精品解析：吉林省吉林市实验中学2024-2025学年高二阶段性测试数学试题

2025年吉林市实验中学高二年级阶段性测试 数学 一､单选题 1. （ ） A. B. C. D. 2. 设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），即经过年后，碳14的含量（为碳14的初始含量，为常数），则碳14含量由原来的衰减为大约需要经过（ ） （参考数据：） A. 2292年 B. 2456年 C. 2674年 D. 2838年 4. 已知定义在上的函数，对任意满足，且当时，.设，，则（ ） A. B. C. D. 5. 过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 6. 如图，某圆台形木质零件的上底面圆的半径为3，下底面圆的半径为6，母线长为6.现从该零件中挖去了一个以圆为底面、为顶点的圆锥，为增加该材料的利用率，工人们准备利用剩下的材料制作一系列大小相等的球，每一个球都同时与圆台的母线、圆台的下底面及圆锥的母线相切，则这样的球至多可以制作的个数是（参考数据：）（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知函数在区间上有且仅有一个零点，当最大时，的图象的一条对称轴方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，且满足．若在单调递增，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 10. 2025年春节档共上映6部电影全国电影票房达95.1亿元，刷新了中国影史春节档票房记录.其中，《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的宝座.小数想要观看这6部电影，则（ ） A. 若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，则共有120种观看顺序 B. 若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有360种观看顺序 C. 若将6部电影每2部一组随机分为3组，则共有90种分组方式 D. 若将6部电影随机分为2组，则共有31种分组方式 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），中点为，，的内切圆圆心分别为，，半径分别为，则下列结论正确的是（ ） A. ，，三点共线 B. 直线斜率存在时， C. 若，则直线的斜率为 D. 的取值范围是 三､填空题 12. 已知复数、在复平面内所对应的点分别为、，且，若为坐标原点，则_______． 13. 已知，则的最大值是_______. 14. 《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，，点P在线段CH上，且，则的值为________；若点Q为线段CD上的动点，则的最小值为________． 四､解答题 15. 已知数列是等差数列，，且成等比数列.给定，记集合的元素个数为bk. （1）求的值; （2）求满足的最小自然数的值. 16. 如图，平行四边形中，，平面，是等边三角形，平面平面. （1）求证：； （2）若直线和平面所成角为，为线段上一点，当平面和平面所成角的余弦值为时，求的长. 17. 在以为坐标原点的平面直角坐标系中，为椭圆的右焦点，过点的直线（斜率存在）与交于两点，线段的中点为（不与重合），直线与的斜率之积为． （1）证明：； （2）设直线与直线交于点，若为等腰三角形，求的一般式方程. 18. 某校开设劳动教育课程，共设置了两类课程：家政和园艺，共有400名学生参加.学校对选择了这两类课程的学生人数的分布进行了统计，相关数据记录在如下表格中，但其中有缺失.已知男生中选择家政课的比例为. 课程 性别 合计 男 女 家政 160 园艺 120 合计 400 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为学生选择不同劳动教育课程与性别有关联？ （2）学校对某一课程中教授同一知识点教师的教授时长与学生任务完成率进行了跟进，授课时长（分钟）和学生任务完成率的对应数据如下： 时长 20 24 28 32 36 40 完成率 50 70 60 66 72 84 在任务完成率不全相等的条件下，学校为了调研是否存在学生任务完成率与平均完成率偏差过大的情况，需计算偏差系数，现给出以下两种数据处理方式： 甲：，乙：，已知偏差系数越大的处理方式，对于数据中大偏差数据的存在体现得越明显. ①用两种处理方式分别计算学生任务完成率的偏差系数，并指出哪一种数据处理方式对大偏差数据的存在体现更明显； ②判断此后学校每次调研均采用①中对大偏差数据的存在体现更明显的数据处理方式是否合理，并证明你的判断. 附：. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 19. 定义二元函数，且同时满足：①；②两个条件． （1）求的值； （2）当时，比较和0的大小； （3）若为的极大值点，求的取值范围． 附：参考公式： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年吉林市实验中学高二年级阶段性测试 数学 一､单选题 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数除法运算即可得解. 【详解】. 故选：D. 2. 设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线定理可得，由与不共线，得且，即可结合充要条件的定义求解. 【详解】若与共线，则存在非零实数，使得，即， 由于平面向量与不共线，所以且，故， 因此“与共线”是“”的充要条件， 故选：C 3. 我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），即经过年后，碳14的含量（为碳14的初始含量，为常数），则碳14含量由原来的衰减为大约需要经过（ ） （参考数据：） A. 2292年 B. 2456年 C. 2674年 D. 2838年 【答案】B 【解析】 【分析】利用半衰期的意义求出，再利用给定的模型列出方程组，结合对数运算求解即得. 【详解】依题意，当时，，即，解得， 设经过年碳14含量衰减为原来的，经过年碳14含量衰减为原来的， 则，即，所以 . 故选：B 4. 已知定义在上的函数，对任意满足，且当时，.设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则有.根据已知可得出，从而得出函数在上单调递减.构造函数，利用导函数证明在上恒成立.进而分以及讨论，即可得出答案. 【详解】设，则有. 当时，由已知可得， 化简可得. 又由已知当时，可得，， 所以. 所以，在上单调递减. 又时，构造， 则在上恒成立， 所以，恒成立， 所以在上恒成立. 所以，有在上恒成立； 当时，有，所以有，即； 当时，，此时有，即. 综上所述，. 故选：D. 5. 过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线的意义知，由勾股定理可求. 【详解】由题意有，即. 故选：B. 6. 如图，某圆台形木质零件的上底面圆的半径为3，下底面圆的半径为6，母线长为6.现从该零件中挖去了一个以圆为底面、为顶点的圆锥，为增加该材料的利用率，工人们准备利用剩下的材料制作一系列大小相等的球，每一个球都同时与圆台的母线、圆台的下底面及圆锥的母线相切，则这样的球至多可以制作的个数是（参考数据：）（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，垂足为，易得为等边三角形，进而可求出满足要求的球的半径，过点作，垂足为，易得满足题意的球的球心在以为圆心的圆周上运动，作出截面图，进而可得出答案. 【详解】如图，过点作，垂足为， 由题意可知， 所以四边形为矩形，则，所以， 所以，即为等边三角形， 所以内切圆的半径为， 即满足要求的球的半径为， 过点作，垂足为， 则四边形为矩形，所以， 显然在以为圆心，半径为的圆周上运动，作出截面图，如图， 在中，， 由余弦定理得， 所以， 因为， 所以满足题意的球至多有个. 故选：B. 7. 已知函数在区间上有且仅有一个零点，当最大时，的图象的一条对称轴方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可求得，根据函数在区间上有且仅有一个零点可求出的取值范围，再利用正弦型函数的对称性可求得结果. 【详解】当时，且，， 由可得，所以，， 解得，， 若无解，则或，解得或， 由于且存在，故或，即或，则有或， 故的最大值为，此时， 由可得， 当时，函数的一条对称轴方程为， 故选：B. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，且满足．若在单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件可得的图象在上连续不断，再结合赋值法、复合函数求导、不等式性质逐项判断. 【详解】由函数及其导函数的定义域均为，得的图象在上连续不断， 对于A，取，由，得， 当时，取，，而在上单调递增， 则在上不恒为0，因此，即，A错误； 对于B，，取，，由选项A知，， 不恒为0，B错误； 对于C，由在上单调递增，得当时，； 当时，由，得，C错误； 对于D，，则， 因此，D正确. 故选：D 二､多选题 9. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正态分布期望的性质可得A错误；由正态分布的方差可得B正确；由正态分布曲线的对称性可得C、D正确； 【详解】对于A，由题意，得，故A错误； 对于B，又，所以，故B正确； 对于C，因为两个正态分布对应的正态密度曲线关于直线对称， 所以，故C正确； 对于D，由对称性，得， 所以，故D正确. 故选：BCD. 10. 2025年春节档共上映6部电影全国电影票房达95.1亿元，刷新了中国影史春节档票房记录.其中，《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的宝座.小数想要观看这6部电影，则（ ） A. 若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，则共有120种观看顺序 B. 若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有360种观看顺序 C. 若将6部电影每2部一组随机分为3组，则共有90种分组方式 D. 若将6部电影随机分为2组，则共有31种分组方式 【答案】BD 【解析】 【分析】根据捆绑法计算求解A，应用全排列计算B，根据平均分组计算判断C，分类分组计算判断D. 【详解】若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，可将这两部电影看作一个整体， 与其余4部电影全排列，再将这两部电影内部进行全排列，所以观看顺序为种，故A错误； 若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则在6部电影的全排列中， 《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前的情况占总情况的一半， 故共有种观看顺序，故B正确； 若将6部电影每2部一组随机分为3组， 则可以从6部电影中先选出2部，再从4部电影中选出2部，最后除以消除重复情况， 故分组方式为，故C错误； 若将6部电影随机分为2组，则可按两组分别有1和5部、2和4部、3和3部电影的三种情况分组， 按1和5，有种分组方式； 按2和4，有种分组方式； 按3和3，有种分组方式， 所以共有31种分组方式，故D正确. 故选：BD. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），中点为，，的内切圆圆心分别为，，半径分别为，则下列结论正确的是（ ） A. ，，三点共线 B. 直线斜率存在时， C. 若，则直线的斜率为 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由双曲线的焦点三角形的内切圆切于顶点（右焦点对应右顶点），通过列式即可判断；对于B，由斜率公式及点差法可判断；对于C，设直线的倾斜角为，得到，，根据求出，进而求出可判断C；对于D，构造对勾函数即可判断. 【详解】依题意，得，，得，则，，，，设点，，， 对于A项，如图，设的内切圆的切点为，，，由双曲线的定义得，，而，得，而，，得,又因为，得切点与点重合，得点，则内心的横坐标为1，同理可得，内心的横坐标也为1，得，，三点共线，故A项正确； 对于B项，由相减得，，得，即，故B项正确； 对于C项，设直线的倾斜角为，连接，， 则， 又， 则，，若，则，，故C项错误； 对于D项，由题可知双曲线的渐近线为：，倾斜角分别为，，因为直线与双曲线的右支交于，两点，所以，，，令，则，则在单调递减，在单调递增，故，故D项正确． 故选：ABD． 三､填空题 12. 已知复数、在复平面内所对应的点分别为、，且，若为坐标原点，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的几何意义可得出复数、，利用复数的乘法与复数相等可求出的值，进而可得出点、的坐标，再利用平面向量数量积的坐标运算可得结果. 【详解】由复数的几何意义可得，， 故，所以，解得， 故、，则，，故． 故答案为：. 13. 已知，则的最大值是_______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据正切两角和公式化简可得，再结合正弦与余弦的二倍角公式化简所求，根据正弦函数的取值即可最大值. 【详解】因为， 故， 故，即， 即，而， 同理，故，即， 所以，当且仪当时，等号成立， 故的最大值是． 故答案为： 14. 《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，，点P在线段CH上，且，则的值为________；若点Q为线段CD上的动点，则的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 0 【解析】 【分析】在正八边形中，各边夹角都是已知的，各边长也是已知的，把目标向量用边长向量表示出来，再根据向量乘法运算律求出结果. 【详解】 如图所示,连接，因为三点共线，且 ，解得， 则， 与夹角为,与夹角为, . 设,可知, , , , , ,当或时, 有最小值,最小值为0. 故答案为: ； 0. 四､解答题 15. 已知数列是等差数列，，且成等比数列.给定，记集合的元素个数为bk. （1）求的值; （2）求满足的最小自然数的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，根据题意，列出方程，求得，得到，结合，分别求得的值； （2）由（1）得到，求得，当和时，可得，，进而得到的最小值. 【小问1详解】 解：设数列的公差为， 因为成等比数列，且，所以， 即，即，解得，所以， 又因为， 当时，集合，所以集合中元素的个数； 当时，集合，所以集合中元素的个数； 【小问2详解】 解：由集合 的元素个数为， 结合（1）可得， 所以， 当时，可得； 当时，可得， 又由， 所以数列为单调递增数列，所以的最小值是. 16. 如图，平行四边形中，，平面，是等边三角形，平面平面. （1）求证：； （2）若直线和平面所成角为，为线段上一点，当平面和平面所成角的余弦值为时，求的长. 【答案】（1）证明：取的中点，连结，. 平面，， 是等边三角形，， 平面平面，平面平面，平面 平面，，，，，共面， 平行四边形中，， 平行四边形为边长为2的菱形，且 在等边中，，， 四边形为菱形，，， ，而平面，平面， 而平面，. （2）1 【解析】 【分析】（1）取的中点，根据平面，得到，根据菱形得几何性质有，证明平面，所以. （2）建立空间直角坐标系，设，通过计算法向量来表示二面角的余弦值，计算求得的值即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，， 平面，直线和平面所成角为，即， 在中，，， 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设， 则， 设是平面的一个法向量，而， 则， 取，则，， 设是平面的一个法向量，而， 则，， 取，则，，， 平面和平面所成角的余弦值为， ， 或（舍去），. 17. 在以为坐标原点的平面直角坐标系中，为椭圆的右焦点，过点的直线（斜率存在）与交于两点，线段的中点为（不与重合），直线与的斜率之积为． （1）证明：； （2）设直线与直线交于点，若为等腰三角形，求的一般式方程. 【答案】（1） 证明：设， 由于在椭圆上，故 两式相减得，即， 设，则有， 故，即， 设直线的斜率为，则，直线的斜率为， 故直线与直线的斜率之积为，即，故． （2）或 【解析】 【分析】（1）设，代入椭圆方程，相减可得坐标关系从而证得所求； （2）根据的关系确定椭圆方程，由（1）可得直线的方程为，确定坐标，根据为等腰三角形，求得的值，从而得直线方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于右焦点，故，可得， 又因为，解得 故的方程为， 由（1）知，直线的方程为，令， 则，即， 所以直线的斜率为，故直线始终垂直于直线， 又为等腰三角形，即，得，解得， 代入的方程知， 故的一般式方程为或． 18. 某校开设劳动教育课程，共设置了两类课程：家政和园艺，共有400名学生参加.学校对选择了这两类课程的学生人数的分布进行了统计，相关数据记录在如下表格中，但其中有缺失.已知男生中选择家政课的比例为. 课程 性别 合计 男 女 家政 160 园艺 120 合计 400 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为学生选择不同劳动教育课程与性别有关联？ （2）学校对某一课程中教授同一知识点教师的教授时长与学生任务完成率进行了跟进，授课时长（分钟）和学生任务完成率的对应数据如下： 时长 20 24 28 32 36 40 完成率 50 70 60 66 72 84 在任务完成率不全相等的条件下，学校为了调研是否存在学生任务完成率与平均完成率偏差过大的情况，需计算偏差系数，现给出以下两种数据处理方式： 甲：，乙：，已知偏差系数越大的处理方式，对于数据中大偏差数据的存在体现得越明显. ①用两种处理方式分别计算学生任务完成率的偏差系数，并指出哪一种数据处理方式对大偏差数据的存在体现更明显； ②判断此后学校每次调研均采用①中对大偏差数据的存在体现更明显的数据处理方式是否合理，并证明你的判断. 附：. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）能认为学生选择不同劳动教育课程与性别有关联 （2）①甲的计算公式计算为，乙的计算公式计算为，乙； ②采用①中对大偏差数据的存在体现更明显的数据处理方式，即乙的处理方式是合理的. 证明：不妨设，只需证明恒成立. 不妨设，为任意实数， 则，，欲证，则证即可， 即证即可，故证即可， 设函数， 结合完全平方公式得，则二次函数的， 可得，即， 从而对于原式，不妨令，得到，， 得到，即恒成立， 故此后学校每次调研均采用①中对大偏差数据的存在体现更明显的数据处理方式是合理的. 【解析】 【分析】（1）根据所给条件计算出列联表中各项数据，再计算卡方统计量并与临界值比较判断零假设是否成立. （2）①算出甲、乙的偏差系数.先求数据均值，再按甲、乙公式分别计算偏差系数，比较大小后发现乙对大偏差数据体现更明显. ②证明乙处理方式合理，也就是证.设，构造函数，由得二次函数判别式，进而推出不等式，令，最终证得. 【小问1详解】 设男生有人，故，解得， 故男生中选择园艺课的人数为40人，又因为其有400人参加课程､ 所以女生有200人，女生中选择家政课的人数为80人. 完善列联表，单位：人 课程 性别 合计 男 女 家政 160 80 140 园艺 40 120 160 合计 200 200 400 零假设为：选择不同劳动教育课程与性别无关联. 因为， 故依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生选择不同劳动教育课程与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. 【小问2详解】 ①， 根据甲的计算公式计算：，故； 根据乙的计算公式计算：， 易知，因此乙的偏差系数大，从而乙对大偏差数据的存在体现更明显. ②略 19. 定义二元函数，且同时满足：①；②两个条件． （1）求的值； （2）当时，比较和0的大小； （3）若为的极大值点，求的取值范围． 附：参考公式： 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据函数新定义结合特殊角三角函数值计算求解； （2）应用定义解裂项相消及不等式的性质证明； （3）先求出导函数，根据导函数得出函数单调性及极值点计算求参. 【小问1详解】 由题意知，， ； 【小问2详解】 由已知， 当时，， ， 所以 ， 当且仅当时，上式取得等号，但不可能成立， 当时，，不等式也成立， 所以当时，； 【小问3详解】 因为， 所以，注意到， ，注意到， 令， 则，注意到， 令， 则， 可知当时，， 则当时，为增函数，即为增函数， 若，即当时， 存在，使得当时，为增函数，即为增函数， 所以在区间上为增函数， 所以不是的极大值点，不符合题意，舍去， 若，即当时， 存在，使得当时，为减函数，即为减函数， 所以，在区间上，，函数单调递减， 在区间上，，函数单调递增， 所以，是的极大值点，符合题意， 综上所述，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $