专题10 二次函数与几何压轴 综合十一大题型突破-2026-2027学年北师大版九年级数学上册 满分必刷题

专题10 二次函数与几何压轴综合十一大题型突破 【题型01 ：二次函数与角问题】 【题型02 ：二次函数与线段问题】 【题型03：二次函数与面积综合】 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】 【题型09：二次函数的其他问题】 【题型10：二次函数种的新定义问题】 【题型11：二次函数与相似三角形存在性问题】 【题型01 ：二次函数与角问题】 1．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求b的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标． 2．如图，抛物线与直线交于点和点． (1)求出和的值； (2)直接写出点的坐标________，并结合图象写出不等式的解集________； (3)连接，点为抛物线上一动点，满足，求出点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为． (1)该抛物线的表达式为_______________； (2)点为抛物线上一点（不与点重合），连接．当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点，是轴上的两个动点，点在点左侧且，当四边形周长取得最小值时，求点的坐标． 4．如图①，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点M为抛物线上第一象限内一个点，过点M作轴交于点N，设点M的横坐标为t，求线段的长度与t的关系式，并求出线段的最大值； (3)抛物线上是否存在点P，使得?若存在，请直接写出点P的坐标． 【题型02 ：二次函数与线段问题】 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， (1)求二次函数的表达式； (2)求线段长度的最大值． 6．已知抛物线经过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线l的解析式为，P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点Q，当时，求点P的坐标． 7．如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，其中A点坐标为，与轴相交于点，另外抛物线经过点，M为它的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点N是抛物线对称轴上的一个动点，当 最小时，求N点的坐标； 8．如图，二次函数的图象与轴相交于点，，与轴相交于点． (1) ． (2)连接．若，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，当最大时，求的值． 【题型03：二次函数与面积综合】 9．如图，开口向下的抛物线与x轴交于点、，与轴交于点，点P是第一象限内抛物线上的一点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，求四边形的面积，并求其最大值． 10．如图，一次函数的图象与二次函数图象交于点和，与轴交于点，与轴交于点． (1)求一次函数与二次函数的解析式； (2)直接写出的解集； (3)点是抛物线上一点，且的面积与的面积相等，求点的坐标． 11．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点，连接．点为x轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为t． (1)________，________； (2)连接，当时，求t的值； (3)设以，，，为顶点的四边形的面积为， ①求关于t的函数解析式； ②若取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点，请直接写出的取值范围． 12．已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A、B、C的坐标； (2)求的面积； (3)在抛物线上是否存在点P，使的面积等于面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】 13．如图，抛物线 经过， 两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)连接和，求的面积； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 14．如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段的长最大时点P的坐标； (3)点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 15．如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)当时，函数的最小值为1，则a的值为______； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，抛物线的对称轴为：直线，图像与轴、轴分别交于点、、，已知点、，点在直线下方的抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点作轴交直线于点，作交于点，求的最大值； (3)设点为直线上的点，以、、、为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，且）与轴交于点和点，与轴交于点，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，点是抛物线的对称轴上的动点，点是平面内的点，是否存在以点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点 和点 ．为第一象限的抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求面积的最大值； (3)过点作，垂足为点，求线段长的取值范围； (4)若点、分别为线段、上一点，且四边形是菱形，直接写出的坐标． 19．综合与探究 如图，二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴分别交于点A(−2，0)，B(4，0)，点E是x轴正半轴上的一个动点，过点E作直线PE⊥x轴，交抛物线于点P，交直线BC于点F． (1)求二次函数的表达式． (2)当点E在线段OB上运动时（不与点O，B重合），恰有线段，求此时点P的坐标． (3)试探究：若点Q是y轴上一点，在点E运动过程中，是否存在点Q，使得以点C，F，P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C， (1)求此抛物线的解析式； (2)若点P是直线下方的抛物线上一动点（不点B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线于点D，设点P的横坐标为m； ①用含m的代数式表示线段的长． ②连接、，求的面积最大时点P的坐标； (3)设抛物线的对称轴与交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】 21．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)设线段的长度为，请用含有的代数式表示； (3)如图，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点，使原点关于直线的对称，点恰好落在该矩形对角线所在的直线上，求出满足条件的点的坐标． 22．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)动点M，N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段，上向点B，C运动，过点M作x轴的垂线交于点F，交抛物线于点H，当四边形为矩形时，求点H的坐标． 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于两点，直线交y轴于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)在第二象限内是否存在一点M，使得四边形为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 24．如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A、B两点，且A点的坐标为，与y轴交于点． (1)求抛物线解析式及顶点D坐标； (2)点E为抛物线上一点，且，则点E的坐标为 　 　； (3)点F为线段上任意一点，过点F作轴于点M，直线交抛物线于点N，求线段的最大值； (4)点P是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．点为线段上的一个动点（不与，重合），过点作轴的垂线，垂足为，与抛物线交于点． (1)求直线的解析式； (2)求线段长度的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．如图，抛物线（b、c为常数）分别与轴交于点、，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线的顶点，连接，点是抛物线的对称轴上的点，如果是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的点的坐标． 27．如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点D，设点P的横坐标为m，当m为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？ (3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以P，D，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 28．如图，直线分别与轴，轴交于，两点，点为的中点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)点是直线下方的抛物线上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)为抛物线的对称轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标． 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】 29．如图，已知抛物线与轴交于点和点，直线过点且与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为直线上一点（不与重合），作点关于轴的对称点，连接，当是直角三角形时，求出点的坐标． 30．如图，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且对称轴l为直线． (1)求该抛物线的表达式． (2)在对称轴l上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 31．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线关于直线对称，且经过A，C两点，与x轴交于另一点为B．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，过点P作轴于M，交于Q，求的最大值，并求此时P点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上找一点D，使是以为直角边的直角三角形，请求出点D的坐标． 32．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线经过B，C两点，已知，，且．    (1)试求出点B的坐标． (2)分别求出直线和抛物线的解析式． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型09：二次函数的其他问题】 33．已知抛物线L：的系数满足等式． (1)若抛物线L经过点，求的值． (2)若，抛物线还经过另一点，且． ①求b的取值范围． ②记抛物线的顶点纵坐标为，求的最小值． 34．在平面直角坐标系中，抛物线，与y轴交于点且． (1)求b的值； (2)若该抛物线的顶点在直线上，求此时抛物线的解析式； (3)当抛物线经过时，对于抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有．求a的取值范围． 35．如图，点在抛物线上，且在的对称轴右侧． (1)写出的对称轴和的最大值，并求的值； (2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 36．将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图实线所示． (1)函数图象与x轴的交点坐标为______、______． (2)当时，则y的取值范围为______． (3)若直线与函数图象有4个不同的交点，则t的取值范围为______． 【题型10：二次函数种的新定义问题】 37．新定义：我们把二次函数与二次函数（其中，且a，b，c均为常数）称之为“相关二次函数”．已知二次函数的图像与轴交于点．二次函数的“相关二次函数”为． (1)的值为___________，的解析式为___________； (2)当时，二次函数上的点与二次函数上的点之间的距离为5，求的值． 38．在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新抛物线． (1)直接写出新抛物线的解析式： ． (2)直线（）与新抛物线交于点，与原抛物线交于点，当线段时，求的值． (3)点在原抛物线上，点在新抛物线上，若且，求的取值范围． 39．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，且点A在B点左侧，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设射线与直线交于点N，求的最大值，及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点B，请直接写出新抛物线的函数表达式． 40．已知二次函数的图像经过点． (1)求m的值； (2)当时，求y的取值范围； (3)将该函数的图像沿着x轴向右平移得到一个新函数的图像，当时，新函数的最大值是12，请直接写出平移的距离． 【题型11：二次函数与相似三角形存在性问题】 41．如图，以为顶点的抛物线交x轴于，两点，交轴于点，直线的解析式为． (1)抛物线的解析式为______； (2)在轴上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 42．如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点．连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点．交于点，于点，求线段的最大值； (3)如图2，若为抛物线上一点，直线与线段交于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的横坐标；若不存在，请说明理由． 43．抛物线分别与x轴、y轴交于点A、点、点，连接，P是抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图，设点P的横坐标是． ①求四边形的面积； ②作直线，交于点D，求证：点D是线段的中点； (3)若与互为余角，求点P的坐标． 44．如图所示，抛物线的图象与x轴交于点与点B，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点，直线l为对称轴． (1)求抛物线和直线的表达式，并求出点D的坐标； (2)如图所示，若点M是直线上方抛物线上一动点，连接，交于点H，过点M作x轴的平行线，交直线于点G，设点M的横坐标为m． ①求用含m的代数式表示线段的长； ②求的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 二次函数与几何压轴综合十一大题型突破 【题型01 ：二次函数与角问题】 【题型02 ：二次函数与线段问题】 【题型03：二次函数与面积综合】 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】 【题型09：二次函数的其他问题】 【题型10：二次函数种的新定义问题】 【题型11：二次函数与相似三角形存在性问题】 【题型01 ：二次函数与角问题】 1．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求b的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标． 【答案】(1) (2)点M的横坐标为． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式是、二次函数综合、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点M作于点H．证明，得出，设，则，，结合题意得出，分别计算即可得解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得； （2）解：过点M作于点H． 令，则， ， ，， ， ∴， 设，则，， ∴， 整理，得， 由，得（舍），． 点M的横坐标为． 2．如图，抛物线与直线交于点和点． (1)求出和的值； (2)直接写出点的坐标________，并结合图象写出不等式的解集________； (3)连接，点为抛物线上一动点，满足，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)；或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）因为点同时在抛物线和直线上，所以将点坐标分别代入两个函数表达式，即可求解和的值． （2）得到抛物线和直线的解析式后，联立两个解析式组成方程组，求解方程组即可得到点的坐标；如果要解不等式，那么只需观察图象中抛物线在直线上方部分对应的的取值范围，即可得到解集． （3）因为，若点在直线下方，点P与点O重合，可得点的坐标；若点在直线上方 ，设直线交y轴于D，作点O关于直线的对称点C，作射线交抛物线于点P，连接，此时满足，根据轴对称的性质和等腰直角三角形的判定和性质可得，求得点的坐标，进而求出直线的解析式，联立抛物线解析式，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵点同时在抛物线和直线上， ∴将分别代入两个函数解析式： 代入抛物线，得， 解得； 代入直线，得， 解得． （2）解：联立抛物线和直线的解析式，得， 整理得， 解得（对应点），， 将代入直线解析式，得， ∴点坐标为． 不等式的几何意义是抛物线图象在直线上方时对应的的范围， 结合两个交点横坐标和，以及抛物线开口向上的特征， 可得解集为或． （3）解：分两种符合角相等的情况讨论： 第一种：点在直线下方， ∵， ∴点P与点O重合， ∴； 第二种：点在直线上方 ． 设直线交y轴于D，作点O关于直线的对称点C，作射线交抛物线于点P，连接， 则，且此时满足， 对， 令，则，解得； 令，则． ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴， 联立， 得， 解得或（舍去）， ∴， ∴. 综上，符合条件的点为和． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为． (1)该抛物线的表达式为_______________； (2)点为抛物线上一点（不与点重合），连接．当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点，是轴上的两个动点，点在点左侧且，当四边形周长取得最小值时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由对称轴得点坐标，用交点式写解析式； （2）构造全等三角形找直线，联立抛物线求； （3）如图，过作，过作，作关于轴的对称点，连接，可得，，，为定值，当三点共线时，四边形周长最小，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线，点的坐标为， ， ． （2）解：过点作垂直于轴，交于，如图所示， ∵ ，， ∴ ， 为等腰直角三角形， ∴， ， ∵，， ， ， ． ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， 直线的解析式为， 令， 解得：（舍），， 此时， ． （3）解：如图，过作，过作，作关于轴的对称点，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形周长为， ∵，，， ∴，为定值， ∴当最小时，四边形周长最小， ∴当三点共线时，四边形周长最小， ∵点，点关于轴对称， ∴， 设直线为， ∴， ∴， ∴直线为， 当时，， 解得：， ∴，， ∴. 4．如图①，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点M为抛物线上第一象限内一个点，过点M作轴交于点N，设点M的横坐标为t，求线段的长度与t的关系式，并求出线段的最大值； (3)抛物线上是否存在点P，使得?若存在，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)，线段的最大值为 (3)或 【分析】（1）已知抛物线与x轴两个交点和常数项，把，代入解析式，建立关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出系数，即可得到抛物线的表达式； （2）先求出点C坐标，利用B、C两点求出直线解析式，由轴得到点和点横坐标相同，用抛物线上点M的纵坐标减去直线上点N的纵坐标，得到关于t的二次函数，对二次函数配方，结合自变量取值范围，求出线段的最大值； （3）构造点，连接并延长交抛物线于点，过点作，垂足为，与抛物线交于点，连接，通过证明，利用等角转化结合分两种情况即可得到两个符合条件的P点． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点， ，解得， 该抛物线的表达式为； （2）解：由（1）得， 当时，， ， 设直线的解析式为， ， ，解得， 直线的解析式为， 轴， ， ， ，， ，当且仅当时等号成立， 线段的最大值为； （3）解：如图，设，连接并延长交抛物线于点，过点作，垂足为，与抛物线交于点，连接， ，，，， ，，， ， ， ，， 令，，，解得或， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 点为符合题意的点， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 令， 整理得， 两边同时乘得， 解得或， ， ，即， 在和中， ， ， ， ，， 点为符合题意的点， ， ， 综上所述，点P的坐标为或． 【题型02 ：二次函数与线段问题】 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， (1)求二次函数的表达式； (2)求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)当时，线段的长度取得最大值 【分析】本题考查了二次函数的线段问题，二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用待定系数法进行求解，即可作答； （2）正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； 【详解】（1）解：为二次函数的顶点， ， 解得， 二次函数表达式为； （2）解：∵正比例函数经过点， ， ， 正比例函数表达式为， 设，则， ∴， ， ∵． 当时，线段的长度取得最大值； 6．已知抛物线经过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线l的解析式为，P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点Q，当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，一次函数与二次函数综合，求函数解析式，一般利用待定系数法求解；二次函数与线段长之间的关系，一般用点的坐标表示出线段的长, （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点P的坐标为，则，根据得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把点和点代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设点P的坐标为，则， ∵， ∴，即， ∴或， 解得或或或， ∴点P的坐标为或或或． 7．如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，其中A点坐标为，与轴相交于点，另外抛物线经过点，M为它的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点N是抛物线对称轴上的一个动点，当 最小时，求N点的坐标； 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线对称轴为直线，当点N、B、C三点共线时，值最小，求出直线表达式为，进而求出结论； 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，，， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴此抛物线对称轴为直线，顶点， ∵二次函数的图象与轴交于A、B两点，， ∴由对称性得：， ∵点N是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴当点N、B、C三点共线时，值最小， 如下图： 设直线表达式为，由题意得： ， 解得：， ∴直线表达式为， ∴当时，， ∴． 8．如图，二次函数的图象与轴相交于点，，与轴相交于点． (1) ． (2)连接．若，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，当最大时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点的坐标代入二次函数表达式即可求得b的值； （2）先用待定系数法求得直线的函数表达式，从而得到点G，H，M，N的坐标，再结合得到，的长，进而得到关于m的二次函数表达式，最后利用二次函数的性质即可求得当最大时m的值． 【详解】（1）解：将点的坐标代入，得 ， 解得． （2）解∶如图， 令，得， 解得或． ． 令，得， ． 设直线的函数表达式为． 将点，的坐标分别代入． 得，解得 直线的函数表达式为．     ， ． 由题意可知，，，，，且点在点上方，点在点上方， ，． ． ，抛物线开口向下，二次函数在处取得最大值，，满足题设条件， 当时，取得最大值，即当最大时，的值为． 【题型03：二次函数与面积综合】 9．如图，开口向下的抛物线与x轴交于点、，与轴交于点，点P是第一象限内抛物线上的一点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，求四边形的面积，并求其最大值． 【答案】(1) (2)，8 【分析】（1）设二次函数表达式为，再将点C代入，求出a值即可； （2）连接，设点P坐标为，，利用得出S关于m的表达式，再求最值即可． 【详解】（1）解：∵、，， ∴设抛物线表达式为， 将C代入得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：连接，设点P坐标为，且， ∵、，， 可得，，， ∴ ， ∴当时，面积最大值为8， ∴四边形的面积最大值为8． 10．如图，一次函数的图象与二次函数图象交于点和，与轴交于点，与轴交于点． (1)求一次函数与二次函数的解析式； (2)直接写出的解集； (3)点是抛物线上一点，且的面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，二次函数的解析式为； (2)或； (3)或． 【分析】利用待定系数法即可求解； 通过点，，然后直接由图象即可求解； 由得，，所以，，则的面积为，设，然后由题意得，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵二次函数图象过， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵点在二次函数图象上， ∴， ∴点， ∵一次函数的图象经过，， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由得点，又， ∴当时，由图象可知或， 即的解集为或； （3）解：由，当时，；当时，； ∴，， ∴，， ∴的面积为， 设，如图， ∴的面积为， ∵的面积与的面积相等， ∴，解得或， ∴点的坐标为或． 11．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点，连接．点为x轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为t． (1)________，________； (2)连接，当时，求t的值； (3)设以，，，为顶点的四边形的面积为， ①求关于t的函数解析式； ②若取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)① ② 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用已知条件得到，则点P与点C的纵坐标相同，令，求得x值，则点P的横坐标可求； （3）①利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当点P在的上方时，即，，过点P作于点D，利用解答即可；当点P在的下方时，即，，过点P作于点E，利用解答即可；②利用函数的性质求得S的取值范围，画出函数的图象，依据图象解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点， 解得 该二次函数的解析式为； （2）解：如图所示，连， ，， ． ． ， ． ． ∴点P的纵坐标为4． ． 解得或． 由图可得． ． （3）解：①令，则， 解得，． ． 当点P在的上方时， 即，， 过点P作于点D， 则， ， ． ， 即，． 过点P作于点E，如图， 则． ． 综上，S关于t的函数解析式为． ②当时， ， ， 当时，S有最大值为， ． 当时，， ． 画出函数的大致图象，如图∶ 由图象可知∶当时，存在2个符合条件的点P． 12．已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A、B、C的坐标； (2)求的面积； (3)在抛物线上是否存在点P，使的面积等于面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ，， (2) (3) 存在，点的坐标为和 【分析】（1）分别令、，解方程可得抛物线与坐标轴的交点坐标； （2）以为底，点到轴的距离为高，计算三角形面积； （3）根据面积关系求出点的纵坐标，代入抛物线解析式求解横坐标即可. 【详解】（1）解：令，则，解得，； ∵点在点左侧， ∴，； 令，则； ∴； （2）解：由（1）可知，点到轴的距离为， ∴； （3）解：存在，设点的纵坐标为， ∵， ∴或； 当时，代入得， 解得， 此时点的坐标为，； 当时，代入得， 整理得， ∵， ∴此方程无实数根； 综上所述，存在满足条件的点，其坐标为和. 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】 13．如图，抛物线 经过， 两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)连接和，求的面积； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）先求出直线的解析式，进而求出点的坐标，利用抛物线解析式求出点的坐标，利用的面积减去的面积即可； （3）设点，，利用平行四边形对角线互相平分的性质构造方程组，求解即可． 【详解】（1）解：将，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图， ∵， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ， 解得，， ∴点的坐标为， ∴， ∴； （3）解：假设存在， 设点，， ①当为对角线时， ∵平行四边形对角线互相平分， ∴， 解得， ∴； ②当为对角线时， 同理，， 解得， ∴； ③当为对角线时， 同理，， 解得， ∴； 综上所述，假设成立，点的坐标为或或． 14．如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段的长最大时点P的坐标； (3)点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点D的坐标为或或或 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）先利用抛物线解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，设点P的坐标为，点E的坐标为，其中，从而求出与x的函数解析式，然后利用二次函数求最值即可； （3）设点D的坐标为，点F的坐标为，根据平行四边形的对角线分类讨论，然后根据平行四边形的对角线互相平分和中点公式列出方程，即可分别求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴点C的坐标为． 设直线的解析式为， ∵直线过点和点， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，点E的坐标为，其中， ∴， ， ， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时点P的坐标为； （3）解：存在，理由如下： 设点D的坐标为，点F的坐标为， 若和为平行四边形的对角线时， ∴的中点即为的中点， ∴， 解得，， ∴此时点D的坐标为或； 若和为平行四边形的对角线时， ∴的中点即为的中点， ∴， 解得，（此时点F和点C重合，故舍去）， ∴此时点D的坐标为； 若和为平行四边形的对角线时， ∴的中点即为的中点， ∴， 解得，（此时点F和点C重合，故舍去）， 此时点D的坐标为． 综上，存在，此时点D的坐标为或或或． 15．如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)当时，函数的最小值为1，则a的值为______； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)存在，或或 【分析】（1）先求出时x的值，再结合二次函数的性质作答即可； （2）根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：当时， 解得：， ∵， ∴对称轴为直线，y最小值为0， 要使函数的最小值为1，则或， 即或； （2）解：令，则， 令，则， ∴， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， 设， 当为对角线时， ， 解得：， ， 当为对角线时，则 ， 解得：， ， 当为对角线时，则 ， 解得：， ， 综上所述，P点坐标为或或． 16．如图，抛物线的对称轴为：直线，图像与轴、轴分别交于点、、，已知点、，点在直线下方的抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点作轴交直线于点，作交于点，求的最大值； (3)设点为直线上的点，以、、、为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)能，点Q的坐标为或 【分析】（1）因为已知抛物线对称轴、点A的坐标，所以根据对称性求出点B的坐标，设抛物线解析式为交点式，将点C的坐标代入求解系数a，即得解析式． （2）首先求直线的解析式，设点P的横坐标为参数，用参数表示点P的坐标；因为平行于x轴，垂直于，所以分别用参数表示D、E的坐标，进而得到和的长度表达式，将整理为关于参数的二次函数，利用二次函数性质求最大值． （3）判断平行四边形存在性：分为边、为对角线两类讨论．如果为边，那么平行且等于，据此建立点P和点Q坐标的关系，结合点Q在直线上、点P在抛物线上的条件列方程求解；如果为对角线，那么和互相平分，利用中点坐标公式建立坐标关系，联立方程求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴交于， ∴， ∴点， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 即． （2）解：如图所示，设，直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∵轴，，点D，E都在直线上， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， 分别将点的坐标代入直线， 得，， ∴ ， ， ∴当时，取得最大值，最大值是3． （3）解：能，理由如下： ∵， ∴， 若以A、B、P、Q为顶点的四边形能构成平行四边形， ①当以为边时，则且， ∵点在直线下方，如图所示， 设，则， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 解得：，（与A重合，舍去）， ∴，， ∴； ②当以为对角线时，连接交于点G，则， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于点M，于点N，则， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（与A重合，舍去）， ∴． 综上所述，以A、B、P、Q为顶点的四边形能构成平行四边形．此时点Q的坐标为或． 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，且）与轴交于点和点，与轴交于点，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，点是抛物线的对称轴上的动点，点是平面内的点，是否存在以点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为； (2)的坐标为)或 或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）由（）得，则抛物线的对称轴为直线，设，则，，，然后分当为菱形的边时，则或，当为菱形的对角线时，，两种情况即可； 本题主要考查了二次函数、菱形的性质和勾股定理，掌握相关知识、正确求出二次函数表达式并灵活应用是解题的关键． 【详解】（1）当时，， ∴点，则， ∴， ∴点， ∵抛物线过点和点， ∴，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）由（）得 ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∴，，，如图， 当为菱形的边时，则或， ∴或，即或（无解）， 解得， ∴点的坐标为)或 ； 当为菱形的对角线时，则， ∴，即， 解得， ∴点的坐标为， 综上可得：存在以点为顶点的四边形是菱形，点的坐标为)或 或． 18．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点 和点 ．为第一象限的抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求面积的最大值； (3)过点作，垂足为点，求线段长的取值范围； (4)若点、分别为线段、上一点，且四边形是菱形，直接写出的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为 (3) (4) 【分析】（1）设，将点，代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）直线的解析式为，设点，则点，得出，进而根据三角形的面积公式，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解； （3）同（2）得出，证明，得出 ，根据二次函数的性质即可求解； （4）设 ，，表示出，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）抛物线与轴交于点，，，， 设，将点，代入， 得：， 解得：， ； 该抛物线的函数表达式为； （2）解：如图所示，过点作轴于点，交于点， 设直线的解析式为 ，，，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则点， ∴， 当时，面积的最大值为； （3）如图，过点作轴于点，交于点， 设直线的解析式为 ，，，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则点， 在中， ， ，轴， ， ， ， 又， ， ，即 ， ， 当时，取得最大值为， ； （4）设 ，， ， 四边形是菱形， ， ， 解得： ， 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，菱形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 19．综合与探究 如图，二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴分别交于点A(−2，0)，B(4，0)，点E是x轴正半轴上的一个动点，过点E作直线PE⊥x轴，交抛物线于点P，交直线BC于点F． (1)求二次函数的表达式． (2)当点E在线段OB上运动时（不与点O，B重合），恰有线段，求此时点P的坐标． (3)试探究：若点Q是y轴上一点，在点E运动过程中，是否存在点Q，使得以点C，F，P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为(0，2)或(0，4)或(0，-4)． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求得直线BC的表达式为，用m表示点P、E、F的坐标，根据，列方程求解即可； （3）分当FP=FC和FP=PC时，两种情况讨论，建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴分别交于点A(−2，0)，B(4，0)， ∴，解得， ∴二次函数的表达式为y=-； （2）解：令，得， ∴点C(0，4)． ∵B(4，0)，C(0，4)，设直线BC的表达式为， ∴，解得， ∴直线BC的表达式为； 设点的横坐标为，则，，． ∴， ， 当时，．解得，（舍去）． 当时，． ∴点坐标为； （3）解：由（2）得，，，C(0，4)， 当FP=FC时， ∴=， 整理得：m2-(4-2)m=0或m2-(4+2)m=0， 解得：m=0(舍去)或m=4-2或m=4+2， ∴CQ=PF=4-4或4+4， 如图①，当点Q在点C上方时，点Q(0，4)； 如图②，当点Q在点C下方时，点Q(0，-4)； ； 当FP=PC时， ∴=， 整理得：m2-2m=0， 解得：m=0(舍去)或m=2， ∴CQ=PF=2， ∴点Q(0，2)； 综上，点Q的坐标为(0，2)或(0，4)或(0，-4)． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质． 20．如图，已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C， (1)求此抛物线的解析式； (2)若点P是直线下方的抛物线上一动点（不点B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线于点D，设点P的横坐标为m； ①用含m的代数式表示线段的长． ②连接、，求的面积最大时点P的坐标； (3)设抛物线的对称轴与交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)存在，点M的坐标为或或． 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，菱形的性质等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）利用待定系数法，将点和点代入抛物线解析式，求出、的值，即可求解； （2）①先确定直线解析式，根据过点P作y轴的平行线交直线于点D，可用含m的式子表示出P和D的坐标，即可求解； ②用含m的代数式表示出的面积，得到S关于m的二次函数，即可求解； （3）先求出抛物线的对称轴，进而得到点的坐标，过点作轴于点， 得到，，根据菱形的性质，分两种情况讨论：①当为菱形的对角线时，；②当为菱形的边时，，即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过点和点， ，解得， 抛物线解析式为； （2）解：如图： ①在抛物线中，令，则，即， 设直线的解析式为，将将点、代入得： ，解得：， 直线的解析式为：， 设，则， 故用含m的代数式表示线段的长为； ②， 点是直线下方的抛物线上一动点， ， 当时，S有最大值，此时， ， 故的面积最大时点P的坐标为； （3）解：存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， ， 过点作轴于点，则，， ， ， 以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形， ①当为菱形的对角线时，此时点与点重合，， ； ②当为菱形的边时，此时， ，， 故使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形，点M的坐标为或或． 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】 21．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)设线段的长度为，请用含有的代数式表示； (3)如图，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点，使原点关于直线的对称，点恰好落在该矩形对角线所在的直线上，求出满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）利用待定系数法可得直线的解析式为，设点的横坐标为，则，，即可得出； （3）设，分两种情况：当点恰好落在该矩形对角线所在的直线上时，当点恰好落在该矩形对角线上时，当点恰好落在该矩形对角线延长线上时，分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）抛物线与轴交于点， ， 设直线的解析式为，把、代入， 得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则，， ， 点是第一象限内抛物线上的一个动点， ， ； （3）抛物线， 抛物线对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设，设抛物线对称轴交轴于点，交边于点， 则，，， 当点恰好落在该矩形对角线所在的直线上时，如图， 则垂直平分，即， ， 又四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， 解得：， ； 当点恰好落在该矩形对角线上时，如图，连接交于点， 点与点关于直线对称， 垂直平分， ， ， ， ， ， 、关于对称轴对称，即点是的中点，， 点是的中点， ， ， ， 在中，， ， 解得：舍去，， ； 当点恰好落在该矩形对角线延长线上时，如图，过点作轴于点，连接交于点， 点与点关于直线对称， 垂直平分， ，，， ，， ∽， ，即， ，， ， ， 点是的中点， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，掌握待定系数法求一次函数和二次函数解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，轴对称性质等知识是解题的关键． 22．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)动点M，N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段，上向点B，C运动，过点M作x轴的垂线交于点F，交抛物线于点H，当四边形为矩形时，求点H的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把，，代入抛物线，再利用待定系数法求解解析式即可； （2）先判断，再根据题意可得，，由，可得当时，四边形为矩形，则，再解方程即可． 【详解】（1）解：把，，代入抛物线得： ， 解得：， ∴； （2）∵， 当时，， ∴点C的坐标为，而， ∴， 根据题意，，， ∵，， ∴当时，四边形为矩形， 即， 解得：，（不合题意舍去）， 把代入得：， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，矩形的性质，一元二次方程的解法，利用矩形的性质建立方程求解是解题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于两点，直线交y轴于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)在第二象限内是否存在一点M，使得四边形为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点C作的平行线，过点A作的平行线，两条直线相交于M，根据点A，B，C的坐标判断三角形为直角三角形，再根据作图可得四边形为矩形，根据直线平移的性质可求得直线和直线的解析式，再联立方程组，解方程组即可求得点M坐标． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得： ，解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：存在． 过点C作的平行线，过点A作的平行线，两条直线相交于M，则M即为所求． 在中，令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组，解得：， ∴点M坐标为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的判定，解题的关键是判断为直角． 24．如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A、B两点，且A点的坐标为，与y轴交于点． (1)求抛物线解析式及顶点D坐标； (2)点E为抛物线上一点，且，则点E的坐标为 　 　； (3)点F为线段上任意一点，过点F作轴于点M，直线交抛物线于点N，求线段的最大值； (4)点P是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4)存在，或或或 【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可； （2）根据题意，得，然后根据二次函数的解析式，确定一元二次方程，解方程即可； （3）先确定直线的解析式为：．设，则， 则， 根据抛物线性质解答即可． （4）设，，，，故，分或或为对角线时，利用中点坐标公式解答即可． 此题属于二次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的最值，中点坐标公式，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质并能利用分类讨论思想求解点N的坐标是解答此题的关键． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：； ， 故抛物线的顶点． （2）解：， ， 解得， 故， 根据题意，得， ∵， ， 即， 则， 或， 或， 解得或无解， 故或， 故答案为：或． （3）解：设直线的解析式为， 将，代入直线解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设，则， 则， 故， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，最大，且最大值为． （4）解：存在，理由： 设，，，， 故， 当为对角线时， 由中点坐标公式得： 解得：或，， 故或； 当为对角线时， 由中点坐标公式得： ， 解得， 故； 当为对角线时， 由中点坐标公式得： ， 解得， 故； 故存在点Q，使得A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形且坐标为或或或． 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．点为线段上的一个动点（不与，重合），过点作轴的垂线，垂足为，与抛物线交于点． (1)求直线的解析式； (2)求线段长度的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在， 【分析】（1）先求出点C的坐标，再根据待定系数法求解即可； （2）设，则表示出，再根据二次函数的性质即可求解； （3）设，则有，，，分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：令，得， 即， 设直线的解析式为， 将、代入解析式得：， 解得： ∴； （2）解：设，则， ∴， ∴当时，最大，最大值为； （3）解：∵抛物线的表达式为， ∴对称轴为直线， ∵点在对称轴上， ∴设， ∵，， ∴，，， 分三种等腰情况讨论： 当时：， 解得，得； 当时：， 解得，得、； 当时：， 解得，得、． 综上，所有满足条件的坐标为：． 26．如图，抛物线（b、c为常数）分别与轴交于点、，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线的顶点，连接，点是抛物线的对称轴上的点，如果是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合—特殊三角形问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出点的坐标为，点的坐标为，再分两种情况：当时，点位于点位置，过点作于点；当时，点位于点和点位置；分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：分别将、代入中，得： ， 解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）解：令，则， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ①当时，点位于点位置，过点作于点，如图， 则点的坐标为， ， ， 点的纵坐标为， 点的坐标为； ②当时，点位于点和点位置，如图， ，，， ， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或． 27．如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点D，设点P的横坐标为m，当m为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？ (3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以P，D，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，线段的长度最大，最大值是 (3)或或或或． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求出直线的解析式为，可得点，从而得到，即可求解； （3）根据等腰三角形的定义，分五种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为m，轴， ∴点， ∴， ∵， ∴当时，线段的长度最大，最大值是， （3）解：由（1）得：点， 设抛物线的对称轴为直线l， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴可设点， 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图， 此时点Q在的垂直平分线上， ∴点Q的纵坐标为， ∴点； 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，等腰三角形的定义，勾股定理等知识，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 28．如图，直线分别与轴，轴交于，两点，点为的中点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)点是直线下方的抛物线上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)为抛物线的对称轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或． 【分析】（1）由直线解析式求出A、B坐标，然后确定C点的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式； （2）设，如图：过点D作轴，交直线于点E，再求得得出方程，解出m值即可解答 （3）先求得抛物线的对称轴直线为，如图：设结合，分和两种情况，分别利用两点间距离公式列方程求得e的值即可解答． 【详解】（1）解：直线中，当，则；当，则， ∴， ∵点为的中点， ∴，将A和C代入抛物线中， ，解得：， ∴抛物线表达式为：． （2）解：联立：，解得：或， ∴直线与抛物线交于点和， ∵点D是直线下方抛物线上的一点， 设， ∴， 如图：过点D作轴，交直线于点E， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴点D的坐标为． （3）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴直线为， 设，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴如图：当， ∴，解得：或， ∴点E的坐标为或； 如图：当， ∴，解得：或， ∴点E的坐标为或． 综上，点E的坐标为或或或． 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】 29．如图，已知抛物线与轴交于点和点，直线过点且与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为直线上一点（不与重合），作点关于轴的对称点，连接，当是直角三角形时，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，勾股定理，坐标与图形变化—轴对称： （1）先求出点B的坐标，再把A、B坐标代入二次函数解析式中求出二次函数解析式即可； （2）设，先求出C、D坐标，进而利用勾股定理求出，再分当， 当，两种情况利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时， ， 将点代入拋物线中，得：， 解得 抛物线的解析式为； （2）解：设， 在中，当时，， ∴； ∵点关于轴的对称点为， ∴． ∴， ， 如图知，， 故可知为直角三角形有两种情况： 当，有，即． 解得： 点的坐标为； 当，有，即， 解得：， 点的坐标为 综上所述，点的坐标为或 30．如图，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且对称轴l为直线． (1)求该抛物线的表达式． (2)在对称轴l上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或或或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴l为直线，即可求得答案； （2）设，根据题意分别表示出，，，然后分三种情况：①当BC为斜边时；②当PB为斜边时；③当PC为斜边时；即可求得答案． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴， 解得， ∴该抛物线的表达式为． （2）解：存在点P，使为直角三角形． 设，令， 解得，． ∴B点坐标为，， 则，，， 在中， ①当BC为斜边时，有，， 解得：或； ②当PB为斜边时，有，， 解得：； ③当PC为斜边时，有，， 解得：； ∴或或或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质和直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质、会用代数思想和勾股定理解决直角三角形的存在性问题． 31．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线关于直线对称，且经过A，C两点，与x轴交于另一点为B．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，过点P作轴于M，交于Q，求的最大值，并求此时P点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上找一点D，使是以为直角边的直角三角形，请求出点D的坐标． 【答案】(1) (2)，此时点 (3)在抛物线的对称轴上存在点D，使为直角三角形，点D的坐标为或 【分析】（1）先求得A，B，C的坐标，再利用待定系数法即可求解； （2）设点坐标为，则点的坐标为，由，即可求解； （3）分、，两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：令， 解得：， 即点A的坐标为． ∵A、B关于直线对称， ∴点B的坐标为． 令，则， ∴点C的坐标为， ∵抛物线经过点A、B、C， ∴有，解得：． 故抛物线解析式为； （2）∵轴，设点坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ∴当时，，此时点； （3）假设存在，设D点的坐标为． 由两点间的距离公式可知：，，， 为直角三角形分两种情况：①， 此时有，即：， 解得：， 此时点D的坐标为； ②， 此时有，即：， 解得：， 此时点D的坐标为； 综上可知：在抛物线的对称轴上存在点D，使为直角三角形，点D的坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、直角三角形的性质、线段长度的计算方法等，分类求解是本题解题的关键． 32．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线经过B，C两点，已知，，且．    (1)试求出点B的坐标． (2)分别求出直线和抛物线的解析式． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或或或 【分析】（1）由，，可由勾股定理求，进而得点B坐标； （2）用待定系数法即可求解函数解析式； （3）设点P坐标为，分三类讨论：①当时；②当时；③当时，分别建立勾股定理方程求解点P坐标即可． 【详解】（1） 解：∵点，即． ∵， 在中，根据勾股定理得 ， 即点B坐标为． （2） 把分别代入中， 得，解得． ∴直线解析式为； 把、、分别代入得 ，解得． ∴抛物线的解析式是． （3） 在抛物线的对称轴上存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下： ∵抛物线的解析式是， ∴抛物线对称轴为直线． 设点P坐标为． ①当时，有． ∵，，， ∴， 解得：， 故点； ②当时，有． ∵，，， ∴， 解得：， 故点； ③当时，有． ∵，，， ∴． 解得：，， ∴， ． 综上所述，使得为直角三角形的点P的坐标为或或或． 【点睛】本题以二次函数为背景，考查了勾股定理及其逆定理，待定系数法求解析式，分类讨论的数学思想，难度不大．第（3）问特别注意分类讨论思想的运用．做到不重不漏． 【题型09：二次函数的其他问题】 33．已知抛物线L：的系数满足等式． (1)若抛物线L经过点，求的值． (2)若，抛物线还经过另一点，且． ①求b的取值范围． ②记抛物线的顶点纵坐标为，求的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了求二次函数的最值，求抛物线的对称轴，根据二次函数的性质求字母参数的范围，解题关键是掌握二次函数的性质的进行求解． （1）先抛物线L经过点，得到关于待定系数的关系式，再结合系数满足等式，求出的值； （2）①先求出点的坐标，再求出抛物线的对称轴，根据，求得的取值范围． ②先根据抛物线的顶点纵标为，得出，根据，得到，再根据，得到，从而可用表示出，然后可得当时，取最小值，求出的最小值即可． 【详解】解：（1）∵抛物线L经过点， ∴当时，， ， ， ． （2）①∵， ∴， ∴抛物线经过， 抛物线经过， ∴抛物线的对称轴为． ． 的取值范围为． ②． ． ． 由①知， ∴当时，取最小值． 的最小值为． 34．在平面直角坐标系中，抛物线，与y轴交于点且． (1)求b的值； (2)若该抛物线的顶点在直线上，求此时抛物线的解析式； (3)当抛物线经过时，对于抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有．求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】（1）利用轴上点横坐标为0，代入抛物线解析式建立方程求解，再结合舍去不符合的解． （2）将求得的代入解析式，写出对称轴并求出顶点纵坐标，根据顶点在直线上列方程求出，进而得到抛物线解析式． （3）先写出含参数的抛物线解析式，结合开口方向、对称轴与自变量范围的位置分类讨论，保证到之间图象上所有点纵坐标大于或等于，确定的取值范围． 【详解】（1）解： 抛物线交轴于， 将，代入解析式，得 ， ， 解得或． 又， ． （2）解：把代入抛物线解析式，得 ． 对称轴为直线． 把代入解析式， 顶点纵坐标． 顶点在直线上， ， 解得． 抛物线解析式为． （3）解：由（1）得，抛物线解析式为，对称轴是直线． 由题意：当时，恒成立． 点已经满足，只需保证区间内其余点函数值不小于． ① 当，开口向上，，对称轴在轴左侧； 在范围内，随增大而增大，最小值在处，，满足条件，故都符合． ② 当，开口向下，对称轴； 若对称轴落在区间内，顶点是最高点，两端更低，只要处的函数值； 若对称轴在，在上随增大而增大，最小值依然是处的，同样满足． 将代入， ， ， ． 结合，得． 综上，的取值范围是且． 35．如图，点在抛物线上，且在的对称轴右侧． (1)写出的对称轴和的最大值，并求的值； (2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线，的最大值为，的值为； (2)点移动的最短路程为． 【分析】由抛物线，从而求得抛物线的对称轴为直线，的最大值为，再把点代入解析式即可求出的值； 由得，抛物线，又所在抛物线对应的函数为，则抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位得到抛物线，从而得出点的对应点坐标为，再由两点之间线段最短即可求出点移动的最短路程． 【详解】（1）解：由抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴或， ∵在抛物线的对称轴右侧， ∴， ∴， 综上可得：抛物线的对称轴为直线，的最大值为，的值为； （2）解：由得，抛物线，又所在抛物线对应的函数为， ∴抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位得到抛物线，如图， 由得， ∴， ∴点的对应点坐标为， ∴点移动的最短路程为． 36．将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图实线所示． (1)函数图象与x轴的交点坐标为______、______． (2)当时，则y的取值范围为______． (3)若直线与函数图象有4个不同的交点，则t的取值范围为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解方程，求解即可． （2）根据题意，确定新抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为，然后根据函数的增减性解答即可． （3）根据函数的最小值，结合数形结合思想，解答即可． 【详解】（1）解：令，得， 解方程，得， 故函数图象与x轴的交点坐标为． （2）解：根据题意，得， 抛物线的对称轴为直线，函数的顶点坐标为， 二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后的顶点坐标为， 新抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为，且离对称轴的距离越大，函数值就越大； 在的范围内， 函数有最小值，且最小值为， ， 当时，函数取得最大值，且最大值为， y的取值范围为． （3）解：根据题意，新抛物线的解析式为， 当时，直线与函数有三个交点； 当时，直线与函数有四个交点； 故直线与函数图象有4个不同的交点，则t的取值范围为． 【题型10：二次函数种的新定义问题】 37．新定义：我们把二次函数与二次函数（其中，且a，b，c均为常数）称之为“相关二次函数”．已知二次函数的图像与轴交于点．二次函数的“相关二次函数”为． (1)的值为___________，的解析式为___________； (2)当时，二次函数上的点与二次函数上的点之间的距离为5，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）将代入得到关于m的方程求解即可；根据“相关二次函数”的定义写出的解析式即可； （2）先分别用t表示点P、点Q的坐标，再根据两点间距离为5列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于点， ∴，即，解得：； ∴二次函数， ∴二次函数的“相关二次函数”为． （2）解：由（1）可得，， ∴当时，，， ∵点与点之间的距离为5， ∴，即，解得：或． 38．在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新抛物线． (1)直接写出新抛物线的解析式： ． (2)直线（）与新抛物线交于点，与原抛物线交于点，当线段时，求的值． (3)点在原抛物线上，点在新抛物线上，若且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）根据题意可得点，点，从而得到，再由，即可求出m的值； （3）根据题意可得，，从而得到，再由二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为； （2）解：直线（）与新抛物线交于点，与原抛物线交于点， ∴点，点， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）； （3）解：∵点在原抛物线上，， ∴， ∵点在新抛物线上， ∴， ∴， 即， ∵， ∴时，h取得最小值，最小值为， ∵，且， ∴当时，此时h取得最大值，最大值为17， ∴h的取值范围为． 39．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，且点A在B点左侧，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设射线与直线交于点N，求的最大值，及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点B，请直接写出新抛物线的函数表达式． 【答案】(1) (2)的最大值为，点P的坐标为 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质是解题的关键． （1）根据抛物线，经过点，，后利用待定系数法确定解析式即可． （2）过点P作交直线于点Q．设点，则点．根据平行线证明，列出比例式解答即可． （3）设平移的距离为n个单位长度，得到，待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】（1）解：∵抛物线，经过点，， ∴， 解得 故抛物线的解析式为． （2）解：过点P作交直线于点Q． 设点，则点． ∵直线与轴交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ． ∵，且， ∴时，的值最大，最大值为． 把代入，得． ∴点P的坐标为． （3）解：∵直线与轴交于点D，与轴交于点E， ∴， ∴， ∴沿着方向平移是一个先向下，再向右平移同样的单位长度的平移变换，设平移的距离为n个单位长度， 由， ∴设，把点代入得：， 解得（舍去）或， ∴． 40．已知二次函数的图像经过点． (1)求m的值； (2)当时，求y的取值范围； (3)将该函数的图像沿着x轴向右平移得到一个新函数的图像，当时，新函数的最大值是12，请直接写出平移的距离． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值等知识点，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）将点代入求解即可； （2）依据题意，由（1）可得二次函数为，从而当时，y取最小值为，结合当时，；当时，，然后判断即可解答； （3）依据题意，由二次函数为，从而可设向右平移后得到的新函数为，故新抛物线的对称轴是直线，进而分当时和当时两种情形解答即可． 【详解】（1）解：由题意：将点代入可得： ，解得：． （2）解：由（1）可得二次函数为， ∴当时，y取最小值为． 又∵当时，；当时，， ∴当时，y的取值范围为． （3）解：由题意，∵二次函数为， ∴可设向右平移后得到的新函数为． ∴新抛物线的对称轴是直线， ①当时，即， 又∵若当时，，则或（不合题意，舍去）； 若当时，，则（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）， ∴． ②当时，即， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴当时，，则或，均不合题意，舍去． 综上，． 答：平移的距离为3． 【题型11：二次函数与相似三角形存在性问题】 41．如图，以为顶点的抛物线交x轴于，两点，交轴于点，直线的解析式为． (1)抛物线的解析式为______； (2)在轴上是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】（1）求出点坐标为，点坐标为利用待定系数法求抛物线解析式即可． （2）分类讨论点的坐标，根据三角形相似对应边成比例计算边长，即可求出点坐标． 【详解】（1）解：∵直线的解析式为， ∴当时，，当时，， ∴点坐标为，点坐标为， ∵抛物线经过点和点， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：存在点使得以，，为顶点的三角形与相似， 由（1）可知， ∴， ∴点的坐标为， ∵点坐标为，点坐标为， ∴，，， ，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， 如解图，连接， 把代入， 解得或， ∴点的坐标为， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当点和点重合时， ∴点的坐标为． 过点作，交轴于点，如图， 则为直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ，，， ∴， 解得， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为． 综上所述，当点的坐标为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 42．如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点．连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点．交于点，于点，求线段的最大值； (3)如图2，若为抛物线上一点，直线与线段交于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的横坐标为或 【分析】（1）把和的坐标代入抛物线解析求出a和b即可求解； （2）求出直线的解析式为，设，则，进而求得的表达式，根据二次函数的性质，即可得出答案； （3）分两种情况，①若，②若，由相似三角形的性质可求出的长，求出点坐标，联立直线和抛物线的解析式可求出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点， ∴ ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴时，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ， ∴， ∴直线的解析式为， 设， 则， 则 ∵， ∴时，有最大值， ∴的最大值为． （3）解：∵，，， ∴，，， 若以为顶点的三角形与相似，可分两种情况： ①若， ∴， ∴， ∴， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴ ， ∴， ②若， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理的解析式为， ∴ ， ∴， 综上所述，点Q的坐标为点Q的横坐标为或． 【点睛】本题是二次函数压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积计算、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握二次函数图象和性质，相似三角形的性质等相关知识是解题关键． 43．抛物线分别与x轴、y轴交于点A、点、点，连接，P是抛物线上一点．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图，设点P的横坐标是． ①求四边形的面积； ②作直线，交于点D，求证：点D是线段的中点； (3)若与互为余角，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①15    ②证明：过点C作轴，交直线于点E． 设直线的函数解析式为，由 题意得：，解得 ∴直线的函数解析式为． 在中，当时，． ∴点． ∴． ∵轴， ∴． ∴． ∴，即点D是线段的中点． (3)或 【分析】本题考查二次函数与几何图形 的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，利用相似三角形的性质和分类讨论思想求解是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得点P和点A坐标，①连接，利用坐标与图形以及三角形的面积公式求解即可；②过点C作轴，交直线于点E，先利用待定系数法求得直线的函数解析式为，进而求得点．证明，利用相似三角形的性质得到，可得结论； （3）过点B作于点F，先由题意求得，．过点P作轴于点G，设点，则，，根据余角性质得到，证明得到，即，然后分情况解方程即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：，解得：， ∴抛物线的函数解析式是； （2）解：在中，当时，． ∴点． 由解得，． ∴点．      ①连接， 则； ②略 （3）解：由题意知：，．过点B作于点F，则，．    过点P作轴于点G，则， 设点，则，， 当与互为余角时，则，又， ∴，又， ∴, ∴，即， ∴，即． 当时，解得：（舍去），． 这时点P的坐标是． 当时，解得：（舍去），． 这时点P的坐标是． 综上所述，点P的坐标是或． 44．如图所示，抛物线的图象与x轴交于点与点B，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点，直线l为对称轴． (1)求抛物线和直线的表达式，并求出点D的坐标； (2)如图所示，若点M是直线上方抛物线上一动点，连接，交于点H，过点M作x轴的平行线，交直线于点G，设点M的横坐标为m． ①求用含m的代数式表示线段的长； ②求的最大值． 【答案】(1)，， (2)①，② 【分析】（1）用待定系数法即可求出抛物线解析式，将解析式转化为顶点式，可得顶点坐标，利用抛物线解析式求出点B的坐标，利用待定系数法即可求出直线的表达式； （2）①设，代入直线：，求得，即点G的坐标为，即可求解②证明，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得． ∴抛物线的表达式为，即， ∴顶点D的坐标为，对称轴为直线． ∵A，B两点关于直线对称， ∴点B的坐标为． 设直线的表达式为，且， ∴，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：（2）①设， 把代入， 得， ∴点G的坐标为， ∴． ②∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， 当时，有最大值， 的最大值为． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，三角形相似的判定与性质，一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法求解析式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $