精品解析：四川省甘孜州康定中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

2024—2025学年下期高2026届3月月考 数学试题 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”. 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列，，3，，，…，则是这个数列的（ ） A. 第8项 B. 第9项 C. 第10项 D. 第11项 2. 已知数列满足，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. -1 3. 已知等差数列的前项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 12 B. 10 C. 5 D. 5. 已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在数列中，，，且，则的值是（ ） A. B. 10 C. 50 D. 70 7. 中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．必须牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展．某市为了改善当地生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为（ ）． A. 781万元，60万元 B. 525万元，200万元 C. 781万元，200万元 D. 1122万元，270万元 8. 已知等差数列公差不为零，为其前项和，若，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 成等比数列 D. 中数值不同的有995个 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分. 9. 已知正项等比数列的公比为，前项和为，则（ ） A. B. C. 数列是递减数列 D. 10. 等差数列中，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则， 11. 如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正三角形（为坐标原点）的边长为，则下列命题正确的是（ ） A. B. 记为的前项和，则为 C. 记为数列的前项和，则 D. 数列的通项公式为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等比数列中，，，则等于______． 13. 已知数列的前项和，则数列的前项和为________． 14. 将数列中的项排成下表： ， ，，， ，，，，，，， … 已知各行的第一个数，，，，…构成数列，且的前项和满足（且），从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等差数列，且公差为同一个常数.若，则第6行的所有项的和为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64，求这个等比数列的首项和公比． （2）已知等差数列和正项等比数列满足：，，，求数列，的通项公式； 16. 在三棱台中，底面，底面是边长为2的等边三角形，且，D为的中点． （1）证明：平面平面. （2）平面与平面的夹角能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由. 17. 已知数列满足，． （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 18. 已知椭圆过点，焦距为．过作直线l与椭圆交于C、D两点，直线分别与直线交于E、F． （1）求椭圆的标准方程； （2）记直线的斜率分别为，证明是定值； （3）是否存在实数，使恒成立．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 定义：对于任意大于零的自然数n，满足条件且（M是与n无关的常数）的无穷数列称为M数列． （1）若等差数列的前n项和为，且，，判断数列是否是M数列，并说明理由； （2）若各项为正数的等比数列的前n项和为，且，证明：数列是M数列； （3）设数列是各项均为正整数的M数列，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年下期高2026届3月月考 数学试题 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”. 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列，，3，，，…，则是这个数列的（ ） A. 第8项 B. 第9项 C. 第10项 D. 第11项 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列的规律，判断数据是数列中的第几项. 【详解】数列可以表示为，，，，，…， 则数列的一个通项公式为， ，是这个数列的第9项. 故选：B. 2. 已知数列满足，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推公式，列出数列前几项，可得数列有周期性，进而利用周期性求. 【详解】由，， 得，，，，，…， 由此不难发现，数列的项具有周期性，且最小正周期为3， 故. 故选：C. 3. 已知等差数列的前项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题设条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，再利用等差数列的求和公式可求得的值. 【详解】设等差数列的公差为，则， ， 所以，，解得， 所以，， 故选：B. 4. 若等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 12 B. 10 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列下标和性质及对数的运算性质计算可得. 【详解】因为，又，所以， 所以， 所以， 所以. 故选：B 5. 已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设，，由，即可求解结果． 【详解】因为，为等差数列，且， 所以可设，， 则， ， . 故选：D. 6. 在数列中，，，且，则的值是（ ） A. B. 10 C. 50 D. 70 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项的性质，可得数列为等差数列，设出公差，建立方程组，写出通项公式与求和公式，明确数列的单调性，可得答案. 【详解】由得，所以数列是等差数列，设公差为， 由，，可得，解得， 所以，所以， 当时，，当时，， 所以. 故选：C. 7. 中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．必须牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展．某市为了改善当地生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为（ ）． A. 781万元，60万元 B. 525万元，200万元 C. 781万元，200万元 D. 1122万元，270万元 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列前项和求解即可. 【详解】由题意知这五年投入的资金构成首项为81，公比为，项数为5的等比数列， 所以这五年投入的资金总额是（万元）． 由题意知这五年的旅游收入构成首项为20，公差为10，项数为5的等差数列， 所以这五年的旅游收入总额是（万元）． 故选：C． 8. 已知等差数列公差不为零，为其前项和，若，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 成等比数列 D. 中数值不同的有995个 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的前n项和公式，结合等差数列性质可求出，判断A；根据判断B；根据等比数列的项中不可能有0，判断C；求出的表达式，结合二次函数的对称性可判断D. 【详解】由题意知等差数列公差不为零，设公差为d，则， ，则，A错误； 由，故，B错误； 由于，故不可能成等比数列，C错误； 由，得， 故， 由于二次函数的对称轴为，且在上单调， 故， 故中数值不同的有个，D正确， 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分. 9. 已知正项等比数列的公比为，前项和为，则（ ） A. B. C. 数列是递减数列 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数列是正项等比数列，可得出，写出及，即可判断选项A、B、D；根据数列单调性的判断方法即可判断选项C. 【详解】由正项等比数列的公比为可得：，，. 因为 所以，解得 则. 故选项A 正确； 对于选项B，，故选项B错误； 对于选项C，因为，所以，即， 故数列是递减数列，故选项C正确； 对于选项D，，故选项D错误. 故选：AC 10. 等差数列中，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列的基本性质和通项公式，以及等差数列前项和的公式，分别判断各选项正误. 【详解】由等差数列前项和的公式可知，根据等差数列性质可知， 所以，所以A正确. 当时得，可得，即， 当时得，可得，即， 因为，所以，则，所以， 即，可得，所以B错误. 已知， 所以，所以C正确. 因为，可得，解得， 因为，所以， 可得，所以D正确. 故选：ACD. 11. 如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正三角形（为坐标原点）的边长为，则下列命题正确的是（ ） A. B. 记为的前项和，则为 C. 记为数列的前项和，则 D. 数列的通项公式为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项，根据题意由正三角形求得点和，代入曲线，即可求解；B项，由为边长为的等边三角形，求得；C项，将坐标代入曲线，整理得；D项，结合，化简得到，利用等差数列的通项公式求解得. 【详解】选项A，由题意知为边长为的等边三角形， 如图，则， 因为点在曲线上，可得，解得或(舍去）， 又由题意知为边长为的等边三角形，则， 则，可得，解得或(舍去），故A正确； 选项B，由为边长为的等边三角形，可得，故B正确； 选项C，由点在曲线上，则， 整理得， 由，可知，故C错误； 选项D，当时，可得， 所以， 可化为， 因为，则，所以， 又因为，符合上式，故， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以数列的通项公式为，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等比数列中，，，则等于______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解． 【详解】设等比数列的公比为，因为等比数列中，，， 故， 则． 故答案为：． 13. 已知数列的前项和，则数列的前项和为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据与的关系求出数列的通项，再利用裂项相消法求解即可. 【详解】由， 当时，， 当时，， 当时，上式也成立，所以， 则， 所以数列的前项和为 . 故答案为： 14. 将数列中的项排成下表： ， ，，， ，，，，，，， … 已知各行的第一个数，，，，…构成数列，且的前项和满足（且），从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等差数列，且公差为同一个常数.若，则第6行的所有项的和为______. 【答案】1344 【解析】 【分析】根据所满足的条件，求出数列，由在表中的位置，得，所以每行等差数列公差，即可求第6行所有项的和． 【详解】解：∵(且)， ∴，即， ∴数列的通项公式为，（且）， 观察表中各行规律可知，第n行的最后一项是数列的第项， ，∴在表中第8行第3列， ∵，且，∴公差； ∴第6行共有32个元素，则第6行所有项的和为 故答案为：1344． 【点睛】思路点睛：由的前项和满足，构造法求数列的通项公式，观察数列的规律，找到在表中的位置，结合的通项公式可求得表中每一行的公差，继而可求第6行所有项的和． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64，求这个等比数列的首项和公比． （2）已知等差数列和正项等比数列满足：，，，求数列，的通项公式； 【答案】（1）①时，首项为； ②时，首项为8；（2），． 【解析】 【分析】（1）根据等比中项的性质，列出方程，求出等比数列的首项和公比. （2）根据等差和等比数列的基本性质，列出方程组，求出通项公式 【详解】（1）可设这3个数依次为，a，aq．依题意得，∴． ，即，∴或， ①时，首项为； ②时，首项为； （2）设的公差为d，的公比为q， 由可得：，即， 由可得：，即， 联立方程组，解得或， 因为，所以， 于是，． 16. 在三棱台中，底面，底面是边长为2的等边三角形，且，D为的中点． （1）证明：平面平面. （2）平面与平面的夹角能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）说明，再推出，即可证明平面，根据面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，设，求出相关点坐标，求出平面与平面的法向量，假设平面与平面的夹角能为，根据空间角的向量求法可得方程，根据该方程解的情况，即可得出结论. 【小问1详解】 因为底面是边长为2的等边三角形，D为的中点， 故； 又底面，底面，故， 又平面，故平面， 又平面，故平面平面； 【小问2详解】 由已知可知，，且D为的中点， 则，即四边形为平行四边形， 故，由底面，得底面， 因为平面，所以， 以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 结合（1）可知平面的法向量可取为； 设平面的一个法向量为，而， 故，即，令，则， 假设平面与平面的夹角能为， 则，即，此方程无解， 假设不成立，即平面与平面的夹角不能为. 17. 已知数列满足，． （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义法证明数列为等比数列，依据等比数列通项公式求解目标数列通项公式. （2）根据数列求和的错位相消法求数列的前项和. 【小问1详解】 已知，变形得，可得， 因为，所以是以1为首项，以4为公比的等比数列. 则，解得. 【小问2详解】 由（1）知，，故． 则，， 两式相减得， 故． 18. 已知椭圆过点，焦距为．过作直线l与椭圆交于C、D两点，直线分别与直线交于E、F． （1）求椭圆的标准方程； （2）记直线的斜率分别为，证明是定值； （3）是否存在实数，使恒成立．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：设， 直线的斜率一定存在，设为， 则，消去得到，， ， ， 故是定值. （3）存在； 【解析】 【分析】（1）利用点在椭圆上和焦距列方程组解出即可； （2）设出两点坐标，表示出斜率，并设出直线方程与椭圆联立，消去，表示出韦达定理，代入的表达式中化简即可； （3）解方程组分别求出直线的交点坐标，再求出到直线的距离，结合已知面积关系表示出两三角面积的方程，再利用代入化简即可. 【小问1详解】 因为椭圆过点，焦距为， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设存在实数，使恒成立， 由，， 设到直线的距离为，到直线的距离为， 则，① 因为，所以，② 把①代入②并化简可得， 由上问可知，代入上式可得， 所以. 【点睛】关键点点睛： ①求曲线的标准方程常用待定系数法和曲线的性质列方程组求解； ②证明斜率之和为定值时，首先用曲线上的点表示出斜率，再直曲联立，利用韦达定理化简斜率之和的表达式； ③解决三角形面积关系时先用坐标表示出三角形面积，再利用韦达定理化简. 19. 定义：对于任意大于零的自然数n，满足条件且（M是与n无关的常数）的无穷数列称为M数列． （1）若等差数列的前n项和为，且，，判断数列是否是M数列，并说明理由； （2）若各项为正数的等比数列的前n项和为，且，证明：数列是M数列； （3）设数列是各项均为正整数的M数列，求证：． 【答案】（1）不是M数列，理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）确定数列无上限即可得； （2）由等比数列的基本量法求出Sn，根据数列新定义证明即可； （3）用反证法，假设存在正整数k，使得，由数列是各项均为正整数，得，即，然后利用新定义归纳，这样由可得数列从某一项开始为负，与已知矛盾，从而证得结论． 【小问1详解】 由题意知，故， 则，故， 但等差数列为严格增数列，当时，，所以不是M数列； 【小问2详解】 由，则，即，有，则， 即，则， 则， 又， 即对任意大于零的自然数n，满足条件，且， 即数列是M数列； 【小问3详解】 假设存在正整数k使得成立， 由数列的各项均为正整数，可得，即， 因为，所以， 由及得， 故，因为， 所以， 由此类推可得， 因为又存在M，使， ∴当时，，这与数列的各项均为正数矛盾，所以假设不成立， 即任意大于零的自然数n，都有成立. 【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义，解题关键是理解新定义，转化为求数列的最大值，研究数列的不等关系，最后一问关键在于用反证法解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $