重难点专训03 柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式（高效培优专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

重难点专训03 柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型一：利用柯西不等式求整式的最值 2 题型二：利用柯西不等式求分式的最值 3 题型三：利用柯西不等式求根式的最值 6 题型四：利用柯西不等式求三角函数式的最值 7 题型五：利用柯西不等式求变量范围（值） 8 题型六：利用反柯西不等式求最值 10 题型七：利用权方和不等式求最值 11 重难专题分层过关练 13 巩固过关 13 创新提升 19 一、柯西不等式 1．二维形式的柯西不等式 （，当且仅当时，等号成立）. 2．二维形式的柯西不等式的变式 （1）（，当且仅当时，等号成立）. （2）（，当且仅当时，等号成立）. （3）（，当且仅当时，等号成立）. 3．柯西不等式的一般情形：，当且仅当时，等号成立． 4．柯西不等式的向量形式：，当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立． 二、反柯西不等式 1． 2．设；均为实数，或，则有．当且仅当，成比例时取等． 三、权方和不等式 1．二维形式：已知，则有（当且仅当时，等号成立）. 2．一般形式：设（…，），实数，则，当且仅当…时等号成立. 称之为权方和不等式. 为该不等式的和，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次. 题型一：利用柯西不等式求整式的最值 典例1-1．已知，且，则的最小值为 ． 典例1-2．设实数，满足，求证：. 变式1-1．若实数x、y、z满足（a为常数），求的最小值． 变式1-2．已知，求的最小值． 题型二：利用柯西不等式求分式的最值 典例2-1．已知，都在区间内，且，则函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 典例2-2．已知正数a，b，c，d满足，证明： (1)； (2). 变式2-1．已知、、，且满足，则的最小值为 . 变式2-2．已知． (1)若，证明与中至少有一个小于0； (2)若均为正数，求的最小值． 题型三：利用柯西不等式求根式的最值 典例3-1．柯西不等式（Cauchy—SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时即时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 典例3-2．已知x，y为正实数，，求函数的最大值． 变式3-1．求函数的最大值． 变式3-2．求函数（）的最大值． 题型四：利用柯西不等式求三角函数式的最值 典例4-1．的最小值为 . 变式4-1．已知为正数，且满足，求证：． 变式4-2．求的最小值． 题型五：利用柯西不等式求变量范围（值） 典例5-1．设，，，且. （1）求的最小值； （2）若成立，求实数的取值范围. 典例5-2．已知，求证：. 变式5-1．已知，且． （1）求的最小值； （2）若成立，求的取值范围． 变式5-2．已知实数a，b，c，d，e满足则e的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 题型六：利用反柯西不等式求最值 典例6-1．的最小值为 ． 变式6-1．为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是 ． 题型七：利用权方和不等式求最值 典例7-1．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 典例7-2．“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 变式7-1．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 变式7-2．权方和不等式是常用的不等式之一，其中二维权方和不等式是：已知为正数，，当且仅当时，等号成立.若x为锐角，则的最小值为 . 巩固过关 1．函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 3．（多选）柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式： ①对于所有实数和，有. ②等式条件：当且仅当时，等号成立. 例：已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知 ，，则 的最小值为 ． 5．存在正数使得不等式成立，则的最大值是 . 6．求函数（x，）的最大值． 7．设正数，，满足． (1)求的最小值； (2)求证：． 8．设正数，，满足． (1)求的最小值； (2)求证：． 9．某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数，满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是5. 10．利用二维柯西不等式：，求的最大值，并写出等号取到的条件； 11．在中，若，，求：的最小值； 12．正实数满足，求证：． 创新提升 1．（多选）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 2．正实数满足，求证：． 3．已知，，，求a的最大值． 4．若均为锐角，且满足.求证:. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专训03 柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型一：利用柯西不等式求整式的最值 2 题型二：利用柯西不等式求分式的最值 3 题型三：利用柯西不等式求根式的最值 6 题型四：利用柯西不等式求三角函数式的最值 7 题型五：利用柯西不等式求变量范围（值） 8 题型六：利用反柯西不等式求最值 10 题型七：利用权方和不等式求最值 11 重难专题分层过关练 13 巩固过关 13 创新提升 19 一、柯西不等式 1．二维形式的柯西不等式 （，当且仅当时，等号成立）. 2．二维形式的柯西不等式的变式 （1）（，当且仅当时，等号成立）. （2）（，当且仅当时，等号成立）. （3）（，当且仅当时，等号成立）. 3．柯西不等式的一般情形：，当且仅当时，等号成立． 4．柯西不等式的向量形式：，当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立． 二、反柯西不等式 1． 2．设；均为实数，或，则有．当且仅当，成比例时取等． 三、权方和不等式 1．二维形式：已知，则有（当且仅当时，等号成立）. 2．一般形式：设（…，），实数，则，当且仅当…时等号成立. 称之为权方和不等式. 为该不等式的和，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次. 题型一：利用柯西不等式求整式的最值 典例1-1．已知，且，则的最小值为 ． 【答案】36 【详解】由柯西不等式可得， 所以，即， 当且仅当即也即时取得等号， 故答案为:36. 典例1-2．设实数，满足，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】由柯西不等式知 ． 变式1-1．若实数x、y、z满足（a为常数），求的最小值． 【答案】 【详解】因为， 所以， 即，当且仅当时等号成立， 故，即的最小值为． 变式1-2．已知，求的最小值． 【答案】12 【详解】根据柯西不等式， ， 所以， 当且仅当时，即，，，时取到等号， 所以的最小值为12． 题型二：利用柯西不等式求分式的最值 典例2-1．已知，都在区间内，且，则函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解法一：因为， 所以，且， 又因为， 所以， 所以， ， 因为， 所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以， 所以的最小值为． 解法二：因为， 所以，且， 所以 ， 所以的最小值为． 故选：D． 典例2-2．已知正数a，b，c，d满足，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 又正数a，b，c，d满足，所以. （2）因为正数a，b，c，d满足， 所以由柯西不等式，可得 ， 当且仅当，时，等号成立， 故. 变式2-1．已知、、，且满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为、、，且满足， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 变式2-2．已知． (1)若，证明与中至少有一个小于0； (2)若均为正数，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：假设与中没有一个小于0，即， 因为，所以， 这与矛盾，所以假设不成立， 所以与中至少有一个小于0； （2）解：， 因为均为正数，所以由柯西不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为． 题型三：利用柯西不等式求根式的最值 典例3-1．柯西不等式（Cauchy—SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时即时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】该函数的定义域为，由柯西不等式可得： ， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 故选：A 典例3-2．已知x，y为正实数，，求函数的最大值． 【答案】 【详解】x，y为正实数，， 由柯西不等式可得， 即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故最大值为. 变式3-1．求函数的最大值． 【答案】5 【详解】根据题意，要使函数有意义则有，所以， 所以函数的定义域是，且， 利用柯西不等式可得， ， 当且仅当时等号成立，即时函数取最大值5． 故答案为：5. 变式3-2．求函数（）的最大值． 【答案】 【详解】 ． 当且仅当即时等号成立， 故Z的最大值为． 题型四：利用柯西不等式求三角函数式的最值 典例4-1．的最小值为 . 【答案】/ 【详解】 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 变式4-1．已知为正数，且满足，求证：． 【答案】详见解析 【详解】由柯西不等式，得 ≤＝． 【点睛】本题考查了柯西不等式证明不等式的方法，属于基础题． 变式4-2．求的最小值． 【答案】 【详解】由柯西不等式得： ． 所以，且当且仅当时等号成立． 故． 题型五：利用柯西不等式求变量范围（值） 典例5-1．设，，，且. （1）求的最小值； （2）若成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）或. 【详解】（1），且，由柯西不等式可得： ， 可得， 即的最小值为； （2）由柯西不等式可得 ； 可得， 即的最小值是， 若成立，则， 即或，解得:或. 【点睛】本题考查柯西不等式的运用，求最值，考查化简运算能力和推理能力，属于基础题型. 典例5-2．已知，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】由柯西不等式：， 当且仅当， 即， 即，即， 即，即， 即时等号成立， 因为， 则， ∴左边右边， ∴. 变式5-1．已知，且． （1）求的最小值； （2）若成立，求的取值范围． 【答案】(1) 最小值为．(2) 【详解】（1）由柯西不等式， 得： 即：， ，当且仅当时等号成立， 故：的最小值为． （2）由柯西不等式， 得：． 即： ， 当且仅当时取等号，只需， 解得：． 故：的取值范围为： 【点睛】本题考查了柯西不等式的运用能力，考查学生的计算能力．属于基础题 变式5-2．已知实数a，b，c，d，e满足则e的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】D 【详解】根据柯西不等式，有， 从而， 因此e的取值范围是． 故选：D. 题型六：利用反柯西不等式求最值 典例6-1．的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】 当且仅当即时取等号， 故的最小值为． 故答案为：. 变式6-1．为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是 ． 【答案】 【详解】由题意得， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即，则， 所以，最小值为，此时． 故答案为：. 题型七：利用权方和不等式求最值 典例7-1．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】B 【详解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立， 又，即， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以函数的最小值为25. 故选：B 典例7-2．“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以． 故选：C． 变式7-1．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 【答案】B 【详解】因为， 因为，所以，， 根据权方和不等式有：， 当且仅当时，即时等号成立. 所以函数的最小值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据权方和不等式定义将函数解析式变形，从而利用权方和不等式求最值. 变式7-2．权方和不等式是常用的不等式之一，其中二维权方和不等式是：已知为正数，，当且仅当时，等号成立.若x为锐角，则的最小值为 . 【答案】8 【详解】， 当且仅当时，即时，取等号. 故答案为：8 巩固过关 1．函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】，由，解得， 当时，，当，， 当，则， 此时且， 由柯西不等式可得， 当且仅当，即时取等号，此时，即， 所以函数的最大值为2. 故选：C. 2．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】B 【详解】由，则，， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 3．（多选）柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式： ①对于所有实数和，有. ②等式条件：当且仅当时，等号成立. 例：已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【详解】对于A选项，根据柯西不等式. 因为，所以，即. 所以，则，当且仅当时取等号， A选项正确. 对于B选项，令，，则. 根据柯西不等式. 即.当且仅当取等号， 所以，B选项错误. 对于C选项，根据柯西不等式. 因为，所以.当且仅当取等号.所以，C选项错误. 对于D选项，令，，则. 根据柯西不等式. 因为，所以.当且仅当取等号. 所以，D选项正确. 故选：AD. 4．已知 ，，则 的最小值为 ． 【答案】10 【详解】由,得 所以 当且仅当,即时,等号成立, 故的最小值为10. 故答案为：10. 【点睛】关键点点睛：结合条件特点,将目标函数转化为满足柯西不等式的形式,从而利用柯西不等式,当且仅当时,等号成立)求最小值,技巧性较强. 5．存在正数使得不等式成立，则的最大值是 . 【答案】3 【详解】解:由柯西不等式可知 由能成立. 故答案为：3. 6．求函数（x，）的最大值． 【答案】 【详解】根据柯西不等式得 即， 当，时等号成立, 所以函数的最大值为． 7．设正数，，满足． (1)求的最小值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由柯西不等式知：． ，， 当，，时，取到最小值为． （2）由柯西不等式和（1）得 ， ，所以． 8．设正数，，满足． (1)求的最小值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由三维形式的柯西不等式知： ． ，， 当且仅当，即，时，取最小值． （2）由柯西不等式知： ， 所以． 9．某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数，满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是5. 【详解】这种解法不正确. 原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立. 由，消去得，因为，所以本方程无实数解， 所以，的最大值不是5. 10．利用二维柯西不等式：，求的最大值，并写出等号取到的条件； 【详解】已知柯西不等式， 令，，，，则有. 计算不等式右边的值：， 即. 因为， 对两边同时开平方可得. 当且仅当，即时，等号成立. 对两边同时平方可得， 展开得，解得. 因此的最大值，当且仅当取得. 11．在中，若，，求：的最小值； 【详解】根据柯西不等式：                 （当且仅当为正三角形时取等号）     即：的最小值为48. 12．正实数满足，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】由柯西不等式：， 故， 同理，， ， 因为，所以， 所以 ， 所以． 创新提升 1．（多选）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由得：， （当且仅当，即时取等号）， （当且仅当时取等号）， 即当时，， ，解得：，可能的取值为. 故选：BCD. 2．正实数满足，求证：． 【答案】证明见解析. 【详解】因为. 所以. 同理. 由柯西不等式 所以 即,证毕 【点睛】结论点睛： 3．已知，，，求a的最大值． 【答案】． 【详解】令，，所以，， 因为，所以， 所以， 又， 得， 得，即a的最大值为． 4．若均为锐角，且满足.求证:. 【答案】证明见解析 【详解】如图，设为长方体的3条棱长， 其对角线与面，面，面所成角分别为， 则，且 则 ，， 因，等号成立时， 则，等号成立时， 故 . 当且仅当，即 时取等号. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$