精品解析：2025年河南省商丘市宁陵县部分初中联考中考二模数学试题

2025年河南省中招重点初中模拟联考冲刺卷 数学试卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 国际乒联官宣了两个榜单，一个是2024年第46周世界女子单打排名．另外一个是赛事积分单打冠军排名，孙颖莎以超高的积分和数量最多的冠军占据两个榜单首位．孙颖莎虽然缺席了三场单打赛事，但是她的地位依旧无可撼动，最新女单世界排名中孙颖莎以10800分的高分蝉联第一．10800用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 信阳毛尖是中国十大名茶之一．如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，若，那的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 在校园艺术节中，同学们准备制作4个菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，这是4张背面相同的卡片，卡片正面印有不同的生活现象图案，现将所有卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的概率是（ ）    A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，将沿着的方向平移得到，连接，若，则的周长为（ ） A. 27 B. 18 C. 24 D. 20 9. 如图，等边是的内接三角形，若的半径为2，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，为矩形边上一点，点从点沿折线运动到点时停止，点从点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是．若，同时开始运动，设运动时间为，的面积为．已知与的函数图象如图2，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时，是等腰三角形 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是________． 12. 一棵树在离地面处折断，树的顶端落在离树干底端处，这棵树折断之前的高度是______． 13. 如图，在中，，是的角平分线，于点，，，则的面积是________． 14. 因式分解：________． 15. 如图，内接于，为的直径，点为上的点，且，则的值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）解不等式组： 17. 近年来，人工智能浪潮席卷全球，我国抓住这一机遇迎潮而上，成果丰硕．为了提升学生信息素养，某校特组织七、八年级全体学生开展“灵动数据·智汇AI”信息技术知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，共分成，，，四个等级，成绩在90以上(含90分)为优秀． 【信息整理】 信息1： 等级 成绩 信息2： 七年级抽取学生竞赛成绩条形统计图 八年级抽取学生竞赛成绩的扇形统计图 信息3：七年级、两组同学的成绩分别为：94，94，93，92，92，89，89，87，85； 八年级组同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，88，88，87，86． 【数据分析】七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 88 95 八年级 88 88 （1）填空：________，________，________； （2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由(写出一条理由即可)； （3）若该校七年级学生有420人，八年级学生有480人，请估计该校七、八年级成绩为级的学生共有多少人． 18. 已知反比例函数与一次函数相交于点和点，如图所示，且一次函数与轴，轴分别交于点和点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）设是轴上一点，当和面积相等时，求点的坐标； 19. 如图，在中，，点是的中点． （1）尺规作图：以线段为直径作，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接、，若，，求弧的长度． 20. 在学习《解直角三角形》这一节时，喜欢探索的小明同学在课外学习活动中，探究发现，锐角三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系．下面是小明同学的学习笔记，请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 学习笔记：如图1，在锐角中，，，对边分别记为，，，锐角的面积记为，过点作于点，则， ， 同理可得，． 即． 由以上推理得结论①：锐角三角形的面积等于两边与其夹角正弦积的一半． 又，根据等式的基本性质，将，整理，得． 由以上推理得结论②：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． 【理解应用】请学习上述阅读材料，并用上述材料的结论解答以下问题． 如图2，甲船以36海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行．当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到达甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里． （1）求的面积； （2）若此时与恰好互相垂直，求乙船由处到达处航行的路程是多少海里．（结果保留根号） 21. 2025年初，国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房创历史新高．某生产商推出了哪吒手办（类）和敖丙手办（类）盲盒，已知生产商每天生产类手办比生产类手办多200个，单独生产类手办2天的总产量与单独生产类手办3天的总产量相同． （1）求生产商每天单独生产，两类手办的个数； （2）两种手办某商家购进价和售价如下表： 进价 售价 类/个 70 100 类/个 90 140 根据网上预约的情况，该商家计划用不超过15000元的资金购进，两种手办共200个，若这200个手办全部售完，请你设计购进方案，使商家获利最大，并求最大利润； 22. 如图，抛物线过点，与轴交于点、，抛物线顶点坐标为，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求证：直线与该抛物线没有交点； （3）设，矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求的最大值； 23. 小星根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展． 如图，在矩形中，是边上的一点，连接，将沿翻折，得到． （1）问题解决：当点关于的对称点恰好落在边上时，四边形是________形； （2）问题探究：在（1）的条件下，是边上一定点，连接，作关于的对称线段，连接，射线交射线于点，连接．当点落在边上时，如图①，求的度数； （3）拓展延伸：如图②当点不在边上时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省中招重点初中模拟联考冲刺卷 数学试卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值．负数的绝对值等于它的相反数，据此即可求得答案． 【详解】解：的绝对值是2025， 故选：A． 2. 国际乒联官宣了两个榜单，一个是2024年第46周世界女子单打排名．另外一个是赛事积分单打冠军排名，孙颖莎以超高的积分和数量最多的冠军占据两个榜单首位．孙颖莎虽然缺席了三场单打赛事，但是她的地位依旧无可撼动，最新女单世界排名中孙颖莎以10800分的高分蝉联第一．10800用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选C． 3. 信阳毛尖是中国十大名茶之一．如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查简单几何体的三视图，根据主视图的定义求解即可． 从正面看，在后面的部分会被遮挡，看见的为矩形，注意有两条侧棱出现在正面． 【详解】解：主视图从前往后看（即从正面看）时，能看得见的棱，则主视图中对应为实线，且图形为矩形，左右两边各有一个小矩形； 故选A． 4. 如图，直线，若，那的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据“直线平行，内错角相等”可得，然后由求解即可． 【详解】解：如下图， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 5. 在校园艺术节中，同学们准备制作4个菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、根据对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，可以判定画框为菱形，不符合题意； B、根据测量方式结合同旁内角互补，两直线平行，可以得到四边形的两组对边平行，得到四边形为平行四边形，不能判定画框为菱形，符合题意； C、根据四边相等的四边形为菱形，能判定画框为菱形，不符合题意； D、根据测量方式结合同旁内角互补，两直线平行，可以得到四边形的两组对边平行，得到四边形为平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以判定画框为菱形，不符合题意； 故选B． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法，整式的加减计算即可． 【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意； B. ，故该选项错误，不符合题意； C. ，故该选项错误，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法，整式的加减，熟练掌握公式是解题的关键． 7. 如图，这是4张背面相同的卡片，卡片正面印有不同的生活现象图案，现将所有卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的概率是（ ）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 将四种生活现象分别记作A、B、C、D，画树状图，得出所有等可能结果共有12种，两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的结果数有2种，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将4张卡片分别记为A、B、C、D，则属于物理变化的有A、D，不属于物理变化的有B、C， 画树状图如下： 由图可得所有等可能的结果共有12种，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于物理变化的结果有2种，即AD、DA， ∴这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于物理变化的概率是． 故选：D． 8. 如图，在中，，，，将沿着的方向平移得到，连接，若，则的周长为（ ） A. 27 B. 18 C. 24 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，等边三角形的判定与性质，由，的长度结合，判断的形状，得的长度，可得的周长． 【详解】解：在中，，，，将沿着的方向平移得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴等边三角形， ∴， ∴的周长为：， 故选：B． 9. 如图，等边是的内接三角形，若的半径为2，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过点作于点，求出,，，，根据求解即可． 【详解】解：连接，过点作于点，如图， ∵等边是的内接三角形， ∴, ∵，， ∴，， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 10. 如图1，为矩形边上一点，点从点沿折线运动到点时停止，点从点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是．若，同时开始运动，设运动时间为，的面积为．已知与的函数图象如图2，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时，是等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，所以中考选择题中的压轴题．理由图中信息一一判断即可解决问题． 【详解】解：观察图象可知：点在上运动的时间为，在上运动的时间为，点在上运动的时间为， ∴，，， ， ， ，故错误， 矩形中，， ， ，故错误， 当时，点在上，此时， ，故正确， 当时，点与点重合，此时， ，， ， 不是等腰三角形，故错误， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数中，自变量x取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查求函数自变量取值范围，根据分式有意义和二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且 12. 一棵树在离地面处折断，树的顶端落在离树干底端处，这棵树折断之前的高度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，利用勾股定理求出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示， 在中，，，， ， ， 树折断之前高， 故答案为：． 13. 如图，在中，，是的角平分线，于点，，，则的面积是________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：6． 14. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解．先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 如图，内接于，为的直径，点为上的点，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，证明、是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，由直径所对的圆周角是得，结合圆内接四边形性质得，将绕点逆时针旋转得到，证得是等腰直角三角形，则，根据即可得解． 【详解】解：连接、， ，， 、是等腰直角三角形， ，， 即是等腰直角三角形， ， 为的直径， ， 则圆内接四边形中，， 将绕点逆时针旋转得到， 此时，，，， ，， 又， 点是在上，是等腰直角三角形， 结合勾股定理得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是等腰直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是、圆内接四边形的性质、旋转性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握旋转性质． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、二次根式、一元一次不等式组的解法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据相关运算法则进行计算； （2）根据一元一次不等式组的解法进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解： 解不等式①得 解不等式②得 此不等式组的解集为： 17. 近年来，人工智能浪潮席卷全球，我国抓住这一机遇迎潮而上，成果丰硕．为了提升学生的信息素养，某校特组织七、八年级全体学生开展“灵动数据·智汇AI”信息技术知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，共分成，，，四个等级，成绩在90以上(含90分)为优秀． 【信息整理】 信息1： 等级 成绩 信息2： 七年级抽取学生竞赛成绩的条形统计图 八年级抽取学生竞赛成绩的扇形统计图 信息3：七年级、两组同学的成绩分别为：94，94，93，92，92，89，89，87，85； 八年级组同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，88，88，87，86． 【数据分析】七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 88 95 八年级 88 88 （1）填空：________，________，________； （2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由(写出一条理由即可)； （3）若该校七年级学生有420人，八年级学生有480人，请估计该校七、八年级成绩为级的学生共有多少人． 【答案】（1）88，， （2）七年级学生的竞赛成绩更优秀，理由见解析 （3）159人 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数、用样本估计及总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和统计图中的信息，可以分别计算出a、b、m的值； （2）根据表格中的数据，可以解答本题； （3）根据表格中的数据，可以计算出这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 【小问1详解】 解：∵A，B两组人数共有人， ∴七年级抽取学生的竞赛成绩中位数为C组按从大到小的倒数第2和第3个数据(即87与89)的平均数， 由条形统计图可得：， 由八年级C组同学的分数可知：88出现的次数最多，出现5次，所占的百分比为， ∴， ， 故答案为：88，88，； 【小问2详解】 解：七年级学生对当前信息技术的了解情况更好， 理由：由表格可知，在平均分相同时，七年学生的竞赛成绩中的中位数、众数、优秀率均高于八年级学生； 【小问3详解】 解：由题意可得， (人)， 答：七年级和八年级参加此次知识竞赛的学生成绩为A级的共有159人． 18. 已知反比例函数与一次函数相交于点和点，如图所示，且一次函数与轴，轴分别交于点和点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）设是轴上一点，当和面积相等时，求点的坐标； 【答案】（1）一次函数解析式为：；反比例函数表达式； （2）或 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式和面积问题，数形结合和准确求出函数解析式是关键． （1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，得到点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）求出直线与轴交点的坐标为，得到，根据和面积相等列出方程，解方程即可求出答案． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 将点代入反比例函数表达式得，则 将点、的坐标代入一次函数解析式得到 解得 ∴一次函数解析式为：； 【小问2详解】 当时，，解得，， ∴直线与轴交点的坐标为，故； 或 点坐标为或 19. 如图，在中，，点是的中点． （1）尺规作图：以线段为直径作，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接、，若，，求弧的长度． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】分别以、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧分别交于两点，连接两点作直线，直线交于点，以点为圆心，为半径画，交边于点； 连接，根据圆周角定理可知，可证为等边三边形，从而可知，利用勾股定理即可求出，，利用弧长公式即可求出的长度． 【小问1详解】 解：如下图所示： 分别以、为圆心，大于的长度为半径画弧， 两弧分别交于两点，连接两点作直线， 直线交于点， 以点为圆心，为半径画，交边于点； 【小问2详解】 解：连接， 为的直径， ， ， ， 又点为中点， ， 为等边三边形， ， ， ， ，， ， ， ， ， 弧的长度为：． 【点睛】本题考查作图-复杂作图、圆周角定理、勾股定理、弧长公式，解题的关键是理解题意，解决本题的关键是作辅助线构造等边三角形和直角三角形． 20. 在学习《解直角三角形》这一节时，喜欢探索的小明同学在课外学习活动中，探究发现，锐角三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系．下面是小明同学的学习笔记，请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 学习笔记：如图1，在锐角中，，，的对边分别记为，，，锐角的面积记为，过点作于点，则， ， 同理可得，． 即． 由以上推理得结论①：锐角三角形的面积等于两边与其夹角正弦积的一半． 又，根据等式的基本性质，将，整理，得． 由以上推理得结论②：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． 【理解应用】请学习上述阅读材料，并用上述材料的结论解答以下问题． 如图2，甲船以36海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行．当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到达甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里． （1）求的面积； （2）若此时与恰好互相垂直，求乙船由处到达处航行的路程是多少海里．（结果保留根号） 【答案】（1）平方海里 （2）海里 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得海里，，（海里），运用题干的结论①，代入数值，即可作答． （2）先得海里，则，，再把数值代入结论②得，即可作答． 【小问1详解】 解：由题意得，海里，，（海里）， 由结论①得，的面积为（平方海里） 【小问2详解】 解：如图， ，， ，海里 ，， 由结论②得，， 即， 海里 21. 2025年初，国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房创历史新高．某生产商推出了哪吒手办（类）和敖丙手办（类）盲盒，已知生产商每天生产类手办比生产类手办多200个，单独生产类手办2天的总产量与单独生产类手办3天的总产量相同． （1）求生产商每天单独生产，两类手办的个数； （2）两种手办某商家的购进价和售价如下表： 进价 售价 类/个 70 100 类/个 90 140 根据网上预约的情况，该商家计划用不超过15000元的资金购进，两种手办共200个，若这200个手办全部售完，请你设计购进方案，使商家获利最大，并求最大利润； 【答案】（1）生产商每天单独生产类手办600个，每天单独生产类手办400个 （2）购进类手办150个、类手办50个可使商家获利最大，求最大利润为7000元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设生产商每天单独生产类手办个，则每天单独生产类手办个，再列出一元一次方程，即可作答． （2）设购进类手办个，则购进类手办个，得，解得，设获利为元，则，结合一次函数的性质进行作答即可． 【小问1详解】 解：设生产商每天单独生产类手办个，则每天单独生产类手办个， 根据题意，得， 解得，（个）. 答：生产商每天单独生产类手办600个，每天单独生产类手办400个. 【小问2详解】 解：设购进类手办个，则购进类手办个， 根据题意，得， 解得， 设获利为元，则， ， 随的增大而减小， ， 当时值最大，， 则（个） 答：购进类手办150个、类手办50个可使商家获利最大，求最大利润为7000元． 22. 如图，抛物线过点，与轴交于点、，抛物线顶点坐标为，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求证：直线与该抛物线没有交点； （3）设，矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求的最大值； 【答案】（1） （2）见解析； （3），的最大值是20 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，矩形的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）联立两函数解析式得到一个一元二次方程，利用判别式求解即可； （3）根据题意可得，可证明点E和点F关于抛物线对称轴对称，则可得到，进而求出，，根据据此周长计算公式可得，据此利用二次函数的性质求出最大值即可． 【小问1详解】 解：由题意可设抛物线的函数解析式为， 将点代入解析式可得，解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 证明：将直线与抛物线联立可得， 整理得； ∴， 直线与抛物线没有交点； 【小问3详解】 解：由题意得，则 ∵四边形是矩形， ∴， ∴点G和点D关于抛物线对称轴对称， ∴点E和点F关于抛物线对称轴对称， 由（1）可得抛物线对称轴直线， ， ，． ，即与的函数关系式是 当时，的值最大，的最大值是20． 23. 小星根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展． 如图，在矩形中，是边上一点，连接，将沿翻折，得到． （1）问题解决：当点关于的对称点恰好落在边上时，四边形是________形； （2）问题探究：在（1）的条件下，是边上一定点，连接，作关于的对称线段，连接，射线交射线于点，连接．当点落在边上时，如图①，求的度数； （3）拓展延伸：如图②当点不在边上时，直接写出的值． 【答案】（1）正方 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定和性质，折叠的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质等知识，正确做出辅助线是解题的关键． （1）由折叠可知，再证明是等腰直角三角形，得到，从而得到四边形是菱形，结合可知四边形是正方形； （2）过点E作，垂足为H．折叠及对称性可知，设，则，继而求出，，再根据对称性可得，从而运用三角形的内角和定理求出即可； （3）过点E作于点H．设，则．得．得，得，得，得，得，： 【小问1详解】 在矩形中，，，， 由折叠可知：，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形， 故答案为：正方； 【小问2详解】 解：由（1）得：四边形是正方形， ∴， 过点E作，垂足为H． 折叠及对称性可知，设，则， ∴， ∴， ∵、关于对称， ∴ ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如解图，过点E作于点H． 由对称的性质可知，， 设， ∴， ∴． ∵， ∴． 由（1）知，四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $