专题04 平行四边形期末高效必刷题汇编-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题04 平行四边形期末高效必刷题汇编 一、单选题 1．以下符号，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．与点关于原点对称的点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图，，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．如图，八边形是正八边形，且．若，则为（    ） A． B． C． D． 5．下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． ， B．， C．， D．， 6．如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点．甲说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形；乙说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下列说法正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 7．如图，中，是的中位线，点在上，且．若，，则长为（　　） A． B． C． D． 8．如图，中，平分，交边于点E，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知在 中， ，点 是 延长线上的一点， ，点 是 上一点， ， 连接 分别是 的中点，则 的长为 （   ） A．8 B．12 C． D． 10．在中，，用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于．”的命题时，应先假设（    ） A．，都大于 B．，都大于等于 C．，都小于 D．，都小于等于 11．如图，要测量池塘边上B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，连结，，并取，的中点D，E，连结．测出的长为20米，则B，C两地的距离为（    ） A．10米 B．20米 C．30米 D．40米 12．如图，的平分线交的中位线于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 13．一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是 ． 14．如图，在平行四边形纸片中，， 将纸片沿对角线对折，交边于点E，则折叠后图中重合部分的面积是 ． 15．如图，在平行四边形绘图工具中，量角器的零刻度线与的边在同一条直线上，当时，的度数为 ．    16．如图，在平行四边形中，，于点，与交于点．若，则的度数是 ．    17．如图，在中，是上一点，连结，分别以为边作，连结．则的最小值为 ． 18．如图，在平行四边形中，，，是锐角，于点E，F是的中点，连结．若，则的长为 ． 三、解答题 19．在中，，是斜边上的一点，作，垂足为，延长到，连接，使． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，求四边形的面积． 20．如图，在四边形中，对角线交于点O．已知，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 21．如图，在中，是对角线，作于点E，于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的长． 22．如图，在中，分别过点B、D作，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)连结，若，，求的长． 23．【问题背景】如图①，在四边形中，和称为它的对角，若这个四边形满足：，则这个四边形叫做为“对角互补四边形”． 【问题解决】 (1)若四边形是“对角互补四边形”，且，求的度数； (2)如图②，，平分，A是射线上一动点，C是射线上的动点，且四边形是“对角互补四边形”． ①若是等腰三角形，求的度数； ②若，若，求的长（用含m、n的代数式表示）． 24．在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长． 25．【三角形中位线定理】：如图1，是的中位线，则， 【活动一】：证明定理：添加辅助线：如图1，在中，延长（、分别是、的中点）到点，使得，连接，请你补充完整证明过程． 【活动二】：应用定理：如图2，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：． 【活动三】深入定理：如图3，在四边形中，，，为的中点，、别为边上的点，若，，，求的长． 26．已知，平行四边形中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图①，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数． (2)如图②，在第（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积． (3)如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止）．若，设点的运动时间为t秒，当t为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形？ 27．【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)如图1，若点 恰好落在边上时， 四边形的形状是 ． (2)如图2，若点三点在同一条直线上时，求证：； (3)如图3，若时，连接，并延长交于点F．若平行四边形纸片的面积为24，，求线段的长． 28．【教材呈现】如图，这是人教版八年级下册第48页的部分内容． 如图，分别是的边与的中点．根据画出的图形，可以猜想： 且．对此，我们可以用演绎推理给出证明． (1)【结论应用】 如图1，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点．请判断的形状，并说明理由． (2)【应用拓展】 如图2，在四边形中，，M是的中点，N是的中点，连接，延长交于点E．若，求的度数． 29．尺规作图问题： 如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点． 小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！ (1)证明； (2)指出小丽作法中存在的问题． 30．如图，已知为平行四边形的对角线上的两点，且． (1)求证：； (2)若，求证：四边形为矩形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平行四边形期末高效必刷题汇编 一、单选题 1．以下符号，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选选项不符合题意； B、是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意； D、是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C ． 2．与点关于原点对称的点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】关于原点对称的点坐标的关系，平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，据此求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：C． 3．如图，，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质，多边形内角和，解题的关键是掌握多边形内角和． 由三角形外角的性质，多边形内角和，转化为五边形内角和，即可列式求解， 【详解】解： ． ∴． 故选：C． 4．如图，八边形是正八边形，且．若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形性质，多边形的内角和定理，平行线的判定与性质，熟练掌握这些性质与定理是解题的关键．过点作，先利用正多边形的内角和定理求出，利用平行线的判定得出，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点作， ∵八边形是正八边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 5．下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． ， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意； 、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意； 、，，两组对边分别相等的四边形为平行四边形，可得四边形是平行四边形，符合题意； 、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意． 故选：． 6．如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点．甲说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形；乙说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下列说法正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理推出，则可证明四边形是平行四边形，根据现有条件无法证明四边形是平行四边形，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 根据现有条件无法证明四边形是平行四边形，故甲说法正确，乙说法不正确， 故选：B． 7．如图，中，是的中位线，点在上，且．若，，则长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中位线的性质，直角三角形的性质．根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据即可求解． 【详解】解：∵是的中位线，，， ∴，， 在中，， ∴． 故选：B． 8．如图，中，平分，交边于点E，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，最后根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 9．如图，已知在 中， ，点 是 延长线上的一点， ，点 是 上一点， ， 连接 分别是 的中点，则 的长为 （   ） A．8 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理等知识，连接，取中点F，连接，，利用三角形中位线定理可得出，，结合，可得，同理可得，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解∶连接，取中点F，连接，， ∵N是的中点， ∴，， ∵，即， ∴， ∵F、M分别是、中点， ∴，， 又， ∴， ∴， 故选：C． 10．在中，，用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于．”的命题时，应先假设（    ） A．，都大于 B．，都大于等于 C．，都小于 D．，都小于等于 【答案】A 【分析】本题考查对反证明法的理解，用反证明法证明命题时，一般先假设结论不成立，再假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面有可能的情况，本题即是找出命题结论“至少有一个锐角不大于”的反面，得到最终答案． 【详解】解：由“至少有一个锐角不大于”的反面是“每一个锐角都大于”可知应先假设每一个锐角都大于． 故选：A． 11．如图，要测量池塘边上B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，连结，，并取，的中点D，E，连结．测出的长为20米，则B，C两地的距离为（    ） A．10米 B．20米 C．30米 D．40米 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理即可得解． 【详解】解： D，E是，的中点， 是的中位线， ，又， 米． 故选：D 12．如图，的平分线交的中位线于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中位线性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是根据三角形的中位线得出，，求出，根据平行线的性质和角平分线的定义得出，根据等腰三角形的判定得出，再求出即可． 【详解】解：是的中位线，，， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题 13．一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，设这个正多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再根据多边形外角和为，结合题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个正多边形的边数是6， 故答案为：6． 14．如图，在平行四边形纸片中，， 将纸片沿对角线对折，交边于点E，则折叠后图中重合部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，勾股定理，首先推导出为等边三角形，由，求得，再证明出点E为的中点，得到，可求出面积 【详解】解：∵折叠至处，，， ∴为等边三角形， ∴ 又∵四边形为平行四边形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点E为的中点， ∴折叠重合部分的面积为：， 故答案为： 15．如图，在平行四边形绘图工具中，量角器的零刻度线与的边在同一条直线上，当时，的度数为 ．    【答案】/135度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．由，得到，根据平行四边形的对角相等，即可得到． 【详解】解： ，量角器的零刻度线与的边在同一条直线上， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 16．如图，在平行四边形中，，于点，与交于点．若，则的度数是 ．    【答案】/66度 【分析】取的中点，连接，根据平行四边形的性质求出，根据三角形的内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线求出，推出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，        ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质，平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线，平行公理及推论等知识点的理解和掌握，能求出是解此题的关键． 17．如图，在中，是上一点，连结，分别以为边作，连结．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质等，根据平行四边形性质得到，要的长的最小，即，再利用平行线之间的距离处处相等，以及等面积法求解，即可解题． 【详解】解： 中，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是上一点， 取最小值时，， 平行线之间的距离处处相等， 时，的长度等于点A到的距离， 记点A到的距离为， 则，即， ， 即的最小值为． 故答案为：． 18．如图，在平行四边形中，，，是锐角，于点E，F是的中点，连结．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．首先证明DQ＝DE＝x＋2，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DQ∥BC， ∴∠Q＝∠BEF， ∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE， ∴△QFA≌△EFB（AAS）， ∴AQ＝BE＝x，QF＝EF， ∵∠EFD＝90°， ∴DF⊥QE， ∴DQ＝DE＝x＋2， ∵AE⊥BC，BCAD， ∴AE⊥AD， ∴∠AEB＝∠EAD＝90°， ∵AE2＝DE2−AD2＝AB2−BE2， ∴（x＋2）2−4＝6−x2， 整理得：2x2＋4x−6＝0， 解得x＝1或−3（舍弃）， ∴BE＝1， ∴AE＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 三、解答题 19．在中，，是斜边上的一点，作，垂足为，延长到，连接，使． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）由，，推出，得出，再证，则，即可得出结论； （2）先由证得，得出，由平行四边形的性质得，，设，则，再由勾股定理求出，，即可得出结果． 【详解】（1）证明：， ， ，延长到， ， ， ， ， ， 又 ， 四边形是平行四边形； （2）解：平分， ， 在和中， ， ， ， 由（1）得：四边形是平行四边形， ，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 20．如图，在四边形中，对角线交于点O．已知，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质得，再证明，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）过点C作于点E，则，证明是等腰直角三角形，得，再证明四边形CDBE是平行四边形，得，，则，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，过点C作于点E， 则， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 21．如图，在中，是对角线，作于点E，于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理： （1）先证明，再由平行四边形的性质得到，则，据此可得，由此可证明四边形是平行四边形； （2）连接交于O，由平行四边形对角线互相平分可得，，设，则，由勾股定理得，解得，则，可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，连接交于O， ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 22．如图，在中，分别过点B、D作，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)连结，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）证明，则； （2）由，，可得，即，由，可求，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为4． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 23．【问题背景】如图①，在四边形中，和称为它的对角，若这个四边形满足：，则这个四边形叫做为“对角互补四边形”． 【问题解决】 (1)若四边形是“对角互补四边形”，且，求的度数； (2)如图②，，平分，A是射线上一动点，C是射线上的动点，且四边形是“对角互补四边形”． ①若是等腰三角形，求的度数； ②若，若，求的长（用含m、n的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)①的度数为或；② 【分析】（1）根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据题意列方程即可得到结论； （2）①根据“对角互补四边形”的定义得到，根据角平分线的定义得到，当时，求得（不符合题意，舍去），当时，求得；当时，求得； ②如图②，过点B作于G，于H，根据已知条件得到，根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据全等三角形的性质得到，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵四边形是“对角互补四边形”， ∴， ∵， ∴ ， ∴； （2）①∵四边形是“对角互补四边形”，， ∴， ∵平分， ∴， 当时， ∴（不符合题意，舍去）， 当时， ∴， ∴； 当时， ∴，， ∴． 综上所述：的度数为或； ②如图②，过点B作于G，于H， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是“对角互补四边形”， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形是综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用，角平分线的性质，新定义“对角互补四边形”，正确地找出辅助线是解题的关键． 24．在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2）3 【分析】（1）根据两组对边分别平行证明该四边形为平行四边形． （2）利用等面积法求出CD长． 【详解】（1） 证明：∵AD//BC， ∴∠BAD+∠B＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠BAD+∠D＝180°， ∴AB//CD， 又∵AD//BC， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∴平行四边形的面积＝BC×AE＝CD×AF， ∵AF＝2AE， ∴BC＝2CD＝6， ∴CD＝3． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和等面积法的使用，掌握这两点是解题关键． 25．【三角形中位线定理】：如图1，是的中位线，则， 【活动一】：证明定理：添加辅助线：如图1，在中，延长（、分别是、的中点）到点，使得，连接，请你补充完整证明过程． 【活动二】：应用定理：如图2，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：． 【活动三】深入定理：如图3，在四边形中，，，为的中点，、别为边上的点，若，，，求的长． 【答案】活动一：见解析 活动二：详见解析 活动三： 【分析】活动一：证明，得出，，结合题意得出，再证明四边形为平行四边形，即可得解； 活动二：由中位线定理可得，，，， 结合，得出，即可得证； 活动三：过点向上作的平行线，连接，延长，过作延长线的垂线，垂足为，连接，由题意可得，，，证明，得出，，证明是中垂线，得出，求出的长即可得解． 【详解】活动一 ：解：∵是的中点， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，； 活动二：解：∵是的中点，是的中点， ∴，， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ， ， 活动三：解：过点向上作的平行线，连接，延长，过作延长线的垂线，垂足为，连接， ∵是的中点，， ∴，，， ∴， ∴，， ， ∴是中垂线， ， ， ∴，， ∵，， ∴，， ， ∴，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 26．已知，平行四边形中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图①，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数． (2)如图②，在第（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积． (3)如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止）．若，设点的运动时间为t秒，当t为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形？ 【答案】(1) (2) (3)当为秒或8秒或秒时，以四点组成的四边形是平行四边形 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得； （2）过点作于点，连接，先根据平行四边形的性质得出，再根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可得的长，然后利用三角形的面积公式可得的面积，由此即可得； （3）先求出，，，从而可得要使以四点组成的四边形是平行四边形，则需，再分四种情况：①，②，③和④，根据建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作于点，连接， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）已得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． （3）解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴要使以四点组成的四边形是平行四边形，则需， 由题意可知，点从点运动到点所需时间为秒，点从点运动到点所需时间为秒， ∴， ∵， ∴． ①当时，， ∴， ∴， ∴，符合题设，舍去； ②当时，， ∴， ∴， ∴，符合题设； ③当时，， ∴， ∴， ∴， ∴，符合题设； ④当时，， ∴， ∴， ∴，符合题设； 综上，当为秒或8秒或秒时，以四点组成的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、一元一次方程的应用等知识，正确分情况讨论，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 27．【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)如图1，若点 恰好落在边上时， 四边形的形状是 ． (2)如图2，若点三点在同一条直线上时，求证：； (3)如图3，若时，连接，并延长交于点F．若平行四边形纸片的面积为24，，求线段的长． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明是等腰三角形，即可得出结论； （3）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证利是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：由折叠的性质可得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点三点在同一条直线上 是等腰三角形， ； （3）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 28．【教材呈现】如图，这是人教版八年级下册第48页的部分内容． 如图，分别是的边与的中点．根据画出的图形，可以猜想： 且．对此，我们可以用演绎推理给出证明． (1)【结论应用】 如图1，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点．请判断的形状，并说明理由． (2)【应用拓展】 如图2，在四边形中，，M是的中点，N是的中点，连接，延长交于点E．若，求的度数． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）由三角形中位线定理可得，，结合可得； （2）连接，取的中点P，连接．由三角形中位线定理可得，，，由平行线的性质可得，，再利用三角形内角和定理、四边形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形． 理由：∵P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：如图，连接，取的中点P，连接． ∵M是的中点，N是的中点，， ∴，，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴，． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，四边形和三角形的内角和定理，平行线的性质等，正确作出辅助线，熟练运用三角形中位线定理是解题的关键． 29．尺规作图问题： 如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点． 小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！ (1)证明； (2)指出小丽作法中存在的问题． 【答案】(1)见详解 (2)以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，故存在问题 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质， （1）根据小明的作图方法证明即可； （2）以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，据此作答即可． 【详解】（1）∵， ∴， 又根据作图可知：， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）原因：以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点， 故无法确定F的位置， 故小丽的作法存在问题． 30．如图，已知为平行四边形的对角线上的两点，且． (1)求证：； (2)若，求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定，证明三角形全等是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，．再证，则四边形为平行四边形．然后由矩形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ； （2）如图，由（1）可知，， ，． ， ， 四边形为平行四边形． 又， 平行四边形为矩形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$