第12讲 角（暑假预习讲义）新七年级数学新教材华东师大版

第12讲 角 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 角的相关概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点2 角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位。 知识点3 钟表上夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 知识点4 方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意： （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 知识点5 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点6 角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差， 记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点7 余角和补角 （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A （3）补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （4）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 注意： ①钝角没有余角； ②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角； ③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。 教材习题01 解题方法 角度的换算 【答案案】 教材习题02 解题方法 线段的运算 【答案】 教材习题03 解题方法 线段的运算 【答案】 教材习题04 解题方法 线段的运算 【答案】 教材习题05 解题方法 角的运算 【答案】 / 考点一 角的概念及表示 1．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图，下列说法中不正确的是（    ）    A．与是同一个角 B．也可以用表示 C． D．可以看作射线绕着它的端点O旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点O的两条射线组成的图形 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，从点O出发的四条射线．可以组成角的个数为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，下列说法不正确的是（   ） A．和是同一个角 B．也可以用表示 C．图中有三个角 D．和是同一个角 4．（24-25七年级上·河南许昌·期末）如图是平板电脑支架侧面的平面示意图，其中还可以表示为（   ） A． B． C． D． 考点二 度分秒换算 1．（24-25六年级下·山东泰安·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）将化表示为度 ． 3．（2025·浙江湖州·一模）把角度转化成度的形式： 4．（2025·湖南张家界·二模）已知，，则 （填“”，“”或“”）． 考点三 钟面角 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）时钟9点30分时，分针和时针之间形成的角的大小等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）在正常的钟表面上，时间为时，时针与分钟所夹的角是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图，在这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）从到，钟表的分针旋转了 ． 考点四 方位角 1．（2025·河北邯郸·一模）甲、乙、丙三家的位置如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．丙家在甲家北偏西方向 B．甲家在丙家南偏东方向 C．甲家在乙家南偏西方向 D．丙家在乙家北偏东方向 2．（2025·河北邯郸·二模）如图，已知从点看点，仰角为，嘉淇做一个数学游戏，把由仰角描述换成用方向角来描述，则点位于点的（    ） A．南偏西方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上 3．（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，我国山东号航空母舰行驶在B处，同时测得黄岩岛A、中国海军南昌号驱逐舰C的方向分别为北偏西和西南方向，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·河北沧州·期末）如图，已知点E在点O的东北方向，点D在点O的北偏西方向，那么的度数为 度． 考点五 角的基本运算 1．（2025·河南焦作·模拟预测）如图，，，是的平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏宿迁·三模）如图，直线、相交于点，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）如图，直线和相交于点O，平分，，若，则的度数为 ． 考点六 余角及及性质 1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，则它的余角为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25七年级上·云南临沧·期末）已知与互为余角，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江西抚州·二模）若一个角的余角为，则这个角的度数为 ． 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）已知，与互余，则的度数为 ． 考点七 补角及性质 1．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）若，则的补角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·期中）下列选项中，一定能说明和互为补角的是（   ） A． B． C．和是对顶角 D． 3．（24-25七年级上·陕西延安·期末）已知，则的补角是 ． 4．（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）已知一个角的余角是，则这个角的补角是 ． 考点八 角的综合运算 1．（22-23七年级上·广西河池·期末）如图，平分，平分，，求的度数． 2．（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，已知点O为直线上一点，，平分，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 3．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）如图，，是的平分线，和互余，求的度数． 4．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）如图，直线，相交于点O，且． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 5．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图所示，是平角，，，是内的一条射线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若是的平分线，求的度数． 知识导图记忆 知识目标复核 1. 角的概念及表示 2. 度分秒换算 3. 钟面角 4. 方位角 5. 角的基本运算 6. 余角及及性质 7. 补角及性质 8. 角的综合运算 一、单选题 1．（2025·广东清远·二模）若一个角的补角是，则这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，直线，交于点，平分，若，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河南南阳·二模）星期天看菊展时爸爸与妈妈走散了，爸爸通过微信位置共享发现妈妈位于他北偏西方向，则爸爸的位置位于妈妈的（    ） A．北偏东方向B．南偏西方向 C．南偏东方向 D．南偏东方向 4．（2025九年级下·江苏·专题练习）如图，为内部的一条射线，下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）学校下午考试，考试时间为90分钟，则考试结束时时针与分针所夹锐角为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·四川雅安·期中）已知，，则的度数为 ． 7．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么 ． 8．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，若，，，求的度数为 ． 9．（2025七年级下·河南郑州·专题练习）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的补角的度数是 ． 10．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，若，，，求的度数为 ． 3、 解答题 11．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知，C为的中点，回答下列问题： (1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？ (2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？ (3)若学校距离小明家，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 12．（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，与互为补角，与位于异侧，与互为余角，与位于异侧，且． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 13．（24-25七年级上·湖南常德·期末）如图，已知点是直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 角 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 角的相关概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点2 角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位。 知识点3 钟表上夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 知识点4 方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意： （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 知识点5 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点6 角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差， 记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点7 余角和补角 （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A （3）补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （4）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 注意： ①钝角没有余角； ②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角； ③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。 教材习题01 解题方法 角度的换算 【答案案】 （1） （2） （3） 教材习题02 解题方法 线段的运算 【答案】 教材习题03 解题方法 线段的运算 【答案】 教材习题04 解题方法 线段的运算 【答案】 教材习题05 解题方法 角的运算 【答案】 / 考点一 角的概念及表示 1．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图，下列说法中不正确的是（    ）    A．与是同一个角 B．也可以用表示 C． D．可以看作射线绕着它的端点O旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点O的两条射线组成的图形 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的表示方法．根据角的表示方法即可得出结果． 【详解】解：A、与是同一个角，说法正确，故本选项不符合题意； B、不可以用表示，原说法错误，故本选项符合题意； C、，说法正确，故本选项不符合题意； D、可以看作射线绕着它的端点O旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点O的两条射线组成的图形，说法正确，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，从点O出发的四条射线．可以组成角的个数为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了角的概念，熟练掌握知识点是解题的关键．根据角的概念，每一条射线都分别与其它的射线组成一个角，所以从点O出发的n条射线，可以组成角的个数为，据此求出从点O出发的四条射线可以组成角的个数为多少即可． 【详解】解：从点O出发的四条射线，可以组成角的个数为：， 故选：B． 3．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，下列说法不正确的是（   ） A．和是同一个角 B．也可以用表示 C．图中有三个角 D．和是同一个角 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的概念和表示，解题的关键是掌握角的表示方法．根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如，，、…）表示，或用阿拉伯数字（，…）表示进行分析即可． 【详解】解：A、和是同一个角，说法正确，不符合题意； B、不能用表示，故原说法错误，符合题意； C、图中有、和三个角，说法正确，不符合题意； D、和是同一个角，说法正确，不符合题意． 故选：B． 4．（24-25七年级上·河南许昌·期末）如图是平板电脑支架侧面的平面示意图，其中还可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法．角的表示方法有四种：用三个字母，中间的字母表示顶点，其它两个字母分别表示角的两边上的点；当以某点为顶点的角只有一个时，可以只用这个角的顶点字母表示；用一个数字表示一个角；用一个希腊字母表示一个角． 【详解】解：的顶点是点，的两条边分别是和，其中点在边上，点在边上， 还可以表示为． 故选：B ． 考点二 度分秒换算 1．（24-25六年级下·山东泰安·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的单位转化，解题关键是明确，按照角的度量单位进行转化即可判断． 【详解】A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项正确， 故选：D． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）将化表示为度 ． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·浙江湖州·一模）把角度转化成度的形式： 【答案】 【分析】本题考查了角度的单位制，熟练掌握角度单位制的换算是解题关键．根据可得，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2025·湖南张家界·二模）已知，，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，首先根据把化成，再比较和的大小即可． 【详解】解： ， ． 故答案为： ． 考点三 钟面角 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）时钟9点30分时，分针和时针之间形成的角的大小等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了钟面角，根据时钟上每大格代表计算即可得解． 【详解】解：时钟9点30分时，分针和时针之间形成的角的大小等于， 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）在正常的钟表面上，时间为时，时针与分钟所夹的角是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了钟面角．根据时钟上一大格是进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴在正常的钟表面上，时间为时，时针与分钟所夹的角是， 故选：B． 3．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图，在这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了钟面角，正确理解题意得到6点20分，时针和分针中间相差个大格是解题的关键．6点20分时，时针指向6和7的中间，分针指向4，则时针和分针中间相差个大格，再根据一大格为30度进行求解即可． 【详解】解： 6点20分，时针和分针中间相差个大格． ∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， ∴6点20分时分针与时针的夹角是． 故选：B． 4．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）从到，钟表的分针旋转了 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查钟表时针与分针的夹角，在钟表问题中，应明确钟表分12个大格，每个大格之间的夹角为．从到，钟表的分针从数字9旋转到数字12，共旋转了3大格，是：，据此即可解题． 【详解】解：， 答：从到，钟表的分针旋转了． 故答案为：． 考点四 方位角 1．（2025·河北邯郸·一模）甲、乙、丙三家的位置如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．丙家在甲家北偏西方向 B．甲家在丙家南偏东方向 C．甲家在乙家南偏西方向 D．丙家在乙家北偏东方向 【答案】D 【分析】根据方向角的应用，判定解答即可． 本题考查了方向角的应用，熟练掌握方向角是解题的关键． 【详解】解：A. 丙家在甲家南偏东方向，此选项不符合题意； B. 甲家在丙家北偏西方向，此选项不符合题意； C. 甲家在乙家北偏东方向，此选项不符合题意；     D. 丙家在乙家北偏东方向，此选项符合题意； 故选：D． 2．（2025·河北邯郸·二模）如图，已知从点看点，仰角为，嘉淇做一个数学游戏，把由仰角描述换成用方向角来描述，则点位于点的（    ） A．南偏西方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上 【答案】D 【分析】本题考查了仰角与方向角；过A作水平方向射线，垂直方向射线，则，；由此可求得，从而可确定点位于点的方向． 【详解】解：过A作水平方向射线，垂直方向射线，则，； 则， ∴点位于点的方向为北偏东方向上． 故意选：D． 3．（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，我国山东号航空母舰行驶在B处，同时测得黄岩岛A、中国海军南昌号驱逐舰C的方向分别为北偏西和西南方向，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方向角的定义，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．根据方向角的定义计算即可． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ． 故选：C． 4．（24-25七年级上·河北沧州·期末）如图，已知点E在点O的东北方向，点D在点O的北偏西方向，那么的度数为 度． 【答案】77 【分析】本题考查了方向角：方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于九十度的角．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北偏东（西）多少度或南偏东（西）多少度，若正好为45度，则表示为西（东）南（北）． 利用方向角的定义求解即可． 【详解】解：∵D在点O的北偏西方向，E在点O的东北方向，， ∴， 故答案为：． 考点五 角的基本运算 1．（2025·河南焦作·模拟预测）如图，，，是的平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线定义，角度和差，先求出，又是的平分线，则，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故选：． 2．（2025·江苏宿迁·三模）如图，直线、相交于点，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得，结合平分，求得，根据，解答即可． 本题考查了平角的定义，角的平分线，对顶角相等，熟练掌握角的平分线，平角的定义是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）如图，直线和相交于点O，平分，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的性质，平角的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．根据角平分线的性质求得，再根据平角的性质，即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 考点六 余角及及性质 1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，则它的余角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个角的余角，掌握余角的概念是解题的关键；根据余角的概念：和为90度的两个角互为余角，进行求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 2.（24-25七年级上·云南临沧·期末）已知与互为余角，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查余角的概念及角度的计算，解题的关键是明确互余的两个角之和为，并掌握角度的度分换算规则。 根据余角的定义，用减去的度数，再进行度分的换算，从而得出的度数。 【详解】解：与互为余角， ， ． 。 ，将写成， ， ， 故选：A． 3．（2025·江西抚州·二模）若一个角的余角为，则这个角的度数为 ． 【答案】/54度 【分析】本题考查余角的定义．根据两个角的和是，那么这两个角互为余角解答即可． 【详解】解：根据余角的定义知，这个角的度数为， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）已知，与互余，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了余角的计算，互余的两个角和为，据此即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 考点七 补角及性质 1．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）若，则的补角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了补角的概念及计算，掌握补角的概念和计算方法是关键． 补角是指如果两个角的和是，那么这两个角叫互为补角，由此即可求解． 【详解】解：若，则的补角， 故选：D ． 2．（24-25七年级下·全国·期中）下列选项中，一定能说明和互为补角的是（   ） A． B． C．和是对顶角 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了补角的定义．解答的关键是熟练掌握补角的定义：如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角．根据补角的概念求解即可． 【详解】如果与互为补角，那么． 故选：D． 3．（24-25七年级上·陕西延安·期末）已知，则的补角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了补角的定义，熟练掌握互为补角的两个角的和等于是解题的关键．根据补角的定义即可求解． 【详解】解：， 的补角． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）已知一个角的余角是，则这个角的补角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个角的余角、补角，由余角的定义得，由补角的定义即可求解；理解余角、补角的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得 这个角的为：， 这个角的补角是：， 故答案为：． 考点八 角的综合运算 1．（22-23七年级上·广西河池·期末）如图，平分，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据角平分线的定义，以及角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 2．（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，已知点O为直线上一点，，平分，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、余角的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，利用平角的定义求出的度数，再利用角平分线的定义即可求出的度数； （2）根据余角的定义得到，结合（1）中的结论即可求解． 【详解】（1）解：平分，， ， ， 又平分， ， 的度数为． （2）解：与互余， ， ， 由（1）得，，， ， 的度数为． 3．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）如图，，是的平分线，和互余，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义以及余角的知识，首先根据角平分线的定义求得，然后根据余角的定义，通过计算的度数，进而即可求解． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴ ∵和互余， ∴， ∴ 4．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）如图，直线，相交于点O，且． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的和差关系，熟练掌握角的和差关系是解决本题的关键． （1）利用平角定义进行计算即可解答； （2）根据，求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：， ， 的度数为； （2），， ， ， ， 的度数为． 5．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图所示，是平角，，，是内的一条射线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若是的平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平角的性质． （1）利用平角的定义求得，再根据角的和差求解即可； （2）利用角平分线的定义分别求得和的度数，再利用平角的定义求解即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 因为， 所以； （2）解：因为，， 是的平分线，是的平分线， 所以， ， 所以． 知识导图记忆 知识目标复核 1. 角的概念及表示 2. 度分秒换算 3. 钟面角 4. 方位角 5. 角的基本运算 6. 余角及及性质 7. 补角及性质 8. 角的综合运算 一、单选题 1．（2025·广东清远·二模）若一个角的补角是，则这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个角的补角；根据和为的两个互为补角即可求解． 【详解】解：， 即这个角为； 故选：D． 2．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，直线，交于点，平分，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，先由平角的定义求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，据此根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2025·河南南阳·二模）星期天看菊展时爸爸与妈妈走散了，爸爸通过微信位置共享发现妈妈位于他北偏西方向，则爸爸的位置位于妈妈的（    ） A．北偏东方向B．南偏西方向 C．南偏东方向 D．南偏东方向 【答案】C 【分析】本题主要考查了方向角的概念，掌握方向角的定义是解题的关键，根据妈妈位于爸爸的方向与爸爸位于妈妈的方向相反且度数相同即可得出答案． 【详解】解：∵妈妈位于爸爸北偏西方向， ∴爸爸位于妈妈的南偏东方向， 故选：C． 4．（2025九年级下·江苏·专题练习）如图，为内部的一条射线，下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的大小比较，掌握角的和差关系及整体和部分的关系是解决本题的关键． 利用角的平分线的定义及角的和差关系可得结论． 【详解】解：∵是角内的一条射线，不是角的平分线，所以选项A错误，不符合题意； ∵， 由于部分小于整体，所以选项B、C错误，不符合题意； 由于整体大于部分，所以选项D正确，符合题意． 故选：D． 5．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）学校下午考试，考试时间为90分钟，则考试结束时时针与分针所夹锐角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查钟面角的问题，解题的关键是明确钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，根据钟表上的角度我们知道一圈有12大格，每个大格的角度为，利用钟表表盘的特征解答． 【详解】解：学校下午考试，考试时间为90分钟， ∴考试结束时为下午3点30分， 3点30分，时针和分针中间相差2.5个大格， ∴钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， ∴点30分分针与时针的夹角是． 故选：B． 二、填空题 6．（24-25七年级下·四川雅安·期中）已知，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的计算．通过分析，可知有两种情况：①在左边；②在右边，画图后分别计算即可． 【详解】解：①在左边，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②在右边，如图， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：或． 7．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查角的计算，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键，根据两个直角三角形的直角顶点重合，，从而可推出，，结合两个式子即可求出的度数． 【详解】解：∵两个直角三角形的直角顶点重合，且， ∴，， ∴, 故答案为：． 8．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，若，，，求的度数为 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查了几何图中角度的计算，设，则，，根据求出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025七年级下·河南郑州·专题练习）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的补角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角、方向角及其计算，基础性较强． 根据已知条件可直接确定的度数，再根据补角的定义即可求解． 【详解】解：因为是表示北偏东方向的一条射线，是表示南偏东方向的一条射线， 所以， 所以的补角的度数是． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，若，，，求的度数为 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查了几何图中角度的计算，设，则，，根据求出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3、 解答题 11．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知，C为的中点，回答下列问题： (1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？ (2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方位？哪两个地方的方位是相同的？ (3)若学校距离小明家，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 【答案】(1)学校和公园 (2)商场在小明家北偏西方向上，学校在小明家北偏东方向上，公园在小明家南偏东方向上，停车场在小明家南偏东方向上；公园和停车场的方位相同 (3)； 【分析】本题主要考查了用方位角和距离确定位置，正确读懂图示是解题的关键． （1）求出的长，得到即可得到答案； （2）根据图示结合方位角的表示方法求解即可； （3）根据题意可知地图上表示实际，据此列式求解即可． 【详解】（1）解：∵C为的中点，， ∴， ∴， ∴图中距小明家距离相同的是学校和公园； （2）解：由题意得，商场在小明家北偏西方向上， 学校在小明家北偏东方向上， 公园在小明家南偏东方向上， 停车场在小明家南偏东方向上， ∴公园和停车场的方位相同． （3）解：∵学校距离小明家， ∴商场距离小明家，停车场距离小明家． 12．（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，与互为补角，与位于异侧，与互为余角，与位于异侧，且． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，余角和补角，解题的关键是利用角平分线的定义找出各角之间的关系． （1）根据和平角的定义即可求解； （2）根据与互为余角，求出，再根据平分，求出，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ． （2）解：， ， 平分， ， ． 13．（24-25七年级上·湖南常德·期末）如图，已知点是直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查余角、平角的定义，角平分线的定义及角的计算，灵活运用角的和差求解相关角的度数是解题的关键． （1）由已知角度结合平角的定义可求解的度数，再利用角平分线的定义可求解； （2）根据余角的定义求出，再利用角平分线的定义结合角的和差可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵与互余， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$