河南省实验中学2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试卷

高二 数学 第 5页 共（4）页 河南省实验中学 2024——2025学年下期月考试卷 高二 数学 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1．已知随机变量 X 的方差 ( )D X m ，设 3 2Y X  ，则 ( )D Y （ ） A．9m B．3m C．m D．3 2m 2．   62a b 展开式的第 3项的系数是（ ） A．20 B．30 C． 160 D．60 3．有 10件产品，其中 3件是次品，从中不放回地任取 2件，若 X表示取得次品的件数， 则  2P X  （ ） A． 7 15 B． 8 15 C． 14 15 D．1 4．已知函数  f x 的定义域为 R，其导函数为  f x ，对任意 x∈R，   ( )f x f x  恒成立， 且  1 1f  ，则不等式   xef x e 的解集为（ ） A． (1 )， B．[1 )， C． ( )，0 D． (，0] 5．端午节这一天，馨馨的妈妈煮了 9个粽子，其中 4个白味、3个腊肉、2个豆沙，馨馨随 机选取两个粽子，事件 A“取到的两个馅不同”，事件 B  “取到的两个馅分别是白味和豆沙”， 则 ( | )P B A （ ） A． 1 3 B． 4 13 C． 5 9 D． 4 5 6．已知 0 1a b   ，则下列不等式一定成立的是（ ） A． ln ln a b a b  B． ln 1 ln a b  C． ln lna a b b D． a ba b 7．第 19届亚运会在杭州举行．杭州市奥林匹克体育中心是杭州亚运会比赛场馆之一，主要 由主体育场、游泳馆、网球中心以及综合训练馆组成．现从甲、乙等 7名服务者中随机选取 4人分别到这四个区域负责服务工作，要求这四个区域各有 1名服务者，且甲不去游泳馆， 乙不去网球中心，则不同的安排方案共有（ ） A．360种 B．480种 C．620种 D．720种 高二 数学 第 2 页 共（4）页 8．已知函数      e 1 e e 1 ln 1axf x x a x x      恰有 2个零点，则实数 a的取值范围为（ ） A．  2 11, e, e         B．  2 1 1, e, e e         C．  2 11, 0, e         D．  2 1 1, 0, e e         二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9．已知 8 2 3 90 1 2 3 9(2 1)( 1)x x a a x a x a x a x       ，则下列结论正确的是（ ） A． 0 1a   B． 1 2 9 1a a a      C． 1 2 92 9 02 2 2 a a a       D． 1 2 92 9 0a a a       10．设A、B是一个随机试验中的两个事件，   1 3 P A  ，   1 4 P B  ，   1 2 P A B  ，则（ ） A．事件A， B相互独立 B．   2| 3 P A B  C．   14|P B A  D．    P AB P B 11．已知函数   22 lnf x x x ax x   ，则下列说法正确的是（ ） A．当 2a  时，  f x 在 1x  处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 8 5 B．当 0a  时，  f x 在  0,  上是增函数 C．若  f x 在  0,  上为减函数，则 12ea   D．当 0a  时，若函数    F x f x ax  有且只有一个零点，则 2 1, 5 3 a        三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．已知 51 2 ax x x x          的展开式中各项系数和为 2，则其展开式中常数项是 ． 13．下列说法中正确的是 ． ①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变； ②设有一个线性回归方程 ˆ 3 5y x  ，变量 x增加 1个单位时， ŷ平均增加 5个单位； ③设具有相关关系的两个变量 x、 y的相关系数为 r，则 r 越接近于 0， x和 y之间的线性 相关程度越强； ④在一个2 2 列联表中，由计算得 2 的值，则 2 的值越大，判断两个变量间有关联的把握 就越大． 高二 数学 第 5页 共（4）页 14．若   2 2ln e 0xf x x x x mx      ，则实数m最大值为 ． 四、解答题:本大题共 5小题，共 77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数   e 2,xf x a x a   R． (1)讨论函数  f x 的单调性； (2)若   exf x  恒成立，求 a的取值范围． 16．（15分）从某学校获取了容量为 400的有放回 简单随机样本，将所得数学和语文期末成绩的样本 观测数据部分整理如下： (1)依据小概率值 0.05  的独立性检验，能否认为 数学成绩与语文成绩有关联？ (2)假设用样本估计总体，用频率估计概率，现从全 校数学成绩优秀的人中任取 3人，记这 3人中语文 成绩优秀的人数为 X，求 X的分布列与数学期望． 参考公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d       ， n a b c d    ． 17.（15分）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和 一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小 明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该 放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得 1块月饼、黄球获得 2块月饼、绿球获得 3 块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，求下列事件发生的概率: (1)求第二次抽到红的概率； (2)如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率； (3)小明获得 4块月饼的概率. 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 不优秀 200 50 250 优秀 60 90 150 合计 260 140 400  0.1 0.05 0.01 0.001 x 2.706 3.841 6.635 10.828 高二 数学 第 4 页 共（4）页 18.（17分)某企业为确定下一年度投入某种产品的生产所需的资金，需了解每投入 2千万资 金后，工人人数 x (单位:百人．．)对年产能 y (单位：千万元)的影响，对投入的人力和年产能的 数据作了初步处理，得到散点图和统计数据. 5.825x  ， 3.612y  ， ln 0.154y   ， 1 1.077 x  ， 2 1 ( ) 328 n i i x x    ， 2 1 1 1( ) 27.87 n i ix x   ， 1 ( )( ) 150.80 n i i i x x y y     ， 1 1 1( )(ln ln ) 55.74 n i i i y y x x     ， 1 ( )(ln ln ) 126.56 n i i i x x y y     . （1）根据散点图判断: lny a b x  与 e b a xy   哪一个适宜作为年产能 y关于投入的人力 x的 回归方程类型？并说明理由？ （2）根据（1）的判断结果及相关的计算数据，建立 y关于 x 的回归方程； （3）现该企业共有 2000名生产工人，资金非常充足，为了 使得年产能达到最大值，则下一年度共需投入多少资金（单 位：千万元）？ 附注：对于一组数据 1 1( , )s t ， 2 2( , )s t ，…， ( , )n ns t ，其回归直线 t bs a  的斜率和截距的最 小二乘估计分别为 1 2 1 ( )( ) , ( ) n i i i n i i s s t t b a t bs s s             . 19. (17分)已知函数   2lnf x x x x   ． (1)求曲线  y f x 在点   e, ef 处的切线方程； (2)若   0f x  在区间  0,a 上恒成立，求实数 a的取值范围； (3)若方程      21f x m x x m    R 有两个不同的实数解  1 2 1 2,x x x x ， 证明：  2 21 2 2 1 1 11 e 1x x x x           ． 参考答案 题号 9 10 8 3 11 答案 D ABD A C C D AC ACD 8.D 【详解】令fx)=o,得xe”+a(1-e)x-(e-1)lnx-1=0,即m+(1-e)(lnx+ax)-1= 令 ax+lnx=1,则e+(1-e)z-1-0, 令h(x)=e*+(1-e)x-1,则r'(x)=e*+1-e 令'(x)>0→x>ln(e-1)→ni(x)在区间(ln(e-1),+oo)上单调递增; 令 '(x)<0→x<ln(e-1)→h(x)在区间(-x,ln(e-1)上单调递减,又0<ln(e-1)<l. (0)-h(1)=0,则h(x)-0有且只有两个根,分别为0,1. 当a>0时,函数/(x)恰有2个零点等价于y=ax+lnx的图象与直线y-0和y-1共有2个交 点. p()→-0,x→+oo,p(x)→+oo,即p(x)ER,则y-ax+/nx的图象与直线y=0和y=1各有1个 交点,符合题意. 当a<0时,函数fx)恰有2个零点,等价于函数y-lnx的图象与直线y--ax,v=1-ax的图象共 有2个交点,临界情况为两条直线分别与-x的图象相切 [lnx-1-0 二a:一 。 如图2,当-l-ax与v-lnx相切,设对应切点为(x,y),则相应切线方程为 lnx.-1=1. 寸 上e_(-)[0.+).故选D. 答案第1页,共7页 l-ax_ )V #。 l-a_ y-x 1-ax ,-lnx 1-nr 图1 图2 11. ACD 【详解】对于A,由题设f’(x)=2lnx+4x+1. 则/'(1)=2lnl+4+1=5,且f(1)=2lnl+2-1=1 所以f(x)在x=1处的切线方程为y=5x-4. 切线与&轴的交点坐标为(-0). 与y轴的交点坐标为(0.-4), 对于B,由题设/’(x)=2lnx+2ax+1,a>0 当x→0时,/”(x)趋向于负无穷,当x→+x时,/”(x)趋向于正无穷, 所以存在x。E(0.+co),使f(x。)=0 所以当0<x<x.时,/”(x)<0,f(x)在(0.x)上是减函数,故B错误; 对于C,因为函数f(x)在(0,+x)上为减函数; 则在(0,+)上/(x)-2inx+2ax+150恒成立,则2as-21nr-1. x 令a(x)-2inr-1 1,则g(t)--1+21nr 易知。<x时,g(x)<0,时,g(x)>0. 以g(0-0)-~g-- 所以2as-2e,所以s-_。,故C正确: 对于D,函数F(x)=f(x)+ax=2xlnx+ax2-x+ax有且只有一个零点 答案第2页,共7页 即2xinx+ax-x+ax=0有唯一解,则a--2lnx+1 x+1 x+l (x+1) 3 x。 易知0<x<x。时,h(x)<0,x>x。时,h(x)>0, 则g(x)在(0.x)上单调递减,在(x.+o)上单调递增 当a<0时,当x→0时,g(x)趋向于正无穷,当x→+co时,g(x)趋向于0. x+1 故D正确故选:ACD. 14.3 【详解】/(x)-xlnx+x2-nx+e>0, 定义域为xE(0.+o0). 则/f'(x)=lnx+2x+1-m-^}-,令h(x)=lnx+2x+l-m-^}-, 则(x)-2+e→0,b()在(0,t)上单调递增, 且x→0时,h(x)→-,当x→+oo时,h(x)→+o .x。e(0,+),使得(x)=0,即f(xo)=0.当xE(0,x)时/'(x)<0,当xE(x,+00)时 f’(x)>0,故f(x)在xE(0,x)上单调递减,在xE(x,+o)上单调递增 所以/(x)=/f(x。)=x.lnx。+x}-nx。+e2}*>0①, 由/”(xo)-0得lnx。+2x。+1-m-e2-=0②. 即m=lnx。+2x。+1-e},代入①得,x.lnx。+x-lnx。+2x。+1-e}→)x。+e2-×0. 整理得(x。+1)(e}--x。)0x+1>0,e*x,'.lnx。2-xo, 答案第3页,共7页 m=lnx+2x。+1-e-*<2-x。+2x.+1-x。=3,故m的最大值为3.故答案为:3 15.【详解】(1)/’(x)=ae*-1. 当a<0时,f”(x)<0,函数f(x)在R上单调递减; 当a>o时,由/'(x)>0得x>-lna,由f’(x)<0得x<-lna,所以函数/(x)在(-,-lna) 上单调递减,在(-lna.+oo)上单调递增 综上所述,当a<0时,函数f(x)在R上单调递减,当a>0时,函数f(x)在(-x,-lna)上 单调递减,在(-lna,+co)上单调递增 (2)/(x)>e{恒成立等价于(a-1)’>x-2,即a-1x-2 所以函数g(x)在(-o,3)上单调递增,在(3.+2)上单调递减 所以a的取值范围为e+1,+). 16.【详解】(1)零假设为:H.:语文成绩和数学成绩无关 根据列联表中的数据,计算得到: 400(200x90-50x60)}6000 91 *65.93.84l=x.05. 250x150x260x140 根据小概率值a=0.05的独立性检验,我们推断H。不成立,即认为语文成绩和数学成绩有 关联,此推断犯错误的概率不大于0.05 903 (2)由已知,从全校数学成绩优秀的人中任取1人语文成绩优秀的概率为p= 1505: 可得X服从二项分布,即X~B#(3). x取值为0,1,2,3. #-0→=^(()P(-1)一()(# ##2)-(()#()一(#(# 答案第4页,共7页 X的分布列为: 0 8 61) P 27 #()-3x32 55 17.【详解】(1)记红球为1球,黄球为2球,绿球为3球,记事件A.B分别表示第一次 1 2 一# 9 20 (2)如果第二次抽到红球,那么它来自黄色盒子的概率为 122 #4)20#2 P(A|B)= P(B) 9= 20 (3)若小明获得4块月饼可能的情况有三种; ①第一次从红色盒子内抽到红球,第二次从红盒子内抽到绿球,其概率为 -111 P(A)P(B|A)- ②第一次从红色盒子内抽到绿球,第二次从绿盒子内抽到红球,其概率为 ③第一次从红色盒子内抽到黄球,第二次从黄盒子内抽到黄球,其概率头 P(4)P(B.14)--. 4520' 1.1.1-1 所以小明获得4块月饼的概率是 8102040 18.【详解】(1)由图可知y-“适宜作为年产能y关于投入的人力x的回归方程类型 ·若选择y=a+blnx,则b>0,此时当x接近于0时,y必小于0. (2)由,-。-,得Iny三b.-+a,故lny与符合线性回归, 答案第5页,共7页 #(ny-ny) -55.74 7) 27.87 x x’ (3)当人均产能达到最大时,年产能也达到最大, (2-x)6* 22 由(2)可知人均产能函数 .f(x)=- x ·0<x<2时,f(x)>0,x>2时/(x)<0. ..xe(0.2)时,f(x)单调递增,xE(2,+o0)时,f(x)单调递减, .当x=2时,人均产能函数 。 因此,每2千万资金安排2百人进行生产,能使人均产能达到最大 :对于该企业共有2000名生产工人,且资金充足, .下一年度应该投入20千万资金进行生产,可以适当企业的产能达到最大 所以(e./(e)处的切线方程为y-(1-e^{+e)--2e+1](-e),即-2e+1]x-y+e-0. (2)/'(x)---2x+1--(2x+1)(x-1). 当xe(0.1)时,f”(x)>0:当xe(1,+oo)时,/'(x)<0: 所以f(x)在(0.1)上单调递增,在(1.+x)上单调递减,则f(x)=/f(1)-0. 若/(x)<0在区间(0.a)上恒成立,则a的取值范围为(0.1] (3)由f(x)=(m-1)x}+x,得lnx=mx}(mER) 若f(x)=(m-1)x^2}+x有两个不同的实数解x,x(x.<x),则lnx.=mx},lnx=mr^②} 2(x-)1 两式相减得lnx.-lnx.=m(x{-x),所以 ln-lnx{n 所以g(x)在(1,+c)上单调递增,此时g(x)>g(1)=0,所以lnr)2(x-1). x+1 答案第6页,共7页 #,即&+”n- n^ #0 $2(-) 由f(x)=(m-1)x}+x,得 lnr r{ 当<x<时(x)>0,(x)单调递增,当 }时(x)<0,(x)单调递减, ##^## :2 由(2)知/(x)=lnx-x2+x<0,则有/ìnt/-1. 设(t)=tlnt,1e(0.+oo),则h(t)=ln+1. 当< 时,(t)<0.h(t)单调递减,当t>时,f(t)>0.b(t)单调递增, e 不妨设直线y=-m与直线y--1,y=t-1交点的横坐标分别为^', y=2lnt/ #_# 1-7-1 则-f<t -4 =1-m-em=1-(e+1)m, 1.1(e+1)m②. 所以1+- 线上。(4))(1)-1 答案第7页,共7页