精品解析：2025年湖北省初中学业水平考试数学试卷（白）

2025年湖北省初中学业水平考试 数学 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟．注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列常见的几何体中，左视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 某不等式组的解集在数轴上表示为如图所示，则该不等式组的解集是（　　） A. B. C. 或 D. 或 4. 下列各式中，计算结果等于的是（　　） A. B. C. D. 5. 汽车大灯通常由灯泡、反光镜和配光镜三部分组成．如图，光源位于焦点处，光线经反射后平行于地面射出，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 端午节是我国四大传统节日之一，吃粽子是端午节的传统习俗，端午节这天小颖的妈妈买了只红豆粽和只红枣粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小颖从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，四边形是的内接四边形，连接，延长至点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 俄罗斯方块是一款经典休闲益智游戏，如图是小宇玩俄罗斯方块时某一时刻的截图，若在以为原点建立的平面直角坐标系中，小宇将上方的方块先向左移动2个格子，再向下移动6个格子后，点恰好落在点处，则上方的方块移动前点所在位置的坐标为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，将正五边形剪掉一个角（裁剪线不经过顶点），则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 已知二次函数有最小值，点是该函数对称轴左侧图象上的点，点是对称轴右侧图象上的点，若，则下列关于与大小关系表述正确的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 计算：=______． 12. 已知一次函数，则当增加1时，的值增加______． 13. 食物中一般有蛋白质、脂肪、膳食纤维等营养成分，这些营养成分都是人体所需的，在平时需要做到营养均衡，科学饮食．如图是小米中蛋白质、脂肪、膳食纤维的含量统计图，则小米中蛋白质共有_______． 14. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，书中有一道题，其大意为：现有走路慢的人先走10里，令走路快的人去追，追到100里时，已经领先走路慢的人20里．问走路快的人走到多少里时就已经追上走路慢的人？设走路快的人走到里时就已经追上走路慢的人，则可列方程___________． 15. 如图，在正方形纸片中，是的中点，连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接并延长交于点，则线段与位置关系为_______，_____． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 化简：． 17. 定滑轮的目的是改变力的方向，使得施力方向转变为容易出力的方向．某班“综合与实践”小组的同学在课余时间测量“定滑轮距地面的高度”．如图，点均在同一竖直平面内，在点处测得定滑轮的仰角为，小组成员站在处，拉动绳子，使得物体移动至点处，在点处测得定滑轮的仰角为，物体从点移动到点处绳子收回的长度为，已知物体的高度．求定滑轮距地面的高度．（结果精确到，参考数据：， 18. 电动平衡车采用电能驱动，不仅有助于环境保护，而且轻便易携，受到广大群众的喜爱．甲、乙两个品牌的电动平衡车都宣传他们的产品在正常情况下最大续航里程不低于，相关部门分别对两个品牌电动平衡车的最大续航里程做了抽样调查，统计结果（单位：）如下： 甲品牌：； 乙品牌：； 甲、乙两个品牌电动平衡车调查数据统计表 （质检部门规定该产品最大续航里程不低于为合格产品） 平均数 中位数 众数 合格率 甲品牌 14.7 14.6 70% 乙品牌 14.7 14.9 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：____，______，_____； （2）若你是顾客，宜选择哪个品牌的电动平衡车？结合上表平均数、中位数、众数、合格率等数据说明理由． 19. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，连接．已知的面积为6． （1）求反比例函数的解析式及点的坐标； （2）是轴负半轴上一点，平分，现有条件： ①过点作轴的垂线，交于点； ②点在上（不与点重合），点在轴负半轴上，． 请从①②中任选一个作为已知条件，求出点的横坐标． 20. 如图，在矩形中，为对角线． （1）请用无刻度的直尺和圆规作对角线的垂直平分线，分别交，的延长线于点，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的基础上连接，求证：是等腰三角形． 21. 如图，内接于为的直径，过点作的平行线交于点，交于点，点在的延长线上，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 22. 某校学生为了参加学校组织的“投篮大赛”，利用课后时间积极地进行备赛训练．如图是小明训练投篮时的示意图，身高1.75米的小明将篮球从头顶上方0.25米处出手，已知篮筐中心到地面的距离为3.05米，当距出手处的水平距离为2.5米时，篮球达到最大高度为3.25米，篮球的轨迹示意图可近似看作抛物线的一部分，以小明起跳点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）小明投出球后，小刚在小明与篮筐之间跳起防守，已知小刚最高能摸到2.45米，则在球上升的过程中，小刚与小明的距离在什么范围内小刚才能在空中截住篮球？ （3）已知小明在距篮筐水平距离3.8米的位置，在只改变起跳高度的情况下，通过计算说明小明要竖直起跳多少米才能直接投中？ 23. 【问题背景】如图1，在中，，点在上（不与点重合），交于点为的中点，连接并延长至点，使，连接，将绕点逆时针旋转，如图2，连接，探究在绕点旋转的过程中，线段与的数量关系与位置关系． 【特例探究】 （1）①若，则______，与所在直线夹角（锐角）的度数为______； ②若，则_______，与所在直线夹角（锐角）的度数为______； 【得出结论】 （2）如图2，若，则线段与之间有怎样的数量关系（用含的式子表示），与所在直线夹角（锐角）的度数为多少？证明你的结论； 【深入探究】 （3）如图3，若的旋转角为，当点到直线的距离为2时，求的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴正半轴交于点，点的坐标为，且． （1）求抛物线的解析式； （2）点为直线上方抛物线上一动点，过点作于点，设点的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长； ②连接，求四边形面积的最大值，并直接写出此时的长； （3）设点的坐标为，点的坐标为，连接，当抛物线和线段只有一个公共点时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年湖北省初中学业水平考试 数学 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟．注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3， 故选D． 【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键． 2. 下列常见的几何体中，左视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了常见几何体的三视图，解题关键在于找准观察方位．利用左视图是从物体左面看，所得到的图形，进而分析得出即可．． 【详解】解：A圆锥的左视图是三角形，故此选项符合题意；； B三棱柱的左视图为长方形，故此选项不符合题意； C正方体的左视图是正方形，故此选项不符合题意； D圆柱的左视图是长方形，故此选项不符合题意； 故选：A 3. 某不等式组的解集在数轴上表示为如图所示，则该不等式组的解集是（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据数轴即可求解， 【详解】解：由数轴可得，该不等式组的解集为， 故选：A． 4. 下列各式中，计算结果等于的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方、幂的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 根据积的乘方、幂的乘方运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A． ，不符合题意； B． ，符合题意； C． ，不符合题意； D． ，不符合题意． 故选B． 5. 汽车大灯通常由灯泡、反光镜和配光镜三部分组成．如图，光源位于焦点处，光线经反射后平行于地面射出，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等可得，然后利用三角形的外角性质即可得解． 【详解】解：由题意可得，如图， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 端午节是我国四大传统节日之一，吃粽子是端午节的传统习俗，端午节这天小颖的妈妈买了只红豆粽和只红枣粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小颖从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率公式直接求解即可． 【详解】解：只红豆粽和只红枣粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小颖从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是 故选：B． 【点睛】本题考查了概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 7. 如图，四边形是的内接四边形，连接，延长至点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，弧与弦之间的关系，等边对等角，三角形内角和定理，由弧与弦之间的关系可得，由等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由圆内接四边形对角互补和平角的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：， ∴， ∴， 四边形是的内接四边形， ∴ ， 故选：D． 8. 俄罗斯方块是一款经典休闲益智游戏，如图是小宇玩俄罗斯方块时某一时刻的截图，若在以为原点建立的平面直角坐标系中，小宇将上方的方块先向左移动2个格子，再向下移动6个格子后，点恰好落在点处，则上方的方块移动前点所在位置的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标平移的性质：上下平移只改变点的纵坐标，上加下减；左右平移只改变点的横坐标，左减右加，据此求解即可． 【详解】点先向左移动2个格子，再向下移动6个格子后的位置为点， 将点先向上移动6个格于，再向右移动2个格子后得到点 ∴上方的方块移动前点所在位置的坐标为， 故选：C． 9. 如图，将正五边形剪掉一个角（裁剪线不经过顶点），则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角、多边形的内角和公式等知识点，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 由正多边形的性质可得，则，再求出六边形的内角和为，最后根据等于六边形的内角和减去即可解答． 【详解】解：∵五边形是正五边形，， ∴， ∵六边形的内角和为：， ， 故选：D． 10. 已知二次函数有最小值，点是该函数对称轴左侧图象上的点，点是对称轴右侧图象上的点，若，则下列关于与大小关系表述正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、整式大小比较等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 由二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，；再根据题意可得、，然后表示出和并运用作差法比较大小即可． 【详解】解：二次函数有最小值，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，即， ∵点是该函数对称轴左侧图象上的点，点是对称轴右侧图象上的点， ∴，即 ∵， ∴， ， ∴． 故选：A． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 计算：=______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，根据立方根，负整数指数幂进行运算，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 12. 已知一次函数，则当增加1时，的值增加______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质.直接将代入比较即可. 【详解】当增加1时， ． 当增加1时，的值增加2． 故答案为：2 13. 食物中一般有蛋白质、脂肪、膳食纤维等营养成分，这些营养成分都是人体所需的，在平时需要做到营养均衡，科学饮食．如图是小米中蛋白质、脂肪、膳食纤维的含量统计图，则小米中蛋白质共有_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，条形统计图. 直接用蛋白质含量除以再乘以即可. 【详解】． 故答案为： 14. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，书中有一道题，其大意为：现有走路慢的人先走10里，令走路快的人去追，追到100里时，已经领先走路慢的人20里．问走路快的人走到多少里时就已经追上走路慢的人？设走路快的人走到里时就已经追上走路慢的人，则可列方程___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意找到等量关系是解题的关键． 设走路快的人走x步就能追上走路慢的人，根据时间、路程、速度结合时间相同，列出方程即可解答． 【详解】解：设走路快的人走x步就能追上走路慢的人， 根据题意，得． 故答案为：． 15. 如图，在正方形纸片中，是的中点，连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接并延长交于点，则线段与位置关系为_______，_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，由折叠的性质可得，根据等边对等角得到，可得，进而证明四边形是平行四边形，即可证明；设，由勾股定理可得，证明，求出，即可求出，计算即可. 【详解】解：如图，连接，由折叠的性质可得， 是的中点， ， 四边形是平行四边形， ，. 设，则 ， 即 ． 故答案为：；； 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键. 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式混合运算，先算小括号里面的异分母分式减法，然后再算分式除法，得出结果即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 17. 定滑轮的目的是改变力的方向，使得施力方向转变为容易出力的方向．某班“综合与实践”小组的同学在课余时间测量“定滑轮距地面的高度”．如图，点均在同一竖直平面内，在点处测得定滑轮的仰角为，小组成员站在处，拉动绳子，使得物体移动至点处，在点处测得定滑轮的仰角为，物体从点移动到点处绳子收回的长度为，已知物体的高度．求定滑轮距地面的高度．（结果精确到，参考数据：， 【答案】定滑轮距地面的高度约为． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作，交的延长线于点，连接并延长交于点，分别解，，根据绳子收回的长度为，列出方程求出的长，再根据线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如解图，过点作，交的延长线于点，连接并延长交于点． 根据题意，得， 在中， ， ， 在中， ， ， 绳子收回的长度为， ， 解得， ， 答：定滑轮距地面的高度约为． 18. 电动平衡车采用电能驱动，不仅有助于环境保护，而且轻便易携，受到广大群众的喜爱．甲、乙两个品牌的电动平衡车都宣传他们的产品在正常情况下最大续航里程不低于，相关部门分别对两个品牌电动平衡车的最大续航里程做了抽样调查，统计结果（单位：）如下： 甲品牌：； 乙品牌：； 甲、乙两个品牌电动平衡车调查数据统计表 （质检部门规定该产品最大续航里程不低于为合格产品） 平均数 中位数 众数 合格率 甲品牌 14.7 14.6 70% 乙品牌 14.7 14.9 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：____，______，_____； （2）若你是顾客，宜选择哪个品牌的电动平衡车？结合上表平均数、中位数、众数、合格率等数据说明理由． 【答案】（1），15，； （2）选择乙品牌的电动平衡车， 理由如下： 乙品牌的中位数、众数和合格率都高于甲品牌， 选择乙品牌的电动平衡车．（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数的定义. （1）根据中位数，众数的定义可求出a，b的值，用大于等于13的数量除以总数即可求出m的值； （2）根据中位数，众数和合格率作答即可. 【小问1详解】 将从甲品牌得到的10个数据按照从小到大的顺序排列，位于最中间的两个数为， 中位数； 从乙品牌得到的10个数据中，15出现的次数最多，出现了3次， 众数为15 大于等于13的数据为8个， ． 故答案为：，15，80%； 【小问2详解】 略 19. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，连接．已知的面积为6． （1）求反比例函数的解析式及点的坐标； （2）是轴负半轴上一点，平分，现有条件： ①过点作轴的垂线，交于点； ②点在上（不与点重合），点在轴负半轴上，． 请从①②中任选一个作为已知条件，求出点的横坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，； （2）①选条件①，点的横坐标为；②选条件②，点的横坐标为． 【解析】 【分析】（1）由的面积为6，结合k的几何意义可得反比例函数的解析式，再由A的横坐标可得A的纵坐标； （2）选条件①：如解图①，设与轴的交点为，由轴，可知轴，故，根据角平分线的性质可得，因此，根据等腰三角形的性质得，结合即可求出答案． 选条件②：如解图②，连接交轴于点，由勾股定理得，根据已知，可得， 由角平分线的性质可得，因此，再证明四边形是平行四边形，故轴，，利用即可求出答案． 【小问1详解】 解：的面积为轴， ， 反比例函数的图象在第一象限， ， 反比例函数的解析式为， 点在反比例函数的图象上， ， 解得， ； 【小问2详解】 选条件①： 如解图①，设与轴的交点为， ， ， 轴， 轴，， ， 平分， ， ， ， ， 点的横坐标为． 或选条件②： 如解图②，连接交轴于点， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是平行四边形， 轴，， ， ， 点的横坐标为． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质是解决问题的关键． 20. 如图，在矩形中，为对角线． （1）请用无刻度的直尺和圆规作对角线的垂直平分线，分别交，的延长线于点，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的基础上连接，求证：是等腰三角形． 【答案】（1） 作图如图①； （2） 证明：如图②，设与交于点， 是的垂直平分线， ， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ∵ ， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）直接根据题意作图即可； （2）设与交于点，由是的垂直平分线得到，由四边形是矩形证明，进而证明，进而可证是等腰三角形. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键. 21. 如图，内接于为的直径，过点作的平行线交于点，交于点，点在的延长线上，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：内接于为的直径， ， ， ，即， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，切线的判定，三角函数，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）由题意可得，根据平行线的性质可得，根据可证，即可证明是的切线； （2）根据三角函数求出，根据勾股定理求出，根据计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是的中点，， 是的中点， ， ， ， 在中，， ， ， ． 22. 某校学生为了参加学校组织的“投篮大赛”，利用课后时间积极地进行备赛训练．如图是小明训练投篮时的示意图，身高1.75米的小明将篮球从头顶上方0.25米处出手，已知篮筐中心到地面的距离为3.05米，当距出手处的水平距离为2.5米时，篮球达到最大高度为3.25米，篮球的轨迹示意图可近似看作抛物线的一部分，以小明起跳点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）小明投出球后，小刚在小明与篮筐之间跳起防守，已知小刚最高能摸到2.45米，则在球上升的过程中，小刚与小明的距离在什么范围内小刚才能在空中截住篮球？ （3）已知小明在距篮筐水平距离3.8米的位置，在只改变起跳高度的情况下，通过计算说明小明要竖直起跳多少米才能直接投中？ 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）在球上升的过程中，小刚与小明的距离在0.5米以内才能在空中截住篮球； （3）小明要竖直起跳0.138米才能直接投中． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用. （1）设抛物线的解析式为，把点代入求解即可； （2）将代入计算即可； （3）设改变起跳高度后的抛物线解析式为将点代入计算即可. 【小问1详解】 解：由题意可得抛物线顶点坐标为， （米）， 当时，， 设抛物线的解析式为， 把点代入， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 令，则， 解得． 要在球上升的过程中截住篮球， ， 在球上升的过程中，小刚与小明的距离在0.5米以内才能在空中截住篮球； 【小问3详解】 改变起跳高度只是对抛物线进行上下平移，而篮球飞行的抛物线形状不变， 设改变起跳高度后的抛物线解析式为 小明距篮筐水平距离为3.8米，篮筐中心到地面的距离为3.05米， 将点代入， 得， 解得， 小明要竖直起跳0.138米才能直接投中． 23. 【问题背景】如图1，在中，，点在上（不与点重合），交于点为的中点，连接并延长至点，使，连接，将绕点逆时针旋转，如图2，连接，探究在绕点旋转的过程中，线段与的数量关系与位置关系． 【特例探究】 （1）①若，则______，与所在直线夹角（锐角）的度数为______； ②若，则_______，与所在直线夹角（锐角）的度数为______； 【得出结论】 （2）如图2，若，则线段与之间有怎样的数量关系（用含的式子表示），与所在直线夹角（锐角）的度数为多少？证明你的结论； 【深入探究】 （3）如图3，若的旋转角为，当点到直线的距离为2时，求的值． 【答案】（1）①；②； （2）与所在直线夹角（锐角）的度数为， 证明如下： 如图 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即与所在直线夹角（锐角）的度数为； （3）的值为或． 【解析】 【分析】（1）①连接并延长交直线于点，延长到点，设交于点K，证明得到，，进而得到，证明得到，，从而，因此，即可解答； ②同①思路即可求解； （2）同（1）①思路求解即可； （3）分两种情况：①当；②当，运用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）①连接并延长交直线于点，延长到点，设交于点K， ∵， ∴， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即与所在直线夹角（锐角）的度数为； ②当时，同理可证与所在直线夹角（锐角）的度数为． （2）略 （3）①当时，过点作于点， 都是等腰直角三角形，，， ， ， 点到的距离为2， 与重合， ， ， ； ②当时，过点作交的延长线于点， ， ， 点在的延长线上， 到的距离为2， ， ， ． 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查性质的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，综合运用相关知识，掌握分类讨论思想是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴正半轴交于点，点的坐标为，且． （1）求抛物线的解析式； （2）点为直线上方抛物线上一动点，过点作于点，设点的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长； ②连接，求四边形面积的最大值，并直接写出此时的长； （3）设点的坐标为，点的坐标为，连接，当抛物线和线段只有一个公共点时，求的取值范围． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）①；②当时，四边形的面积最大，最大值为9，此时的长为； （3）的取值范围为或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，三角函数，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键. （1）根据题意得到，，，设抛物线的解析式为，将点代入计算即可； （2）过点作轴交于点，求出直线的解析式为，则，①根据三角函数得到，由勾股定理可得则，即可得解； ②根据列出二次函数，根据二次函数的性质作答即可； （3）由题意可得点在直线上，点在直线上，设直线，直线与抛物线分别交于四点，得到，，，，可知当点与点重合时，与抛物线只有一个交点，当点与点重合时，与抛物线只有一个交点，结合图形得出或计算即可. 【小问1详解】 点的坐标为， ， ， ， ， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 抛物线的解析式为 【小问2详解】 如图①，过点作轴交于点， 设直线的解析式为， ∵ ∴直线的解析式为， 由题可知， 则， ①轴， ， ， ， 在中，，由勾股定理可得 ， ； ②，且，，，，= ， 当时，四边形的面积最大，最大值为9，此时的长为； 【小问3详解】 点的坐标为，点的坐标为， 点在直线上，点在直线上，轴， 如图②，设直线，直线与抛物线分别交于四点， 令， 解得，， 令， 解得，， ， 当点与点重合时，与抛物线只有一个交点， ， 当点与点重合时，与抛物线只有一个交点， 结合图②可知：当抛物线与线段只有一个公共点时， 或 或， 综上所述，的取值范围为或 第1页/共1页 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