专题04 等可能条件下的概率（考点归纳+知识梳理+真题训练）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

专题04 等可能条件下的概率 【考点1 概率的意义理解】 【考点2 根据概率公式计算】 【考点3 已知概率求数量】 【考点4 几何概率】 【考点5 列表法或树状图法求概率】 【考点6 游戏的公平性】 知识点1：概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 2.求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。 （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 【考点1 概率的意义理解】 1．（2025·贵州·模拟预测）已知某种彩票的中奖概率为，则下列说法正确的是（   ） A．买1张这种彩票，不可能中奖 B．买200张这种彩票，可能有2张中奖 C．买100张这种彩票，一定有1张中奖 D．若100人每人买1 张这种彩票，一定会有1 人中奖 2．（24-25九年级上·湖北荆州·期末）下列说法正确的是（   ） A．“明天下雨的概率为”，意味着明天有的时间下雨 B．若抛掷图钉钉尖向上的概率为，则抛掷次图钉，钉尖向上的次数为次 C．经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件 D．汽车累积行驶没有出现故障，是必然事件 3．（2025八年级下·全国·专题练习）下列短语所反映的事件中，发生概率最小的是（   ） A．水滴石穿 B．旭日东升 C．守株待兔 D．水中捞月 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）气象预报员报道：“本市明天降雨的概率是．”这句话的意思是（    ） A．明天的时间要下雨 B．明天一定会下雨 C．明天 的时间不下雨 D．明天下雨的可能性是，但也有可能不下雨 【考点2 根据概率公式计算】 1．（2025·福建厦门·模拟预测）不透明的袋子中有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球，这个球是红球的概率是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·湖北·模拟预测）有四张背面完全相同的贺卡，正面分别画了幻方，弦图，漏壶，筒车，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，恰好是弦图卡片的概率是 ． 3．（2025·青海西宁·二模）从、0.2、、、0.3、这6个数中任意选取一个数，那么取到的数是分数的概率是 ． 4．（2025·湖南·模拟预测）从1，2，3中随机抽取一个数，抽到偶数的概率是 ． 5．（2025·江苏徐州·三模）在一个不透明的袋子中装有7个除颜色外均相同的小球，其中1个红球，2个黄球，4个白球，从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率 ． 6．（2025·安徽·模拟预测）班级书柜上放了本《三国演义》、本《西游记》和本《水浒传》，明明随机抽取一本书是《西游记》的概率是 ． 7.（24-25九年级下·湖北黄石·阶段练习）在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中有个红球，个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个黄球的概率为 ． 【考点3 已知概率求数量】 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）在一个不透明的纸箱中装30个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则口袋中白球最可能为（    ） A．15个 B．20个 C．28个 D．32个 2．（2025·贵州贵阳·一模）已知一个不透明的箱子里有红球、黑球共六个，且小球除颜色外其余完全相同，若小明摸到红球的概率为，则黑球的数量为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·四川资阳·二模）在一个不透明的布袋中装有60个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则布袋中黑球的个数可能有 个． 4．（2025·天津南开·二模）在一个不透明的袋子中，装有8个红球和一些白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出一个球，取出红球的概率为，则袋中白球的个数是 ． 5．（2025·河南平顶山·三模）在一个不透明的箱子中装有除颜色外其他都相同的6个白球和一些红球，现搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．在200次摸球后统计发现，摸到白球的次数是60次，那么袋中的红球约有 个． 6．（2025·江苏无锡·二模）某兴趣小组对二维码开展数学实验．如图，二维码区域的大正方形边长为2，通过计算机随机掷点的大量重复实验，发现“掷点落在黑色区域的频率”在附近摆动，由此可以估计黑色部分的面积约为 ． 【考点4 几何概率】 1．（2025·广东深圳·三模）如图是由9个全等的小正方形组成的图案，假设可以在图案中随意取一个点（不包括边界线），那么这个点取在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D．1 2．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，小明向由8个完全相同的小正方形组成的靶盘中随意投一枚飞镖，则飞镖落在阴影三角形内的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图是一种少数民族刺绣“双正方形”图案，里面小正方形的四个顶点分别在外面大正方形各边的中点上，如果一个小球在该图案上自由滚动，停留在图案上每一个位置是随机的，那么小球停留在四个角上的三角形区域的概率约为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一个均匀的转盘被等分成个相同的扇形，自由转动这个转盘，当转盘停止时，指针落在阴影部分区域的概率是 ． 5．（2025·江苏·一模）如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是 ． 【考点5 列表法或树状图法求概率】 1．（24-25九年级下·河北廊坊·期中）如图，有三张硬纸片，背面相同，正面分别涂成两红一绿，现把三张硬纸片背面朝上，放在一起，洗匀后，从中任意抽取两张，其中一张是红牌和一张是绿牌的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽合肥·三模）安徽省新高考“”选科模式是指：语文、数学、外语3门学科为必选；历史和物理2门学科中选择1科；思想政治、地理、化学、生物学4门学科中选择2科．若某同学已选“历史”学科，再从思想政治、地理、化学、生物学4门学科中随机选择2科，则恰好选有“地理”学科的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽合肥·三模）如图，五一期间某景区有三个入口，两个出口，小红任选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从或入口进入，从出口离开的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江台州·二模）十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票表达对中国新年的祝福．甲同学把“龙”、“蛇”、“虎”3张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让乙同学随机抽取2张，那么乙同学随机抽到的2张邮票恰好是“龙”和“蛇”的概率是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁·模拟预测）如图，有张分别印有《西游记》人物图案的卡片：．唐僧，．孙悟空，．猪八戒，．沙僧．现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出张卡片，则两次取出的两张卡片中至少有张图案为“．唐僧”的概率是 ． 6．（2025·江西南昌·模拟预测）为落实“立德树人”“健康第一”的教育理念，某校积极开展“阳光大课间”活动，并开设了击剑、足球、篮球、跳绳4种运动项目．甲、乙两名同学准备从这4种项目中，只选择其中的1种项目进行课间活动． (1)事件“甲、乙两名同学选择的运动项目都是足球”是___________事件；（填“必然”或“不可能”或“随机”） (2)请用画树状图法或列表法求甲、乙两名同学选择的运动项目是同一种的概率． 7．（2025·陕西西安·模拟预测）旅客在铁路12306软件上购买车票时，系统是随机分配座位的，高铁同一排座位分布如图所示，同一排中的座位编号分别为．王涛和李明计划利用周末时间去延安革命圣地参观学习，需购买从西安北到延安的高铁车票．假设系统已将两人的位置分配到同一排，并且同一排分配到各个座位的机会是均等的． (1)王涛分配到靠窗座位的概率是 ； (2)请利用列表或画树状图的方法，求出系统分配给王涛和李明是相邻座位（过道两侧座位不算相邻）的概率． 【考点6 游戏的公平性】 1．（2025·吉林白山·模拟预测）如图是一副扑克牌中的3张牌，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．爸爸先从中抽出一张，榕榕从剩余的2张牌中也抽出一张，比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．如果两个人的获胜概率相同，我们说游戏是公平的．请借助树状图或列表法来判断这个游戏是否公平． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）小希和小辰做转盘游戏，规则如下：如图，有甲、乙两个标有数字的转盘，同时转动甲、乙两个转盘，当转盘停止后，两个指针所指区域的数字之和为正数时，小希胜；否则小辰胜（若指针恰好指在分割线上，则重转，直到指针指向某一区域为止）． (1)小希转动一次甲转盘，指针指向的数字是偶数的概率是__________． (2)请用画树状图或列表的方法说明这个游戏规则对双方是否公平． 3．（2025·贵州铜仁·模拟预测）行酒令是汉族民间风俗之一，是一种有中国特色的酒文化，大家轮流说诗词、联语或其他游戏，明朝唐之淳在《忆吴越风景》中写道“旋折藕花行酒令，细书蕉叶送诗筒”．行酒令中有一种游戏称为“虎棒鸡虫令”．“二人相对，以筷子相声，同时口喊虎、喊棒、喊鸡、减虫、以棒打虎、虎吃鸡、鸡吃虫、虫嗑棒论胜负，负者饮．若棒与鸡，虎与虫同时被喊出或两人喊出同一物，则不分胜负，继续喊．”依据上述规则，张三和李四同时随机喊出其中一物，两人只喊一次．（提示：可以用分别表示“老虎”“棒子”“鸡”“虫”） (1)若张三已经决定喊“虎”，那么李四获胜的概率为___________； (2)判断这个游戏是否公平，并说明理由． 4．（24-25九年级上·河北保定·期末）学校决定从嘉嘉和淇淇两位同学中选一人去西伯坡纪念馆参观学习，采取转转盘游戏的方式决定谁去，游戏规则是：如图，同时转动甲、乙两个转盘，当转盘停止后，两个指针所指区域的数字之和为1时，嘉嘉去；数字之和为0时，淇淇去，其他情况视为平局． (1)转动甲转盘，则转盘停止时，指针指向4的概率是多少？ (2)学校规定的游戏规则对嘉嘉和淇淇公平吗？请说明理由． 5．（22-23七年级下·辽宁丹东·期末）在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与． (1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是__________事件（填“随机”、“必然”、“不可能”）； (2)若袋中共有24个球，其中红球3个，黄球6个，黑球9个，则1次抽奖机会中，抽中一等奖的概率为__________；抽中二等奖的概率为___________；中奖的概率为____________； (3)现有足够多的球，请你从中选15个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 等可能条件下的概率 【考点1 概率的意义理解】 【考点2 根据概率公式计算】 【考点3 已知概率求数量】 【考点4 几何概率】 【考点5 列表法或树状图法求概率】 【考点6 游戏的公平性】 知识点1：概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 2.求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。 （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 【考点1 概率的意义理解】 1．（2025·贵州·模拟预测）已知某种彩票的中奖概率为，则下列说法正确的是（   ） A．买1张这种彩票，不可能中奖 B．买200张这种彩票，可能有2张中奖 C．买100张这种彩票，一定有1张中奖 D．若100人每人买1 张这种彩票，一定会有1 人中奖 【答案】B 【分析】本题考查了概率的意义，游戏公平性，掌握概率的意义是解题的关键． 根据概率的意义，反映了事件发生的机会的大小，不一定会发生，据此分析即可． 【详解】解：A、买1张这种彩票，也可能中奖，故此选项不符合题意； B、买200张这种彩票，可能有2张中奖，可能会发生，故此选项符合题意； C、买100张这种彩票，不一定有1张中奖，故此选项不符合题意； D、100人每人买1张这种彩票，不一定会有一人中奖，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖北荆州·期末）下列说法正确的是（   ） A．“明天下雨的概率为”，意味着明天有的时间下雨 B．若抛掷图钉钉尖向上的概率为，则抛掷次图钉，钉尖向上的次数为次 C．经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件 D．汽车累积行驶没有出现故障，是必然事件 【答案】C 【分析】本题主要考查概率的意义、事件的分类等知识点，掌握概率的意义是解题的关键． 根据概率的意义、事件的分类逐项判断即可解答． 【详解】解：A、“明天下雨的概率为”是说明天大约有可能下雨，原说法错误，不符合题意； B、抛掷图钉钉尖向上的概率为，则抛掷100次图钉，钉尖向上的次数可能为40次，原说法错误，不符合题意； C、经过有信号灯的十字路口时，遇到红灯是随机事件，原说法正确，符合题意； D、汽车累积行驶没有出现故障，是随机事件，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）下列短语所反映的事件中，发生概率最小的是（   ） A．水滴石穿 B．旭日东升 C．守株待兔 D．水中捞月 【答案】D 【分析】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案． 【详解】解：A．水滴石穿，是随机事件，发生的可能性大小在0至1之间； B．旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1； C．守株待兔，是随机事件，发生的可能性大小在0至1之间； D．水中捞月，是不可能事件，发生的可能性为0． ∴发生概率最小的是水中捞月， 故选：D． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）气象预报员报道：“本市明天降雨的概率是．”这句话的意思是（    ） A．明天的时间要下雨 B．明天一定会下雨 C．明天 的时间不下雨 D．明天下雨的可能性是，但也有可能不下雨 【答案】D 【分析】本题考查概率的意义，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．概率表示随机事件发生的可能性的大小． 由题意根据概率表示某事情发生的可能性的大小可得答案． 【详解】解：根据概率表示某事情发生的可能性的大小，分析可得： 本市明天降雨的概率是，这句话的意思是明天下雨的可能性是，但也有可能不下雨． 故选：D． 【考点2 根据概率公式计算】 1．（2025·福建厦门·模拟预测）不透明的袋子中有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球，这个球是红球的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了概率公式，根据不透明的袋子中有2个红球，3个黑球，得出总球数为，结合概率公式进行计算，即可作答． 【详解】解：∵不透明的袋子中有2个红球，3个黑球， ∴从袋子中随机取出一个红球的概率是， 故选：A 2．（2025·湖北·模拟预测）有四张背面完全相同的贺卡，正面分别画了幻方，弦图，漏壶，筒车，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，恰好是弦图卡片的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查概率公式和轴对称图形．将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张共有4种等可能结果，其中恰好是弦图卡片的有1种结果，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张共有4种等可能结果，其中恰好是弦图卡片的有1种结果， ∴恰好是弦图卡片的概率是． 故答案为： 3．（2025·青海西宁·二模）从、0.2、、、0.3、这6个数中任意选取一个数，那么取到的数是分数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了概率的计算，实数的分类．先找出分数的个数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：∵在、0.2、、、0.3、这6中，分数有共3个， ∴取到的数是分数的概率是. 故答案为：． 4．（2025·湖南·模拟预测）从1，2，3中随机抽取一个数，抽到偶数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键； 概率等于所求情况数与总情况数之比，由此计算即可得解． 【详解】解：因为这三个数中只有2是偶数， 所以抽到偶数的概率为， 故答案为：． 5．（2025·江苏徐州·三模）在一个不透明的袋子中装有7个除颜色外均相同的小球，其中1个红球，2个黄球，4个白球，从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率 ． 【答案】 【分析】根据简单概率公式计算概率即可． 本题考查了简单概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：一共有7种等可能性，其中摸到黄球的可能性有2种， 故摸到黄球的概率是． 故答案为：． 6．（2025·安徽·模拟预测）班级书柜上放了本《三国演义》、本《西游记》和本《水浒传》，明明随机抽取一本书是《西游记》的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 利用概率公式解答即可． 【详解】解：由题意，共有种等可能结果，其中符合题意的情况有种， 明明随机抽取一本书是《西游记》的概率是， 故答案为：． 7.（24-25九年级下·湖北黄石·阶段练习）在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中有个红球，个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个黄球的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，已知概率求数量，设黄球的个数为x个，根据概率计算公式结合篮球的概率建立方程求出x的值，进而求出摸出黄球的概率即可． 【详解】解：设黄球的个数为x个， 由题意得，， 解得（经检验，是原方程的根且符合题意）， ∴黄球的个数为3个， ∴随机摸出一个黄球的概率为， 故答案为：． 【考点3 已知概率求数量】 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）在一个不透明的纸箱中装30个黑球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则口袋中白球最可能为（    ） A．15个 B．20个 C．28个 D．32个 【答案】B 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题关键．由摸到白球的频率稳定在左右，估计摸到白球的概率为，设袋中白球的个数为x，通过列方程进而求出白球个数即可． 【详解】解：设袋中白球的个数为x，根据题意，得： ， 解得， 经检验是分式方程的解， 所以口袋中白球可能有20个， 故选：B． 2．（2025·贵州贵阳·一模）已知一个不透明的箱子里有红球、黑球共六个，且小球除颜色外其余完全相同，若小明摸到红球的概率为，则黑球的数量为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查根据概率求数量，根据概率=所求情况数与总情况数之比求解即可． 【详解】解：红球数量为个， ∴黑球的数量为个． 故选：B． 3．（2025·四川资阳·二模）在一个不透明的布袋中装有60个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次摸出一个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则布袋中黑球的个数可能有 个． 【答案】90 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，用频率估计概率，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，则摸到黑球的概率在左右，设布袋中黑球的个数为m个，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右， ∴摸到黑球的概率在左右， 设布袋中黑球的个数为m个，则， 解得， 经检验，是原方程的解， 且符合题意， ∴布袋中黑球的个数可能有90个， 故答案为：90． 4．（2025·天津南开·二模）在一个不透明的袋子中，装有8个红球和一些白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出一个球，取出红球的概率为，则袋中白球的个数是 ． 【答案】8 【分析】此题考查了概率公式的应用．设有白球x个，根据概率公式得：，解得x的值即可． 【详解】解：设有白球x个， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 故答案为：8． 5．（2025·河南平顶山·三模）在一个不透明的箱子中装有除颜色外其他都相同的6个白球和一些红球，现搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．在200次摸球后统计发现，摸到白球的次数是60次，那么袋中的红球约有 个． 【答案】14 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，先根据白球的信息求出总球数，再减去白球数即可得到红球的数量． 【详解】解：由题意可得，袋中约有红球： （个）， 故答案为：14． 6．（2025·江苏无锡·二模）某兴趣小组对二维码开展数学实验．如图，二维码区域的大正方形边长为2，通过计算机随机掷点的大量重复实验，发现“掷点落在黑色区域的频率”在附近摆动，由此可以估计黑色部分的面积约为 ． 【答案】 【分析】本题考查了频率估算概率，掌握概率的计算是关键． 根据题意得到正方形的面积为，由频率估算概率的计算方法即可求解． 【详解】解：二维码区域的大正方形边长为2， ∴正方形的面积为， ∵“掷点落在黑色区域的频率”在附近摆动， ∴黑色区域的面积为， 故答案为： ． 【考点4 几何概率】 1．（2025·广东深圳·三模）如图是由9个全等的小正方形组成的图案，假设可以在图案中随意取一个点（不包括边界线），那么这个点取在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】设阴影部分的面积是，得出整个图形的面积是，再根据几何概率的求法即可得出答案． 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 【详解】解：设阴影部分的面积是，则整个图形的面积是， 则这个点取在阴影部分的概率是． 故选：B． 2．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，小明向由8个完全相同的小正方形组成的靶盘中随意投一枚飞镖，则飞镖落在阴影三角形内的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查几何概率，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 求出阴影部分的面积与整个网格的面积之比，即可得出结果． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则：， 故选D． 3．（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图是一种少数民族刺绣“双正方形”图案，里面小正方形的四个顶点分别在外面大正方形各边的中点上，如果一个小球在该图案上自由滚动，停留在图案上每一个位置是随机的，那么小球停留在四个角上的三角形区域的概率约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了几何概率，只需要求出三角形区域的面积占外面大正方形面积的比值即可得到答案． 【详解】解：设外面大正方形的边长为，则四个等腰直角三角形的边长为， ∵， ∴小球停留在四个角上的三角形区域的概率约为， 故选：D． 4．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一个均匀的转盘被等分成个相同的扇形，自由转动这个转盘，当转盘停止时，指针落在阴影部分区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率的计算，掌握概率公式是关键． 根据题意，运用概率公式计算即可． 【详解】解：一个均匀的转盘被等分成个相同的扇形，阴影部分区域有一份， ∴指针落在阴影部分区域的概率是， 故答案为： ． 5．（2025·江苏·一模）如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率的求法，飞镖击中阴影部分的概率等于阴影部分面积与正方形总面积之比，掌握几何概率的求法是解题的关键． 【详解】解：，， ∴飞镖击中阴影部分的概率是， 故答案为：． 【考点5 列表法或树状图法求概率】 1．（24-25九年级下·河北廊坊·期中）如图，有三张硬纸片，背面相同，正面分别涂成两红一绿，现把三张硬纸片背面朝上，放在一起，洗匀后，从中任意抽取两张，其中一张是红牌和一张是绿牌的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片一张是红牌和一张是绿牌的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 红 红 绿 红 （红，红） （红，绿） 红 （红，红） （红，绿） 绿 （绿，红） （绿，红） 共有6种等可能的结果，其中抽取的两张卡片一张是红牌和一张是绿牌的结果有4种， ∴一张是红牌和一张是绿牌的概率是． 故选：D． 2．（2025·安徽合肥·三模）安徽省新高考“”选科模式是指：语文、数学、外语3门学科为必选；历史和物理2门学科中选择1科；思想政治、地理、化学、生物学4门学科中选择2科．若某同学已选“历史”学科，再从思想政治、地理、化学、生物学4门学科中随机选择2科，则恰好选有“地理”学科的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画树状图求出所有出现等可能的结果有种，所选中门学科恰好有“地理”的结果有种，根据概率公式即可求解． 【详解】解：把思想政治、化学、地理、生物分别记为A，B，C，D，画树状图如图所示： 由上图可知，所有出现等可能的结果有种，所选中门学科恰好有“地理”的结果有种， ∴选中门学科恰好有“地理”的概率为， 故答案为：D． 3．（2025·安徽合肥·三模）如图，五一期间某景区有三个入口，两个出口，小红任选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从或入口进入，从出口离开的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到她选择从或入口进入，从出口离开的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树形图如图得： 由树形图可知所有可能的结果有6种，其中她选择从或入口进入，从出口离开的结果数有2种， ∴她选择从或入口进入，从出口离开的概率为， 故选：B． 4．（2025·浙江台州·二模）十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票表达对中国新年的祝福．甲同学把“龙”、“蛇”、“虎”3张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让乙同学随机抽取2张，那么乙同学随机抽到的2张邮票恰好是“龙”和“蛇”的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用树状图求概率，由树状图可知，共有种等可能的情况，其中抽到的2张邮票恰好是“龙”和“蛇”的有种情况，所以抽到的2张邮票恰好是“龙”和“蛇”的概率是． 【详解】解：如下图所示， 由树状图可知，共有种等可能的情况，其中抽到的2张邮票恰好是“龙”和“蛇”的有种情况， 抽到的2张邮票恰好是“龙”和“蛇”的概率是． 故选：B． 5．（2025·辽宁·模拟预测）如图，有张分别印有《西游记》人物图案的卡片：．唐僧，．孙悟空，．猪八戒，．沙僧．现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出张卡片，则两次取出的两张卡片中至少有张图案为“．唐僧”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了画树状图求概率，画出树状图，通过图可知一共有种等可能结果，两次取出的两张卡片中至少有张图案为“．唐僧”有种，然后用概率公式即可求解，掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：画树状图如图， 一共有种等可能结果，两次取出的两张卡片中至少有张图案为“．唐僧”有种， ∴两次取出的两张卡片中至少有张图案为“．唐僧”的概率是， 故答案为：． 6．（2025·江西南昌·模拟预测）为落实“立德树人”“健康第一”的教育理念，某校积极开展“阳光大课间”活动，并开设了击剑、足球、篮球、跳绳4种运动项目．甲、乙两名同学准备从这4种项目中，只选择其中的1种项目进行课间活动． (1)事件“甲、乙两名同学选择的运动项目都是足球”是___________事件；（填“必然”或“不可能”或“随机”） (2)请用画树状图法或列表法求甲、乙两名同学选择的运动项目是同一种的概率． 【答案】(1)随机 (2) 【分析】本题主要考查了随机事件的判断以及古典概型概率的计算．熟练掌握随机事件的定义和古典概型概率公式是解题的关键．在判断事件类型时，要依据事件发生的可能性大小；在计算概率时，要准确列举出所有可能的情况和事件发生的情况． （1）根据必然事件、不可能事件和随机事件的定义来判断“甲、乙两名同学选择的运动项目都是足球”这一事件的类型．必然事件是一定会发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件． （2）采用列表法或画树状图法来列举出甲、乙两名同学选择运动项目的所有可能情况，然后找出甲、乙两名同学选择同一种运动项目的情况数，最后根据古典概型概率公式（其中是所有可能的情况数，是事件发生的情况数）计算甲、乙两名同学选择的运动项目是同一种的概率． 【详解】（1）解：∵甲、乙两名同学各自独立地从击剑、足球、篮球、跳绳种运动项目中选种，甲选足球的概率是，乙选足球的概率也是，他们同时选足球是有可能发生但不是一定会发生的， ∴事件“甲、乙两名同学选择的运动项目都是足球”是随机事件． 故答案为：随机； （2）解：列表如下： 乙\甲 击剑 足球 篮球 跳绳 击剑 （击剑，击剑） （足球，击剑） （篮球，击剑） （跳绳，击剑） 足球 （击剑，足球） （足球，足球） （篮球，足球） （跳绳，足球） 篮球 （击剑，篮球） （足球，篮球） （篮球，篮球） （跳绳，篮球） 跳绳 （击剑，跳绳） （足球，跳绳） （篮球，跳绳） （跳绳，跳绳） 由上表可知，共有种等可能情况，其中甲、乙两名同学选择同种运动项目的情况有种， ∴（甲、乙两名同学选择的运动项目是同一种）． 7．（2025·陕西西安·模拟预测）旅客在铁路12306软件上购买车票时，系统是随机分配座位的，高铁同一排座位分布如图所示，同一排中的座位编号分别为．王涛和李明计划利用周末时间去延安革命圣地参观学习，需购买从西安北到延安的高铁车票．假设系统已将两人的位置分配到同一排，并且同一排分配到各个座位的机会是均等的． (1)王涛分配到靠窗座位的概率是 ； (2)请利用列表或画树状图的方法，求出系统分配给王涛和李明是相邻座位（过道两侧座位不算相邻）的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了概率公式、列表法与树状图法等知识点，熟练掌握树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）一排中的座位编号为A，B，C，D，F，然后根据概率的定义即可解答； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵同一排中的座位编号分别为， ∴王涛分配到靠窗座位的概率是， 故答案为：； （2）解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等情况数，其中相邻座位的情况数有6种， 则系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率是． 【考点6 游戏的公平性】 1．（2025·吉林白山·模拟预测）如图是一副扑克牌中的3张牌，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．爸爸先从中抽出一张，榕榕从剩余的2张牌中也抽出一张，比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．如果两个人的获胜概率相同，我们说游戏是公平的．请借助树状图或列表法来判断这个游戏是否公平． 【答案】公平 【分析】本题考查树状图法求概率，利用概率解决游戏公平性，根据题意，画出树状图，求出两人获胜的概率，进行判断即可． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 共6种等可能的结果，其中榕榕获胜的情况有3种，爸爸获胜的情况有3种； ∴（榕榕获胜）（爸爸获）． ∴这个游戏是公平的． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）小希和小辰做转盘游戏，规则如下：如图，有甲、乙两个标有数字的转盘，同时转动甲、乙两个转盘，当转盘停止后，两个指针所指区域的数字之和为正数时，小希胜；否则小辰胜（若指针恰好指在分割线上，则重转，直到指针指向某一区域为止）． (1)小希转动一次甲转盘，指针指向的数字是偶数的概率是__________． (2)请用画树状图或列表的方法说明这个游戏规则对双方是否公平． 【答案】(1) (2)这个游戏规则对双方不公平，理由见解析 【分析】此题考查了游戏公平性的判断以及列表法与树状图法求概率，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的情况，其中两个指针所指区域的数字之和为正数的结果有7种，两个指针所指区域的数字之和不为正数的结果有5种，再由概率公式求出小希胜的概率小辰胜的概率，即可得出结论． 【详解】（1）解：小希转动一次甲转盘，指针指向的数字是偶数的概率是， 故答案为：； （2）解：这个游戏规则对双方不公平，理由如下： 画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中两个指针所指区域的数字之和为正数的结果有7种，两个指针所指区域的数字之和不为正数的结果有5种， ∴小希胜的概率，小辰胜的概率， ∴小希胜的概率小辰胜的概率， ∴这个游戏对双方不公平． 3．（2025·贵州铜仁·模拟预测）行酒令是汉族民间风俗之一，是一种有中国特色的酒文化，大家轮流说诗词、联语或其他游戏，明朝唐之淳在《忆吴越风景》中写道“旋折藕花行酒令，细书蕉叶送诗筒”．行酒令中有一种游戏称为“虎棒鸡虫令”．“二人相对，以筷子相声，同时口喊虎、喊棒、喊鸡、减虫、以棒打虎、虎吃鸡、鸡吃虫、虫嗑棒论胜负，负者饮．若棒与鸡，虎与虫同时被喊出或两人喊出同一物，则不分胜负，继续喊．”依据上述规则，张三和李四同时随机喊出其中一物，两人只喊一次．（提示：可以用分别表示“老虎”“棒子”“鸡”“虫”） (1)若张三已经决定喊“虎”，那么李四获胜的概率为___________； (2)判断这个游戏是否公平，并说明理由． 【答案】(1) (2)游戏公平，理由见解析 【分析】本题考查利用概率公式求概率，利用树状图或列表求概率，熟练掌握根据题意画出树状图或列表是解题的关键． （1）张三喊出“虎”，李四可能喊出“虎”、“棒”、“鸡”、“虫”四种情况，其中“虎棒”， 李四胜，利用概率公式求概率即可； （2）用，，，分别表示老虎，棒子，鸡，虫，画出树状图，分别计算出张三和李四获胜的概率，即可解答． 【详解】（1）解：张三喊出“虎”，李四可能喊出“虎”、“棒”、“鸡”、“虫”四种情况， 其中“虎棒”， 李四胜， ∴张三喊出“虎”, 李四取胜的概率为， 故答案为：； （2）解：游戏公平，理由如下： 用，，，分别表示老虎，棒子，鸡，虫， 画树状图如下： 共种等可能的情况，其中张三获胜的有、、、，共种， 则张三获胜的概率是， 其中李四获胜的有、、、，共种， 则李四获胜的概率是， 则张三、李四获胜的概率相等， 所以游戏公平． 4．（24-25九年级上·河北保定·期末）学校决定从嘉嘉和淇淇两位同学中选一人去西伯坡纪念馆参观学习，采取转转盘游戏的方式决定谁去，游戏规则是：如图，同时转动甲、乙两个转盘，当转盘停止后，两个指针所指区域的数字之和为1时，嘉嘉去；数字之和为0时，淇淇去，其他情况视为平局． (1)转动甲转盘，则转盘停止时，指针指向4的概率是多少？ (2)学校规定的游戏规则对嘉嘉和淇淇公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)公平，理由见解析 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式分别求出嘉嘉和淇淇去的概率,即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，转动甲转盘，转盘停止时指针可能指向1，2，3，4，共4种等可能的结果. 指针指向4有1种可能， 转动甲转盘，指针指向4的概率是； （2）解: 公平，理由如下： 由图可知，一共有12种等可能的情况，数字和为1有3种情况，数字和为0有3种情况， ，， ； 学校规定的游戏规则对嘉嘉和淇淇公平. 5．（22-23七年级下·辽宁丹东·期末）在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与． (1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是__________事件（填“随机”、“必然”、“不可能”）； (2)若袋中共有24个球，其中红球3个，黄球6个，黑球9个，则1次抽奖机会中，抽中一等奖的概率为__________；抽中二等奖的概率为___________；中奖的概率为____________； (3)现有足够多的球，请你从中选15个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率． 【答案】(1)随机 (2)，， (3)见解析 【分析】（1）根据“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”的定义判断即可； （2）利用概率公式直接进行计算． （3）设计摸球游戏中的球总数为，红球和白球个数相同，且多于黑球的个数即可． 【详解】（1）解：小明可能中奖也可能不中奖 小明中奖是随机事件； 故答案为：随机； （2）解：袋中共有个球，其中红球个，黄球6个，黑球9个，且从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与， ， ， ． 故答案为：； （3）解：有足够多的球，从中选个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率， 只要球的总数为个，红球和白球个数相同，且多于黑球的个数， 可设计如下：选红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球个，其中红球和白球都是个，黑球个，其他的球都是黄色球． 【点睛】本题考查随机事件，概率公式，游戏设计，掌握概率的意义是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$