精品解析：2025年浙江省绍兴市初中毕业生学业水平调测三模数学练习卷

2025年浙江省绍兴市初中毕业生学业水平调测三模数学练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在有理数，，，中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 2. 榫卯是中国传统建筑的一种结构方式，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”，通过榫和卯的精密配合，实现了构造的稳固性和可持续性，展现了人与自然的和谐关系．如下图是其中一种卯，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，CD是的中线，E，F分别是AC，DC的中点， ，则BD的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中3个红球，5个白球和1个黄球，从中任意摸出一个球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长 尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②SABCD＝AB•AC；③OB＝AB：④OE＝BC．其中成立的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 8. 如图，在正方形中， ，点E，F分别在边上，，若将四边形 沿折叠，点恰好落在边上，则 的长度为（　　） A. 1 B. C. 3 D. 2 9. 如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论：①；②；③；④当 时，y随x的增大而增大．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图所示，为的直径，， 交于点 ，交于点 ，，给出以下结论：①；② ；③；④的长度是的2倍．其中正确的是（ ）． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：______． 12. 不等式的解集是_________． 13. 已知点在第四象限，则 的取值范围是________． 14. 如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为_____． 15. 如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形，B点坐标为，A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为，连结，点E、点F分别从A点、B点出发，在上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作交x轴于H点，交y轴于G点，连结、 ，在运动过程中， 的最大面积为______． 16. 在综合实践活动中，数学兴趣小组对这n个自然数中，任取两数之差的绝对值不大于的取法种数k进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当 时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若时，则k的值为________；若，则k的值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 为落实“双减”工作，推行“五育并举”，某学校计划成立五个体育兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．足球，B．引体向上，C．篮球，D．排球，E．羽毛球．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图： 根据图中信息，完成下列问题： （1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ②扇形统计图中的圆心角的度数为_______． （2）若该校有4800名学生，估计该校参加C组（篮球）的学生人数； （3）该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人去市内进行比赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率． 19. 如图，矩形的对角线相交于点O，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 20. 图1，图2，图3均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点均为格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图，画出满足要求的一种情况即可． （1）在图1中找一个格点P，连结，使． （2）在图2中找两个格点P，Q，连结 ，使直线． （3）在图3中找两个格点P，Q，连结 交线段于点C，使． 21. 血乳酸浓度是衡量运动强度的重要指标，最大血乳酸浓度指人体在极限运动时血液中乳酸含量的峰值．某校运动科学小组以“探究年龄与最大血乳酸浓度的关系”为主题开展实验研究．小组通过运动生理实验室测得不同年龄的最大血乳酸浓度数据如下，发现最大血乳酸浓度L（）与年龄 （周岁）符合一次函数关系： 年龄x/周岁 15 20 25 30 35 40 45 最大血乳酸浓度/（） 12.0 11.5 11.0 10.5 10.0 9.5 9.0 （1）求关于 的函数关系式； （2）已知不同运动目标对应的血乳酸浓度范围如表所示，28岁的小刘计划进行提升无氧耐力的训练，他的运动血乳酸浓度应控制在什么范围？（结果保留一位小数） 运动目标 血乳酸浓度占最大浓度的百分比 有氧耐力训练 无氧耐力训练 22. 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的 边上取一点 ，将沿翻折，使点 恰好落在边上点 处． 实践探究：（1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求 的长； 问题解决：（3）如图3，延长，与的角平分线交于点 ，交于点，当时，求的值． 23. 已知一次函数（，为常数，且）． （1）若此一次函数的图象经过两点，求的值． （2）若，点在该一次函数图象上，求证：． 24. 如图，四边形是的内接四边形，． （1） ； （2）如图2，若半径． ①求证：； ②若，求 的值． （3）如图3，过 作于点 ，交于点 ，的延长线恰好经过点F，若，，求 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年浙江省绍兴市初中毕业生学业水平调测三模数学练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在有理数，，，中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据绝对值大的负数，其值反而小，判断出最大的负数是哪个即可． 【详解】解：， ∴ ∴最大， 故选：B． 2. 榫卯是中国传统建筑的一种结构方式，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”，通过榫和卯的精密配合，实现了构造的稳固性和可持续性，展现了人与自然的和谐关系．如下图是其中一种卯，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握组合体的三视图是解题的关键． 【详解】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有2条纵向的实线和2条纵向的虚线．2条实线在2条虚线之间，即  故选：D． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、完全平方公式、同底数幂的除法、积的乘方的运算法则逐项判断即可． 【详解】A、，运算错误，该选项不符合题意； B、，运算错误，该选项不符合题意； C、，运算错误，该选项不符合题意； D、运算正确，该选项符合题意． 故选：D 【点睛】本题主要考查合并同类项，完全平方公式、同底数幂的除法、积的乘方，牢记合并同类项、完全平方公式、同底数幂的除法、积的乘方的运算法则是解题的关键． 4. 如图，CD是的中线，E，F分别是AC，DC的中点， ，则BD的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先利用中位线性质求得AD，再由中线知BD=AD即可解答． 【详解】解：∵点E、F分别是AC、DC的中点， ∴EF是△ACD的中位线， ∴AD=2EF=2， ∵CD是△ABC的中线， ∴BD=AD=2 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的中线和中位线，熟练掌握中位线的性质是解答的关键． 5. 一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中3个红球，5个白球和1个黄球，从中任意摸出一个球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中有5个白球，即可得． 【详解】解：∵一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中有5个白球， ∴从中任意摸出一个球是白球的概率是：， 故选：C． 【点睛】本题考查了概率，解题的关键是理解题意，掌握概率公式． 6. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知：；从而可得答案. 【详解】解：由题意可得方程组为： ， 故选：A. 7. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②SABCD＝AB•AC；③OB＝AB：④OE＝BC．其中成立的有（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】由▱ABCD中，∠ADC=60°，易得△ABE是等边三角形，又由AB＝BC，，证得①∠CAD=30°；继而证得AC⊥AB，得②S▱ABCD=AB•AC；可得OE是三角形的中位线，证得④OE＝BC． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠EAD=60° ∴△ABE是等边三角形， ∴AE=AB=BE， ∵AB＝BC， ， ∴∠BAC=90°， ∴∠CAD=30°，故①正确； ∵AC⊥AB， ∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确， ， ∵BD＞BC， ∴AB≠OB，故③错误； ∵∠CAD=30°，∠AEB=60°，AD∥BC， ∴∠EAC=∠ACE=30°， ∴AE=CE， ∴BE=CE， ∵OA=OC， ，故④正确． 故选B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形，OE是△ABC的中位线是关键． 8. 如图，在正方形 中， ，点E，F分别在边上，，若将四边形 沿折叠，点恰好落在边上，则 的长度为（　　） A. 1 B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据可得，根据折叠前后对应角相等、对应边相等，可得，，进而可得 ，根据含30度角的直角三角形的性质可得，设 ，则，，列方程即可求解． 【详解】解：∵四边形 是正方形， ∴，， ∴， ∵将四边形 沿折叠，点恰好落在边上， ∴，， ∴， ∴ ， ∴， 设 ，则，， ∴， 解得 ． 故选D． 9. 如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象，二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象判断式子的正负，正确理解二次函数的图象及性质是解题的关键．根据二次函数的图象及性质解答即可． 【详解】解：由图象可知，开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①不正确； ∵二次函数的图象经过点，， ∴对称轴为直线，， ∴，，故②正确； ∴当时，图象有最高点，即函数最大值为 ， ∴当时，， ∴，故③不正确； ∵对称轴为直线，开口向下， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而先增大后减小．故④不正确； ∴正确的为②，共1个， 故选：A． 10. 如图所示，为 的直径，，交 于点，交 于点，，给出以下结论：①；② ；③；④的长度是的2倍．其中正确的是（ ）． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角等知识，运用排除法逐条分析判断即可． 【详解】解：连接， ∵是 直径， ∴． ，， ，． 又， ∴，故①正确， 且， 平分， ，故②正确， ∵，， ∴，，故③错误； ∵，， ∴，， ∴，故④正确； 故正确的有①②④． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，后采用公式法分解即可 【详解】∵ =-a = 故答案为: ． 【点睛】本题考查了因式分解，熟记先提取公因式，后套用公式法分解因式是解题的关键． 12. 不等式的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】两边同时除以2即可得答案. 【详解】根据不等式的性质，不等式两边同时除以2，得 ， 即， 故答案为. 【点睛】本题考查了利用不等式的性质求不等式的解集，熟练掌握是解题的关键. 13. 已知点在第四象限，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征．由第四象限的点的特点，可得，解之可得的取值范围． 【详解】解：点在第四象限， ， 解得： ， 故答案为： ． 14. 如图，木工用角尺的短边紧靠⊙ 于点A，长边与⊙ 相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙ 的半径为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】设圆的半径为rcm，连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2＝（r−6）2＋82，求出r即可． 【详解】解：连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示： ∵CB与 相切于点B， ∴， ∴， ∴四边形ACBD为矩形， ∴，， 设圆的半径为rcm，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：， 即r2＝（r−6）2＋82， 解得：， 即的半径为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于半径r的方程，是解题的关键． 15. 如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形，B点坐标为，A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为，连结，点E、点F分别从A点、B点出发，在上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作交x轴于H点，交y轴于G点，连结、 ，在运动过程中， 的最大面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求直线的解析式，进而设直线的解析式为，得出，即，利用得出，根据二次函数求最值的方法求解即可． 【详解】解：∵矩形，B点坐标为， ， ， 设直线的解析式为 ， 把D点坐标为代入，得， 解得， ∴直线的解析式为 ， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ∴ 的最大面积为， 故答案为: ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上的点的坐标特征，矩形的性质，二次函数的最值，熟练掌握知识点是解题的关键． 16. 在综合实践活动中，数学兴趣小组对这n个自然数中，任取两数之差的绝对值不大于的取法种数k进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即 ；当 时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若时，则k的值为________；若，则k的值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，从中找出规律求解是解答的关键． 先根据前几个 值所对应值，找到变化规律求解即可． 【详解】解：当时，有一种取法，则； 当时，有和两种取法，则； 当时，有，，，，五种取法， 则； 当时，~有种：，， ~有2种：，， ~有2种，， ~有1种共七种取法，则； 当 时，~有种：，，， ~有种：，，， ~有种：，，， ~有种：，， ~有种：，共九种取法，则； 当时，~有 种，~有 种，…，~有 种，~有种， ~有种，…， ~有种， 共（种）取法． 故答案为：， ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】先代入特殊角的三角函数值，再根据乘方、绝对值、负整数指数幂的意义化简，然后合并同类二次根式即可． 【详解】原式 ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，负整数指数幂和零指数幂的意义，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 18. 为落实“双减”工作，推行“五育并举”，某学校计划成立五个体育兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．足球，B．引体向上，C．篮球，D．排球，E．羽毛球．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图： 根据图中信息，完成下列问题： （1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ②扇形统计图中的圆心角的度数为_______． （2）若该校有4800名学生，估计该校参加C组（篮球）的学生人数； （3）该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人去市内进行比赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率． 【答案】（1）①补全图形如下： ② （2）1120名 （3） 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识，注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比； （1）①先根据 小组人数及其所对应的百分比可得被调查的总人数，再根据5个兴趣小组人数之和等于总人数求出小组人数，从而补全图形； ②用乘以小组人数占被调查人数的比例即可； （2）用总人数乘以样本中小组人数占被调查人数的比例即可； （3）画树状图列举出所有等可能结果，再从树状图中确定恰好抽到一名男生一名女生的结果数，继而利用概率公式求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，被调查的总人数为 （人）， 所以小组人数为 （人）； ②扇形统计图中的圆心角的度数为 ， 故答案为：； 【小问2详解】 （名）， 答：估计该校参加组（篮球）的学生有1120名； 【小问3详解】 画树状图为： 由树状图知，共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，所以恰好抽到一名男生一名女生的概率为． 19. 如图，矩形 的对角线相交于点O，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明： 四边形是平行四边形 四边形 是矩形 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）直接由临边相等的平行四边形是菱形，即可得到结论成立； （2）连接OE，与CD相交于点M，由菱形的性质和等边三角形的性质，求出，即可求出菱形的面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图：连接OE，于CD相交于点M， 为等边三角形 平行四边形为菱形 平分和 平行四边形为菱形 由勾股定理得 ． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，利用勾股定理求出边长，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 20. 图1，图2，图3均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点均为格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图，画出满足要求的一种情况即可． （1）在图1中找一个格点P，连结，使． （2）在图2中找两个格点P，Q，连结 ，使直线． （3）在图3中找两个格点P，Q，连结 交线段于点C，使． 【答案】（1） 如图1，和均满足题意． （2） 如图2，P，Q即为所求（答案不唯一）． （3）P，Q即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质： （1）以为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为所求的格点P． （2）结合垂直的定义利用网格画图即可． （3）取格点P，Q，使，且，则P，Q即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取格点P，Q，使，且， 此时， ∴， 即， 则P，Q即为所求． 21. 血乳酸浓度是衡量运动强度的重要指标，最大血乳酸浓度指人体在极限运动时血液中乳酸含量的峰值．某校运动科学小组以“探究年龄与最大血乳酸浓度的关系”为主题开展实验研究．小组通过运动生理实验室测得不同年龄的最大血乳酸浓度数据如下，发现最大血乳酸浓度L（）与年龄（周岁）符合一次函数关系： 年龄x/周岁 15 20 25 30 35 40 45 最大血乳酸浓度/（） 12.0 11.5 11.0 10.5 10.0 9.5 9.0 （1）求关于的函数关系式； （2）已知不同运动目标对应的血乳酸浓度范围如表所示，28岁的小刘计划进行提升无氧耐力的训练，他的运动血乳酸浓度应控制在什么范围？（结果保留一位小数） 运动目标 血乳酸浓度占最大浓度的百分比 有氧耐力训练 无氧耐力训练 【答案】（1） （2）小刘的运动血乳酸浓度应控制在这个范围内 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数的函数值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法解题即可； （2）将代入，求得，然后根据无氧耐力训练的血乳酸浓度占最大浓度的百分比计算即可． 【小问1详解】 解：设关于的函数关系式为（、为常数，且）． 将 ，和，分别代入中， 得 ，解得， 关于的函数关系式为． 【小问2详解】 解：当时，． 28岁的小刘最大血乳酸浓度为是． ， ， 小刘的运动血乳酸浓度应控制在这个范围内． 22. 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形 的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． 实践探究：（1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； 问题解决：（3）如图3，延长 ，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得出，，根据直角三角形的性质得出，可求出答案； （2）根据相似三角形的判定解答即可； （3）过点作于点，证明，得出，设，设，则，由勾股定理得出，解出，则可求出答案． 【详解】解：（1）四边形 是矩形， ， 将沿翻折，使点恰好落在边上点处， ，，， ， ， ， 四边形 是矩形， ∴， ， ； （2）将沿翻折，使点恰好落在边上点处， ，， 又矩形 中， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）过点作于点， ， ， ， ， ，， ， ， 设， 平分，，， ，， 设，则， ， ， 解得， ， ． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键． 23. 已知一次函数（，为常数，且）． （1）若此一次函数的图象经过两点，求的值． （2）若，点在该一次函数图象上，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：一次函数，为常数，且的图象经过点， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法求一次函数表达式的方法与技巧，理解一次函数的性质，一次函数图象上的点满足一次函数的表达式是解决问题的关键． （1）将，代入之中即可求出的值； （2）将点代入之中得，根据得，再结合得，据此即可得出结论． 【小问1详解】 解：此一次函数的图象经过，两点， ， 解得 ； 【小问2详解】 略 24. 如图，四边形 是 的内接四边形，． （1） ； （2）如图2，若半径． ①求证：； ②若，求 的值． （3）如图3，过作于点，交于点，的延长线恰好经过点F，若，，求的长． 【答案】（1） （2） ①证明：连接 ，如图： ， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ② （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据，可推导出； （2）①推导出，即可证明；②连接 ，连接延长交于点，证明，可推导出，设，则，，分别求出，，即可得； （3）过点 作交于点 ，先证明，可得，再证明得，从而证明，设，，则，，由方程组，求出，求出，，，再求，，，可得，根据，求得，即可求． 【小问1详解】 连接，如图： ， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①略 ②连接 ，连接延长交于点，如图： ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 在中， ， ∵， ∴， 在中， ， ∴； 【小问3详解】 解：过点 作交于点 ，如图： ， ∵， ∴ ，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， 同（2）可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， 在和中，， 解得：， ∴，，， ∵， ， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的圆心角与圆周角的关系，垂径定理，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $