2026届高三数学一轮复习课时作业31：函数y=Asin(ωx+φ)

4.6　函数y=Asin(ωx+φ) 【基础练】 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.用“五点法”作y=2cos x-1在[0，2π]上的图象时，应取的五点为(　　) A.(0，1)，，(π，-1)，，(2π，1) B.(0，1)，，(π，-3)，，(2π，1) C.(0，1)，(π，-3)，(2π，1)，(3π，-3)，(4π，1) D.(0，1)， 2.将函数f(x)=cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则g(x)的最小正周期是(　　) A. B.π C.2π D.4π 3.(2024·新课标全国Ⅰ)当x∈[0，2π]时，曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 4.(2024·佛山模拟)若函数f(x)=sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，其图象与函数g(x)=cos 2x的图象重合，则m的值可以为(　　) A. B. C. D. 5.(2025·广州模拟)如图，直线y=1与函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的三个相邻的交点分别为B，C，D，且BC=π，CD=2π，则f(x)等于(　　) A.2sin B.2sin C.sin D.sin 6.(2025·包头模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的最大值为2，其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为，且f(x)的图象关于点对称，则f(x)在区间上的最小值为(　　) A.- B.-1 C.-2 D.0 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2024·昆明模拟)为得到函数y=6sin的图象，只需要将函数y=6sin 2x的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 8.(2024·曲靖模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则(　　) A.f(0)=-1 B.函数f(x)的最小正周期是2π C.函数f(x)的图象关于直线x=对称 D.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对称 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.将函数f(x)=sin的图象向左平移φ个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)是奇函数，则φ=　　　　.  10.摩天轮的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面42 m(即OM长)，摩天轮的半径长为40 m，摩天轮逆时针旋转且每12分钟转一圈.摩天轮上悬挂吊舱，点M为吊舱的初始位置，经过10分钟，吊舱运动到点P处，此时有AM=BP=2 m，则点P距离地面的高度h为　　　　　　　m.  四、解答题(共27分) 11.(13分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期是π，且当x=时，f(x)取得最大值2. (1)求f(x)的解析式；(4分)(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；(4分) (3)函数f(x)的图象可由函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到？(5分) 12.(14分)降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声(如图所示).已知某噪声的声波曲线是f(x)=Asin(A>0，0≤φ<π)，其中振幅为2，且经过点(1，-2). (1)求该噪声声波曲线的解析式f(x)以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式g(x)；(6分) (2)先将函数f(x)图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数h(x)的图象.若锐角θ满足h(θ)=-，求sin 2θ的值.(8分) 【提升练】 13.(多选)(2024·泉州模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)是偶函数，将f(x)的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到g(x)的图象.若曲线y=g(x)的两个相邻对称中心之间的距离为2π，则(　　) A.ω=2 B.g(x)的图象关于直线x=-对称 C.g(x)的图象关于点对称 D.若f(π)=-2，则g(x)在区间[0，π]上的最大值为 14.函数f(x)=xsin 2πx-1在区间(0，3］上的零点个数为(　　) A.6 B.5 C.4 D.3 15.(2025·南通模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图中实线所示，圆C与f(x)图象交于M，N两点，且M在y轴上，则圆C的半径为　　　　　　.  16.已知函数f(x)=|asin ωx+bcos ωx+c|(a，b，ω>0)的部分图象如图所示，则a=　　　　　　.  答案精析 1.B　[∵y=2cos x-1，∴最小正周期T=2π.由“五点法”作图可知，应描出的五个点的横坐标分别是0π2π.代入解析式可得点的坐标分别为(0，1)(π，-3)(2π，1)，故B正确.] 2.B　[方法一　由题意得g(x) =cos=cos 所以T==π. 方法二　原函数f(x)=cos的最小正周期为将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后最小正周期变为×2=π.] 3.C　[因为函数y=sin x的最小正周期T=2π， 函数y=2sin的最小正周期T1=所以在[0，2π]上，函数y=2sin有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示， 由图可知，两函数图象有6个交点.] 4.D　[由题可得f(x+m)= sin的图象与函数g(x)=cos 2x的图象重合， 则f(m)=sin=g(0)=1， 即2m+=+2kπ，k∈Z， 解得m=+kπ，k∈Z，故m的值可以为.] 5.A　[方法一　因为BC=π，CD=2π， 所以相邻两对称轴间的距离为+π= 即最小正周期T=3π， 所以ω== 又因为点在f(x)的图象上， 所以Asin=0， 即sin=0， 结合图象可知φ-=2kπ，k∈Z， 所以φ=+2kπ，k∈Z， 又|φ|<所以φ=. 易知点C的横坐标为-++= 则C 所以Asin=1，则A=2， 所以f(x)=2sin. 方法二　因为BC=π，CD=2π，所以相邻两对称轴间的距离为+π=即最小正周期T=3π，所以ω==排除B，D； 当x=0时，代入f(x)=2sin可得f(0)=>1，满足题意，代入f(x)=sin可得f(0)=×=1，不符合题意，故A正确，C错误.] 6.B　[∵f(x)=Asin(ωx+φ)的最大值为2，∴A=2， 又f(x)的图象上相邻的两条对称轴之间的距离为 ∴==∴ω=2， ∴f(x)=2sin(2x+φ). 又f(x)的图象关于点对称， ∴2×+φ=kπ(k∈Z)， ∴φ=kπ+(k∈Z)， 又|φ|<∴φ= ∴f(x)=2sin 又x∈ ∴2x+∈ ∴f(x)=2sin的值域为[-1，2].∴f(x)在区间上的最小值为-1.] 7.ACD　[A中，向左平移个单位长度，可得y=6sin=6sin的图象，A正确； B中，向左平移个单位长度，可得y=6sin=6sin的图象，B不正确； C中，向右平移个单位长度，可得y=6sin=6sin=6sin=6sin的图象，C正确； D中，向右平移个单位长度，可得y=6sin=6sin=6sin=6sin的图象，D正确.] 8.AC　[根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象可得A=2×=+解得ω=2，又f=-2，可得2×+φ=-+2kπ，k∈Z， 又|φ|≤解得φ=- 所以f(x)=2sin可得f(0)=2sin=-1，故A正确； 可得f(x)的最小正周期为=π，故B不正确； 令x=则f =2sin=2，为最大值，可得函数f(x)的图象关于直线x=对称，故C正确； 将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，可得y=2sin的图象，可得所得的函数图象不关于原点对称，故D错误.] 9. 解析　将函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度，得到函数g(x) =sin的图象， 因为函数g(x)是奇函数， 所以g(0)=sin=0， 则2φ-=kπ，k∈Z， 则φ=+k∈Z， 因为0<φ<所以φ=. 10.20 解析　以M为坐标原点，MO所在直线为y轴，与MO垂直的直线为x轴，建立平面直角坐标系如图所示， 设点B的方程为y=Asin(ωt+φ)+k， 依题意得 解得 又因为T=12= 所以ω= 此时y=40sin+42， 又当t=0时，y=2， 所以40sin φ+42=2， sin φ=-1，φ=- 所以y=40sin+42 =-40cos t+42， 所以当t=10时， y=-40cos+42=22， 所以点P距离地面的高度h=22-2=20(m). 11.解　(1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω=2. 又因为当x=时，f(x)取得最大值2，所以A=2， 同时2×+φ=2kπ+k∈Z， 即φ=2kπ+k∈Z， 因为-<φ<所以φ= 所以f(x)=2sin. (2)因为x∈[0，π]， 所以2x+∈. 列表如下： 2x+ π 2π x 0 π f(x) 1 2 0 -2 0 1 描点、连线得图象如图所示， (3)将y=sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y=sin的图象，再将y=sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y=sin的图象，再将y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到f(x)=2sin的图象. 12.解　(1)由已知可得A=2， 由f(1)=2sin=-2， 可得sin=-1， 所以+φ=+2kπ(k∈Z)， 得φ=+2kπ(k∈Z)， 因为0≤φ<π，则φ= 故f(x)=2sin g(x)=-f(x)=-2sin. (2)将函数f(x)图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得到函数y=2sin的图象，再将所得函数图象向右平移个单位长度，可得函数h(x)的图象，则h(x)=2sin=2cos 2x， 因为h(θ)=2cos 2θ=- 则cos 2θ=- 因为0<θ<则0<2θ<π， 故sin 2θ==. 13.BCD　[函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)是偶函数，故φ=kπ+(k∈Z)，当k=0时，φ=当k=1时，φ= 将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到g(x)=Asin的图象， 由于函数g(x)的两个相邻的对称中心的距离为2π，故T=4π=解得ω=1，故A错误； 所以函数f(x)=Asin(x+φ)=Acos x或f(x)=-Acos x， g(x)=Asin =Acos或 g(x)=-Acos 当x=-时，g=±A，故B正确； 当x=时，g=0，故函数g(x)的图象关于点对称，故C正确； 当f(π)=-2时，A=-2或A=2， 故f(x)=2cos x， 故g(x)=2cos当x∈[0，π]时x+∈函数在该区间上单调递减，故函数的最大值为g(0)=2×= 故g(x)在[0，π]上的最大值为故D正确.] 14. C [函数f(x)=xsin 2πx-1在(0，3］上零点的个数即方程xsin 2πx-1=0在(0，3］上根的个数，方程xsin 2πx-1=0化简可得sin 2πx=. 在同一平面直角坐标系中作出函数y=sin 2πx与函数y=的图象如图所示， 由图可知，在区间(0，3］上，两函数图象有4个交点，故函数f(x)=xsin 2πx-1在区间(0，3］上的零点个数为4.] 15. 解析　因为点M，N关于点C对称， 所以xC=×= 函数f(x)的最小正周期T满足=-解得T=π， 即=π，所以ω=2. 由图象可得f(x)的最大值点为 = 所以2×+φ=+2kπ，k∈Z， 结合0<φ<π，取k=0得φ= 则f(x)=sin. 因此可得OM=f(0)=sin =所以圆C的半径r===. 16. 解析　由题意得f(x)=|asin ωx+bcos ωx+c|=|sin(ωx+φ)+c|，其中tan φ=， 由题图可知，+c=3，-+c=-1， 所以c=1，=2， ① 又-=T， 所以T=π，则ω==2， 因为其中一条对称轴为直线x=， 所以2×+φ=+2kπ，k∈Z， 则φ=+2kπ，k∈Z， 所以tan φ=1，即a=b， ② 联立①②，解得a=. 学科网（北京）股份有限公司 $$