浙江省宁波中学2024-2025学年高二下学期6月检测数学试卷

宁波中学高二数学检测 满分150分，考试时间90分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列散点图中，线性相关系数最小的是（    ） A．B．C．D． 2．下列说法中，正确的命题是（       ） A．已知随机变量X服从正态分布，则 B．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱 C．若样本数据的方差为8，则数据的方差为2 D．已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为，若，则 3．将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“两次出现的点数和为”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．与相互独立 4．随机变量的分布列如表所示，则的最大值是（    ） 0 A． B． C． D． 5．已知，，且，则下列选项中不正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 7．随机变量的分布列为，若，则（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．甲、乙两人进行局羽毛球比赛（无平局），每局甲获胜的概率均为，规定：比赛结束时获胜局数多的人赢得比赛，记甲赢得比赛的概率为，假设每局比赛互不影响，则（    ） A． B． C． D．单调递减 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法中正确的是（   ） A．样本数据3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数是 B．随机变量，若，则 C．已知随机事件A，B，且，，若，则事件A，B相互独立 D．已知变量x，y具有线性相关关系，其经验回归方程为，若样本中心点为，则实数m的值为 10．一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球4个，白球1个，黑球3个，则下列选项正确的有（    ） A．从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望 B．每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的黑球次数为，则 C．从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有种，则数学期望 D．每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的黑球的个数为，则数学期望 11．已知表示中最小的数，表示中最大的数.若为的任意排列，设，，则（    ） A．排列总数为720个 B．满足的排列有80个 C．的概率为 D．的概率为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12．现有100件产品，其中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第二次抽出正品的概率 ． 13．已知n个点大致呈线性分布，其中，且数据的回归直线方程为，则的最小值为 ． 14．如图，某停车区域共有6个停车位，现有3辆白色汽车和2辆黑色汽车将停在车位上.记黑色汽车之间的白色汽车数为X，则X的数学期望为 . 15．甲乙两个袋子，甲袋有1白2黑3个球，乙袋有2个白球.现从两袋各取1球，交换放入甲乙两袋.如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作X，则= . 四、解答题：本题共4小题，共72分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 16．（16分）传统燃油汽车与新能源汽车相比，有着明显的缺点：如传统燃油汽车在行驶过程中会产生尾气排放和噪音污染，环保性能较差、能源效力较低等我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表． 年份t 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 销量y（万辆） 11 13 18 21 27 (1)统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性同归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆； (2)该企业随机调查了该地区2023年的购车情况．据调查，该地区2023年购置新能源汽车与传统燃油汽车的人数的比例大约为．从被调查的2023年所有车主中按分层抽样抽取12人，再从12人中随机抽取3人，记这3人中购置新能源汽车的人数为X，求X的分布列和期望． 参考公式：对于一组数据，其回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：． （注：本题请答在答题卷上） 宁波中学高二数学 答题卷 班级：___________姓名：___________ 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 题号 9 10 11 答案 二、填空题 12 13 14 15 四、解答题 16．（16分） 17．（16分）随着网络App的普及与发展，刷“抖音”成为了人们日常生活的一部分.某地区随机抽取了部分20～40岁的“抖音”用户，调查他们日均刷“抖音”的时间情况，所得数据统计如下表： 性别 日均刷“抖音”时间超过2小时 日均刷“抖音”时间不超过2小时 男性 48 72 女性 24 56 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为日均刷“抖音”时间的长短与性别有关？ (2)现从被调查的日均刷“抖音”时间超过2小时的用户中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取3名用户参加抖音知识问答，已知男性用户、女性用户顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成知识问答相互独立，求在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，这2人性别不同的概率. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（20分）某学校有甲、乙两家餐厅，对于学生的午餐就餐情况根据以往的统计调研分析可以得出如下结论：前一天选择甲餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为﹔前一天选择乙餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为，如此往复．假设所有同学开学第一天中午等可能随机选择一家餐厅就餐． (1)第一天中午某班3位同学去餐厅就餐，求这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐的概率； (2)求w同学与s同学第二天中午在同一餐厅就餐的概率； (3)假设该学校有2000名学生，试估计一星期后中午在甲餐厅就餐的学生人数． 19．（20分）某玩具公司推出一款智能机器狗玩具，开启电源后机器狗从起点处每次向前或向后跳动1个单位，当机器狗位置距离起点处不足（，且，可以进行手动设置）个单位时，每次向前跳动的概率为，向后跳动的概率为，当机器狗跳动后的位置距离起点处为个单位时，则连续向起点处跳动次，回到起点，然后从起点处重新开始跳动． (1)若设置，求机器狗跳动6次后恰好回到起点的概率； (2)若设置，记机器狗跳动5次后距离起点处个单位，求的分布列与数学期望； (3)若机器狗跳动了次，求每次跳动后距离起点处都不足个单位的概率． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B D B D C BC ACD 题号 11 答案 ACD 6．B 【分析】运用全概率和条件概率公式，结合对立事件概率求解即可. 【详解】，则. 由于，则. 则， 则. 7．D 【详解】首先，根据随机变量的概率分布性质，， 即，所以. 已知期望. 将代入期望公式可得： . 因为，所以. 然后求：. 同样将代入可得： . 已知，且，即. 用减去可得： . ，即. 又因为，两式相减得： ，即. 所以，则， 把变形为， 将和代入得：，则， 所以. 根据方差公式. 故选：D 8．C 【分析】要使甲赢得比赛，则甲至少赢局，据此根据独立事件概率计算方法和二项式定理的性质可求，由此可判断ABC，判断和的大小即可判断的单调性，从而判断D. 【详解】由题意，设甲获胜的局数为，则，， 故甲赢得比赛的概率为： ， 又因，， 所以， 故，故C正确； ，故A错误；，故B错误； 因为，所以， 又因为， 所以，所以，即单调递增，故D错误. 故选：C. 9．BCD 【分析】对于A，根据题意结合百分位数，由，故数据3，4，5，6，7，8，9的第分位数为第六个数8，故A错误；对于B、C 、D分别根据二项分布的期望与方差，条件概率公式，线性回归直线方程等知识逐一分析判断即可. 【详解】对于A， 由，故数据3，4，5，6，7，8，9的第分位数为第六个数8，故A错误； 对于B，随机变量，若， 则，故，故B正确； 对于C ，，，， 即， 故，所以事件A，B相互独立，故C正确； 对于D，由于经验回归方程必过样本中心点，将样本中心点代入， 得，解得，故D正确. 10．ACD 【分析】对于ACD，分别计算随机变量取不同值时对应的概率，即可求解期望值，对于B,，则可求. 【详解】对于A，的可能值:0，1，2，3， 则，故A正确; 对于B，的可能值:0，1，2，3，取球一次取到黑球的概率为， 因取球一次有取到黑球和没取到黑球两个结果， 因此，,，故B错误; 对于C，的可能值:1，2，3，      则，故C正确; 对于D，的可能值:0，1，2，3， 因为对应的事件为:红或白红，所以， 因为对应的事件为:黑红或黑白红或白黑红， 所以， 因为对应的事件为:黑黑红或黑黑白红或白黑黑红或黑白黑红， 所以， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 11．ACD 【分析】在深刻理解题意的基础上对每个选项逐一判断.其中选项A是全排列问题，选项B需要先选后排，选项C，D可以列一列再研究. 【详解】A，1，2，3，4，5，6的任意排列方法总数为个，所以A正确； B，若，则先从1，2，3，4，5，6中随机选出3个数，共有种不同的方法， 再将剩下3个数任意排列，共有种不同的方法， 则满足的排列有个，所以B错误； CD，因为，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 共有10种不同的情况，则的概率为，所以C正确； 的概率为，所以D正确. 故选：ACD. 12． 13． 【分析】根据线性回归方程过样本中心点求出，再由二次函数求最值即可. 【详解】依题意，直线经过点，其中， 所以，从而． 故答案为： 14．1 【分析】由题意可知，，根据随机变量表示的意义，通过计算每个可能的值的概率，再由这些概率利用期望计算公式计算数学期望 . 【详解】X可能的取值为：0，1，2，3， 则， ， ， ， 所以X的数学期望为⨉⨉⨉⨉ 故答案为：1. 15． 【分析】分析可知X所有可能取值为1，2，3，根据题意求相应概率，进而可得期望. 【详解】由题意可知：X所有可能取值为1，2，3， 可得，， ， 所以. 故答案为：. 16．(1)，年 (2)分布列见解析，期望. 【分析】（1）利用给定的数据求出相关量，再利用最小二乘法求出回归直线方程，解不等式估算即可. （2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）设关于的线性回归方程， 依题意，，， ，， 因此，， 则关于的线性回归方程为， 令，解得，，取， 所以该地区新能源汽车的销量最早在年能突破万辆． （2）依题意，按1:3分层抽样知，12人中有9人购置了传统燃油汽车，3人购置了新能源汽车， 所有可能的取值为，，，， ，， ，， 所以的分布列为： 期望. 17．(1)无关； (2). 【分析】（1）由题意可得列联表，再计算，对比临界值表即可得解； （2）根据题意，求出有且仅有2人顺利完成知识问答的概率和这2人性别不同的概率，再根据条件概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意，列联表如下： 性别 日均刷“抖音”时间超过2小时 日均刷“抖音”时间不超过2小时 合计 男性 48 72 120 女性 24 56 80 合计 72 128 200 零假设为：日均刷“抖音”时间的长短与性别无关，             则，           故依据小概率值的独立性检验，我们推断零假设成立， 即日均刷“抖音”时间的长短与性别无关. （2）由分层随机抽样可知，抽取男性用户2人，女性用户1人. 记“有且仅有2人顺利完成知识问答”为事件，“2人性别不同”为事件，则，                 ，                               故. 18．(1) (2) (3)人 【分析】（1）由独立事件乘法公式及对立事件概率计算求解即可； （2）记事件为“某同学第i天在甲餐厅就餐”，由求解即可； （3）记事件为“某同学第i天在甲餐厅就餐”， ，得到，进而可求，再设记学校2000名学生第n天在甲餐厅就餐的学生人数为X，得到进而可求解； 【详解】（1）记事件A为“这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐”， 则﹔ （2）记事件为“某同学第i天在甲餐厅就餐”， 则， 记事件C为“w同学与s同学第二天在同一餐厅就餐”， 则． （3）记事件为“某同学第i天在甲餐厅就餐”， 则， 所以，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 记学校2000名学生第n天在甲餐厅就餐的学生人数为X，则， 当时， 所以一星期后在甲餐厅就餐的学生人数大约为人． 19．(1) (2)分布列见解析， (3)． 【分析】（1）机器狗的6次跳动中，有3次向前，3次向后，分类讨论可求得机器狗跳动6次后恰好回到起点的概率． （2）由题意知的所有可能取值为1，3，5，利用二项分布的概率公式可求得分布列，进而求得数学期望； （3）记每次跳动后距离起点处都不足个单位为事件，则某次跳动后距离起点处个单位为事件，分类讨论求得的概率，利用对立事件的概率关系求得的概率. 【详解】（1）记机器狗跳动6次后恰好回到起点为事件， 则机器狗的6次跳动中，有3次向前，3次向后． ①前3次都是向前跳动，后3次都是向后跳动或前3次都是向后跳动，后3次都是向前跳动，概率为，（点拨：该情况下，机器狗经过3次跳动后，距离起点处为3个单位，机器狗需连续向起点处跳动3次）； ②每次跳动后距离起点处距离都不超过2个单位，向前跳动3次，向后跳动3次，且前3次跳动不全是向前或不全是向后，概率为，（提示：表示从6次跳动中选择3次向前跳，则剩下的3次向后跳，减去的2表示减去①包含的2种情况）； 所以． （2）由题意知的所有可能取值为1，3，5， 当机器狗的5次跳动中，3次向前2次向后，或3次向后2次向前时，， 所以， 当机器狗的5次跳动中，4次向前1次向后，或4次向后1次向前时，， 所以， 当机器狗的5次跳动中，5次均向前或5次均向后时，， 所以， 所以的分布列为 1 3 5 所以． （3）记每次跳动后距离起点处都不足个单位为事件， 则某次跳动后距离起点处个单位为事件， 则事件包含以下情况： ①机器狗前次跳动均向前，第，次跳动均向后或机器狗前次跳动均向后，第，次跳动均向前，相应概率为． ②机器狗前次跳动中有次向前，1次向后，第，次跳动均向前或机器狗前次跳动中有次向后，1次向前，第，次跳动均向后，相应概率． 所以， 所以，（技巧：事件比较复杂，包含情况较多，考虑利用正难则反思想求解） 即每次跳动后距离起点处都不足个单位的概率为． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$