专题1.1 一元二次方程（高效培优讲义）数学苏科版九年级上册

专题1.1 一元二次方程 教学目标 1.掌握一元二次方程的结构特征与核心概念，能够准确识别方程中二次项、一次项及常数项的系数，并能通过分析实际问题中的数量关系，提炼出符合方程特征的数学模型； 2.通过探究方程的形成过程，理解其作为数学建模工具的本质属性，建立方程与现实问题的对应关系，培养用代数思维解决实际问题的意识和能力； 3.利用一元二次方程解决生活中的实际问题，体会数学知识的应用价值，激发数学学习兴趣，理解数学在推动科技进步、促进社会文明发展中的基础性作用，培养理性思维品质. 教学重难点 1.重点 （1）一元二次方程的定义；（2）各项系数的辨别；（3）根的作用 2.难点 （1）根作用的理解 知识点01 一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 【即学即练】 1．下列方程属于一元二次方程的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．未知数的次数是1次，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意． B．，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； C．，含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； D．，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：依题意可得， 解得， 故答案为：． 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式，其中叫作二次项，是二次项系数；叫作一次项，是一次项系数；叫作常数项。 注意：（1）中的．因当时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的符号。 【即学即练】 1．一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【详解】解： ， 整理得： 故答案为： 2．把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：方程整理得：， 则，，的值分别是，，． 故选：B． 知识点03 一元二次方程的根 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的根，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 【即学即练】 1．已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：一元二次方程的一个根是， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．若是关于x的方程的解，则的值是 【答案】2021 【详解】解：是关于x的方程的解， ， 整理得， 则， 故答案为：． 题型01 识别一元二次方程 【典例1】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、，方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、，方程是一元二次方程，符合题意； D、，方程是一元一次方程，不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、整理可得，不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； B、是一元二次方程，故本选项正确，符合题意； C、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； D、有两个未知数，该方程不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2】下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：．分母中含有未知数，不是整式方程，故该选项不符合题意； ．时，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； ．是一元二次方程，故该选项符合题意； ．含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式3】下列方程是一元二次方程的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①，是一元二次方程； ②，是一元二次方程； ③，不是整式方程，不是一元二次方程； ④，含有两个未知数，并且未知数的最高次数是，不是一元二次方程； 故选：B． 题型02 根据一元二次方程定义求参数的值 【典例1】当 时，是关于的一元二次方程． 【答案】 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．1 B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】解：若方程是关于x的一元二次方程， 则， 解得， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】若关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 【答案】 【详解】解：根据题意可知 解得． 故答案为：． 【变式3】若是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：是关于x的一元二次方程， ， 解得， 故选：A． 题型03 根据一元二次方程定义求参数的取值范围 【典例1】若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ∴， 故选：． 【变式1】若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴，解得：， 故选：． 【变式2】若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据方程是关于的一元二次方程得， ∴， 解得， 故选：D． 【变式3】若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，解得． 故答案为：． 题型04 一元二次方程的一般形式 【典例1】方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ，即， ∴， ∴方程化为一元二次方程的一般形式是． 故选：A． 【变式1】一元二次方程的常数项是（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【详解】解：已知一元二次方程，则其常数项为． 故选：C． 【变式2】将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：方程化为一元二次方程的一般形式为：，则二次项系数，一次项系数和常数项分别是； 故选：B． 【变式3】一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 2 【详解】解：将方程化成一般形式为， ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为． 故答案为：． 题型05 通过一个根求参数的值 【典例1】关于x的一元二次方程的一个根是1，则k的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是1， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴ 解得：， 故选：A． 【变式2】已知是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】3 【详解】解：是关于的方程的解， ， 解得． 故答案为：3． 【变式3】关于的一元二次方程的一个根为，则 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：． 题型06 整体代入求值 【典例1】已知为方程的根，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意可知：， ∴ ∴． 故答案为：． 【变式1】已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【详解】解：将代入方程， 得，即， ∴， 故选：C． 【变式2】若是一元二次方程的一个根，则 的值是 ． 【答案】18 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：18 【变式3】已知是关于的方程的一个根， (1)求的值； (2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：代入到方程得，， 解得：； （2）解： ， 代入，原式． 题型07 一元二次方程根的估算 【典例1】根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由表格数据可知当时，的值大于0， 当时，的值小于0， 因此的一个解的取值范围是． 故选：A． 【变式1】观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 由表中数据可知：当时，， 一元二次方程的解是． 故选：C． 【变式2】根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由表格可知：当时，，当时，， ∴当时，必然存在一个，使， ∴（，，，为常数）一个解的范围是； 故选D． 【变式3】根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【答案】 【详解】解：由题意得 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 ∴当时，； 当时，， ∴当时，必有一个解， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 一、单选题 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、属于一元二次方程，则此项符合题意； B、含有两个未知数，且未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，则此项不符合题意； C、中的是分式，不是一元二次方程，则此项不符合题意； D、是一元一次方程，不是一元二次方程，则此项不符合题意； 故选：A． 2．关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为， 故选：D ． 3．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 4．若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入方程，得到， ． 解得． 故选：A． 5．是关于的一元二次方程的解，则等于（   ） A．1 B． C．5 D． 【答案】A 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的解， ∴， ∴， 故选：A． 6．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．若实数a、b满足，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2025 【答案】B 【详解】解：∵， 第一个方程两边同时乘以得：， 则， ∴，即， 故选：B． 8．设是方程的一个实根，则（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【详解】解：∵是方程的一个实根， ∴， ∴，， ∴ ， 故选：B． 二、填空题 9．已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：将代入方程，得：， 解得：． 故答案为：． 10．已知某一元二次方程的一个根是，则此方程可以是 ．（填一个即可） 【答案】（答案不唯一）． 【详解】解：设一元二次方程为，把代入可得，， 所以只要a ，b、c的值满足即可． 如等，答案不唯一． 故答案为：（答案不唯一）． 11．若是方程 的根，则代数式 的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， 将代入方程得：， ∴， ∴． 故答案为：2031． 12．若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程（为常数）是一元二次方程， ∴， ∴； 故答案为：． 13．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 【答案】1 【详解】解：将代入， 得，即， ∵， ∴， 故答案为：1． 14．若a是方程的一个根，则的值为 【答案】11 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：11． 三、解答题 15．已知是关于的一元二次方程，求的值． 【答案】 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，且， 解得：． 16．把下列方程化成一般式，并写出二次项、一次项和常数项． (1)； (2)． 【答案】(1)，二次项为，一次项为，常数项 (2)，二次项为，一次项为，常数项 【详解】（1）解：由， 得：， 化为一般式得：， 二次项为，一次项为，常数项； （2）解：由， 得：， 化为一般式得：， 二次项为，一次项为，常数项． 17．已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：∵实数a是一元二次方程的一个根， ∴． ∴，． ∴． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程根的定义和整体代入思想是解题的关键． 18．已知一元二次方程有一个根为零，求的值． 【答案】的值为． 【详解】解：一元二次方程有一个根为零， ， 解得：，， ∵方程为一元二次方程， ∴ ；即， ∴不符合题意，舍去， ∴的值为． 19．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)一元二次方程是“有爱方程”，见解析 (2)见解析 (3)或 【详解】（1）解：一元二次方程是“有爱方程”．理由如下： ， ， ， ，，， ， 一元二次方程是“有爱方程”． （2）证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”， ， ， ， 为“有爱方程”的根． （3）是关于的“有爱方程”， ， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， ， 或． 20．已知关于的一元二次方程，其中是的三边长，若是该方程的一个根，试判断的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，理由见解析 【详解】解：是等腰三角形， 理由如下：把代入得到， ， 则， ∴是等腰三角形． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 一元二次方程 教学目标 1.掌握一元二次方程的结构特征与核心概念，能够准确识别方程中二次项、一次项及常数项的系数，并能通过分析实际问题中的数量关系，提炼出符合方程特征的数学模型； 2.通过探究方程的形成过程，理解其作为数学建模工具的本质属性，建立方程与现实问题的对应关系，培养用代数思维解决实际问题的意识和能力； 3.利用一元二次方程解决生活中的实际问题，体会数学知识的应用价值，激发数学学习兴趣，理解数学在推动科技进步、促进社会文明发展中的基础性作用，培养理性思维品质. 教学重难点 1.重点 （1）一元二次方程的定义；（2）各项系数的辨别；（3）根的作用 2.难点 （1）根作用的理解 知识点01 一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是________，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有________未知数； （3）未知数项的________次数是2。 【即学即练】 1．下列方程属于一元二次方程的是（） A． B． C． D． 2．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式，其中叫作________，是二次项系数；________叫作一次项，是一次项系数；叫作________。 注意：（1）中的．因当________时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的________。 【即学即练】 1．一元二次方程的一般形式是 ． 2．把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 知识点03 一元二次方程的根 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的根，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 【即学即练】 1．已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值是 ． 2．若是关于x的方程的解，则的值是 题型01 识别一元二次方程 【典例1】下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列方程是一元二次方程的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 根据一元二次方程定义求参数的值 【典例1】当 时，是关于的一元二次方程． 【变式1】若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．1 B． C． D．不存在 【变式2】若关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 【变式3】若是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 题型03 根据一元二次方程定义求参数的取值范围 【典例1】若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式2】若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3】若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 ． 题型04 一元二次方程的一般形式 【典例1】方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】一元二次方程的常数项是（   ） A．2 B． C． D．1 【变式2】将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【变式3】一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 题型05 通过一个根求参数的值 【典例1】关于x的一元二次方程的一个根是1，则k的值是 ． 【变式1】若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B．2 C． D．6 【变式2】已知是关于的方程的解，则的值为 ． 【变式3】关于的一元二次方程的一个根为，则 ． 题型06 整体代入求值 【典例1】已知为方程的根，则 ． 【变式1】已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【变式2】若是一元二次方程的一个根，则 的值是 ． 【变式3】已知是关于的方程的一个根， (1)求的值； (2)求． 题型07 一元二次方程根的估算 【典例1】根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【变式1】观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【变式2】根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 【变式3】根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 一、单选题 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．关于的一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（   ） A． B． C． D． 3．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（） A．3 B．2 C． D． 5．是关于的一元二次方程的解，则等于（   ） A．1 B． C．5 D． 6．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 7．若实数a、b满足，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2025 8．设是方程的一个实根，则（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 二、填空题 9．已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 10．已知某一元二次方程的一个根是，则此方程可以是 ．（填一个即可） 11．若是方程 的根，则代数式 的值是 ． 12．若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为 ． 13．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 14．若a是方程的一个根，则的值为 三、解答题 15．已知是关于的一元二次方程，求的值． 16．把下列方程化成一般式，并写出二次项、一次项和常数项． (1)； (2)． 17．已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 18．已知一元二次方程有一个根为零，求的值． 19．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 20．已知关于的一元二次方程，其中是的三边长，若是该方程的一个根，试判断的形状，并说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$