专题01 二次根式期末高频必刷题汇编-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题01 二次根式期末高频必刷题汇编 一、单选题 1．若二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 4．将中根号外的移到根号里后得到的式子为（    ） A． B． C． D． 5．已知实数在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（   ） A． B． C． D． 6．已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 7．如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为2和18，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D．6 8．如果一个三角形的三边长分别是a、b、c，记p＝， 那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC中、∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为（    ） A． B． C．18 D． 9．图1是第七届国际数学教育大会（ICME.7）的会徽，主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成，其中，若的值是整数，且，则符合条件的n有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．计算： ． 12．已知，则 ． 13．观察下列各式：①；②；③；④；…，则第7个等式是 ． 14．化简的结果是 ． 15．两个最简二次根式与可以合并，则 ． 16．比较大小： （填“”、“”或“”） 17．已知，均为实数，，则的值为 ． 18．如果最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 三、解答题 19．计算： (1) (2) 20．解答下列各题： (1)计算： ． (2)设实数的整数部分为，小数部分为，求的值． 21．计算 (1) (2) 22．计算： (1) (2) 23．计算 (1) (2) 24．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方， 如：， ； 【类比归纳】 (1)请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方． 【变式探究】 (2)若且a，m，n均为正整数，求a值． 25．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 26．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】（1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方； （2）请运用小明的方法化简：． 【变式探究】（3）若，且a，m，n均为正整数，求a的值． 27．（1）解方程： （2）若，，则，如．求的值． 28．解答下列各题： (1)计算：． (2)设实数的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 29．（1）如图，阴影部分的边长的整数部分为a，小数部分为b，求的值． （2）已知，求的值． （3）如图所示，实数a，b，c在数轴上的对应点，化简 30．如图所示，某品牌的牛奶包装盒，高，底面为长方形，将包装剪开铺平，得到如图的纸样． （1）牛奶包装盒底面长方形的长和宽分别是多少？ （2）若不改变牛奶盒的容积和高度，将生奶盒的底面改为正方形，能否节约包装盒的纸张面积？若能，请计算每个生奶盒可节约的纸张面积；若不能，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式期末高频必刷题汇编 一、单选题 1．若二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，如果一个式子中含有二次根式，那么它们有意义的条件是：二次根式中的被开方数都必须是非负数．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不为零，列式解答即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故选：C． 2．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的加法运算，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将化为，然后把，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式， 故选：． 3．下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的减法、乘法运算，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．将中根号外的移到根号里后得到的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得出，再根据二次根式的性质即可解答． 【详解】解：由题意可知：， ， 故选：A． 5．已知实数在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简二次根式，由数轴得出，，从而得出，，最后再由二次根式的性质化简即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴，， ∴， 故选：C． 6．已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为2和18，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积=大矩形面积正方形面积，本题得以解决． 【详解】由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴题图中阴影部分的面积为． 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式混合运算的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 8．如果一个三角形的三边长分别是a、b、c，记p＝， 那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC中、∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为（    ） A． B． C．18 D． 【答案】A 【分析】根据a、b、c的值，求出p的值，代入公式计算即可求出S． 【详解】解：∵a=5，b=6，c=7， ∴， 则S=． 故选：A． 【点睛】此题考查了二次根式的应用，以及数学常识，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．图1是第七届国际数学教育大会（ICME.7）的会徽，主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成，其中，若的值是整数，且，则符合条件的n有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据勾股定理计算出，，，，…，，然后根据的值是整数，且，写出符合条件n的值，即可得到答案． 【详解】依据题意可得： ∴， ， 则， ， … ， ∵的值是整数，且， ∴， ∴n=5或20或45， 符合条件的n有3个． 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理，图形的变化规律，最简二次根式等相关内容，解题关键是发现数字的变化特点，利用勾股定理的知识进行解答． 10．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把化为 再结合从而可得答案． 【详解】解：∵， ， ， 而 ∴ 故选A． 【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，首先根据把化简，得到：，再根据绝对值的定义去绝对值即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．根据题意得到，，根据二次根式以及绝对值的性质，化简即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：1． 13．观察下列各式：①；②；③；④；…，则第7个等式是 ． 【答案】 【分析】本题考查数式规律探究，总结归纳出数式变化规律是解题的关键． 通过观察，归纳总结出规律为，再把代入即可求解． 【详解】解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：， … 第n个等式∶ 当时，． 故答案为： 14．化简的结果是 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键． 直接利用完全平方公式将根号下部分变形开平方得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：5． 15．两个最简二次根式与可以合并，则 ． 【答案】5 【分析】根据最简二次根式的定义即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ∴， ∴， 但当时，，不是最简二次根式，应舍去， ∴； 故答案为：5． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，理解二次根式的定义是解题的关键． 16．比较大小： （填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先求出两个数的差，然后根据求出的差的正负，即可求解． 【详解】解：∵， 又∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，利用作差法解答是解本题的关键． 17．已知，均为实数，，则的值为 ． 【答案】7 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴x=2，y=5， ∴x+y=7． 故答案为：7． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 18．如果最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】2 【分析】根据同类二次根式和最简二次根式的定义，列出方程解答即可． 【详解】解：根据题意得：x+3=1+2x， 解得：x=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 三、解答题 19．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)10 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，即可求解； （2）先利用乘法法则展开并计算二次根式的除法，再计算加减，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．解答下列各题： (1)计算： ． (2)设实数的整数部分为，小数部分为，求的值． 【答案】(1)1 (2)2 【分析】（1）先算二次根式的平方，化简二次根式，再进行加减计算． （2）根据，确定a和b的值，再根据平方差公式化简代入计算可得结论． 本题考查二次根式的混合运算、无理数的整数部分与小数部分、平方差公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【详解】（1）解∶原式． （2）解∶， ∴的整数部分为2，小数部分为， ∴，． ∴ ． 21．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算； （1）先化简二次根式，再计算减法即可； （2）先计算二次根式的除法、利用平方差公式变形，再进一步计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 22．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）先算除法，再算乘法即可； （2）先去括号，再将各式化为最简二次根式，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．计算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）依据题意，由二次根式的混合运算法则进行计算可以得解； （2）依据题意，由二次根式的混合运算法则进行计算可以得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题时需要熟练掌握并理解． 24．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方， 如：， ； 【类比归纳】 (1)请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方． 【变式探究】 (2)若且a，m，n均为正整数，求a值． 【答案】(1)； (2)或10． 【分析】（1）将7看成是，则，由此求解即可； （2）根据，，可以得到，，再根据a，m，n均为正整数，则，由此求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴，， ∵a，m，n均为正整数， ∴， ∴或． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． 25．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)（n为正整数），证明见解析 【分析】（1）根据题目中所给的三个等式，结合规律即可写出答案． （2）找到等式的规律，写出第n个等式，通过化简证明等式成立． 【详解】（1）解：结合以上规律容易得出第四个等式为：， 故答案为：； （2）结合规律猜想第n个等式： （n为正整数）， 证明：左＝＝右 即 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，找到等式的特点，得出一般规律是解题的关键． 26．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】（1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方； （2）请运用小明的方法化简：． 【变式探究】（3）若，且a，m，n均为正整数，求a的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用， （1）将7看成是，则，由此求解即可； （2）将11看成是，则，由此求解即可； （3）根据，可以得到，或，再根据a，m，n均为正整数，则，或，，由此求解即可． 【详解】解：（1） （2） （3）∵，， ∴，， ∵a，m，n均为正整数， ∴， ∴或． 27．（1）解方程： （2）若，，则，如．求的值． 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）根据的取值范围进行分区间讨论即可求解； （2）根据题意将原式先去分母，再化简即可． 【详解】（1）解：∵， 当时，即，则， 原式为：， 即， 解得：； 当时，即，当时，即， 原式为：， 即（舍去）， 当时，即，则， 原式为：， 即， 解得：； 综上，或． （2）解： ． 【点睛】本题考查了含绝对值的一元一次方程的求解，分式的化简求值，解题的关键是掌握分母有理化求解． 28．解答下列各题： (1)计算：． (2)设实数的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算乘除，再化简二次根式，最后算加减； （2）根据2＜＜3，确定a和b的值，再根据平方差公式化简（2a+b）（2a-b）=4a2-b2，代入计算可得结论． 【详解】（1）解： =； （2）解：∵， ∴的整数部分为a=2，小数部分为， ∴． 【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 29．（1）如图，阴影部分的边长的整数部分为a，小数部分为b，求的值． （2）已知，求的值． （3）如图所示，实数a，b，c在数轴上的对应点，化简 【答案】（1）；（2）4040；（3） 【分析】（1）根据网格计算出阴影部分的边长，估算出范围，得到a，b的值，再作减法即可； （2）直接利用二次根式有意义的条件得出a的取值范围，进而化简原式求出a的值，即可得出答案； （3）先根据各点在数轴上的位置，得出a，b，c之间的大小关系为a＜b＜0＜c，再由此关系化简题中所给的式子，即可得出结果． 【详解】解：（1）由图可知： 阴影部分的边长为， ∵， ∴， ∴a=4，b=， ∴a-b==； （2）∵有意义， ∴a-2020≥0， 解得：a≥2020， ∴， ∴原式化简为， 则， ∴， ∴==4040； （3）观察数轴可得，-1＜a＜0＜b＜c， ∴a-1＜0，b-c＜0， ∴ = = = = 【点睛】此题主要考查了实数与数轴，二次根式有意义的条件，无理数的估算，解题的关键是掌握基本知识，要能根据数轴上点的位置找出实数a，b，c之间的大小关系． 30．如图所示，某品牌的牛奶包装盒，高，底面为长方形，将包装剪开铺平，得到如图的纸样． （1）牛奶包装盒底面长方形的长和宽分别是多少？ （2）若不改变牛奶盒的容积和高度，将生奶盒的底面改为正方形，能否节约包装盒的纸张面积？若能，请计算每个生奶盒可节约的纸张面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）长为8cm，宽为5cm；（2）能，cm2 【分析】（1）设长方形的长为，宽为，列出方程组，解之即可； （2）设底面正方形边长为，分别计算前后单个纸盒的面积，作差比较即可． 【详解】解：（1）设长方形的长为，宽为，且； 由题意可得：， 解得：或，舍去）； 长方形的长为，宽为． （2）设底面正方形边长为，则有， ，（舍去）， 此时单个纸盒的面积为， 原来纸盒的面积为， ， ， 能节约包装盘的纸张面积，且每个牛奶盘可节约． 【点睛】本题考查二次根式的应用和剪纸的相关内容，解题的关键在于熟记长方体的体积公式并准确运算． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$