专题03 数据的集中趋势和离散程度、等可能条件下的概率（期末复习专项训练，10大题型）九年级数学上学期苏科版

专题03 数据的集中趋势和离散程度、等可能条件下的概率 题型1 求平均数（含加权平均数）（常考点） 题型6 几何概率（重点） 题型2 求中位数与众数（常考点） 题型7 数据分析综合（重点） 题型3 求极差（常考点） 题型8 列表法或树状图法求概率（重点） 题型4 求方差（常考点） 题型9 统计与概率综合（重点） 题型5 列举法求概率（常考点） 题型10 游戏公平性（重点） 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求平均数（含加权平均数）（常考点） 1．为纪念抗战伟大胜利，弘扬抗战伟大精神，某班举行抗战历史知识测评．该班学生测试成绩的最高分是100分，最低分是70分，则他们的平均测试成绩可能是（    ） A．110分 B．100分 C．85分 D．65分 【答案】C 【分析】本题考查了求一组数据的平均数，根据平均成绩不低于最低分，且不高于最高分，则可求出平均数的范围，据此结合选项可得答案． 【详解】∵ 平均成绩不低于最低分，且不高于最高分， 又∵ 最低分为70分，最高分为100分，且成绩不相等， ∴ 平均成绩满足：平均成绩． 观察各选项，只有选项C符合题意， ∴ 他们的平均测试成绩可能是85分． 故选：C． 2．若一组数据4，5，，6，7的平均数是5，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查已知平均数，求未知数，根据平均数的定义，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意，， 解得； 故选B． 3．下表是小红参加一次“阳光体育”活动比赛的得分情况：评总分时，按跑步占，花样跳绳占，跳绳占考评，则小红的最终得分为 ． 项目 跑步 花样跳绳 跳绳 得分 90 80 70 【答案】83分 【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的计算方法，将各项目得分乘以其所占百分比，再求和． 【详解】解：小红的最终得分为（分）． 故答案为：83分． 题型二 求中位数与众数（常考点） 1．某市某一周的每日平均气温（）的统计结果如图所示，则这七天的每日平均气温的众数和中位数分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的定义是解题关键．根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．据此即可获得答案． 【详解】解：由图可知，一周的日平均气温数据从小到大排列为：，，，，，，， 中间位置的数为，所以中位数为， 平均气温为出现了2次，出现次数最多，所以众数为． 故选：B． 2．一组数据3、4、6、4、x、7、6、6的众数是4和6，则这组数据的中位数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了众数和中位数的定义． 根据众数是4和6，可知，使4和6的出现次数均为3次，然后排序数据求中位数即可． 【详解】解：∵众数是4和6， ∴4和6的出现次数相等且最多． 当前数据中，3出现1次，4出现2次，6出现3次，7出现1次， ∴x必须为4，使4出现3次， ∴数据为：3，4，6，4，4，7，6，6． 排序后：3，4，4，4，6，6，6，7． ∵数据个数为8，是偶数， ∴中位数为第4和第5个数据的平均值，即． 故选：B． 3．如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数是 ，众数是 ． 【答案】 9 8 【分析】本题主要考查了中位数和众数的概念，熟练掌握中位数（将数据排序后中间位置的数）和众数（数据中出现次数最多的数）的定义是解题的关键．根据中位数、众数和极差的概念分别求得这组数据的中位数、众数，由图可知锻炼时间超过8小时的有人． 【详解】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8； 而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9． 故答案为：9；8． 题型三 求极差（常考点） 1．2024年12月26号，滨海的最高气温为，最低气温为，则该日的气温极差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用最大值减去最小值即可求得极差．本题考查了极差的定义，解题的关键是了解最大值与最小值的差是极差，难度不大． 【详解】解：该日的气温极差为． 故选：D． 2．一组数据5、3、、4的极差是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查的是极差．极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差． 根据极差的概念计算即可． 【详解】解：数据中最大数据为5，最小数据， 则极差为：． 故选：C． 3．某市2024年10月5日～10月9日每天的最低气温分别为（单位：）：17，14，12，10，13，则这5天中该市最低气温的极差为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查极差，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．根据极差的定义求解即可． 【详解】解：这组数据的最大值为17，最小值为10， 所以这5天中该市最低气温的极差为， 故答案为：7． 题型四 求方差（常考点） 1．在2025年9月3日举行的中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日的阅兵仪式上，受阅仪仗方队的女队员的身高标准为至，前期训练中，一组6名队员的身高（单位：）分别是：174，178，176，179，174，175，当一名身高为的队员下场休息，现在5名队员身高的平均数和方差与原6名队员相比（    ） A．平均数变大，方差变小 B．平均数变小，方差不变 C．平均数不变，方差变大 D．平均数变小，方差变大 【答案】C 【分析】本题考查求平均数和方差，熟练掌握求平均数和方差的方法是解题的关键，求出前后2次的平均数和方差进行判断即可． 【详解】解：原6名队员身高的平均数为：； 方差为：； 现在5名队员身高的平均数为， 方差为：； ； 故平均数不变，方差变大； 故选C． 2．若样本，，…，的平均数为10，方差为6，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（   ） A．平均数为10，方差为6 B．平均数为12，方差为6 C．平均数为12，方差为8 D．平均数为13，方差为9 【答案】B 【分析】本题主要考查了平均数和方差，根据平均数的定义可得，则可推出，可求出，根据方差的定义可推出，则可求出，据此可得答案． 【详解】解：∵样本，，…，的平均数为10， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴样本，，…，的平均数为12； ∵样本，，…，的方差为6， ∴， ∴， ∴ ， ∴样本，，…，的方差为6， 故选：B． 3．甲、乙两位射击运动员在一次射击训练中的射击成绩如下折线统计图．设甲、乙两组数据的方差分别为、，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了方差，熟记方差的计算公式是解题的关键，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．根据折线统计图可知甲、乙射击成绩，根据他们的成绩计算出他们的方差，再比较． 【详解】解：甲的成绩为、、、、、、、， ， ， 乙的成绩为、、、、、、、， ， ． 故答案为：． 题型五 列举法求概率（常考点） 1．经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，假设这 种可能性相同，现有两辆汽车经过这个十字路口，驶向相同方向的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列举法求概率，熟练列出所有可能结果是解题的关键． 计算两辆车所有可能的方向组合和驶向相同方向的组合，然后求概率即可． 【详解】解：每辆车有3种方向选择：直行、左转、右转，且选择独立， 则可能的情况组合为： （直行，直行）、（直行，左转）、（直行，右转）、（左转，直行）、（左转，左转）、（左转，右转）、（右转，直行）、（右转，左转）、（右转，右转）， 总可能结果数为9种，其中两辆车驶向相同方向的情况有3种：都直行、都左转、都右转， 因此驶向相同方向的概率是， 故选：A． 2．在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、氧化钠、稀盐酸、碳酸钠四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列举法求概率，正确列举出所有的可能组合数，利用概率公式求概率是解题的关键． 根据题意列出所有的可能组合数，其中两瓶都是酸性溶液的只有一种组合，从而计算概率即可． 【详解】解：从四瓶溶液中随机抽取两瓶，可能的组合为： （稀硫酸，氧化钠）、（稀硫酸，稀盐酸）、（稀硫酸，碳酸钠）、（氧化钠，稀盐酸）、（氧化钠，碳酸钠）、（稀盐酸，碳酸钠）， 则总共可能组合数有6种，其中，两瓶都是酸性溶液的只有一种组合， 因此这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是， 故选：A． 3．某小区地下车库示意图如图所示，，为入口，，，为出口，亮亮爸爸随机选择了一个入口进入，又随机选择一个出口驶出，则其恰好从口进入且从口驶出的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查列举法求概率，列举所有可能结果是解题的关键． 列举出所有的可能性，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，共有、、、、、这种等可能的结果，其中恰好从入口进入且从出口驶出的结果有种； ∴． 故答案为：． 题型六 几何概率（重点） 1．如图，在正方形内任取一点O，连接，．如果正方形内每一点被取到的可能性都相同，则是钝角三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 设正方形的边长为a，由题意通过圆和三角形的知识画出满足条件的图形，分别找出满足条件的点集对应的图形面积及图形的总面积，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：设正方形的边长为a， ， 点O落在如图所示以为直径的半圆内． 半圆的面积为：， 正方形的面积是， 满足的概率是． 故选： 2．一只小狗在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方块上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在花形方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率，根据题意知小狗随意停留在某块方砖上的概率是相等的方砖总共有块，花形方砖占块，然后用概率公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意知，小狗随意停留在某块方砖上的概率是相等的方砖总共有块，花形方砖占块， ∴最终停留在花形方砖上的概率为， 故选：． 3．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中阴影区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，掌握击中黑色小正方形的概率等于黑色小正方形与正方形总面积之比是解题的关键． 直接用涂有黑色的小正方形个数除以小正方形的总个数即可解答． 【详解】解：∵大正方形等分为25个小正方形，其中涂有黑色的小正方形有9个，且每个小正方形被击中的概率相同， ∴任意投掷飞镖1次，击中黑色区域的概率是． 故答案为：． 题型七 数据分析综合（重点） 1．学校开展校本知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息： 其中，八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96； 九年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89． 两组数据的平均数、中位数、众数如表所示： 学生 八年级 九年级 平均数 中位数 86 a 众数 b 91 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_______ ，______，______； (2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； (3)若八年级有600名学生参赛，九年级有800名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 【答案】(1)；88；40 (2)九年级的成绩更好，理由：因为两个年级的平均数相同，而九年级的成绩的中位数和众数均大于八年级 (3)500人 【分析】本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键． （1）分别根据中位数和众数的定义可得和的值，用1分别减去其它三个等级所占百分比即可得出的值； （2）依据表格中平均数、中位数、众数做出判断即可； （3）用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：九年级20名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87、88，故中位数； 八年级20名同学的成绩出现次数最多的是88，故众数； 由题意可得，故， 故答案为：；88；40； （2）解：九年级的成绩更好，因为两个年级的平均数相同，而九年级的成绩的中位数和众数均大于八年级； （3）解：（人）， 答：估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有500人． 2．在“大美河北，宜居家园”美丽乡村建设演讲比赛中，5位选手的成绩如图所示． (1)5位选手“演讲效果”成绩的众数是______分，“演讲技巧”成绩的中位数是______分； (2)求5位选手“演讲技巧”成绩的平均分； (3)根据规定，“演讲效果”与“演讲技巧”成绩按一定比例计算最终成绩，若选手B按比例计算后最终成绩为83.5分，求“演讲效果”所占比例为多少（结果为百分比）？ 【答案】(1)90；85 (2)86分 (3)“演讲效果”所占比例为 【分析】本题考查了加权平均数、中位数、众数的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． （1）分别根据众数、中位数的定义计算即可； （2）根据平均数的定义计算即可； （3）根据加权平均数的计算公式解答即可． 【详解】（1）解：∵5位选手“演讲效果”成绩出现次数最多的是90， ∴5位选手“演讲效果”成绩的众数是90分 ∵5位选手“演讲技巧”成绩按从小到大顺序排列为：80，80，85，90，95， ∴5位选手“演讲技巧”成绩的中位数是85分， 故答案为：90，85； （2）解：5位选手 “演讲技巧”成绩的平均分为（分）； （3）解：设选手B“演讲效果”所占比例为，则“演讲技巧”为，根据题意得： ， 解得， 答：选手B“演讲效果”所占比例为． 3．为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近六场比赛中关于得分、篮板的情况． 信息1：甲的得分情况：20，14，28，30，32，32； 乙的得分情况：24，28，24，28，28，27． 信息2： 信息3：技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 平均每场篮板 篮板方差 甲 26 32 m 9 乙      n      8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的_____，_____，_____（填“＞”“=”或“＜”）； (2)本次队员综合得分按平均得分的，平均每场篮板的计算，综合得分越高表现越好，则甲、乙哪名队员的表现更好？ (3)选择一个方面进行分析，甲、乙两名队员谁表现的更好？ 【答案】(1)29，28， (2)甲队员表现更好 (3)乙在篮板方面表现的更好 【分析】本题考查了方差，统计表，中位数，加权平均数等知识． （1）根据众数、中位数、方差的定义求解即可； （2）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可； （3）合理即可． 【详解】（1）解：甲的得分从小到大排列：14，20，28，30，32，32， ∴中位数； 乙的得分情况：24，28，24，28，28，27， ∴； 篮板箱线图（即箱线图）中，箱体的长度越大，通常表示数据的方差越大， 可知， 故答案为：29，28，； （2）解：甲：， 乙：， ∵， ∴甲队员表现更好． （3）解：根据篮板的方差，甲的方差大于乙，说明乙在篮板方面表现的更好． （①根据得分或篮板的最大值，甲的最大值均高于乙，所以甲更有爆发力；②根据得分中位数，甲得分的中位数高于乙，说明甲在排除最低分的影响后，甲在大多数比赛中的得分比乙更高；③根据篮板的中位数，乙高于甲，说明乙在大部分场次的篮板表现更好等．分析合理即可．） 题型八 列表法或树状图法求概率（重点） 1．国产AI大模型DeepSeek的爆火引发了全球科技界的广泛关注．现有四场网络直播，这四场直播分别以“A．机器人技术”“B．计算机视觉”“C．自然语言处理”“D．专家系统”为主题，分别对这四类人工智能进行讲解，这四场直播同时开始，同学们随机选择一类，进入直播间听讲解． (1)甲同学选择听“A．机器人技术”直播的概率是______； (2)甲、乙两位同学准备各自听一场网络直播，然后两人互相分享．若甲同学先从这四类中随机选择一类进入直播间听讲解，然后乙同学从剩下的三类中随机选择一类进入直播间听讲解，请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位同学都没有选择“D．专家系统”直播间的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图求概率即可求解． 【详解】（1）解：共有四类人工智能，甲同学选择听“A．机器人技术”直播的概率是． 故答案为：． （2）画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两位同学都没有选择“D．专家系统”直播间的结果有6种， （甲、乙两位同学都没有选择“D．专家系统”直播间）． 2．某校为了落实“五育并举”的教育举措，课后开设了围棋、航模、书法、阅读、画画五个兴趣小组，学生可以任选一个兴趣小组参加，小明和小阳决定通过抽签的方式选择．抽签规则：将五个兴趣小组的名称分别写在五张完全相同且不透明的卡片正面，并把五张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机抽取一张卡片，记下名称后放回，小阳再随机抽取一张，记下名称． (1)小明选择围棋兴趣小组的概率是 ； (2)围棋、航模、书法的活动教室都在三楼，阅读、画画的活动教室在二楼，请用画树状图或列表法求出小明、小阳选择的兴趣小组不在同一楼层的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小明、小阳选择的兴趣小组不在同一楼层的结果有12种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵开设了围棋、航模、书法、阅读、画画五个兴趣小组， ∴小明选择围棋兴趣小组的概率是， 故答案为：； （2）解：把围棋、航模、书法、阅读、画画五个兴趣小组分别记为A、B、C、D、E， 画树状图如下： 共有25种等可能的结果，其中小明、小阳选择的兴趣小组不在同一楼层的结果有12种， ∴小明、小阳选择的兴趣小组不在同一楼层的概率为． 3．数学活动课上，小辰和小浩玩抽卡片游戏．如图，现有5张正面印有榆林旅游风景区（2张级，3张级）的卡片，其形状、大小、质地和背面图案都完全相同，小辰将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)若小辰从中随机抽取1张卡片，抽到正面印着“波浪谷景区”的概率是_____； (2)若规定：小辰从中随机抽取1张卡片，不放回，小浩再从中随机抽取1张，若2张卡片的正面图案都是3A级景区，则小辰赢，否则小浩赢．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平？ 【答案】(1) (2)这个游戏不公平 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率的简单计算是解题的关键， （1）利用概率的计算即可得到答案； （2）根据题意列出表格得到所有等可能情况，分别计算出小辰赢或小浩赢的概率，然后比较即可得到答案． 【详解】（1）解：抽到正面印着“波浪谷景区”的概率是； 故答案为：； （2）解：如图，列表如下： （A，B） （A，C） （A，D） （） （B，A） （B，C） （B，D） （B，E） （C，A） （C，B） （C，D） （C，E） （D，A） （D，B） （D，C） （D，E） （E，A） （E，B） （E，C） （E，D） 由列表可知，共有20种等可能的结果， 其中2张卡片正面图案是级景区的有6种： 小辰赢的概率， 则小浩赢的概率， ， 这个游戏不公平． 题型九 统计与概率综合（重点） 1．为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共题，每题分，满分分），该校从学生成绩都不低于分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表 【收集数据】 八年级（1）班名学生成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级（3）班名学生成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 【描述数据】 八年级（1）班名学生成绩统计表 分数 人数 【分析数据】 统计量班级 平均数 中位数 众数 方差 八（1）班 八（3）班 【应用数据】 根据以上信息，回答下列问题： (1)请补全条形统计图； (2)填空：________，________，________； (3)从上面名得分的学生中，随机抽取名学生参加市级知识竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的名学生恰好在同一个班级的概率． 【答案】(1)见详解 (2)，，． (3) 【分析】本题考查读统计表和统计图，利用统计图获取信息的能力以及中位数，众数和平均数，以及概率的计算．利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． （1）由八年级（3）班20名学生成绩统计可得90分学生有7人，95分学生有6人，补全条形统即可； （2）由八年级（1）班20名学生成绩统计可得，，根据平均数和中位数、众数的定义进行计算即可； （3）设八年级（1）班的三名100分的学生用A、B、C表示，八年级（3）班的两名100分的学生用a、b表示，用列表法表示出所有可能结果，再从中找出2名学生恰好在同一个班级的结果数，再根据概率的计算公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由八年级（3）班20名学生成绩统计可得90分学生有7人，95分学生有6人，补全条形统计图如图所示： （2）解：由八年级（1）班20名学生成绩统计可得，， ∴， 一共20名学生，中位数应该为第10名与第11名的平均数， ． 八（3）班成绩中，出现的次数最多，共出现了次，则众数为，即； 故答案为：，，． （3）解：设八年级（1）班的三名100分的学生用A、B、C表示．八年级（3）班的两名100分的学生用a、b表示，则随机抽两名学生的所有情况如下： (1)班 　（3）班 一共有20种情况．其中两名同学在同一个班级的有共8种， ∴所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率为：． 2．今年受全球金融危机的影响，出现了大学毕业生就业难的问题，政府为了积极采取措施，需要掌握求职者求职情况．求职者每人都投出50张求职申请，对“得到用人单位面试通知的次数”作统计，如图： (1)那么这个统计中的样本容量是_____；众数是_____． (2)如果，样本容量是，求中位数、平均数和没得到用人单位面试通知的人数． (3)在（2）的条件下，任意采访一个大学毕业生的求职者，求出他“至少得到一次用人单位面试通知”的概率． 【答案】(1)；1 (2)中位数、平均数和没得到用人单位面试通知的人数分别为1，1.3，240 (3) 【分析】解题关键是理清题意，认真研读统计表，从中找出解题所需的信息，然后按照概率的基本概念来解答．众数是指一组数据中出现次数最多的数据，中位数是将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．概率所求情况数与总情况数之比． （1）把总数求出来就是样本容量，众数是出现次数最多的数； （2）先算出各类的实际人数，再根据概念求中位数，众数； （3）利用频率求算概率． 【详解】（1）样本容量是这批求职者不同次数的人数和：，1出现的次数最多，即众数是1． 故答案是：；1； （2），样本容量是900， ，， ，， ； 所以，得不到面试通知的人数是240，得到0次或1次面试通知的人数是， ∴排序后第450和451个数据都是1次面试通知，故中位数是； 平均数； 答：中位数、平均数和没得到用人单位面试通知的人数分别为1，1.3，240； （3）得不到面试通知的概率为， 所以至少得到一次用人单位面试通知”的概率为． 3．某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分（单位：分，满分100分），并进行整理、描述和分析（得分用表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 八、九年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 82 九年级 79 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)现从八、九年级所有被抽取学生中，选取测试等级为“非常了解”的学生，再从中随机抽取两名参加市级竞赛．请用列表法或树状图，求所抽取的两名学生恰好都是九年级学生的概率． 【答案】(1)82，78，20 (2)八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了从扇形图与统计表中获取信息，求解中位数，众数，求概率． （1）由八年级被抽取的学生测试得分中第5个，第6个数据分别是：82，82，从而可得中位数的值，由九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，可得的值，由八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有人，可得的值； （2）从中位数或众数的角度出发可得答案； （3）先求出八、九年级“非常了解”的人数，再画出树状图求概率即可． 【详解】（1）解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 而八年级被抽取的学生测试得分中“不了解”的数据有； 八年级被抽取的学生测试得分中“比较了解”的数据有； ∴第5个，第6个数据分别是：82，82， 所以中位数， 九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多， ， ∵八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有， ∴， ∴； 故答案为：82，78，20； （2）解：八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由如下（写出一条理由即可）： ①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79； ②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78； （3）解：八年级“非常了解”的人数为； 九年级“非常了解”的人数为2； 设八年级2人为A、B，九年级2人为C、D， 作图如下： 可知共12种情况，其中所抽取的两名学生恰好都是九年级学生的情况有2种， 即所抽取的两名学生恰好都是九年级学生的概率． 题型十 游戏公平性（重点） 1．将正面分别写有数字的四张卡片（除数字外卡片完全相同）反面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张卡片记下数字后反面朝上放回洗匀，洗匀后再抽取一张．若将第一次抽取的卡片数字记为点的横坐标，第二次抽取的卡片数字记为点的纵坐标． (1)请用列表法或画树状图法表示两次抽取卡片后所有可能的点的坐标． (2)小明和小亮玩一个游戏，规则如下：如图，在平面直角坐标系中，这些点若落在以原点为圆心，半径为2的圆内，则小明获胜；若落在圆上或圆外，则小亮获胜．这个游戏公平吗？判断并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查用列表法 / 树状图法求概率及游戏公平性判断，解题关键是通过列举法得出所有可能的点坐标，再结合点与圆的位置关系计算双方获胜的概率来判断公平性． （1）通过列表/树状图列举两次抽卡的所有组合，得到种可能的点坐标； （2）先根据点到原点的距离判断点与圆的位置，统计圆内、圆上、圆外的结果数，计算两人获胜概率，比较概率是否相等来判断游戏公平性． 【详解】（1）列表如下： 第一次 第二次 （2）不公平． 理由：如图，落在圆上或圆外． 这个游戏不公平． 2．某校在校运会期间，组织了一次拔河比赛，裁判员让甲、乙两队队长用“石头、剪刀、布”的方式选择场地位置．游戏规则如下： 若一人出“剪刀”，另一人出“布”，则出“剪刀”者胜；若一人出“石头”，另一人出“剪刀”，则出“石头”者胜；若一人出“布”，另一人出“石头”，则出“布”者胜；若两人出相同手势，则两人平局． 假设甲、乙两队队长每次出这三种手势的可能性相同． (1)列表格或画树状图法，列出甲、乙两队队长的手势可能出现的情况； (2)裁判员的这种做法对甲、乙两队公平吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析（列表格或画树状图法选择其一即可） (2)公平，理由见解析 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，根据题意准确列表或画出树状图是解题的关键． （1）根据题意列出表格或画树状图即可； （2）根据（1）中的表格或树状图，得出所有的等可能的结果数，以及甲获胜的结果数和乙获胜的结果数，根据概率公式计算出甲获胜和乙获胜的概率，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：列表格如下： 甲 乙 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布） 剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布） 布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布） 画树状图如下： （2）解：公平，理由如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中甲获胜的结果有3种，乙获胜的结果有3种， ∴（甲获胜），（乙获胜）， ∵（甲获胜）（乙获胜）， ∴对甲乙两队是公平的． 3．小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．若和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜． (1)请你用画树状图或列表的方法，求出小明和小亮各自获胜的概率； (2)你认为这个游戏规则对双方公平吗？说说你的理由． 【答案】(1) (2)不公平，见解析 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率（注意树状图与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情况）．解题的关键是理解概率=所求情况数与总情况数之比． （1）首先根据题意列表，然后分别求出和为奇数、和为偶数的概率，再利用概率公式求解即可； （2）分别求出和为奇数、和为偶数的概率，即可得出游戏的公平性． 【详解】（1）解：根据题意，列出表格，如下： 总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，和为奇数有4种，和为偶数有种， 所以； （2）解：这个游戏规则对双方不公平，理由如下： 由（1）得两数之和为奇数的概率为，两数之和为偶数的概率为， ∵， 所以这个游戏规则对双方不公平． $专题03 数据的集中趋势和离散程度、等可能条件下的概率 题型1 求平均数（含加权平均数）（常考点） 题型6 几何概率（重点） 题型2 求中位数与众数（常考点） 题型7 数据分析综合（重点） 题型3 求极差（常考点） 题型8 列表法或树状图法求概率（重点） 题型4 求方差（常考点） 题型9 统计与概率综合（重点） 题型5 列举法求概率（常考点） 题型10 游戏公平性（重点） 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求平均数（含加权平均数）（常考点） 1．为纪念抗战伟大胜利，弘扬抗战伟大精神，某班举行抗战历史知识测评．该班学生测试成绩的最高分是100分，最低分是70分，则他们的平均测试成绩可能是（    ） A．110分 B．100分 C．85分 D．65分 2．若一组数据4，5，，6，7的平均数是5，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 3．下表是小红参加一次“阳光体育”活动比赛的得分情况：评总分时，按跑步占，花样跳绳占，跳绳占考评，则小红的最终得分为 ． 项目 跑步 花样跳绳 跳绳 得分 90 80 70 题型二 求中位数与众数（常考点） 1．某市某一周的每日平均气温（）的统计结果如图所示，则这七天的每日平均气温的众数和中位数分别是（    ） A． B． C． D． 2．一组数据3、4、6、4、x、7、6、6的众数是4和6，则这组数据的中位数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数是 ，众数是 ． 题型三 求极差（常考点） 1．2024年12月26号，滨海的最高气温为，最低气温为，则该日的气温极差为（    ） A． B． C． D． 2．一组数据5、3、、4的极差是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．某市2024年10月5日～10月9日每天的最低气温分别为（单位：）：17，14，12，10，13，则这5天中该市最低气温的极差为 ． 题型四 求方差（常考点） 1．在2025年9月3日举行的中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日的阅兵仪式上，受阅仪仗方队的女队员的身高标准为至，前期训练中，一组6名队员的身高（单位：）分别是：174，178，176，179，174，175，当一名身高为的队员下场休息，现在5名队员身高的平均数和方差与原6名队员相比（    ） A．平均数变大，方差变小 B．平均数变小，方差不变 C．平均数不变，方差变大 D．平均数变小，方差变大 2．若样本，，…，的平均数为10，方差为6，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（   ） A．平均数为10，方差为6 B．平均数为12，方差为6 C．平均数为12，方差为8 D．平均数为13，方差为9 3．甲、乙两位射击运动员在一次射击训练中的射击成绩如下折线统计图．设甲、乙两组数据的方差分别为、，则 （填“”“”或“”）． 题型五 列举法求概率（常考点） 1．经过某个十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，假设这 种可能性相同，现有两辆汽车经过这个十字路口，驶向相同方向的概率是（    ） A． B． C． D． 2．在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、氧化钠、稀盐酸、碳酸钠四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是（    ） A． B． C． D． 3．某小区地下车库示意图如图所示，，为入口，，，为出口，亮亮爸爸随机选择了一个入口进入，又随机选择一个出口驶出，则其恰好从口进入且从口驶出的概率为 ． 题型六 几何概率（重点） 1．如图，在正方形内任取一点O，连接，．如果正方形内每一点被取到的可能性都相同，则是钝角三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 2．一只小狗在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方块上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在花形方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 3．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中阴影区域的概率是 ． 题型七 数据分析综合（重点） 1．学校开展校本知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息： 其中，八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96； 九年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89． 两组数据的平均数、中位数、众数如表所示： 学生 八年级 九年级 平均数 中位数 86 a 众数 b 91 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_______ ，______，______； (2)根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； (3)若八年级有600名学生参赛，九年级有800名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 2．在“大美河北，宜居家园”美丽乡村建设演讲比赛中，5位选手的成绩如图所示． (1)5位选手“演讲效果”成绩的众数是______分，“演讲技巧”成绩的中位数是______分； (2)求5位选手“演讲技巧”成绩的平均分； (3)根据规定，“演讲效果”与“演讲技巧”成绩按一定比例计算最终成绩，若选手B按比例计算后最终成绩为83.5分，求“演讲效果”所占比例为多少（结果为百分比）？ 3．为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近六场比赛中关于得分、篮板的情况． 信息1：甲的得分情况：20，14，28，30，32，32； 乙的得分情况：24，28，24，28，28，27． 信息2： 信息3：技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 平均每场篮板 篮板方差 甲 26 32 m 9 乙      n      8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的_____，_____，_____（填“＞”“=”或“＜”）； (2)本次队员综合得分按平均得分的，平均每场篮板的计算，综合得分越高表现越好，则甲、乙哪名队员的表现更好？ (3)选择一个方面进行分析，甲、乙两名队员谁表现的更好？ 题型八 列表法或树状图法求概率（重点） 1．国产AI大模型DeepSeek的爆火引发了全球科技界的广泛关注．现有四场网络直播，这四场直播分别以“A．机器人技术”“B．计算机视觉”“C．自然语言处理”“D．专家系统”为主题，分别对这四类人工智能进行讲解，这四场直播同时开始，同学们随机选择一类，进入直播间听讲解． (1)甲同学选择听“A．机器人技术”直播的概率是______； (2)甲、乙两位同学准备各自听一场网络直播，然后两人互相分享．若甲同学先从这四类中随机选择一类进入直播间听讲解，然后乙同学从剩下的三类中随机选择一类进入直播间听讲解，请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位同学都没有选择“D．专家系统”直播间的概率． 2．某校为了落实“五育并举”的教育举措，课后开设了围棋、航模、书法、阅读、画画五个兴趣小组，学生可以任选一个兴趣小组参加，小明和小阳决定通过抽签的方式选择．抽签规则：将五个兴趣小组的名称分别写在五张完全相同且不透明的卡片正面，并把五张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机抽取一张卡片，记下名称后放回，小阳再随机抽取一张，记下名称． (1)小明选择围棋兴趣小组的概率是 ； (2)围棋、航模、书法的活动教室都在三楼，阅读、画画的活动教室在二楼，请用画树状图或列表法求出小明、小阳选择的兴趣小组不在同一楼层的概率． 3．数学活动课上，小辰和小浩玩抽卡片游戏．如图，现有5张正面印有榆林旅游风景区（2张级，3张级）的卡片，其形状、大小、质地和背面图案都完全相同，小辰将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上． (1)若小辰从中随机抽取1张卡片，抽到正面印着“波浪谷景区”的概率是_____； (2)若规定：小辰从中随机抽取1张卡片，不放回，小浩再从中随机抽取1张，若2张卡片的正面图案都是3A级景区，则小辰赢，否则小浩赢．请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平？ 题型九 统计与概率综合（重点） 1．为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共题，每题分，满分分），该校从学生成绩都不低于分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表 【收集数据】 八年级（1）班名学生成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级（3）班名学生成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 【描述数据】 八年级（1）班名学生成绩统计表 分数 人数 【分析数据】 统计量班级 平均数 中位数 众数 方差 八（1）班 八（3）班 【应用数据】 根据以上信息，回答下列问题： (1)请补全条形统计图； (2)填空：________，________，________； (3)从上面名得分的学生中，随机抽取名学生参加市级知识竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的名学生恰好在同一个班级的概率． 2．今年受全球金融危机的影响，出现了大学毕业生就业难的问题，政府为了积极采取措施，需要掌握求职者求职情况．求职者每人都投出50张求职申请，对“得到用人单位面试通知的次数”作统计，如图： (1)那么这个统计中的样本容量是_____；众数是_____． (2)如果，样本容量是，求中位数、平均数和没得到用人单位面试通知的人数． (3)在（2）的条件下，任意采访一个大学毕业生的求职者，求出他“至少得到一次用人单位面试通知”的概率． 3．某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分（单位：分，满分100分），并进行整理、描述和分析（得分用表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 八、九年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 82 九年级 79 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)现从八、九年级所有被抽取学生中，选取测试等级为“非常了解”的学生，再从中随机抽取两名参加市级竞赛．请用列表法或树状图，求所抽取的两名学生恰好都是九年级学生的概率． 题型十 游戏公平性（重点） 1．将正面分别写有数字的四张卡片（除数字外卡片完全相同）反面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张卡片记下数字后反面朝上放回洗匀，洗匀后再抽取一张．若将第一次抽取的卡片数字记为点的横坐标，第二次抽取的卡片数字记为点的纵坐标． (1)请用列表法或画树状图法表示两次抽取卡片后所有可能的点的坐标． (2)小明和小亮玩一个游戏，规则如下：如图，在平面直角坐标系中，这些点若落在以原点为圆心，半径为2的圆内，则小明获胜；若落在圆上或圆外，则小亮获胜．这个游戏公平吗？判断并说明理由． 2．某校在校运会期间，组织了一次拔河比赛，裁判员让甲、乙两队队长用“石头、剪刀、布”的方式选择场地位置．游戏规则如下： 若一人出“剪刀”，另一人出“布”，则出“剪刀”者胜；若一人出“石头”，另一人出“剪刀”，则出“石头”者胜；若一人出“布”，另一人出“石头”，则出“布”者胜；若两人出相同手势，则两人平局． 假设甲、乙两队队长每次出这三种手势的可能性相同． (1)列表格或画树状图法，列出甲、乙两队队长的手势可能出现的情况； (2)裁判员的这种做法对甲、乙两队公平吗？请说明理由． 3．小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．若和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜． (1)请你用画树状图或列表的方法，求出小明和小亮各自获胜的概率； (2)你认为这个游戏规则对双方公平吗？说说你的理由． $