精品解析：江苏省徐州市睢宁县菁华高级中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

睢宁县菁华高级中学2024-2025学年高二年级五月诊断测试 数 学 试 题 考试时长：120分钟 满分分值：150分 命题人：吴子牛 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数同时满足以下三个条件：①在定义域内是奇函数或偶函数；②有奇数个零点；③在内单调递增．函数可以是（ ） A. B. C. D. 6. 若（其中）是偶函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 已知，不等式对于一切实数恒成立，又，使，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 8. 设.则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 小张同学对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了右表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的y关于x的经验回归方程为，若成等差数列，则（ ） x 4 6 8 10 12 y a 2 b c 6 A. 变量x与y的样本相关系数 B. C. 当时，残差为 D. 当时，y的预测值为 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若，则 C. ，则 D. 若，则的最大值为2 11. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 函数有5个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是_________. 13. 某校对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95%的把握判断是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有_____人. 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 附： 14. 函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式有解．则实数的取值范围为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合 （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数，（，且）． （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由； （3）当时，若有两个零点，求实数m的取值范围． 17. 对于基本不等式，即当，时有（当且仅当时不等式取“=”），我们称为正数，的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．这只是均值不等式的一个简化版本．均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由在1882年发表的论文中首次提出．均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式．它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系．它表明：个正数的平方平均数大于等于它们的算术平均数大于等于几何平均数大于等于调和平均数，且当这些数全部相等时，等号成立． （1）请直接运用上述不等式链中某个的情形求的最小值； （2）写出时调和平均数与几何平均数之间的关系，并证明； （3）如图，把一块长为的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子．问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 18. 年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得： 44 4.8 10 40.3 1.608 19.5 8.04 现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（精确到小数点后两位） （2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？ （3）该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费､研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润毛利润×年销售量年广告费年研发经费随机变量）. 附：①相关系数， 回归直线中； ②参考数据： 19. 已知函数. （1）当时，求在区间上的最值； （2）记. （i）证明：曲线为中心对称图形； （ii）若函数有三个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 睢宁县菁华高级中学2024-2025学年高二年级五月诊断测试 数 学 试 题 考试时长：120分钟 满分分值：150分 命题人：吴子牛 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题的否定，将任意改为存在，并否定原结论，即可得. 【详解】由全称命题的否定是特称命题，故原命题的否定为. 故选：D 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合A，B，再由集合的并集、补集运算求解. 【详解】因为，， 所以， ， 故选：C 3. 已知，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据函数的单调性判断D. 【详解】对于A：当，，满足，但是，故A错误； 对于B：当，，满足，但是，故B错误； 对于C：若，，满足，但是，故C错误； 对于D：因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 若，则，所以，故D正确. 故选：D 4. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据散点图和相关系数的概念和性质辨析即可. 【详解】由散点图可知，相关系数所在散点图呈负相关，所在散点图呈正相关， 所以都为正数，都为负数. 所在散点图近似一条直线上，线性相关性比较强，相关系数的绝对值越接近1， 而所在散点图比较分散，线性相关性比较弱，相关系数的绝对值越远离1. 综上可得：. 故选：A. 5. 已知函数同时满足以下三个条件：①在定义域内是奇函数或偶函数；②有奇数个零点；③在内单调递增．函数可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将各个选项的图像画出即可选出正确答案. 【详解】选项中的四个函数对应的大致图象如图下图所示． 对于选项A：在区间不单调，故A错误； 对于选项B：没有零点，故B错误； 对于选项C：是奇函数，有3个零点，在上单调递增，故C正确； 对于选项D：有2个零点，故D错误. 故选：C 6. 若（其中）是偶函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由偶函数的性质和对数的运算性质求解即可. 【详解】由题意知：， 则， 化简为，则，解得． 故选：A． 7. 已知，不等式对于一切实数恒成立，又，使，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件可得，然后对化简变形后利用基本不等式可求得其最小值. 【详解】不等式对于一切实数恒成立，且， ，. ，使成立， ，， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 8. 设.则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，求导确定单调性，进而可比较大小. 【详解】构造函数，其中，则， 令， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以当时，， 所以在上单调递增，所以， 又， 所以. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 小张同学对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了右表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的y关于x的经验回归方程为，若成等差数列，则（ ） x 4 6 8 10 12 y a 2 b c 6 A. 变量x与y的样本相关系数 B. C. 当时，残差为 D. 当时，y的预测值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用回归分析以及回归方程的性质必过点即可判断AB，利用残差的定义和回归方程预测即可判断CD. 【详解】由表格中的数据可计算平均数：， ， 又因为成等差数列，所以，则， 根据经验回归方程为必过点， 则，解得,故B正确； 由于经验回归方程为是递增的一次函数，所以两个变量是正相关， 则样本相关系数，故A错误； 当时，，所以残差为，故C正确； 当时，，所以y的预测值为，故D正确； 故选：BCD． 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若，则 C. ，则 D. 若，则的最大值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】由基本不等式可得A正确；结合对数的运算性质由基本不等式可得B正确；分和两种情况，当时，作差可得C正确；由二次函数的性质可得D错误. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，由可得， 当时，显然； 当时，， 因为，所以，，所以，即，故C正确； 对于D，由题意可得，则， 当时，，不符合题意取不到最大值，故D错误. 故选：ABC 11. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 函数有5个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】A先由条件得出，即可得出的一个周期为4，再结合题中给出的解析式以及周期性即可求解；B先证明是偶函数，再结合周期性以及在上的单调性即可；C利用偶函数以及周期性可得；D画出与的图象，判断两个图象的交点个数即可. 【详解】为奇函数，故，即①， 又为偶函数，故②， 则由①②可得，， 则，则的一个周期为4， 在①中令有， 又当时，，则，则， 所以， 故A正确； 由②可得，，则， 即函数是定义在上的偶函数， 因时，，则是上的增函数， 则是上的减函数， 因是的一个周期，则是上的减函数，故B错误； 因为函数是定义在上的偶函数，所以， 所以的图象关于直线对称，故C正确； 函数的零点个数可以转化为与图象的交点个数， 由题意得与的图象如下： 当时，， 当时，， 当时，， 结合图象可知，函数在上存在1个零点， 当时，， 当时，， 由此可得与的图象有5个交点， 所以有5个零点，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出命题为真时参数的取值范围，再取其补集即可. 【详解】若命题“，使”是真命题， 当时，，解得，舍去； 当时，则，解得， 即当时命题“，使”是真命题； 因为命题“，使”是假命题， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 13. 某校对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95%的把握判断是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有_____人. 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 附： 【答案】45（大于等于45的5的整数倍都符合题意） 【解析】 【分析】根据已知条件写出列联表，计算符合条件的结果. 【详解】设调查了位男生，已知被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的， 根据题意列出表格 男生 女生 总计 喜欢抖音 不喜欢抖音 总计 则， 解得，因为男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，所以男生人数是5的倍数，所以男生人数. 故答案为：45.（大于等于45的整倍数都符合题意） 14. 函数是定义在上的奇函数，且关于的不等式有解．则实数的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数为奇函数，结合奇函数的定义可求出的值，然后分析函数的单调性，将所求不等式变形，可得出有解，结合参变量分离法可求出实数的取值范围． 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以， 所以，则， 任取， 则， 因为， 所以，则， 所以在上为增函数， 所以有解， 所以有解，即， 设，又得，， 则，当且仅当时等号成立， 由双勾函数的单调性知，在上单调递减，在单调递增， 当时，，当时，， 所以， 所以， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合 （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）先解分式不等式得集合，再利用集合的并集定义求解； （2）由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得； （3）由必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得. 【小问1详解】 由不等式移项可得，通分得到． 即，解得，故． 当时，，则. 【小问2详解】 由，可得， 因为， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为. 【小问3详解】 由题意可得，是的充分不必要条件，故是的真子集， 又，， 则，解得，故实数的取值范围是． 16. 已知函数，（，且）． （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由； （3）当时，若有两个零点，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）偶函数，理由如下： 因为，定义域关于原点对称， ， 所以是偶函数． （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的真数部分大于0列出不等式组，解出即可； （2）根据函数奇偶性定义判断； （3）根据题意转化为有两解，利用函数的单调性求值域进行求解. 【小问1详解】 由题意得， 由得， 所以的定义域为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，． 令，则． 令，， 则，函数在上单调递增，， 易知，函数在上单调递增，在上单调递减． 要使有两个零点，即有两个解， 那么，则，所以实数m的取值范围是． 17. 对于基本不等式，即当，时有（当且仅当时不等式取“=”），我们称为正数，的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．这只是均值不等式的一个简化版本．均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由在1882年发表的论文中首次提出．均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式．它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系．它表明：个正数的平方平均数大于等于它们的算术平均数大于等于几何平均数大于等于调和平均数，且当这些数全部相等时，等号成立． （1）请直接运用上述不等式链中某个的情形求的最小值； （2）写出时调和平均数与几何平均数之间的关系，并证明； （3）如图，把一块长为的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子．问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 【答案】（1） （2），其中，， （3）切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件给出的不等式求解即可； （2）根据已知条件给出的几何平均数大于等于调和平均数写出不等式即可，证明见详解； （3）设出小正方形的边长，表示出盒子的容积，利用不等式求解最值即可. 【小问1详解】 由题意得 所以时，， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【小问2详解】 由题意可知，当时， 调和平均数与几何平均数之间的关系为，其中，，， 当且仅当时，等号成立. 证明： 所以，，当且仅当时，等号成立. 根据题意，可设，，， 用，，替换，，可得， 当且仅当时，等号成立. 所以， 所以， 当且仅当时，等号成立. 【小问3详解】 设小正方形的边长为，则盒子的高，底边边长为， 可得盒子的容积为，其中， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大，最大容积为. 18. 年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得： 44 4.8 10 40.3 1.608 19.5 8.04 现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. （1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（精确到小数点后两位） （2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？ （3）该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费､研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润毛利润×年销售量年广告费年研发经费随机变量）. 附：①相关系数， 回归直线中； ②参考数据： 【答案】（1），由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好. （2）， 13（百万辆） （3）0.3 【解析】 【分析】（1）分别计算相关系数和，结合相关系数的性质即可得结果； （2）利用最小二乘法求解即可； （3）由净利润为，由导数求最大值求解即可. 【小问1详解】 设模型①和②的相关系数分别为. 由题意可得：， . 所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好. 【小问2详解】 因为， 又由，得， 所以，即回归方程为. 当时，， 因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）. 【小问3详解】 净利润为， 令， 所以.可得在上为增函数，在上为减函数. 所以， 由题意得：，即， 即该公司年净利润大于1000（百万元）的概率为0.3. 19. 已知函数. （1）当时，求在区间上的最值； （2）记. （i）证明：曲线为中心对称图形； （ii）若函数有三个零点，求的取值范围. 【答案】（1）在区间上的最大值为2，最小值为 （2） （i）令得，故的定义域为， 设是图象上任意一点，关于的对称点位， 因为在图象上，所以， ， 所以， 所以关于对称， （ii） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导函数的正负，即可根据正负求解函数的单调性，比较端点值以及极值点处的函数值即可求解， （2）（i）根据关于的对称点位，代入化简可求解得解， （ii）根据对称性将问题转化为在上有且仅有一个零点，求导，根据的单调性，对，可判断单调，且，不合题意，当时，根据，，结合零点存在性定理可知的单调性，根据时，，即可求解. 【小问1详解】 因为，则， 所以，令，解得， 当，单调递减， 当，单调递增， 又因为， 所以在区间上的最大值为2，最小值为 【小问2详解】 （i）略 （ii）因为，所以2是的一个零点， 要使有三个零点，只需要在上有且仅有一个零点， ， 由于在上单调递增，在上单调递增，因此在上单调递增，， 若，即，此时，所以在单调递增， 由可得在没有零点，不符合题意，舍去， 若，即，，又因为，所以存在，使得， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 所以时，， 时，， 当时，，所以在上存在唯一的零点，符合题意， 综上： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $