专题1.7 二次根式压轴题综合测试卷-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（浙教版）

第1章 二次根式压轴题综合测试卷 【浙教版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级·山西忻州·期末）对于已知三角形的三条边长分别为,,，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：，其中,若一个三角形的三边长分别为,,，则其面积（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据公式解答即可． 【详解】根据题意，若一个三角形的三边长分别为，，4，则 其面积为 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的应用、数学常识等知识，难度较难，掌握相关知识是解题关键． 2．（3分）（24-25八年级·江苏泰州·期末）已知m、n是正整数，若+是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（　　） A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质分析即可得出答案． 【详解】解：∵+是整数，m、n是正整数， ∴m=2，n=5或m=8，n=20， 当m=2，n=5时，原式=2是整数； 当m=8，n=20时，原式=1是整数； 即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20）， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度． 3．（3分）（24-25八年级·江苏南通·期末）已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，完全平方公式，平方的非负性．根据二次根式的性质将变形为，配方得到，根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵m，n均为正实数， ∴可化为， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故选：B 4．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）设S=，则不大于S的最大整数[S]等于(　　) A．98 B．99 C．100 D．101 【答案】B 【分析】由，代入数值，求出S=+++ …+=99+1-，由此能求出不大于S的最大整数为99． 【详解】∵ = =， ∴S=+++ …+ = = =100-， ∴不大于S的最大整数为99． 故选B. 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，知道是解答本题的基础． 5．（3分）（24-25八年级·浙江·阶段练习）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知，得到，整体思想带入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键． 6．（3分）（24-25八年级·广东·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可． 【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1）， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是： 故选：C． 【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解． 7．（3分）（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化等知识点，逐步把代入所求式子进行化简求值是解题的关键． 先利用分母有理化对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． 8．（3分）（24-25八年级·河南洛阳·阶段练习）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题． 【详解】 ∴a的小数部分为， ∴b的小数部分为， ∴， 故选：B． 【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答． 9．（3分）（24-25八年级·山东德州·阶段练习）已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及实数数字类的规律探索；探索规律，准确计算是解题关键．根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】解：由题意，可得 ， ， ， …… ， ∴ ． 故选：A． 10．（3分）（24-25八年级·重庆江津·期末）在学习二次根式中有这样的情形．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则 ； ． 下列选项中正确的有（    ）个． ①若a是的小数部分，则的值为； ②若（其中b、c为有理数），则； ③． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由，可得，则，再根据分母有理化即可判断①；由可得，以此得到方程组，求解即可判断②；证明，再对原式裂项即可判断③． 【详解】解：由题意得：， ∵，是的小数部分， ∴，则，故①正确； ∵， ∴， 即 ∴，即， ∵b、c为有理数 ∴，解得， ∴，故②正确； ∵ ， ∴ ，故③正确， 故正确的有①②③，共3个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式的应用、等式的性质，灵活利用题干所给方法进行解决问题是解题关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级·江苏常州·阶段练习）若的积是有理数，则无理数m的值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】对进行化简，由题意令，（是有理数）即可求解． 【详解】解： 的积是有理数，m是无理数， 是有理数， 令，（是有理数） 解得：， 当即， 时， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次根式混合运算，有理数的性质；解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则即有理数的性质． 12．（3分）（24-25八年级·湖南永州·期末）若，则的值为 ． 【答案】2022 【分析】根据二次根式的被开方数的非负性，得a-2022≥0，进而化简绝对值，求解即可． 【详解】解：由题意得a-2022≥0， ∴a≥2022， ∴|2021-a|= a-2021． ∵， ∴， ， ， 即=2022． 故答案为2022． 【点睛】本题主要考查二次根式的非负性，以及化简绝对值，找到a的取值范围，化简绝对值是解题的关键． 13．（3分）（24-25八年级·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得，即得，，再根据二次根式的非负性得，，即得，再解方程组求出的值即可求解，掌握二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（3分）（24-25八年级·四川内江·期中）实数、、满足条件，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式；分析题中条件不难发现等号左边含有未知数的项都有根号，而等号右边的则都没有．由此可以想到将等式移项，并配方成三个完全平方数之和等于的形式，从而可以分别求出、、的值，即可求解． 【详解】将题中等式移项并将等号两边同乘4得 ， ， ， ，，， ，，， ． 故答案为：． 15．（3分）（24-25八年级·北京东城·期中）已知为实数，记， （1）当时，的值为 ． （2）的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）将时，代入进行计算即可得到答案； （2）将式子化为，设，，，，在直角坐标系中画出图，根据最短路径模型，作对称点即可得到答案． 【详解】解：（1）当时， ， 故答案为：； （2） ， 设，，，， 根据题意画出图如图所示：   ， 作关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，与轴交于点，即为所求， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，最短路径问题，熟练掌握二次根式的化简方法以及最短路径问题的模型，是解题的关键． 16．（3分）（24-25八年级·重庆九龙坡·期中）若是正整数，除以的余数为，则称是“阿二数”．例如：是正整数，，则是“阿二数”；是正整数，且，则不是“阿二数”，对于任意四位正整数，的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为．有一个四位正整数是“阿二数”，的千位数字比百位数字少，十位数字与个位数字的和为，且为有理数，则满足条件的的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意得出，得出,符合题意，代入验证即可求解． 【详解】解：依题意，，，， 则 ∵正整数是“阿二数” ∴能被整除 ∴能被13整除， 设 ∵是正整数，则是9的倍数， ∴,符合题意， ∵是有理数 ∴是平方数， 当，时，符合题意， ∴ 则 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，二元一次方程组的应用，根据题意分析，掌握整除的应用解题的关键． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级·四川成都·阶段练习）已知，． （1）求的值． （2）求值． 【答案】（1）40；（2） 【分析】（1）先将x、y进行分母有理化，再代入式子计算可得； （2）先将式子化简再代入x、y进行计算即可． 【详解】（1）， ， ，， ． （2），， ，， ． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质及分母有理化的方法、完全平方公式的变形等知识点． 18．（6分）（24-25八年级·江西南昌·期中）定义：若根式A与根式B的乘积不含根式则称A、B为共轭根式，例如：与或与都是共轭根式． （1）有关共轭根式，下列说法正确的是________（填上序号）； ①一个根式的共轭根式是唯一的； ②a，b均为正整数，若与是同类二次根式，则与也是共轭根式； ③若A与B是共轭根式，则A与也是共轭根式． （2）写出下列根式的一个共轭根式，填在相应根式后面的横线上，要求是最简二次根式或化到最简． ________；________；________；________． （3）试找出的一个共轭根式，并验证其正确性． 【答案】（1）②；（2）；；；；（3） 【分析】（1）根据共轭根式的性质和同类二次根式的性质判断即可； （2）分别将各根式化简，从而找到共轭根式； （3）根据二次根式的混合运算即可找到并验证. 【详解】解：（1）①错误，例如根式，，， ∴原命题错误； ②正确，∵与是同类二次根式，则×=中，ab为平方数（式），即结果不含根式，故原命题正确； ③∵若A与B是共轭根式，令A=，B=，则， ，故原命题错误； 故答案为：②； （2）=，则共轭根式为：； =，则共轭根式为：； ，∵，则共轭根式为：； =，=1，则共轭根式为：； 故答案为：；；；； （3）的一个共轭根式为：， 验证： = = =4. 故验证正确. 【点睛】本题属于新定义问题，主要考查了同类二次根式，二次根式的性质，二次根式的混合运算，解题的关键是理解共轭根式的性质，结合所学二次根式的知识解答. 19．（8分）（24-25八年级·湖南长沙·期中）若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：＝|++|． 例如：＝＝|++|＝请解决下列问题： （1）求的值． （2）设S＝++…+，求S的整数部分． （3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz，当+|﹣﹣|取得最小值时，求x的取值范围． 【答案】（1）；（2）2019；（3） 【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可； （2）将原式进行化简，再确定整数部分； （3）将原式化简为||+||，再根据||+||取最小值时，确定x的取值范围． 【详解】解：（1）＝＝|++|＝； （2）S＝++…+， ＝++…+， ＝|1+1﹣|+|1+﹣|+…+|1+﹣|， ＝1+1﹣+1+﹣+1+﹣+…+1+﹣， ＝2019+， 故整数部分为2019； （3）由题意得， +|﹣﹣|， ＝|++|+|﹣﹣|， ＝||+||， 又y+z＝3yz， 原式＝||+||， 因为||+||取最小值， 所以﹣3≤≤3，而x＞0， 因此，， 答：x的取值范围为． 【点睛】本题考查了分式的加减法、实数的运算、二次根式的运算，解题关键是掌握数字间的变化规律，准确计算． 20．（8分）（24-25八年级·四川·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： ； (2)m 是正整数， a ，b 且．求 m． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)m=2 (3) 【分析】（1）由题目所给出的规律进行计算即可； （2）先求出再由进行变形再求值即可； （3）先得到，然后可得，最后由，求出结果 【详解】（1）原式 ， （2）∵a ，b ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴2， ∵m 是正整数， ∴m=2． （3）由得出， ∴， ∵， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 21．（10分）（24-25八年级·福建漳州·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其三角形的面积公式为： ①（海伦公式）， ②（秦九韶公式）． 已知在中，，且a，b，c满足． (1)直接写出a，b，c的值； (2)请从①、②中选择一个合适的公式，求出的面积； (3)如图，若于点D，的平分线交于点E，求的长． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式、角平分线的性质、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）根据非负数的性质得到，然后解一次方程得到a、b、c的值即可； （2）选择公式①，先计算出，再把a、b、c、p的值代入公式①，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算即可；选择公式②，把a、b、c的值代入公式②计算即可； （3）如图：过E点作于H点，先利用为等腰三角形得到，再根据角平分线的性质得到，然后利用面积法得到，从而可求出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． （2）解：选择公式①：∵， ∴ ； 选择公式②：∵， ∴ ． （3）解：如图：过E点作于H点， ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴ ，解得：． 22．（10分）（24-25八年级·浙江杭州·阶段练习）阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． （1）根据题目中的例子可以写出答案； （2）根据例2，可以写出相应的猜想； （3）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案； （4）结合例1，例2的规律进行计算即可； 【详解】（1） （2） ， ， ， 故答案为：； （3） ； （4） ， ， ， 故． 23．（12分）（24-25八年级·北京西城·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数，， 称为，这两个数的算术平均数， 称为，这两个数的几何平均数， 称为，这两个数的平方平均数 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)若，，则；________；_______； (2)小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：        如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请你分别在图2，图3中用阴影标出一面积为，的图形： ②借助图形可知，当，都是正数时，的大小关系是： ___________（把从小到大排列，并用“”或“”号连接）； ③若．则的最小值为________． 【答案】(1)； (2)①见详解②③ 【分析】（1）将，分别代入求值即可得； （2）①分别求出，，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论；③由，可知当时，取最小值，此时，结合已知条件可得，即可确定的最小值． 【详解】（1）解：当，时， ， ． 故答案为：；； （2）①， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：   ， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：    ②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立， ∵都是正数， ∴都是正数， ∴． 故答案为：； ③∵， ∴当时，取最小值， 此时，即， 整理，可得， ∴， ∵， ∴， 此时， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键． 24．（12分）（24-25八年级·上海·阶段练习）材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_______；（直接写结果） (2)计算：； (3)计算：； (4)计算：． 【答案】(1) (2)9 (3) (4) 【分析】本题考查分母有理数、二次根式的混合运算，理解分母有理化的求解过程并灵活运用是解答的关键． （1）仿照题中例题解过程求解即可； （2）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （3）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （4）先对分母分解因式，再进行裂项化简各数，然后加减运算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 二次根式压轴题综合测试卷 【浙教版】 考试时间：120分钟；满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级·山西忻州·期末）对于已知三角形的三条边长分别为,,，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：，其中,若一个三角形的三边长分别为,,，则其面积（    ） A． B． C． D． 2．（3分）（24-25八年级·江苏泰州·期末）已知m、n是正整数，若+是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（　　） A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是 3．（3分）（24-25八年级·江苏南通·期末）已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 4．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）设S=，则不大于S的最大整数[S]等于(　　) A．98 B．99 C．100 D．101 5．（3分）（24-25八年级·浙江·阶段练习）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 6．（3分）（24-25八年级·广东·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（    ）． A． B． C． D． 7．（3分）（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 8．（3分）（24-25八年级·河南洛阳·阶段练习）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．（3分）（24-25八年级·山东德州·阶段练习）已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 10．（3分）（24-25八年级·重庆江津·期末）在学习二次根式中有这样的情形．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则 ； ． 下列选项中正确的有（    ）个． ①若a是的小数部分，则的值为； ②若（其中b、c为有理数），则； ③． A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级·江苏常州·阶段练习）若的积是有理数，则无理数m的值为 ． 12．（3分）（24-25八年级·湖南永州·期末）若，则的值为 ． 13．（3分）（24-25八年级·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ． 14．（3分）（24-25八年级·四川内江·期中）实数、、满足条件，则的值是 ． 15．（3分）（24-25八年级·北京东城·期中）已知为实数，记， （1）当时，的值为 ． （2）的最小值为 ． 16．（3分）（24-25八年级·重庆九龙坡·期中）若是正整数，除以的余数为，则称是“阿二数”．例如：是正整数，，则是“阿二数”；是正整数，且，则不是“阿二数”，对于任意四位正整数，的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为．有一个四位正整数是“阿二数”，的千位数字比百位数字少，十位数字与个位数字的和为，且为有理数，则满足条件的的值为 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级·四川成都·阶段练习）已知，． （1）求的值． （2）求值． 18．（6分）（24-25八年级·江西南昌·期中）定义：若根式A与根式B的乘积不含根式则称A、B为共轭根式，例如：与或与都是共轭根式． （1）有关共轭根式，下列说法正确的是________（填上序号）； ①一个根式的共轭根式是唯一的； ②a，b均为正整数，若与是同类二次根式，则与也是共轭根式； ③若A与B是共轭根式，则A与也是共轭根式． （2）写出下列根式的一个共轭根式，填在相应根式后面的横线上，要求是最简二次根式或化到最简． ________；________；________；________． （3）试找出的一个共轭根式，并验证其正确性． 19．（8分）（24-25八年级·湖南长沙·期中）若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：＝|++|． 例如：＝＝|++|＝请解决下列问题： （1）求的值． （2）设S＝++…+，求S的整数部分． （3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz，当+|﹣﹣|取得最小值时，求x的取值范围． 20．（8分）（24-25八年级·四川·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： ； (2)m 是正整数， a ，b 且．求 m． (3)已知，求的值． 21．（10分）（24-25八年级·福建漳州·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其三角形的面积公式为： ①（海伦公式）， ②（秦九韶公式）． 已知在中，，且a，b，c满足． (1)直接写出a，b，c的值； (2)请从①、②中选择一个合适的公式，求出的面积； (3)如图，若于点D，的平分线交于点E，求的长． 22．（10分）（24-25八年级·浙江杭州·阶段练习）阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 23．（12分）（24-25八年级·北京西城·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数，， 称为，这两个数的算术平均数， 称为，这两个数的几何平均数， 称为，这两个数的平方平均数 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)若，，则；________；_______； (2)小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：        如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请你分别在图2，图3中用阴影标出一面积为，的图形： ②借助图形可知，当，都是正数时，的大小关系是： ___________（把从小到大排列，并用“”或“”号连接）； ③若．则的最小值为________． 24．（12分）（24-25八年级·上海·阶段练习）材料一：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_______；（直接写结果） (2)计算：； (3)计算：； (4)计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$