培优点01 柯西不等式与权方和不等式-2026年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+培优点专项突破（新高考通用）

培优点01 柯西不等式与权方和不等式 题型梳理 题型方法 题型一 柯西不等式 题型二 权方和不等式 知识清单 知识点1　柯西不等式 1．二维形式的柯西不等式 (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立)． 2．二维形式的柯西不等式的变式 (1)·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立)． (2)·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立)． (3)(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d≥0，当且仅当ad＝bc时，等号成立)． 3．二维形式的柯西不等式的向量形式 |α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立)． 知识点2 　权方和不等式 1．二维形式：已知x，y，a，b∈R＋，则有＋≥(当且仅当x∶y＝∶时，等号成立)． 2．一般形式：设ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，实数m>0，则 ≥，当且仅当＝＝…＝时等号成立．称之为权方和不等式．m为该不等式的和，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次． 题型方法 【题型一】柯西不等式 【例1】（2022·全国甲卷·高考真题）已知a，b，c均为正数，且，证明： (1)； (2)若，则． 解题技巧 掌握柯西不等式及其变式的结构，常用巧拆常数、重新安排某些项的次序、改变结构、添项等方法． 【举一反三】【变式1】（2024·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【变式2】（2021·浙江·模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为 ；的最小值为 . 【变式3】（2024·四川德阳·模拟预测）已知. (1)解不等式； (2)若为的最小值，设，求的最小值. 【题型二】权方和不等式 【例2】（2024·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 解题技巧 (1)权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题的关键． (2)关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式． (3)关于带根号的式子，将分子变为次，分母为次． 【举一反三】【变式1】（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 . 【变式3】（2024·四川凉山·三模）已知函数的最小值为． (1)求实数的值； (2)求的最小值． 好题必刷 一、单选题 1．（2023·浙江·一模）若，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 2．（2021·江西·模拟预测）若正数满足，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2020·浙江·模拟预测）对于，当非零实数、满足，且使最大时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 二、多选题 5．（2021·江苏南通·三模）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知，直线与曲线相切，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·贵州遵义·模拟预测）已知，且，则下列选项正确的是（    ） A． B．. C．的最大值为 D． 三、填空题 8．（2023高三·全国·专题练习）已知，求的最小值为 9．（2020·浙江温州·二模）已知实数满足则的最大值为 . 10．（2023高三·全国·专题练习）求的最大值为 四、解答题 11．（2020·江西·模拟预测）已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若函数的最小值为，且实数满足，求的最大值. 12．（2024·四川·模拟预测）已知均为正实数，且满足． (1)求的最小值； (2)求证：. 13．（2024·陕西安康·模拟预测）已知均为正数，且． (1)证明：； (2)求的最小值． 14．（2024·全国·模拟预测）已知均为正数，函数的最小值为3． (1)求的最小值； (2)求证：． 15．（2024·陕西·模拟预测）已知函数（，）. (1)当，时，解不等式； (2)若的最小值为6，求的最小值. 16．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数． (1)解不等式； (2)若正数满足，证明． 17.（2024·河北邯郸·模拟预测）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，，当且仅当（）或存在一个数，使得（）时，等号成立. (1)请你写出柯西不等式的二元形式； (2)设是棱长为的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为、、、，求的最小值； (3)已知正数数列满足：①存在，使得（）；②对任意正整数、（），均有.求证：对任意，，恒有. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优点01 柯西不等式与权方和不等式 题型梳理 题型方法 题型一 柯西不等式 题型二 权方和不等式 知识清单 知识点1　柯西不等式 1．二维形式的柯西不等式 (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立)． 2．二维形式的柯西不等式的变式 (1)·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立)． (2)·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立)． (3)(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d≥0，当且仅当ad＝bc时，等号成立)． 3．二维形式的柯西不等式的向量形式 |α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立)． 知识点2 　权方和不等式 1．二维形式：已知x，y，a，b∈R＋，则有＋≥(当且仅当x∶y＝∶时，等号成立)． 2．一般形式：设ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，实数m>0，则 ≥，当且仅当＝＝…＝时等号成立．称之为权方和不等式．m为该不等式的和，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次． 题型方法 【题型一】柯西不等式 【例1】（2022·全国甲卷·高考真题）已知a，b，c均为正数，且，证明： (1)； (2)若，则． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）方法一：根据，利用柯西不等式即可得证； （2）由（1）结合已知可得，即可得到，再根据权方和不等式即可得证. 【详解】（1）[方法一]：【最优解】柯西不等式 由柯西不等式有， 所以，当且仅当时，取等号，所以. [方法二]：基本不等式 由，，， ， 当且仅当时，取等号，所以. （2）证明：因为，，，，由（1）得， 即，所以， 由权方和不等式知， 当且仅当，即，时取等号， 所以. 【点睛】（1）方法一：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解； 方法二：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法． 解题技巧 掌握柯西不等式及其变式的结构，常用巧拆常数、重新安排某些项的次序、改变结构、添项等方法． 【举一反三】【变式1】（2024·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】利用柯西不等式求出即可. 【详解】由题干中柯西不等式可得， 所以的最大值为，当且仅当时取等号. 故选：A 【变式2】（2021·浙江·模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为 ；的最小值为 . 【答案】 9 【分析】第一空将化为，然后利用均值不等式即可求出结果；第二空利用柯西不等式即可求得结果. 【详解】因为正实数满足， 所以， 当且仅当时取到最小值， 由柯西不等式可知，， 当且仅当，即时，等号成立，所以有. 故答案为：9；. 【变式3】（2024·四川德阳·模拟预测）已知. (1)解不等式； (2)若为的最小值，设，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用零点分段法，即可求解； （2）先求出的最小值，从而得到，再利用柯西不等式，即可求解. 【详解】（1）因为，由，得到，即， 当时，原不等式等价于，得到， 当时，原不等式等价于，得到， 当时，原不等式等价于，得到， 综上，不等式的解集为. （2）因为， 所以，得到， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 【题型二】权方和不等式 【例2】（2024·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】D 【分析】根据权方和不等式，直接计算即可. 【详解】因为，，，，则，当且仅当时等号成立， 又，即，于是得， 当且仅当，即时取“=”， 所以函数的最小值为49． 故选：D 解题技巧 (1)权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题的关键． (2)关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式． (3)关于带根号的式子，将分子变为次，分母为次． 【举一反三】【变式1】（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由给定的权方和不等式定义处理即可. 【详解】由题意得，， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以． 故选：C． 【变式2】（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据分离常量法可得，结合权方和不等式计算可得，即，即可求解. 【详解】， ， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以，得， 所以或（舍去）， 即的最小值为. 故答案为： 【变式3】（2024·四川凉山·三模）已知函数的最小值为． (1)求实数的值； (2)求的最小值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用绝对值的三角不等式计算即可； （2）法一、利用基本不等式灵活运用“1”计算即可；法二、利用柯西不等式配凑即可；法三、利用权方和不等式计算即可. 【详解】（1）, 当时取“＝”， ； （2）法一：由（1）可知，即原式 ， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为； 法二：由柯西不等式得 原式 ， 当且仅当时，即时取得等号， 所以的最小值为； 法三：由权方和不等式得 原式， 当，即时取得等号， 所以的最小值为. 好题必刷 一、单选题 1．（2023·浙江·一模）若，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】先把已知整理成的形式，再把等式的右边利用柯西不等式进行放缩，得到关于的一元二次不等式进行求解. 【详解】由已知整理得 ， 由柯西不等式得 ， 当时取等号， 所以，即， 解得，所以的最小值为. 故选：C． 2．（2021·江西·模拟预测）若正数满足，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不等式化为，左边，利用柯西不等式求出最小值即可求解. 【详解】不等式化为， 左边 ， 所以， 实数的取值范围为. 故选：D 3．（2020·浙江·模拟预测）对于，当非零实数、满足，且使最大时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先将等式变形为，再由柯西不等式得到，分别用表示、，再代入到得到关于的二次函数，求得其最小值即可. 【详解】，， 由柯西不等式可得， 故当最大时，有，则，， ， 所以，当时，取得最小值. 故选：C. 【点睛】本题考查代数式最值的求解，考查了柯西不等式的应用，考查计算能力，属于中等题. 4．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 【答案】B 【分析】根据权方和不等式的定义，将函数变形为：，再根据权方和不等式求出最小值即可. 【详解】因为， 因为，所以，， 根据权方和不等式有：， 当且仅当时，即时等号成立. 所以函数的最小值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据权方和不等式定义将函数解析式变形，从而利用权方和不等式求最值. 二、多选题 5．（2021·江苏南通·三模）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A：用基本不等式直接判断； 对于B：用作差法比较； 对于C：直接用柯西不等式判断； 对于D：取，排除. 【详解】对于A：由基本不等式可知显然成立 .故A正确； 对于B：因为， 所以.故B正确； 对于C：为柯西不等式，显然成立.故C正确； 对于D：对于，取，则有，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】证明不等式： （1）作差法或作商法比较； （2）根据式子结构利用基本不等式（柯西不等式）等证明； （3）综合法、分析法、反证法等. 6．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知，直线与曲线相切，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据导数的几何意义得，再根据基本不等式与柯西不等式可判断出答案. 【详解】设切点为， 因为，所以，得， 所以，所以， 对于 A，，所以，当且仅当时，等号成立，故A不正确； 对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当，时，等号成立，故C正确； 对于D，， 所以 ，当且仅当，又，即时，等号成立. 故选：BCD 7．（2023·贵州遵义·模拟预测）已知，且，则下列选项正确的是（    ） A． B．. C．的最大值为 D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式可判定A、B选项，利用排除法可判定C选项，利用柯西不等式可判定D选项. 【详解】由题意可得， 当且仅当时取得等号，即A正确； ， 当且仅当时取得等号，即B正确； 先证柯西不等式， 设， 则， 所以， 由柯西不等式可知： ， 当且仅当，即时取得等号，即D正确； 若，则，此时，故C错误. 故选：ABD 三、填空题 8．（2023高三·全国·专题练习）已知，求的最小值为 【答案】 【分析】应用权方和不等式即可求解. 【详解】 当且仅当时取等号 故答案为：60 9．（2020·浙江温州·二模）已知实数满足则的最大值为 . 【答案】 【解析】直接利用柯西不等式得到答案. 【详解】根据柯西不等式：，故， 当，即，时等号成立. 故答案为：. 【点睛】本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案. 10．（2023高三·全国·专题练习）求的最大值为 【答案】 【分析】根据权方和不等式直接求解即可. 【详解】 当且仅当，即或时取等号 故答案为：. 四、解答题 11．（2020·江西·模拟预测）已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若函数的最小值为，且实数满足，求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）首先将写成分段函数的形式，然后解出即可； （2）首先求出，然后利用柯西不等式求解即可. 【详解】（1）， 等价于，或，或， 解得，或，或. 故不等式的解集为. （2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增， 所以， 则，故 (当且仅当，时取等号)， 即的最大值为. 【点睛】本题考查的是含绝对值不等式的解法和利用柯西不等式求最值，考查了分类讨论的思想，属于基础题. 12．（2024·四川·模拟预测）已知均为正实数，且满足． (1)求的最小值； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）结合已知等式，将化为，利用基本不等式，即可求得答案； （2）利用柯西不等式，即可证明原不等式. 【详解】（1）因为均为正实数，， 所以 ，当且仅当， 即时等号成立． （2）证明：根据柯西不等式有， 所以． 当且仅当，即时等号成立， 即原命题得证. 13．（2024·陕西安康·模拟预测）已知均为正数，且． (1)证明：； (2)求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)27 【分析】（1）构造基本不等式，利用不等式即可证明； （2）首先由柯西不等式证明，再构造柯西不等式，求的最小值． 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以，故． （2）由柯西不等式得， 当且仅当时上式等号成立，所以． 再由柯西不等式得， 所以， 当且仅当时上式等号成立，所以的最小值为27． 14．（2024·全国·模拟预测）已知均为正数，函数的最小值为3． (1)求的最小值； (2)求证：． 【答案】(1)9； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用绝对值的三角不等式求得，再利用柯西不等式求出最小值. （2）由（1）有，利用柯西不等式证得，，再相加即可推理得证. 【详解】（1），当且仅当时取等号， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9． （2）因为， 同理， 所以 ． 15．（2024·陕西·模拟预测）已知函数（，）. (1)当，时，解不等式； (2)若的最小值为6，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）把，代入，利用分段讨论法求解不等式即得. （2）利用绝对值的三角不等式求得，再利用柯西不等式求出最小值. 【详解】（1）当，时，不等式，为，得， 化为或或， 解得或或，即， 所以原不等式的解集为. （2），， 当且仅当时取等号，而的最小值为6，则，即， 由柯西不等式得，即， 当且仅当且，即，时取等号， 所以的最小值为. 16．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数． (1)解不等式； (2)若正数满足，证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先将函数表达式化简成分段函数，然后将原不等式等价变形即可列不等式组求解； （2）由绝对值不等式（三角不等式）分析可知，只需证明只需证即可，由柯西不等式即可得证. 【详解】（1）， 不等式，等价于或或； 解得或， 不等式的解集为. （2）， 不等式等价于. 又只需证即可. 又正数a，b，c满足， . ，当且仅当时，等号成立. . 17.（2024·河北邯郸·模拟预测）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，，当且仅当（）或存在一个数，使得（）时，等号成立. (1)请你写出柯西不等式的二元形式； (2)设是棱长为的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为、、、，求的最小值； (3)已知正数数列满足：①存在，使得（）；②对任意正整数、（），均有.求证：对任意，，恒有. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用柯西不等式的定义，写出时的形式； （2）由体积法求出，构造柯西不等式求的最小值； （3）时，由，有，由柯西不等式得，进而可得. 【详解】（1）柯西不等式的二元形式为： 设，则， 当且仅当时等号成立. （2）由正四面体的体积， 将正四面体放入到棱长为为正方体中， 则, 得，所以， 又由柯西不等式得 ， 所以， 当且仅当时等号成立. 所以的最小值为. （3）对，记是的一个排列， 且满足, 由条件②得：. 于是，对任意的， 都有， 由柯西不等式得 ， 所以 ， 从而，对任意，，恒有， 因为对任意，，， 所以，对任意，，恒有， 【点睛】方法点睛：遇到新定义问题一定要准确理解题目的定义，按照新定义交代的性质或者运算规律来解题． 第一、准确转化．解决新信息问题，一定要理解题目定义的本质含义，紧扣题目所给的定义、运算法则对所求问题进行恰当的转化． 第二、方法的选取．对新信息题可以采取一般到特殊的特例法，从逻辑推理的角度进行转化，理解题目定义的本质并进行推广、运算． 第三、应该仔细审读题目．严格按新信息的要求运算．解答问题时要避免课本知识或者已有知识对新信息问题的干扰． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$