精品解析：2025年河南省周口市商水县五校联考二模数学试题

2024-2025学年度九年级中招第二次模拟试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题 (每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的) 1. 下列各数中，是负分数的是（ ） A. B. C. D. 0 2. 焦作市2025年交通建设计划投资55亿元，致力于持续完善综合立体交通网络．其中“55亿”用科学记数法表示为 ( ) A. B. C. D. 3. 在数字“1.010010001”中， “0”出现的频数是（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 6 4. 下面是在同一时刻的太阳光下两棵树产生的影子，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．如图，若，，则光的传播方向改变了（ ） A B. C. D. 7. 如图所示电路，随机闭合开关 中的任意一个，能使灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 9. 如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点M是的中点，，，点B的纵坐标是将向左平移，使得点A与点M重合，则平移后点B的横坐标为（） A. 0 B. C. D. 10. 物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图1所示．桌面AB长为，小球P与木块Q（大小厚度忽略不计）同时从A 出发向 B沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹向挡板l，如此反复，直到木块Q到达l，同时停止．设小球的运动时间为x，木块Q与小球之间的距离为y，图2是y与x的部分图象，则图2中t的值为（ ） A. B. C. D. 18 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 若，则________（填“”“”或“”）． 12. 关于x的不等式组 有解，则实数m的取值范围是______． 13. 若与 互为相反数， 则________． 14. 如图，是的直径，弦于点，若，，阴影部分的面积是______． 15. 如图， 在中，，，，点M为的中点，N为边上一动点，连接，将四边形沿折叠，点B、C的对应点分别为、，连接．当与的一条边垂直时，的长为_______________________． 三、解答题 (本大题共8个小题，共75分) 16 （1）计算： ； （2）化简： ． 17. 为了培养学生动手能力和对航海模型的兴趣，某市举办航海模型教育竞赛，该市某校航海模型兴趣小组甲、乙两名参赛选手平时次的成绩如下统计图表所示： 选手 平均数 众数 甲 乙 （1）表格中的 （2）若该校计划从甲、乙两人中选择一人参加市级竞赛，你认为应推荐谁去参加比赛呢?说明理由． 18. 每年3月20日是“世界口腔健康日”．下图是口腔科用综合治疗椅，其中灯的灯臂长，与水平线的夹角为 ，连接处和灯柄的长相等，都等于，与水平线的夹角为，根据患者在治疗椅上所躺的位置，医生调节灯，使灯柄与水平线的夹角为 时给患者治疗光线最好，求此时、两点在竖直方向上的距离．(结果精确到．参考：取，取，取，取，取) 19. 如图，的部分顶点坐标为，，，反比例函数 经过点D． （1）求反比例函数的解析式； （2）请用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线；（保留作图痕迹，不写作法） （3）若（）中所作的平行线交于点，则求点的坐标． 20. 洛阳唐三彩以黄、绿、白三色为主，造型多样，色彩斑斓，具有极高的艺术价值；南阳玉雕，主要以独山玉为原料，雕刻题材广泛，技艺精湛，造型优美，质地细腻．某旅行团在特产商店准备购进洛阳唐三彩和南阳玉雕，已知每套玉雕比每套唐三彩贵元，用元购买的玉雕套数和元购买的唐三彩套数相同． （1）求唐三彩和玉雕每套各多少元； （2）若该旅行团欲购买唐三彩和玉雕共套，且预算不低于元，不超过元，有几种购买方案? 21. 弦切角定理是指弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 举例来说，假设有一个圆，一条切线与圆相切于点C，一条弦，那么由切线和弦构成的弦切角 与弦AC和切线所夹的弧 对应的圆周角相等． 为了说明这一说法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知： 如图， 内接于， ． 求证： ． 22. 如图， 抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点坐标为，点是抛物线上一点． （1）求该抛物线的解析式； （2）当且 时： 求的取值范围； 若 ，直接写出的值． 23. 综合与实践 综合实践课上，同学们探究“特殊四边形背景下的旋转问题”． 问题情境：为四边形的边上一点 (不与端点重合)，作射线，并将射线绕点在平面内旋转，记旋转角为α． ，． （1）当旋转后的射线交射线于点时． ①如图1，四边形为正方形，则 ；、、之间的数量关系是 ； ②如图2，四边形为矩形， 设 求DF的长；(用含m、n、a的式子表示) （2）如图3， 四边形为菱形， ，，，在旋转过程中，设点的对应点为，当点落在射线或射线上时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度九年级中招第二次模拟试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题 (每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的) 1. 下列各数中，是负分数的是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数、负分数概念，解题的关键是要熟练掌握负分数的定义． 根据负分数的定义，在正分数前面加负号的数叫做负分数，即可判断． 【详解】解：A、负分数，故本选项符合题意； B、是正分数，故本选项不符合题意； C、是无理数，故本选项不符合题意； D、0是整数，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 焦作市2025年交通建设计划投资55亿元，致力于持续完善综合立体交通网络．其中“55亿”用科学记数法表示为 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：55亿 ； 故选：C． 3. 在数字“1.010010001”中， “0”出现的频数是（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查频数的概念，熟练掌握知识点是解题的关键．利用频数是指变量值中代表某种特征的数（标志值）出现的次数求解． 【详解】解：∵在数字“1.010010001”中，0出现了6次， ∴“0”出现的频数是6． 故选：D． 4. 下面是在同一时刻的太阳光下两棵树产生的影子，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影． 根据平行投影的特点，利用两小树的影子的方向相反可对A、C进行判断；利用在同一时刻阳光下，树高与影子成正比可对B、D进行判断． 【详解】解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项错误； B、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以B选项错误； C、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以C选项错误． D、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项正确； 故选：D． 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据单项式除以单项式的运算法则、合并同类项法则、积的乘方和幂的乘方分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算正确，符合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 故选：． 6. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．如图，若，，则光的传播方向改变了（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了对顶角，根据题意即可求解． 【详解】解：根据题意可得： 光的传播方向改变了， 故选：B． 7. 如图所示电路，随机闭合开关 中的任意一个，能使灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，直接用概率公式即可求解，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，只有闭合开关，能使灯泡发光， ∴随机闭合开关 中的任意一个，能使灯泡发光的概率是， 故选：C． 8. 已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 【答案】B 【解析】 【分析】根据点在第四象限得，可得，则方程判别式，即可得． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∴， ∴方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查了点坐标的特征，根的判别式，解题的关键是掌握这些知识点． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点M是的中点，，，点B的纵坐标是将向左平移，使得点A与点M重合，则平移后点B的横坐标为（） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质与图形平移的综合应用，解题关键是通过作辅助线利用直角三角形边角关系求出原坐标，再结合平移性质计算平移后坐标． 作辅助线，利用点纵坐标得．在中，由和，算出．在中，因得，进而，又是中点，得．平移距离为，用原横坐标减去平移距离，得平移后横坐标为． 【详解】过点作于点， 因为点的纵坐标是， 所以． 在中，， ，即， 所以， 解得． 在中，， 则， 所以， 那么． 因为点是的中点， 所以． 将向左平移，使得点与点重合，那么平移的距离为的长度，即． 点原来的横坐标为， 向左平移个单位后，平移后点的横坐标为． 故选：C． 10. 物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图1所示．桌面AB长为，小球P与木块Q（大小厚度忽略不计）同时从A 出发向 B沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球P到达B处的挡板l后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块Q后又被反弹向挡板l，如此反复，直到木块Q到达l，同时停止．设小球的运动时间为x，木块Q与小球之间的距离为y，图2是y与x的部分图象，则图2中t的值为（ ） A. B. C. D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解一元一次方程，由题意可知小球P从A出发正好到达B处时所用的时间为，从而求出的速度，进而列出关于的一元一次方程，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由图2可知，小球P从A出发正好到达B处时所用的时间为， ∴小球P的速度为：， Q的速度为：， 当时，， 又∵， ∴， 解得：， 故选：B． 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 若，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的基本性质，“等式两边乘同一个数，结果仍相等”，可得结论． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 关于x的不等式组 有解，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，分别解不等式，再根据不等式组解，得出． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组有解， ， 故答案为：． 13. 若与 互为相反数， 则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组，相反数，非负数的性质，熟练掌握运算法则是解答关键． 利用相反数的性质和非负数的性质列出方程求出和，再进行计算求解． 【详解】解：与 互为相反数， , ，， ， 解得， ． 故答案为：． 14. 如图，是的直径，弦于点，若，，阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，垂径定理，扇形面积公式，连接，由垂径定理得，则，所以，然后根据阴影部分的面积为即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为 ， 故答案为：． 15. 如图， 在中，，，，点M为的中点，N为边上一动点，连接，将四边形沿折叠，点B、C的对应点分别为、，连接．当与的一条边垂直时，的长为_______________________． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，轴对称的性质，垂直平分线的判定及性质，掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况或，根据轴对称的性质与垂直平分线的判定及性质分别求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ， ∵点M是的中点， ∴． ①如图，当时，是的垂直平分线， 连接， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵在中，， ∴． ②如图，当时， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴由折叠可得． 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或 三、解答题 (本大题共8个小题，共75分) 16. （1）计算： ； （2）化简： ． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了立方根，特殊角三角函数值，乘方，分式化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别计算各部分的值，在合并结果即可． （2）通过通分、因式分解、约分，化简即可． 【详解】解：（1）  ； （2）  17. 为了培养学生的动手能力和对航海模型的兴趣，某市举办航海模型教育竞赛，该市某校航海模型兴趣小组甲、乙两名参赛选手平时次的成绩如下统计图表所示： 选手 平均数 众数 甲 乙 （1）表格中的 （2）若该校计划从甲、乙两人中选择一人参加市级的竞赛，你认为应推荐谁去参加比赛呢?说明理由． 【答案】（1）， （2）乙，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数，方差，众数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由图可得甲、乙两名参赛选手的成绩，进而可得其平均数，众数． （2）根据题意可得甲的波动情况更剧烈，乙的成绩较稳定，再根据方差进行对比即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得甲选手成绩的平均数为：， 即， ∵乙选手成绩出现次数最多的是， ∴乙选手众数为：， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：应推荐乙去参加比赛． 理由：∵甲，乙两人成绩的平均数和众数均相同，但甲的波动情况更剧烈，乙的成绩较稳定， ∴乙的方差，小于甲的方差，推荐乙去参加比赛更合适． 18. 每年3月20日是“世界口腔健康日”．下图是口腔科用的综合治疗椅，其中灯的灯臂长，与水平线的夹角为 ，连接处和灯柄的长相等，都等于，与水平线的夹角为，根据患者在治疗椅上所躺的位置，医生调节灯，使灯柄与水平线的夹角为 时给患者治疗光线最好，求此时、两点在竖直方向上的距离．(结果精确到．参考：取，取，取，取，取) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． 利用锐角三角函数，分别求出点、点、点与点在竖直方向上的距离，计算即可． 【详解】解：根据已知可得， 、两点在竖直方向上的距离为， 、两点在竖直方向上的距离为， 、两点在竖直方向上的距离为， ∴、两点在竖直方向上的距离为 答：、两点在竖直方向上的距离为． 19. 如图，的部分顶点坐标为，，，反比例函数 经过点D． （1）求反比例函数的解析式； （2）请用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线；（保留作图痕迹，不写作法） （3）若（）中所作的平行线交于点，则求点的坐标． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，平行四边形的判定与性质，作一个角等于已知角等知识，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法解析式即可； （）作即可， （）先证明四边形是平行四边形，所以，又，，，故有，，则，点纵坐标为，从而求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，作即可， ∴即为所求； 【小问3详解】 解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，点纵坐标为， ∴点的坐标为． 20. 洛阳唐三彩以黄、绿、白三色为主，造型多样，色彩斑斓，具有极高艺术价值；南阳玉雕，主要以独山玉为原料，雕刻题材广泛，技艺精湛，造型优美，质地细腻．某旅行团在特产商店准备购进洛阳唐三彩和南阳玉雕，已知每套玉雕比每套唐三彩贵元，用元购买的玉雕套数和元购买的唐三彩套数相同． （1）求唐三彩和玉雕每套各多少元； （2）若该旅行团欲购买唐三彩和玉雕共套，且预算不低于元，不超过元，有几种购买方案? 【答案】（1）唐三彩每套元，玉雕每套元； （2）一共有三种方案． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是根据题意列出分式方程和不等式组． 设每套唐三彩元，每套玉雕元，根据用元购买的玉雕套数和元购买的唐三彩套数相同，可列分式方程，解分式方程求出唐三彩和玉雕每套各多少元； 设该旅行团欲购买了套唐三彩和套玉雕，根据所需费用不低于元，不超过元，可列一元一次不等式组，解不等式组可得：，所以共有三种购买方案． 【小问1详解】 解：设每套唐三彩元，每套玉雕元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验是所列分式方程的解， ， 答：每套唐三彩元，每套玉雕元； 【小问2详解】 解：设该旅行团欲购买了套唐三彩和套玉雕， 根据题意可得：， 解得：， 方案一、该旅行团欲购买套唐三彩和套玉雕， 方案二、该旅行团欲购买套唐三彩和套玉雕， 方案三、该旅行团欲购买套唐三彩和套玉雕， 答：共有三种购买方案． 21. 弦切角定理是指弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 举例来说，假设有一个圆，一条切线与圆相切于点C，一条弦，那么由切线和弦构成的弦切角 与弦AC和切线所夹的弧 对应的圆周角相等． 为了说明这一说法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知： 如图， 内接于， ． 求证： ． 【答案】直线与相切于点C；；证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内角和性质，切线的性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先补充好题干内容，再根据切线的性质得，结合半径相等以及三角形内角和性质得，根据圆周角定理得，即可作答． 【详解】解：如图，内接于⊙O，直线与相切于点C，求证：． 连接， ∵直线与相切于点C， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为：直线与相切于点C，． 22. 如图， 抛物线与轴交于两点，与轴交于点，顶点坐标为，点是抛物线上一点． （1）求该抛物线的解析式； （2）当且 时： 求的取值范围； 若 ，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）；或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设该抛物线的解析式为，然后把代入求出的值即可； （）由（）得抛物线的解析式为，然后根据二次函数的性质即可求解； （）由抛物线的解析式，求出，通过 ，则，则有，然后分情况解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵顶点坐标为， ∴设该抛物线的解析式为， ∵与轴交于点， ∴，解得：， ∴该抛物线的解析式为， 【小问2详解】 解：由（）得抛物线的解析式为， ∴当时，的最大值为，当时，的最小值为， ∴的取值范围； 由抛物线的解析式， 当时，， ∴， ∴， ∵ ， ∴，即， ∵点是抛物线上一点， ∴， 当时， 解得或（舍去）， 当时， 解得或（舍去）， ∴的值为或． 23. 综合与实践 综合实践课上，同学们探究“特殊四边形背景下的旋转问题”． 问题情境：为四边形的边上一点 (不与端点重合)，作射线，并将射线绕点在平面内旋转，记旋转角为α． ，． （1）当旋转后的射线交射线于点时． ①如图1，四边形为正方形，则 ；、、之间的数量关系是 ； ②如图2，四边形为矩形， 设 求DF的长；(用含m、n、a的式子表示) （2）如图3， 四边形为菱形， ，，，在旋转过程中，设点的对应点为，当点落在射线或射线上时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①1，；② （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，利用旋转模型证明三角形全等或相似是解题（1）关键，由特殊角构造直角三角形解三角形是解（2）的关键． （1）根据旋转全等模型容易证明即可得出，进而可得结论；②旋转相似模型容易证明，得，即可得，由即可解题； （2）分两种情况利用特殊角构造直角三角形，由勾股定理解三角形求解即可． 【小问1详解】 ①解：∵四边形为正方形， ∴，即， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴ ， ∴， ∵在四边形为正方形中，， ∴， ∴． ②当四边形为矩形， ∴，， 又∵ ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：当点落在射线上时，过点作，垂足为， ∵四边形为菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ， 由旋转可知：， ∴， ∴， 当点落在射线上时，过点作，垂足为， 同理可求：，，， ∴， 综上所述：当点落在射线或射线上时，线段长为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$