微素养·专题突破4 平行四边形性质与判定的综合应用-【精彩练习】2023-2024学年八年级下册数学同步评价作业教师用书配套Word（浙教版）

　四　平行四边形性质与判定的综合应用 类型1　平行四边形性质与判定的综合应用 【例1】 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F. (1)求证：四边形AECF是平行四边形． (2)若AD＝8，BE＝2，∠ADE＝30°，求四边形AECF的面积． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF. ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°. 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(AAS)， ∴AE＝CF， ∴四边形AECF是平行四边形． (2)∵AE⊥BD， ∴∠AED＝90°. ∵∠ADE＝30°，AD＝8， ∴AE＝AD＝4， ∴DE＝＝＝4. 由(1)可知，△ABE≌△CDF， ∴DF＝BE＝2， ∴EF＝DE－DF＝4－2＝2. ∵四边形AECF是平行四边形，AE⊥EF， ∴S▱AECF＝AE•EF＝4×2＝8. 【变式】 如图，E，E是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE. 求证：(1)△CFD≌△AEB. (2)四边形ABCD是平行四边形． 证明：(1)∵DF∥BE， ∴∠DFE＝∠BEF. ∴∠DFC＝∠BEA. ∵AF＝CE， ∴AF－EF＝CE－EF，即CF＝AE. 在△CFD和△AEB中， ∴△CFD≌△AEB(SAS). (2)由(1)知△CFD≌△AEB， ∴∠DCF＝∠BAE，DC＝AB， ∴DC∥AB， ∴四边形ABCD是平行四边形． 类型2　平行四边形与三角形中位线的综合应用 【例2】 如图，已知E为▱ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE，分别交BC，BD于点F，G，连结AC交BD于点O，连结OF.求证：AB＝2OF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC， ∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF. 又∵CE＝DC，∴AB＝EC. 在△ABF和△ECF中， ∵ ∴△ABF≌△ECF(ASA)，∴BF＝CF. 又∵OA＝OC，∴OF是△ABC的中位线，∴AB＝2OF. 【变式】 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝11，BD＝8，CD＝6，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是(　C　) A．14　　　　　　　　B．18 C．21 D．24 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，BE＝4，EC＝3，则平行四边形ABCD的周长为(　D　) A．11 B．18 C．20 D．22 2．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.嘉嘉说：“作DP∥OC，CP∥OD，DP与CP相交于点P，则由O，C，D，P四点构成的四边形是平行四边形”；琪琪说：“作DQ＝OC，CQ＝OD，DQ与CQ相交于点Q，则由O，C，D，Q四点构成的四边形是平行四边形”．则下列判断正确的是(　B　) A．两人的说法都正确 B．嘉嘉的说法正确，琪琪的说法不正确 C．嘉嘉的说法不正确，琪琪的说法正确 D．两人的说法都不正确 3．某人设计装饰地面的图案，拟以长为8 cm，10 cm，12 cm的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画不同形状的平行四边形，他可以画出形状不同的平行四边形的个数为__3__． 【解析】 如图，依题意能作三个平行四边形：▱ABCD，▱ABFC，▱AEBC. 4．如图，已知点B在线段CF上，AB∥CD，AD∥BC，则S△AEF__＝__S△BCE.(填“>”“＝”或“<”) 【解析】 连结BD，如图． ∵BC∥AD， ∴点F与点B到AD的距离相等， ∴S△AFD＝S△ABD， ∴S△AFD－S△AED＝S△ABD－S△AED， 即S△AEF＝S△BED. ∵AB∥CD，∴点D与点C到AB的距离相等，∴S△BCE＝S△BED，∴S△AEF＝S△BCE. 5．在▱ABCD中，O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连结BF，DE，如图1. (1)求证：四边形BEDF是平行四边形． (2)若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE，BD，BF分别交于点G，H，P，如图2. ①当CD＝，CE＝2时，求BE的长． ②求证：CD＝CH. 解：(1)证明：∵在▱ABCD中，O是对角线BD的中点， ∴AD∥BC，BO＝DO， ∴∠ADB＝∠CBD， 在△BOE与△DOF中， ∴△BOE≌△DOF(ASA)，∴DF＝BE. ∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形． (2)①如图，过点D作DN⊥EC于点N， ∵DE＝DC＝，DN⊥EC，CE＝2， ∴EN＝CN＝1，∴DN＝＝3. ∵∠DBC＝45°，DN⊥BC， ∴∠DBC＝∠BDN＝45°， ∴DN＝BN＝3，∴BE＝BN－EN＝3－1＝2. ②证明：∵CG⊥DE，DN⊥EC， ∴∠CEG＋∠ECG＝90°，∠DEN＋∠EDN＝90°， ∴∠EDN＝∠ECG. ∵DE＝DC，DN⊥EC， ∴∠EDN＝∠CDN， ∴∠ECG＝∠CDN. ∵∠DHC＝∠DBC＋∠BCH＝45°＋∠BCH，∠CDB＝∠BDN＋∠CDN＝45°＋∠CDN， ∴∠CDB＝∠DHC， ∴CD＝CH. 学科网（北京）股份有限公司 $$