠AOB=120 ,直线AC与⊙O相切. (1)尺规作图:过点B作BD⊥AC于点D,交⊙O于点E,连接AE.(不写作法,保留作图痕迹) (2)请判断四边形AOBE的形状,并说明理由. 35.(2024•长治模拟)阅读:如图1,点A是⊙O外一点,点P是⊙O上一动点.若⊙O的半径为3,OA长度为5,则根据:PA≥OA﹣OP,得到点P到点A的最短距离为:5﹣3=2. 解决问题: (1)如图2,已知正方形ABCD的边长为4,点M、N分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动,连接AM和BN交于点P. ①证明: ABM≌ BCN; ②求点P到点C的最短距离. (2)如图3,在平面直角坐标系中,等边 OAB的边OB在x轴正半轴上,点A(3,m),m>0,点D从B点出发,沿BO运动到O,点E同时从O点以相同的速度出发,沿OA运动到A,连接AD、BE,交点为F,M是y轴上一点,求FM的最小值. 36.(2024•山西)综合与探究 问题情境:如图1,四边形ABCD是菱形,过点A作AE⊥BC于点E,过点C作CF⊥AD于点F. 猜想证明: (1)判断四边形AECF的形状,并说明理由; 深入探究: (2)将图1中的 ABE绕点A逆时针旋转,得到 AHG,点E,B的对应点分别为点G,H. ①如图2,当线段AH经过点C时,GH所在直线分别与线段AD,CD交于点M,N.猜想线段CH与MD的数量关系,并说明理由; 37.(2024•山西模拟)“综合与实践”课上,老师提出如下问题:如图1,Rt ABC中,∠ABC=90 ,BD为AC边上的中线.将 ABD沿射线BC的方向平移,得到 EFG,其中点A,B,D的对应点分别为E,F,G,如图2,当线段EF经过点D时,连接DC,GC,请判断四边形DFCG的形状,并说明理由. 数学思考 (1)请回答老师提出的问题; 深入探究 (2)老师将图2中的 EFG绕点F按逆时针方向旋转得到 PFQ,其中点E,G的对应点分别为P,Q,线段PF,QF分别与边BD交于点M,N.如图3,当PQ∥BD时,让同学们提出新的问题. ①“勤学小组”提出问题:试猜想线段PM和FM的数量关系,并证明; 38.(2025•黎城县校级模拟)综合与探究 问题情境: 在正方形ABCD中,E是AB边上的一个动点,连接CE将 BCE沿直线CE翻折,得到 B′CE,点B的对应点B′落在正方形ABCD内. 猜想证明: (1)如图1,连接BB′并延长,交AD边于点F.求证:BF=CE. (2)如图2,当E是AB边的中点时,连接AB′并延长,交CD边于点H,将 ADH沿直线AH翻折,点D恰好落在直线CE上的点D′处,AD′交B′E于点M,D′H交B′C于点N.试判断四边形B′MD′N的形状,并说明理由. 问题解决: 39.(2025•榆次区一模)综合与探究 问题情境:数学活动课上,老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学结论.如图1,将边长为4的正方形ABCD绕边AD的中点O顺时针旋转,得到正方形EFGH,点A,B,C,D的对应点分别为点E,F,G,H,直线EF与直线CD交于点M. 猜想证明: (1)如图2,在正方形ABCD旋转过程中,当点A的对应点E恰好落在对角线AC上时,试判断此时四边形OEMD的形状,并说明理由; 深入探究: (2)在图1中,猜想线段CM与MF的数量关系,并说明理由; 40.(2025•山西模拟)综合与实践 问题情境:数学活动课上,活动小组探究平行四边形折叠过程中的一些结论,如图1,已知平行四边形ABCD,AB∥CD,AD∥BC,∠C<90 ,将平行四边形ABCD沿过点D的直线折叠,使点C落在AD边上的点E处,折痕与BC交于点F. 初步探究: (1)判断四边形CDEF的形状,并说明理由; 深入探究:如图2,取线段DF边上的一点O(不含点D,F),过点O作BC边的垂线分别与AD,BC交于点I,J,将平行四边形ABCD沿直线IJ折叠,使点C落在BC边上的点H处,使点D落在AD边上的点G处,连接GH. (2)若随着点O的运动,GH与DF始终保持平行,请求∠C的度数; 41.(2025•太原一模)综合与探究 问题情境:数学课上,同学们以等腰直角三角形为背景,探索图形运动变化中元素之间的不变关系.如图1,已知 ABC中,∠BAC=90 ,AB=AC=4.点D是射线BC上的一个动点,连接AD,将线段AB绕点D逆时针旋转90 得到线段EF(点E,F分别是A,B的对应点). 特例分析: (1)创思小组先研究了点D与点C重合时的情形,如图2.连接AE,CE,CF.请判断此时线段AE与CF的数量关系和位置关系,并证明你的结论; 深入探究: (2)博闻小组沿着上述思路继续探究,他们改变点D的位置,提出了如下问题,请你解答: ①如图3,当点D在线段BC上,连接AE,CF,猜想线段AE与CF的数量关系和位置关系,说明理由; 42.(2025•孝义市一模)综合与探究 问题情境:在数学活动课上,老师提出如下问题:如图1,点E是矩形ABCD的边AB上一点,DF⊥CE,垂足为点F,且BE=CF.求证:AE=EF. 数学思考: (1)请你解答老师提出的问题; 拓展探究: “兴趣小组”在图1的基础上,将 CDF以点C为中心顺时针旋转,得到 C′D′F′(点D与D′对应),并提出新的问题,请你解决这两个问题; (2)如图2,若点F′恰好落在边CD上,连接FF′并延长交DD′于点P.猜想线段PF′与DD′的数量关系,并说明理由; 43.(2025•大同二模)综合与探究 问题情境: 如图1,两块全等的三角形纸片ABC,DEF叠放在一起,AB=AC=DE=DF=5,BC=EF=6. 初步探究: (1)如图2,将 DEF沿BA方向平移,当点E与点A重合时,连接CF.试判断四边形ACFD的形状,并说明理由; 深入探究: (2)将图2位置的 DEF绕点A顺时针旋转得到 D′EF′.D,F的对应点分别是D′,F′. ①如图3,当EF′⊥BC时,垂足为G,D′F′与BC交于点H,求线段GH的长; 44.(2025•朔州模拟)综合与探究 问题情境:在等腰直角 ABC中,∠ACB=90 ,AC=BC,D为直线BC上任意一点,连接AD.将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90 得线段ED,连接BE. 尝试发现: (1)如图1,当点D在线段BC上时,求线段BE与CD的数量关系; 类比探究: (2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,线段BE与CD是否存在(1)中的数量关系?如果存在,写出BE与CD的数量关系并说明理由,如果不存在,请说明理由; 拓展探究: 45.(2025•山西模拟)综合与探究 问题情境:在正方形ABCD中,E是AB边上的一个动点,连接CE将 BCE沿直线CE翻折,得到 B′CE,点B的对应点B′落在正方形ABCD内. (1)如图1,连接BB′并延长,交AD边于点F.猜想线段BF与CE的数量关系并说明理由. (2)如图2.当E是AB边的中点时,连接AB′并延长,交CD边于点H,将 ADH沿直线AH翻折,点D恰好落在直线CE上的点D′处,AD′交B′E于点M,D′H交B′C于点N.判断四边形B′MD′N的形状,并说明理由. 追风赶月莫停留,平芜尽处是春山。第 1 页 共 12 页 学科网(北京)股份有限公司 $$