2026届高三数学一轮复习课时作业33：正弦定理、余弦定理

4.8　正弦定理、余弦定理 【基础练】 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·海口模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=3，sin A=，则sin B等于(　　) A. B. C. D. 2.在△ABC中，cos C=，AC=4，BC=3，则cos B等于(　　) A. B. C. D. 3.(2024·长沙模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且三边之比a∶b∶c=2∶3∶4，则等于(　　) A. B.- C.2 D.-2 4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2+=，则△ABC的形状为(　　) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 5.(2024·榆林模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且三边满足b2=(a+c)2-4，B=，则△ABC的面积为(　　) A.2- B.4-2 C.2+ D.4+2 6.(2025·上海模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，且c-2b+2cos C=0，则该三角形外接圆的半径为(　　) A.1 B. C.2 D.2 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定2个三角形的是(　　) A.A=，b=1，c=2 B.B=，b=1，c=2 C.A=，b=3，a= D.B=，b=，a=2 8.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是(　　) A.若acos A=bcos B，则△ABC是等腰三角形 B.若bcos C+ccos B=b，则△ABC是等腰三角形 C.若==，则△ABC是等边三角形 D.若B=60°，b2=ac，则△ABC是直角三角形 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2024·开封模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C=，a=3b，则cos A=　　　　　　.  10.(2024·成都模拟)在△ABC中，AC=1，∠ACB=，延长BA到点D，使得AD=，∠ADC=，则AB的长为　　　　　　.  四、解答题(共27分) 11.(13分)(2024·新课标全国Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A+cos A=2. (1)求A；(5分) (2)若a=2，bsin C=csin 2B，求△ABC的周长.(8分) 12.(14分)(2025·南昌模拟)如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边AC=10，∠BAC=，∠DAC=，BD交AC于点E. (1)求BD2；(7分)(2)求AE.(7分) 【提升练】 13.(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=，a2+b2-c2=absin C，acos B+bsin A=c，则下列结论正确的是(　　) A.tan C=2 B.A= C.b= D.△ABC的面积为6 14.在△ABC中，sin(B-A)=，2a2+c2=2b2，则sin C等于(　　) A. B. C. D.1 15.已知△ABC的面积S=(b2+c2)(其中b，c为△ABC的边长)，则△ABC的形状为　　　　.  16.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S=.根据此公式，若acos B+(b-c)cos A=0，且b2+c2-a2=，则△ABC的面积为　　　　　　.  答案精析 1.A　2.A　3.C 4.A　[∵sin2+= ∴=-∴cos A= ∵cos A== ∴b2+c2-a2=2b2，∴b2+a2=c2， ∴△ABC为直角三角形，且C=90°.] 5.A　[因为b2=(a+c)2-4=a2+c2+2ac-4所以a2+c2-b2=4-2ac， 因为B=由余弦定理得， cos B=== 所以ac=4-4， 故△ABC的面积 S=acsin B=(4-4)× =2-.] 6.A　[∵a=∴c-2b+2acos C=0， ∴sin C-2sin B+2sin Acos C=0， ∴sin C-2sin(A+C)+2sin Acos C=0， ∴sin C-2sin Acos C-2sin Ccos A+2sin Acos C=0， ∴sin C-2sin Ccos A=0， ∵sin C>0，∴cos A= ∵A∈(0，π)，∴A= 设该三角形外接圆的半径为r，由正弦定理得==2=2r， ∴r=1.] 7.CD　[对于A，因为两边及其夹角唯一确定一个三角形，所以A选项的条件能确定1个三角形； 对于B，由正弦定理可知，sin C===>1，无解， 故B选项的条件不能确定三角形； 对于C，由正弦定理可知，sin B===<1，又b>a，即B∈所以B=或B=故C选项的条件能确定2个三角形； 对于D，由正弦定理可知，sin A====<1， 又a>b，即A∈ 又易知sin A=>sin=则sin A=有两个解， 故D选项的条件能确定2个三角形.] 8.BC　[对于A，若acos A=bcos B，则由正弦定理得sin Acos A=sin Bcos B， ∴sin 2A=sin 2B，则2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，若bcos C+ccos B=b，则由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A=sin B，即A=B，则△ABC是等腰三角形，故B正确； 对于C，若==则由正弦定理得==则tan A=tan B=tan C，即A=B=C，即△ABC是等边三角形，故C正确； 对于D，由于B=60°，b2=ac，由余弦定理可得b2=ac=a2+c2-ac，可得(a-c)2=0，解得a=c，故△ABC是等边三角形，故D错误.] 9.- 解析　在△ABC中，cos C=a=3b， 由余弦定理可得 cos C=== 解得c=b， 再由余弦定理可得 cos A===-. 10. 解析　∵在△ABC中，AC=1，∠ACB=延长BA到点D，使得AD=∠ADC= ∴由正弦定理得 = 可得sin∠ACD== 可得∠ACD=∴∠BAC=∠ACD+∠ADC=+=∠ABC=π--= ∴在△ABC中，由正弦定理得 = 即=解得AB=. 11.解　(1)方法一　常规方法(辅助角公式) 由sin A+cos A=2， 可得sin A+cos A=1， 即sin=1， 由于A∈(0，π)⇒A+∈ 故A+= 解得A=. 方法二　常规方法(同角三角函数的基本关系) 由sin A+cos A=2， 又sin 2A+cos 2A=1， 消去sin A得到 4cos2A-4cos A+3=0⇔ (2cos A-)2=0， 解得cos A= 又A∈(0，π)，故A=. (2)由题设条件和正弦定理得， bsin C=csin 2B⇔sin Bsin C=2sin Csin Bcos B， 又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0， 进而cos B=得到B= 于是C=π-A-B= sin C=sin(π-A-B)=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B = 由正弦定理可得， == 即== 解得b=2c=+ 故△ABC的周长为2++3. 12.解　(1)因为两块直角三角形斜边靠在一起，其中公共斜边AC=10，∠BAC=∠DAC=BD交AC于点E，可得AB=AC·cos∠BAC=10×=5，AD=AC·cos∠DAC=10×=5因为∠BAD=∠BAC+∠DAC=+所以cos∠BAD=cos cos -sin sin =×-×= 所以在△ABD中，BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD =25+50-2×5×5× =50+25. (2)因为sin∠BAD=sin = 又因为S△ABD=S△ABE+S△ADE， 所以·AB·AD·sin∠BAD=·AB·AE·sin∠BAE+·AE·AD·sin∠EAD， 即×5×5×=×5×AE×+×AE×5× 解得AE=5-5. 13.ABD　[因为a2+b2-c2=absin C， 所以cos C= == 所以tan C==2，故A正确； 因为acos B+bsin A=c，利用正弦定理可得 sin Acos B+sin Bsin A=sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B， 即sin Bsin A=cos Asin B， 因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以tan A=1，又A∈(0，π)，所以A=故B正确； 因为tan C=2，C∈(0，π)， 所以sin C=cos C= 又A=所以sin A=cos A= 所以sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=×+×= 因为=所以b===3故C错误； S△ABC=absin C=××3×=6，故D正确.] 14. C [∵a2+c2-b2=2accos B， 又b2+c2-a2=2bccos A， 两式相减，得2a2-2b2=2accos B-2bccos A=-c2， ∴2acos B-2bcos A=-c， 由正弦定理可得2sin Acos B-2sin Bcos A=-2sin(B-A)=-sin C， 又sin(B-A)=，∴sin C=.] 15.等腰直角三角形 解析　依题意，△ABC的面积S=(b2+c2)， 则bcsin A=(b2+c2)， 即2bcsin A=b2+c2， 由于0<A<π，所以0<sin A≤1， 所以0<2bcsin A≤2bc， 由基本不等式可知b2+c2≥2bc， 当且仅当b=c时等号成立， 所以sin A=1，A=△ABC是等腰直角三角形. 16. 解析　因为acos B+(b-c)cos A=0， 所以sin Acos B+(sin B-sin C)cos A=0， 所以sin Acos B+sin Bcos A-sin Ccos A=0， 所以sin(A+B)-sin Ccos A=0， 所以sin C(1-cos A)=0， 因为sin C≠0，所以1-cos A=0， 解得cos A==， 所以b2+c2-a2=bc=，可得bc=1， 所以S= =×=. 学科网（北京）股份有限公司 $$