第02讲 实数的相关概念（4知识点+7大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）

第02讲 实数的相关概念（4知识点+7大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 有理数的小数形式 可以把整数看成小数点后是0的小数，于是任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 有理数必为有限小数或无限循环小数;反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数. 知识点02 无理数 无限不循环小数又叫无理数. 要点归纳： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点03 实数与数轴 1.实数的概念与分类 有理数和无理数统称为实数.有理数为有限小数或无限循环小数，无理数为无限不循环小数.不是有理数的实数就是无理数.实数可以这样分类: 实数也可以分为正实数、0、负实数。 2.实数与数轴上的点的关系 我们尝试用数轴上的一个点来表示． 由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1． 这样，就在数轴上确定一个点来表示． 要点归纳：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。 知识点04 实数的绝对值与大小比较 借助数轴，可以将有理数的绝对值、大小比较推广到实数.有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值，实数a的绝对值记作|a|. 绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数;0的相反数是0.非零实数a的相反数是-a. 一个正实数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，一个负实数的绝对值是它的相反数，设a表示一个实数，则 【题型1 循环小数化分数】 【例1-1】阅读材料：我们已经学会了把有限小数化成分数，现在让我们来探究如何将化为分数： 【解析】解：设， 那么（利用倍数关系构造了另一个有同样循环节的数）， 所以，解得． 所以，．这样我们就将无限循环小数化为了分数． （1）试着用上述方法将无限循环小数分别化为分数； （2）将无限循环小数化为分数． 【例1-2】将下列小数化为分数． (1) (2) (3) (4) 【例1-3】求证：． 【变式1-1】将下列循环小数化为分数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-2】求证：． 【题型2识别有理数和无理数】 【例2-1】（23-24七年级下·上海闵行·期末）在 ， ，，，   中，有理数的个数有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2-2】（23-24七年级下·上海宝山·期中）在实数，，0，，中无理数有（　 　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】（22-23七年级下·上海浦东新·期末）下列各数中，有理数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】在实数、、、、、中，无理数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型3实数的相关概念辨析】 【例3-1】（22-23七年级下·上海杨浦·期末）下列说法中，错误的是（    ） A．实数可分为有理数和无理数 B．无理数可分为正无理数和负无理数； C．无理数都是无限小数 D．无限小数都是无理数． 【变式3-1】（22-23七年级下·上海嘉定·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．无理数都是带有根号的数 C．、都是分数 D．实数分为正实数，负实数和零 【变式3-2】下列说法中，正确的是（　　） A．，，都是无理数 B．绝对值最小的实数是0 C．实数分为正实数和负实数两类 D．无理数包括正无理数、负无理数和零 【题型4 实数的分类】 【例4】（2023七年级下·上海·专题练习）把下列各数分别填入相应的横线上（填序号）： ①，②0，③，④，⑤，⑥π，⑦，⑧． 正数集合： ； 负数集合： ； 有理数集合： ； 无理数集合： ． 【变式】把下列各数写入相应的集合内：． (1)有理数集合：{                        …} (2)正实数集合：{                        …} (3)无理数集合：{                        …} (4)负实数集合：{                        …} 【题型5 实数与数轴】 【例5-1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，，则点C所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（22-23七年级下·上海青浦·期中）如图，点B和点C关于点A对称，则点C表示的数是 ． 【例5-3】（23-24七年级下·上海嘉定·期末）点A和点B是数轴上的两点，点A表示的数为，点B表示的数为，那么A、B两点间的距离为 ． 【例5-4】如图： (1)已知点A、B表示两个实数﹣、，请在数轴上描出它们大致的位置，用字母标示出来； (2)O为原点，求出O、A两点间的距离． (3)求出A、B两点间的距离． 【变式5-1】（23-24七年级下·上海闵行·期末）数轴上，已知点A 表示的数是 点B 表示的数是b， 且实数b满足，那么点 B表示的正整数是 ． 【变式5-2】（22-23七年级下·上海·期中）将数轴沿着点P对折，如果两个点正好重合，把这两个点叫做关于点P的“对称点”，如果表示的点和表示点是一组关于点P的“对称点”，那么表示的点关于点P的对称点所表示的数是 ． 【变式5-3】已知实数x、y满足（x﹣2）2＋＝0 (1)x＝　　，y＝　　； (2)在数轴上，若点A、点B分别表示实数x，y， ①在数轴上标出点A、点B的大致位置； ②数轴上，若点C到点B的距离为1.5，则点C所对应的实数为：　　． 【题型6 无理数的大小估算】 【例6-1】（23-24七年级下·上海杨浦·期末）写出在与之间的一个有理数，这个数可以是 （只需填写一个）． 【例6-2】（23-24七年级下·上海·阶段练习）已知，，则 （精确到0.01）． 【变式6-1】（23-24七年级下·上海杨浦·期末）数轴上，实数对应的点在原点的 侧． 【变式6-2】（22-23七年级下·上海青浦·期中）已知是连续的正整数，，则 ． 【变式6-3】阅读下面的文字，解答问题． 对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差． 例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2． （1）仿照以上方法计算：[]＝　 　{5﹣}＝　 　； （2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：　 　． （3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝　 　，n＝　 　． 【题型7 无理数整数部分的有关计算】 【例7-1】（23-24七年级下·上海·期中）若的整数部分为，小数部分为，则的值为 ． 【例7-2】设的整数部分为，小数部分为，求的立方根． 【变式7-1】（23-24七年级下·上海闵行·期中）已知：、分别是的整数部分和小数部分，那么的值为 ． 【变式7-2】（22-23七年级下·上海宝山·期末）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来．因为的整数部分是1，所以可以用来表示的小数部分．又例如：因为，所以的整数部分为2，小数部分为．如果的小数部分为a，那么的值为 ． 【变式7-3】已知的整数部分为，小数部分为，求． 一、单选题 1．（22-23七年级下·上海·期中）在，，，，，，（它的位数无限且相邻两个“”之间“”的个数依次加个）这个数中，无理数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（22-23七年级下·上海普陀·期中）如图，在数轴上，点与点关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是（     ）    A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）估算的值是在（    ） A．0和1之间 B． 和0之间 C． 和之间 D． 和之间 4．下列说法错误的是（    ） A．无理数都是无限小数 B．可以用数轴上的一个点来表示 C．两个无理数的和一定还是无理数 D．的小数部分是 5．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）学校里有一个正方形的花坛，它的面积是20平方米，请你估计这个正方形的边长约在（    ） A．3米和4米之间 B．4米和5米之间 C．5米和6米之间 D．6米和7米之间 6．（22-23七年级下·上海宝山·阶段练习）已知三个实数在数轴上对应的点如图所示，则（     ）    A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）数轴上点A表示的数是，点B在点A的左边，且，那么点B表示的数是 ． 8．在实数3，，，，，0，，，3.14，，，（从1开始不断增大的每两个连续正整数间都有一个零）中，无理数有 个． 9．（22-23七年级下·上海徐汇·期中）数轴上A，B两点之间的距离是，点A在数轴上表示的数为，则点B在数轴上表示的数为 ． 10．（22-23七年级下·上海嘉定·期中）的小数部分是 ． 11．（23-24七年级下·上海松江·期中）的整数部分是 ． 12．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）在两个连续的整数和之间，则 ． 13．（2024七年级下·上海·专题练习）数轴上点表示的数是，则点关于原点对称的点表示的数是 ． 14．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）在数轴上表示的点与表示数3的点之间的距离是 ． 15．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）在数轴上，如果点、点所对应的数分别为、，那么、两点的距离 ． 16．（22-23七年级下·上海浦东新·期中）已知，且，则的值为 ． 17．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）在数轴上点A所对应的数是1，在数轴上点C所对应的数是，在数轴上点B所对应的数是x，如果点C和点B关于点A成中心对称，那么x的值为 ． 三、解答题 18．（22-23七年级下·上海奉贤·期中）在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”，请模仿这种方法，说明是无理数． 阅读材料： “无理数”的由来 为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． 假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则a是2的倍数． 再设，其中m是整数，就有：， 也就是：， 所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数． 解：假设是一个有理数． 则（a、b是整数且a、b互素且）， 则， 两边同时平方得：_____________， 所以：，可得：， 所以：______________， 因为：______________， 所以：是一个无理数． 19．（23-24七年级下·上海金山·期中）阅读理解题 在六年级时，我们已经学过绝对值的概念，一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．表示数轴上表示x的点A到原点的距离，即， 如图1． 在七年级时，我们进一步学习了绝对值，知道了在数轴上表示实数a和b的两点A、B两点之间的距离，即．如图2 下面让我们一起利用绝对值的几何意义来探究最小值问题． 例如：求代数式的最小值． 解：表示数轴上表示实数x和的两点A、B之间的距离，表示数轴上表示实数x和2的两点A、C之间的距离，那么表示它们的距离之和，即． 当时，即点A在点B的左边时，，如图3： 当时，即点A在点B和点C之间（包括点B、C）时，，如图4； 当时，即点A在点C的右边时，，如图5； 由此可知，当时，有最小值3． 问题：请你模仿上述研究方法： (1)求当代数式取最小值时，相应的x的取值范围． (2)求代数式的最小值是________． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 实数的相关概念（4知识点+7大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 有理数的小数形式 可以把整数看成小数点后是0的小数，于是任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 有理数必为有限小数或无限循环小数;反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数. 知识点02 无理数 无限不循环小数又叫无理数. 要点归纳： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 知识点03 实数与数轴 1.实数的概念与分类 有理数和无理数统称为实数.有理数为有限小数或无限循环小数，无理数为无限不循环小数.不是有理数的实数就是无理数.实数可以这样分类: 实数也可以分为正实数、0、负实数。 2.实数与数轴上的点的关系 我们尝试用数轴上的一个点来表示． 由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD，它的边长为．观察正方形ABCD，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1． 这样，就在数轴上确定一个点来表示． 要点归纳：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。 知识点04 实数的绝对值与大小比较 借助数轴，可以将有理数的绝对值、大小比较推广到实数.有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值，实数a的绝对值记作|a|. 绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数;0的相反数是0.非零实数a的相反数是-a. 一个正实数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，一个负实数的绝对值是它的相反数，设a表示一个实数，则 【题型1 循环小数化分数】 【例1-1】阅读材料：我们已经学会了把有限小数化成分数，现在让我们来探究如何将化为分数： 【解析】解：设， 那么（利用倍数关系构造了另一个有同样循环节的数）， 所以，解得． 所以，．这样我们就将无限循环小数化为了分数． （1）试着用上述方法将无限循环小数分别化为分数； （2）将无限循环小数化为分数． 【答案】（1）；（2） 【知识点】 分数化小数 【分析】（1）根据给出的例子，设这个有限小数为x，表示出它的10倍数，然后用10倍数减去这个循环小数，通过解方程解决问题； （2）将无限循环小数化为分数，根据上面的方法，先把化成分数，然后加上整数部分即可． 【详解】解：（1）设， 则，，． （2）由，得． 【点睛】此题考查了把无限循环小数化成分数的方法，关键在于利用倍数关系构造了另一个有同样循环节的数，进而解决问题． 【例1-2】将下列小数化为分数． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】 分数化小数 【分析】本题主要考查了小数化分数，熟知小数化分数的方法是解题的关键． （1）设，则，可得，解方程即可得到答案； （2）设，则，可得，解方程即可得到答案； （3）设，则，，可得，解方程即可得到答案； （4）设设，则，，可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【例1-3】求证：． 【答案】见解析 【知识点】 分数化小数 【分析】设，则，，即，进行计算即可得． 【详解】解：设，则，， 即， ， 解得，． 【点睛】本题考查了分数化为循环小数的方法，解题的关键是掌握分数化为循环小数的方法． 【变式1-1】将下列循环小数化为分数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】 分数化小数 【分析】（1）根据纯循环小数化分数的方法化为分数即可； （2）根据纯循环小数化分数的方法化为分数即可； （3）根据混循环小数化分数的方法化为分数即可； （4）根据混循环小数化分数的方法化为分数即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查循环小数化为分数的方法．纯循环小数的循环节有几位，就在分母上写几个9，以循环节做分子；混循环小数的循环节有几位，就在分母上写几个9，循环节之前有几位，就在后面再补几个0做分母，用从小数点后面第一位开始到第一个循环位结束时的数字组成的数减去第一个循环节前面的数字组成的数做分子． 【变式1-2】求证：． 【答案】见解析 【知识点】 分数化小数 【分析】设，则，可得，解出即可． 【详解】解：设，则， 所以， 所以， 所以． 【点睛】本题主要考查了分数化为循环小数，熟练掌握分数化为循环小数的方法是解题的关键． 【题型2识别有理数和无理数】 【例2-1】（23-24七年级下·上海闵行·期末）在 ， ，，，   中，有理数的个数有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】实数的分类 【分析】本题主要考查了有理数的概念，有理数可分为整数和分数，其中分数可化为有限小数或无限循环小数，根据分类对题目中的实数进行化简判断即可． 【详解】解：为无理数， 是分数，为有理数； 是有限小数，为有理数； 为无理数，故是无理数； ，为无理数； ∴和是有理数， 故选：B． 【例2-2】（23-24七年级下·上海宝山·期中）在实数，，0，，中无理数有（　 　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】实数的分类、无理数 【分析】本题主要考查了无理数的定义．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：是分数，属于有理数； 0是整数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 无理数有：，，共2个． 故选：B． 【变式2-1】（22-23七年级下·上海浦东新·期末）下列各数中，有理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、有理数的定义、实数的分类 【分析】根据有理数的定义，结合实数的分类进行判断即可． 【详解】解：，，都是无理数，是有理数，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了实数的分类，求一个数的立方根和算术平方根，解题的关键是熟练掌握有理数的定义，整数和分数统称为有理数． 【变式2-2】在实数、、、、、中，无理数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】实数的分类、求一个数的算术平方根、无理数 【分析】无理数是无限不循环小数，常见的无理数有：开不尽方的数，含的最简式子，特殊结构的数（如：），即可求解． 【详解】解：， ∴无理数有，，共两个， 故选：． 【点睛】本题主要考查无理数的识别，实数的分类，掌握无理数的概念是解题的关键． 【题型3实数的相关概念辨析】 【例3-1】（22-23七年级下·上海杨浦·期末）下列说法中，错误的是（    ） A．实数可分为有理数和无理数 B．无理数可分为正无理数和负无理数； C．无理数都是无限小数 D．无限小数都是无理数． 【答案】D 【知识点】实数概念理解、实数的分类、无理数 【分析】有理数与无理数统称实数，无限不循环小数是无理数，根据概念逐一分析即可． 【详解】解：实数可分为有理数和无理数，原说法正确，故A不符合题意； 无理数可分为正无理数和负无理数，原说法正确，故B不符合题意； 无理数都是无限小数，原说法正确，故C不符合题意； 无限不循环小数都是无理数，原说法错误，故D符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是实数的分类，无理数的含义，熟记概念是解本题的关键． 【变式3-1】（22-23七年级下·上海嘉定·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．无理数都是带有根号的数 C．、都是分数 D．实数分为正实数，负实数和零 【答案】D 【知识点】实数概念理解、实数的分类、无理数 【分析】直接利用相关实数的性质分析得出答案． 【详解】解：A、无限不循环小数都是无理数，原说法错误，本选项不符合题意； B、无理数不一定是带有根号的数，原说法错误，本选项不符合题意； C、、都是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意； D、实数分为正实数．负实数和零，正确，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了实数的性质，属于基础知识的考查，掌握相关概念或性质解答即可． 【变式3-2】下列说法中，正确的是（　　） A．，，都是无理数 B．绝对值最小的实数是0 C．实数分为正实数和负实数两类 D．无理数包括正无理数、负无理数和零 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的分类、无理数 【分析】利用实数的分类以及无理数的分类、无理数的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A．，，，其中是有理数，故此选项不合题意； B．绝对值最小的实数是0，故此选项符合题意； C．实数分为正实数和负实数、零，故此选项不合题意； D．无理数包括正无理数、负无理数，故此选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了实数的性质，掌握无理数以及实数的分类是解题关键． 【题型4 实数的分类】 【例4】（2023七年级下·上海·专题练习）把下列各数分别填入相应的横线上（填序号）： ①，②0，③，④，⑤，⑥π，⑦，⑧． 正数集合： ； 负数集合： ； 有理数集合： ； 无理数集合： ． 【答案】①⑥⑦；③④⑤⑧；①②④⑤⑦⑧；③⑥ 【知识点】实数的分类 【分析】根据正数，负数，有理数，无理数的定义进行判断． 【详解】解：正数集合：①⑥⑦； 负数集合：③④⑤⑧； 有理数集合：①②④⑤⑦⑧； 无理数集合：③⑥． 【点睛】此题考查实数的分类，解答此题要从概念出发，并要深刻理解．有理数和无理数统称实数，分数和整数统称有理数，无限不循环小数是无理数． 【变式】把下列各数写入相应的集合内：． (1)有理数集合：{                        …} (2)正实数集合：{                        …} (3)无理数集合：{                        …} (4)负实数集合：{                        …} 【答案】(1)，，， (2)，，，，， (3)，，， (4)， 【知识点】无理数、有理数的定义、实数的分类 【分析】根据实数的分类方法进行解答即可． 【详解】（1）解：，，， 有理数集合为：． （2）解：正实数集合为：． （3）解：无理数集合为：． （4）解：负实数集合：． 【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握有理数、无理数的概念，是解题的关键． 【题型5 实数与数轴】 【例5-1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，，则点C所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查实数与数轴，先求出的长，得到的长，即可得到点C所表示的数． 【详解】解：∵表示1，的对应点分别为A，B， ∴， ∵， ∴， ∴点C所表示的数为． 故选：C． 【例5-2】（22-23七年级下·上海青浦·期中）如图，点B和点C关于点A对称，则点C表示的数是 ． 【答案】 【知识点】实数与数轴、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了实数与数轴，体现了数形结合思想，熟练掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键．根据点B和点C关于点A对称，即可求得，再根据两点间距离计算即可． 【详解】解：∵点B和点C关于点A对称， ∴， ∴点C表示的数是：． 故答案为：． 【例5-3】（23-24七年级下·上海嘉定·期末）点A和点B是数轴上的两点，点A表示的数为，点B表示的数为，那么A、B两点间的距离为 ． 【答案】 【知识点】实数与数轴、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了实数与数轴，根据两点间的距离计算方法求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【例5-4】如图： (1)已知点A、B表示两个实数﹣、，请在数轴上描出它们大致的位置，用字母标示出来； (2)O为原点，求出O、A两点间的距离． (3)求出A、B两点间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】数轴上两点之间的距离、无理数的大小估算、实数与数轴 【分析】（1）估算出-和的值，在数轴上标出即可； （2）用表示点O的数减去表示点A的数即为两点之间的距离； （3）用表示点B的数减去表示点A的数即为A、B间的距离． 【详解】（1）解：∵2.25<3<4，1<2<2.25， ∴-2<-<-1.5，1<<1.5， -和数轴上的位置如图所示， ； （2）解：∵表示点A的数为﹣，表示点O的数为0， ∴OA=0﹣（﹣）=； （3）解：∵表示点A的数为﹣，表示点B的数为， ∴AB=﹣（﹣）=+． 【点睛】本题考查了实数与数轴以及两点间的距离，在数轴上准确表示出点A、B的位置是解题的关键． 【变式5-1】（23-24七年级下·上海闵行·期末）数轴上，已知点A 表示的数是 点B 表示的数是b， 且实数b满足，那么点 B表示的正整数是 ． 【答案】1 【知识点】绝对值非负性、实数与数轴、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了在数轴上表示实数，绝对值的知识，先求出a的绝对值，即可求得答案． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴点 B表示的正整数是1， 故答案为：1． 【变式5-2】（22-23七年级下·上海·期中）将数轴沿着点P对折，如果两个点正好重合，把这两个点叫做关于点P的“对称点”，如果表示的点和表示点是一组关于点P的“对称点”，那么表示的点关于点P的对称点所表示的数是 ． 【答案】 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查的是实数与数轴．先根据表示的点和表示 点是一组关于点的“对称点”，计算出点表示的数为，然后设表示的点关于点的对称点所表示的数为，则：，求解即可． 【详解】解：表示的点和表示 点是一组关于点的“对称点”， 点表示为：， 设表示的点关于点的对称点所表示的数为， 则：， 解得：， 故答案为：． 【变式5-3】已知实数x、y满足（x﹣2）2＋＝0 (1)x＝　　，y＝　　； (2)在数轴上，若点A、点B分别表示实数x，y， ①在数轴上标出点A、点B的大致位置； ②数轴上，若点C到点B的距离为1.5，则点C所对应的实数为：　　． 【答案】(1)2，﹣2 (2)①见解析；②﹣0.5或﹣3.5 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性、数轴上两点之间的距离、实数与数轴 【分析】（1）根据（x﹣2）2+＝0，且（x﹣2）2≥0，≥0，得到（x﹣2）2＝0，＝0，解得x＝2，y＝﹣2； （2）①在数轴上描出2，﹣2的点，分别用A、B表示；②设点C对应的实数为m，根据点C到点B的距离为1.5，写出|m﹣（﹣2）|＝1.5，求得m＝﹣0.5或﹣3.5． 【详解】（1）解：∵（x﹣2）2+＝0，且（x﹣2）2≥0，≥0， ∴（x﹣2）2＝0，＝0， ∴x＝2，y＝﹣2； 故答案为：2，﹣2； （2）①点A、点B的大致位置如图所示： ②设点C对应的实数为m，由题意得： |m﹣（﹣2）|＝1.5， 解得：m＝﹣0.5或﹣3.5； 故答案为：﹣0.5或﹣3.5． 【点睛】本题考查了数轴和数轴上的点与实数的关系，非负数的性质，算术平方根的性质，数轴上两点之间的距离，绝对值方程等知识，解题关键是熟练掌握非负数的性质和数轴上两点之间距离等相关知识． 【题型6 无理数的大小估算】 【例6-1】（23-24七年级下·上海杨浦·期末）写出在与之间的一个有理数，这个数可以是 （只需填写一个）． 【答案】答案不唯一，3 【知识点】无理数的大小估算 【分析】根据无理数的估算，实数大小比较解答即可．本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算思想是解题的关键． 【详解】∵，， ∴在与之间的一个有理数，可以是3， 故答案为：3． 【例6-2】（23-24七年级下·上海·阶段练习）已知，，则 （精确到0.01）． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算、求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数、实数的运算，取、近似值，然后计算． 【详解】 ； 故答案为：． 【变式6-1】（23-24七年级下·上海杨浦·期末）数轴上，实数对应的点在原点的 侧． 【答案】左 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】根据无理数的估算，实数大小比较解答即可．本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算思想是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴实数对应的点在原点的左侧， 故答案为：左． 【变式6-2】（22-23七年级下·上海青浦·期中）已知是连续的正整数，，则 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，根据，可得，，代入代数式计算即可求解，由夹逼法求出的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是连续的正整数，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】阅读下面的文字，解答问题． 对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差． 例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2． （1）仿照以上方法计算：[]＝　 　{5﹣}＝　 　； （2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：　 　． （3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝　 　，n＝　 　． 【答案】（1）2；3﹣；（2）1、2、3；（3）256，4 【知识点】无理数的大小估算 【分析】（1）依照定义进行计算即可； （2）由题可知，，则可得满足题意的整数的的值为1、2、3； （3）由，可知，是某个整数的平方，又是符合条件的所有数中最大的数，则，再依次进行计算． 【详解】解：（1）由定义可得，，， ． 故答案为：2；． （2）， ，即， 整数的值为1、2、3． 故答案为：1、2、3． （3），即， 可设，且是自然数， 是符合条件的所有数中的最大数， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：256，4． 【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查估算无理数大小，无理数的整数部分和小数部分，理解定义内容是解题关键． 【题型7 无理数整数部分的有关计算】 【例7-1】（23-24七年级下·上海·期中）若的整数部分为，小数部分为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查无理数的估算的运算，掌握无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分并理解其表示形式是解题的关键．无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即 ∴, ∴， 故答案为：． 【例7-2】设的整数部分为，小数部分为，求的立方根． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算、运用完全平方公式进行运算、求一个数的立方根 【分析】首先求出，的值，然后代入计算即可． 【详解】， ，， ， 的立方根为， 的立方根是． 【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小、立方根的定义及完全平方公式的应用，求得，的值是解题的关键． 【变式7-1】（23-24七年级下·上海闵行·期中）已知：、分别是的整数部分和小数部分，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知字母的值 ，求代数式的值、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查的知识点是无理数整数部分的有关计算、已知字母的值求代数式的值、运用平方差公式进行运算，解题关键是通过比较大小的方法判断无理数的整数部分． 先找出的整数部分和小数部分，分别代入后运用平方差公式即可求解． 【详解】解：， ， ， 即， 的整数部分为，小数部分为， 即，， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式7-2】（22-23七年级下·上海宝山·期末）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来．因为的整数部分是1，所以可以用来表示的小数部分．又例如：因为，所以的整数部分为2，小数部分为．如果的小数部分为a，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】先估算得出，进而即可求解． 【详解】解：∵ 即 ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算的方法是解题的关键． 【变式7-3】已知的整数部分为，小数部分为，求． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、分式化简求值、无理数整数部分的有关计算 【分析】根据无理数估算，表示出的整数部分为，小数部分为，代值求解即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 的整数部分，小数部分， ， 将，代入，原式 ． 【点睛】本题考查分式化简求值，涉及无理数估算，熟练掌握分式的混合运算是解决问题的关键． 一、单选题 1．（22-23七年级下·上海·期中）在，，，，，，（它的位数无限且相邻两个“”之间“”的个数依次加个）这个数中，无理数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是掌握无理数的定义：无限不循环的小数． 【详解】∵，， ∴无理数为：（它的位数无限且相邻两个“”之间“”的个数依次加个）． 故选：A． 2．（22-23七年级下·上海普陀·期中）如图，在数轴上，点与点关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数与数轴、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】设点C所对应的实数是x，根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解． 【详解】解：设点C所对应的实数是x． 则有， 解得，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是数轴上两点间距离的定义，根据题意列出关于x的方程是解答此题的关键． 3．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）估算的值是在（    ） A．0和1之间 B． 和0之间 C． 和之间 D． 和之间 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算 【分析】先估算出的值，再求解、辨别． 【详解】解：， ， 故选：C． 【点睛】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根的知识进行估算、求解． 4．下列说法错误的是（    ） A．无理数都是无限小数 B．可以用数轴上的一个点来表示 C．两个无理数的和一定还是无理数 D．的小数部分是 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数、实数与数轴、无理数整数部分的有关计算 【分析】根据无理数的概念对选项逐个判断即可。 【详解】解：无理数为无限不循环小数，所以无理数都是无限小数，A说法正确，不符合题意； 实数与数轴上的点是对应关系，为无理数也是实数，可以用数轴上的一个点来表示，B说法正确，不符合题意； 两个无理数的和不一定是无理数，比如和都是无理数，但是和为，为有理数，说法错误，符合题意； 的整数部分是3，小数部分是，说法正确，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了无理数的概念及性质，解题的关键是掌握无理数的概念以及有关性质，无限不循环小数为无理数，其中无理数包括：，等；开方开不尽的数；以及像（每两个之间的个数依次加）等有这样规律的数． 5．（23-24七年级下·上海黄浦·期中）学校里有一个正方形的花坛，它的面积是20平方米，请你估计这个正方形的边长约在（    ） A．3米和4米之间 B．4米和5米之间 C．5米和6米之间 D．6米和7米之间 【答案】B 【知识点】算术平方根的实际应用、无理数的大小估算 【分析】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．用用“夹逼法”求解即可． 【详解】解：∵一个正方形的花坛，它的面积是20平方米， ∴个正方形的边长为米， ∵， ∴． 故选B． 6．（22-23七年级下·上海宝山·阶段练习）已知三个实数在数轴上对应的点如图所示，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、实数与数轴、整式的加减运算 【分析】根据数轴可得，，进而化简绝对值，根据整式的加减进行计算即可求解． 【详解】解：根据数轴可得，， ∴，，， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题考查了实数与数轴，化简绝对值，整式的加减，数形结合是解题的关键． 二、填空题 7．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）数轴上点A表示的数是，点B在点A的左边，且，那么点B表示的数是 ． 【答案】/ 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴 【分析】本题考查了在数轴上表示实数，以及两点间的距离，根据“点A表示的数是，点B在点A的左边，且，”列式计算，即可得出点B表示的数 【详解】解：∵点A表示的数是，点B在点A的左边，且， ∴点B表示的数：， 故答案为：． 8．在实数3，，，，，0，，，3.14，，，（从1开始不断增大的每两个连续正整数间都有一个零）中，无理数有 个． 【答案】5 【知识点】无理数 【分析】无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001……，等有这样规律的数． 【详解】解：∵，， ∴在这些实数中，无理数有，，，，0.0102030405…，共计5个． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了无理数的知识，理解并掌握无理数的定义和常见形式是解题关键． 9．（22-23七年级下·上海徐汇·期中）数轴上A，B两点之间的距离是，点A在数轴上表示的数为，则点B在数轴上表示的数为 ． 【答案】或2 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴 【分析】分点B在点A的两侧，分别列式计算即可． 【详解】解：∵A，B两点之间的距离是，点A在数轴上表示的数为， ∴，或， ∴点B在数轴上表示的数为或2， 故答案为：或2． 【点睛】本题考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离，解题的关键是注意分情况讨论． 10．（22-23七年级下·上海嘉定·期中）的小数部分是 ． 【答案】/ 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】由题意易得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，则， ∴， ∴的整数部分是， ∴的小数部分为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 11．（23-24七年级下·上海松江·期中）的整数部分是 ． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法求出的取值范围即可求解，掌握夹逼法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是， 故答案为：． 12．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）在两个连续的整数和之间，则 ． 【答案】9 【知识点】无理数的大小估算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】结合，由此可以估计的近似值，然后就可以得出a，b的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：9． 【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，解题的关键是熟练掌握无理数估算的性质，从而完成求解． 13．（2024七年级下·上海·专题练习）数轴上点表示的数是，则点关于原点对称的点表示的数是 ． 【答案】/ 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查数轴上表示互为相反的两个数的特征，解答时涉及相反数、去括号法则． 根据关于原点对称的两点所表示的数互为相反数解答即可． 【详解】解：数轴上点表示的数是， 点关于原点对称的点表示的数是． 故答案为：． 14．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）在数轴上表示的点与表示数3的点之间的距离是 ． 【答案】/ 【知识点】实数与数轴 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，之间用较大的数减去较小的数即可得到答案． 【详解】解：在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是， 故答案为：． 15．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）在数轴上，如果点、点所对应的数分别为、，那么、两点的距离 ． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴 【分析】此题考查两点间的距离，实数与数轴，求数轴上两点之间的距离：数轴上表示两个点所对应的两个数的差的绝对值，即用较大的数减去较小的数即可． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 16．（22-23七年级下·上海浦东新·期中）已知，且，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】无理数的大小估算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】根据题意得出，再根据完全平方公式计算，得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式，无理数的估算．正确变形是解题的关键． 17．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）在数轴上点A所对应的数是1，在数轴上点C所对应的数是，在数轴上点B所对应的数是x，如果点C和点B关于点A成中心对称，那么x的值为 ． 【答案】/ 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键； 根据点C和点B关于点A成中心对称，可得点A是的中点，据此求解即可． 【详解】解：点A所对应的数是1，在数轴上点C所对应的数是，在数轴上点B所对应的数是x， 又点C和点B关于点A成中心对称， ， 解得：， 故答案为： ． 三、解答题 18．（22-23七年级下·上海奉贤·期中）在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”，请模仿这种方法，说明是无理数． 阅读材料： “无理数”的由来 为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题． 假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：， 于是，则a是2的倍数． 再设，其中m是整数，就有：， 也就是：， 所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数． 解：假设是一个有理数． 则（a、b是整数且a、b互素且）， 则， 两边同时平方得：_____________， 所以：，可得：， 所以：______________， 因为：______________， 所以：是一个无理数． 【答案】；；为有理数，必为有理数，而为无理数，与前面所设矛盾 【知识点】无理数 【分析】仿照题干方法进行证明即可． 【详解】假设是一个有理数． 则（a、b是整数且a、b互素且）， 则， 两边同时平方得：， 所以：，可得：， 所以：， 因为：为有理数，必为有理数，而为无理数，与前面所设矛盾， 所以：是一个无理数． 【点睛】本题考查了无理数的证明，能够理解并运用题干的反证法是解题的关键． 19．（23-24七年级下·上海金山·期中）阅读理解题 在六年级时，我们已经学过绝对值的概念，一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．表示数轴上表示x的点A到原点的距离，即， 如图1． 在七年级时，我们进一步学习了绝对值，知道了在数轴上表示实数a和b的两点A、B两点之间的距离，即．如图2 下面让我们一起利用绝对值的几何意义来探究最小值问题． 例如：求代数式的最小值． 解：表示数轴上表示实数x和的两点A、B之间的距离，表示数轴上表示实数x和2的两点A、C之间的距离，那么表示它们的距离之和，即． 当时，即点A在点B的左边时，，如图3： 当时，即点A在点B和点C之间（包括点B、C）时，，如图4； 当时，即点A在点C的右边时，，如图5； 由此可知，当时，有最小值3． 问题：请你模仿上述研究方法： (1)求当代数式取最小值时，相应的x的取值范围． (2)求代数式的最小值是________． 【答案】(1) (2) 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、线段的和与差 【分析】本题考查实数与数轴，数轴上两点距离，掌握数轴上两点距离，分区间结合数形结合的方法是解题关键． （1）由对应的数为，对应的数为，表示数轴上表示实数x的点和表示，的两点之间的距离和，再利用数形结合的方法解题即可； （2）如图，对应的数为，对应的数为，对应的数为，对应的数为，可得表示数轴上表示实数x的点和表示，，的三点之间的距离和，再利用数形结合的方法解题即可． 【详解】（1）解：如图，对应的数为，对应的数为， ∵表示数轴上表示实数x的点和表示，的两点之间的距离和， ∴当时，； 当时，如图， ∴， 当时，如图， ∴， 综上：当代数式取最小值时，相应的x的取值范围为：． （2）如图，对应的数为，对应的数为，对应的数为，对应的数为， ∴表示数轴上表示实数x的点和表示，，的三点之间的距离和， 当重合时，即时， ∴， 当时，如图， ， 当时，如图， ∴， 当时，如图， ∴， 当时，如图， ∴， 综上：当时，的最小值为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$