期末高频易错考点必刷练02【23个考点填空69题 第7-12章】2024-2025学年八年级数学下册期末考试考点全攻略（苏科版）

期末考试考点全攻略 作者的话 亲爱的同学们： 期末考试即将来临，数学作为一门逻辑性强、知识点环环相扣的学科，系统化的复习至关重要。为了帮助大家高效备考，我们精心整理了这份《八年级数学下册期末考试考点全攻略》，按照选择题、填空题、解答题三大题型分类，精准剖析高频考点，点拨易错陷阱，并提供针对性解题策略。 本攻略以苏科版教材为纲，结合历年期末真题，提炼出最核心的考查方向。无论你是希望夯实基础，还是冲刺高分，都能在这里找到清晰的复习路径。选择题注重概念辨析与快速计算，填空题强调细节与严谨性，解答题则综合考查逻辑推理与规范书写。我们力求用最简洁的语言，直击要害，助你在考场上游刃有余。 复习建议： 先梳理再刷题——对照攻略自查知识漏洞，优先攻克薄弱环节； 限时模拟训练——按题型分配时间（如选择题1~2分钟/题）； 错题归因——标记反复出错的考点，考前重点复盘。 数学的魅力在于思维的严谨与灵活。愿这份攻略成为你复习路上的“导航仪”，助你稳扎稳打，自信迎考！ ​​ 中小学数学教研 2025年6月 2024-2025学年八年级数学下册期末考试考点全攻略 期末高频易错考点必刷练02 【23个考点填空69题（第7-12章）】 目录 考点一普查与抽样调查 3 考点二统计图的应用 3 考点三频数和频率 4 考点四频数分布表和频数分布直方图 5 考点五确定事件与随机事件 6 考点六可能性的大小 7 考点七频率与概率 8 考点八图形的旋转 9 考点九中心对称与中心对称图形 10 考点十平行四边形的性质与判定 11 考点十一矩形、菱形与正方形 12 考点十二三角形的中位线 13 考点十三分式 14 考点十四分式的基本性质 15 考点十五分式的加减 15 考点十六分式的乘除 16 考点十七分式方程 16 考点十八反比例函数 17 考点十九反比例函数的图形与性质 18 考点二十用反比例函数解决问题 19 考点二十一二次根式 20 考点二十二二次根式的乘除 20 考点二十三二次根式的加减 21 考点一普查与抽样调查 1．为调查市场上学生牛奶的质量情况，应采用 （填“普查”或“抽样调查”） 2．在爱心捐款活动后，小明随机调查了本校8名学生，他们的捐款数分别为（单位：元）：19，20，25，30，100，27，50，21．小明采用的调查方式是 ． 3．为了解某段公路上的摩托车车速情况，一名交警随机测出6辆摩托车的速度，分别为（单位：）：．交警采用的调查方式是 ，这个调查的样本容量是 ． 考点二统计图的应用 4．如图是1﹣4月份某商品每件的进价与售价的折线统计图，则该商品每件利润最小的是 月． 5．如图是某班“最喜欢的球类活动”的扇形统计图，表示乒乓球，表示排球，表示足球，表示篮球，表示其他．占总人数的百分比是 ，扇形的圆心角为 ．如果这个班有人，那么喜欢乒乓球的人数是 人．    6．某企业10月份的产值的分配，画成不完整的扇形图和条形图如图所示．那么该企业的税前利润是 万元． 考点三频数和频率 7．将50个数据分成5组后，如果前四组的频数分别是3，10，12，15，那么第5组数据的频率为 ． 8．将20个数据分成5组，第一组到第三组的频数分别为3、5、4，第五组的频率是0.3，则第四组的频数是 ． 9．某校为了解八年级学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查部分学生，结果如表所示，其中参加书法兴趣小组的学生占调查人数的，则参加绘画兴趣小组的频数 ． 兴趣小组 书法 绘画 舞蹈 其他 参加人数 8 9 11 考点四频数分布表和频数分布直方图 10．已知某班有40名学生．他们有的步行上学，有的骑车上学，还有的乘车上学．根据已知信息完成统计表： 上学方式 划记 频数 频率 步行 正正正 骑车 9 乘车 表格中依次填： 、 、 、 、 、 ． 11．调查某小区内30户居民月人均收入情况，制成如图所示的频数分布直方图，收入在元的频数是 ． 12．如图是某校八年级部分同学跳高测试成绩的频数分布折线图（折线图中每一组包括前一个边界值，不包括后一个边界值），从图中可知：频数最大的这组组中值是 ；跳高成绩低于有 人．    考点五确定事件与随机事件 13．在“石头、剪刀、布”游戏中，对方出“剪刀”是 事件．（填“随机”“必然”或“不可能”） 14．不透明的袋中装有5个红球和5个黄球，它们除颜色外都相同，搅匀后任意取出1个球，取出 球是不可能事件，取出 球是随机事件，取出 球是必然事件； 15．有下列事件：①某餐厅供应2荤2素4种不同的菜肴，下一位顾客任选一种菜肴是素菜；②某100件产品全部为正品，从中选出1件得到的是次品；③在1、2、3、4、5这五条线路公交车的停靠站上，某游客等候到6路车；④明年有台风登陆江苏；⑤在有30个空位的电影院里，小红找到了1个空位．这些事件中，必然事件有 ，不可能事件有 ，随机事件有 （填序号）． 考点六可能性的大小 16．从一副扑克牌中任意抽取1张，①这张牌是“Q”；②这张牌是“大王”；③这张牌是“红心”．将这些事件的序号按照发生的可能性从小到大的顺序排列： ． 17．下列事件：①抛一枚普通硬币，正面朝上：②在一副54张的扑克牌中抽出1张恰好为红桃：③掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和大于1．把这些事件按发生的可能性从小到大排序： （只填序号）． 18．转动如图所示的转盘一次，比较下列4个事件发生的可能性大小，用“很可能”“可能”“不太可能”或“不可能”填空： （1） 转到指针指向红色区域； （2） 转到指针指向白色区域； （3） 转到指针指向蓝色区域； （4） 转到指针指向黑色区域． 考点七频率与概率 19．对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如表所示： 随机抽取的乒乓球数 优等品数 优等品率 在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是 （精确到）． 20．如图，已知面积为的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取个点，若有个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为 ． 21．某射手在同一条件下进行多次射击，结果如下表： 射击次数 击中靶心次数 击中靶心的频率 这个射手射击次，击中靶心的概率（精确到）约为 ． 考点八图形的旋转 22．如图，旋转后到达的位置，，若，，，则的长度是 ． 23．如图，若最大圆的直径是，则空白部分的面积是 ． 24．下列图案中，可以由一个基本图案连续旋转得到的是 ．（填序号） 考点九中心对称与中心对称图形 25．若点与点关于原点成中心对称，则的值是 26．图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的小正方形放在图②中A，B，C，D的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是 ． 27．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C的坐标分别为，，．一个动点从原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称，……这个动点照此规律跳下去，则点的坐标是 ． 考点十平行四边形的性质与判定 28．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，．若轴上有两个动点、（在的左侧），且，则的最小值为 ． 29．如图，在平行四边形中，设，将平行四边形绕顶点顺时针旋转到平行四边形，当首次经过顶点时，旋转角 ．（用含有的代数式表示） 30．如图，在四边形中，，，．动点从点出发，以的速度向点运动．同时，动点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间 时，四边形为平行四边形． 考点十一矩形、菱形与正方形 31．如图，在中，，分别以的三边为边向外构造正方形，，，分别记正方形的面积为．若，则的值为 ． 32．如图，这是汽车常备的一种千斤顶的示意图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，的度数为 ． 33．如图，在直角梯形中，，，点F是边上一点，将该直角梯形纸片沿折叠，点C落在点E，且直线恰好经过点D，若，，则折痕的长为 ． 考点十二三角形的中位线 34．如图，已知，延长直角边至点，使，为直角边上的点，且，连接，、分别为，的中点，连接，则 ． 35．如图，是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为 cm． 36．如图，菱形的对角线长度为4，边长，为菱形外一个动点，满足，为中点，连接．则当运动的过程中，长度的最大值为 ． 考点十三分式 37．若，则分式的值为 ． 38．若，则分式的值为 ． 39．下列各式：、、、中，分式共有 个． 考点十四分式的基本性质 40．分式与的最简公分母是 ． 41．将分式的分子、分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，则变形后的分式为 ． 42．不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数都化为整数且最简，结果为 ． 考点十五分式的加减 43．计算的结果为 ． 44．已知，则 ． 45．已知，则 ． 考点十六分式的乘除 46．若，则 ． 47．计算 ． 48．如果一个四位正整数A与另一个四位正整数B相加得到四位正整数C，且C的四个数位上的数字相同，我们就称A与B互为“如影随形数”．一个四位正整数M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，将M的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到一个新的四位正整数，当M与互为“如影随形数”时，记 ．若为整数，是5的倍数，则 ；满足条件的M的最大值与最小值的和为 ． 考点十七分式方程 49．若关于的分式方程有解，则的取值范围是 ． 50．八年级（）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校．一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的倍，慢车的速度为 ． 51．在某学校的读书活动中，一同学对甲、乙两个班学生的读书情况进行了统计：甲班学生人数比乙班学生人数多2人，甲班学生读书256本，乙班学生读书180本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的，则乙班有学生 名． 考点十八反比例函数 52．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ． 53．某段视频的完整时长为40分钟，当以x倍速播放时，实际播放时间t（分钟）与x的函数关系为.若该视频以8倍速播放，则实际播放时间为 分钟． 54．如表，如果与成正比例关系，那么表格中“？”处应填 ，如果与成反比例关系，那么表格中“？”处应填 ． 15 ？ 3 5 考点十九反比例函数的图形与性质 55．如图，直线与双曲线交于、两点，连接、，轴于，轴于，设，的解析式分别为，，现有以下结论：①；②；③若，则；④有最小值．其中正确的是 （所有正确结论的序号）    56．如图，一次函数与反比例函数在第一象限内交于点，则当时，的解集为 ． 57．两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②四边形的面积不会发生变化；③与始终相等；④当点A是的中点时，点B一定是的中点．其中一定正确的是 ． 考点二十用反比例函数解决问题 58．某数学兴趣小组用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为和，当动力臂由增加到时，撬动这块石头可以节省 N的力． 59．一定质量的二氧化碳，其密度是体积的反比例函数，请你根据图中的已知条件，若时， （）． 60．数学家发现一个有趣的现象：经过长年累月的习惯，走路时，每个人的一只脚伸出的步子要比另一只脚伸出的步子长，设步差为，就是这小小的，会导致这个人走出一个半径为的大圈子．经过大量的数据研究后，得到关于的函数关系为．已知测得小明的步差约为，那么他会走出的圈子的半径约为 ． 考点二十一二次根式 61．若，则 ． 62．已知，化简： ． 63．已知是正整数，是整数，则的最小值是 ． 考点二十二二次根式的乘除 64．计算： ． 65．直接写出结果： ； ； ． 66．若与最简二次根式可以合并，则 ． 考点二十三二次根式的加减 67．已知，求代数式的值是 ． 68．若与最简二次根式可以合并，则 ． 69．如图是小明用6个完全相同的小矩形无重叠、无缝隙地拼成的一个大矩形，已知小矩形的长为，宽为，则大矩形的面积为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$期末考试考点全攻略 作者的话 亲爱的同学们： 期末考试即将来临，数学作为一门逻辑性强、知识点环环相扣的学科，系统化的复习至关重要。为了帮助大家高效备考，我们精心整理了这份《八年级数学下册期末考试考点全攻略》，按照选择题、填空题、解答题三大题型分类，精准剖析高频考点，点拨易错陷阱，并提供针对性解题策略。 本攻略以苏科版教材为纲，结合历年期末真题，提炼出最核心的考查方向。无论你是希望夯实基础，还是冲刺高分，都能在这里找到清晰的复习路径。选择题注重概念辨析与快速计算，填空题强调细节与严谨性，解答题则综合考查逻辑推理与规范书写。我们力求用最简洁的语言，直击要害，助你在考场上游刃有余。 复习建议： 先梳理再刷题——对照攻略自查知识漏洞，优先攻克薄弱环节； 限时模拟训练——按题型分配时间（如选择题1~2分钟/题）； 错题归因——标记反复出错的考点，考前重点复盘。 数学的魅力在于思维的严谨与灵活。愿这份攻略成为你复习路上的“导航仪”，助你稳扎稳打，自信迎考！ ​​ 中小学数学教研 2025年6月 2024-2025学年八年级数学下册期末考试考点全攻略 期末高频易错考点必刷练02 【23个考点填空69题（第7-12章）】 目录 考点一普查与抽样调查 3 考点二统计图的应用 4 考点三频数和频率 6 考点四频数分布表和频数分布直方图 7 考点五确定事件与随机事件 8 考点六可能性的大小 10 考点七频率与概率 12 考点八图形的旋转 13 考点九中心对称与中心对称图形 15 考点十平行四边形的性质与判定 17 考点十一矩形、菱形与正方形 20 考点十二三角形的中位线 23 考点十三分式 26 考点十四分式的基本性质 27 考点十五分式的加减 28 考点十六分式的乘除 30 考点十七分式方程 32 考点十八反比例函数 33 考点十九反比例函数的图形与性质 35 考点二十用反比例函数解决问题 40 考点二十一二次根式 41 考点二十二二次根式的乘除 42 考点二十三二次根式的加减 43 考点一普查与抽样调查 1．为调查市场上学生牛奶的质量情况，应采用 （填“普查”或“抽样调查”） 【答案】抽样调查 【解题思路】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答即可． 【详细解答】解：调查市场上学生牛奶的质量情况，范围广，数量多，不易调查，且质量调查对牛奶有破坏性，应采用抽样调查， 故答案为：抽样调查． 2．在爱心捐款活动后，小明随机调查了本校8名学生，他们的捐款数分别为（单位：元）：19，20，25，30，100，27，50，21．小明采用的调查方式是 ． 【答案】抽样调查 【解题思路】本题考查了抽样调查，解题的关键是掌握抽样调查的定义：只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况，其适用范围为：调查对象涉及面大，范围广，受条件限制或具有破坏性． 根据抽样调查的定义即可判断． 【详细解答】解：在爱心捐款活动后，小明随机调查了本校8名学生，他们的捐款数分别为（单位：元）：19，20，25，30，100，27，50，21．小明采用的调查方式是抽样调查， 故答案为：抽样调查． 3．为了解某段公路上的摩托车车速情况，一名交警随机测出6辆摩托车的速度，分别为（单位：）：．交警采用的调查方式是 ，这个调查的样本容量是 ． 【答案】抽样调查 6 【解题思路】本题主要考查总体、个体、样本和样本容量，本题是随机抽取，因而是抽样调查．所有考查的对象的全体是总体，而组成总体的每一个考查对象是个体，研究中实际观测或调查的一部分个体称为样本，样本中个体的数目是样本容量． 【详细解答】解：一名交警在高速公路上随机观察了6辆摩托车的车速，然后他给出了一份报告， 交警采用的是抽样调查的调查方式． 这个调查的样本是6辆摩托车的车速， 所以，样本容量是6． 故答案为：抽样调查．6． 考点二统计图的应用 4．如图是1﹣4月份某商品每件的进价与售价的折线统计图，则该商品每件利润最小的是 月． 【答案】3 【解题思路】本题考查了折线统计图，有理数大小的比较，正确的把握图象中的信息，理解利润售价进价是解题的关键． 根据利润售价进价和图象中给出的信息即可得到结论． 【详细解答】解：由图可知： 1月，利润是（元）； 2月，售价，进价是2，此时利润大于2（元）； 3月，售价小于4，进价是3，此时利润小于1（元）； 4月，利润是（元）； 综上3月份的利润小于1，最小， 故答案为：3． 5．如图是某班“最喜欢的球类活动”的扇形统计图，表示乒乓球，表示排球，表示足球，表示篮球，表示其他．占总人数的百分比是 ，扇形的圆心角为 ．如果这个班有人，那么喜欢乒乓球的人数是 人．    【答案】 【解题思路】本题考查了扇形统计图，解题的关键是数形结合．用减去其他四个的百分比即可得到占总人数的百分比，用乘以的百分比可得到扇形的圆心角，用乘以喜欢乒乓球的百分比即可得到喜欢乒乓球的人数． 【详细解答】解：占总人数的百分比是， 扇形的圆心角为， 如果这个班有人，那么喜欢乒乓球的人数是（人）， 故答案为：，，． 6．某企业10月份的产值的分配，画成不完整的扇形图和条形图如图所示．那么该企业的税前利润是 万元． 【答案】20 【解题思路】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，解题的关键是掌握扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．先求出总数和税前利润的百分比，然后求出税前利润的总额． 【详细解答】解：10月份的产值的总额为： （万元）， 税前利润所占的百分比为：， 税前利润为：（万元）． 故答案为：20． 考点三频数和频率 7．将50个数据分成5组后，如果前四组的频数分别是3，10，12，15，那么第5组数据的频率为 ． 【答案】0.2 【解题思路】本题主要考查频数与频率，先根据五组的频数之和为50求出第五组的频数，再根据频率频数总数求解即可． 【详细解答】解：由题意知第5组的频数为， 所以第5组的数据的频率为， 故答案为：0.2． 8．将20个数据分成5组，第一组到第三组的频数分别为3、5、4，第五组的频率是0.3，则第四组的频数是 ． 【答案】2 【解题思路】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．根据频数总数频率，求得第五组频数；再根据各组的频数和等于总数，求得第四组的频数．各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1． 【详细解答】解：第五组频数为， 第四组的频数为， 故答案为：． 9．某校为了解八年级学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查部分学生，结果如表所示，其中参加书法兴趣小组的学生占调查人数的，则参加绘画兴趣小组的频数 ． 兴趣小组 书法 绘画 舞蹈 其他 参加人数 8 9 11 【答案】12 【解题思路】本题主要考查频数和频率之间的关系，利用统计图获取信息是解题的关键．根据题意可以知道总人数，然后利用总人数减去其他兴趣小组的人数即可得到答案． 【详细解答】解：由题意可知，总人数为人， 故人． 故答案为：12． 考点四频数分布表和频数分布直方图 10．已知某班有40名学生．他们有的步行上学，有的骑车上学，还有的乘车上学．根据已知信息完成统计表： 上学方式 划记 频数 频率 步行 正正正 骑车 9 乘车 表格中依次填： 、 、 、 、 、 ． 【答案】15 正止 正正正一 16 【解题思路】本题考查了频数与频率统计表，掌握频数与频率统计表是解题的关键．根据频数与频率统计表的数据补全统计表即可． 【详细解答】解：由统计表可得，步行的频数为，频率为； 骑车的划记为正止，频率为； 乘车的频数为，划记为正正正一； 补全统计表如下： 上学方式 划记 频数 频率 步行 正正正 15 骑车 正止 9 乘车 正正正一 16 故答案为：15；；正止；；正正正一；16． 11．调查某小区内30户居民月人均收入情况，制成如图所示的频数分布直方图，收入在元的频数是 ． 【答案】14 【解题思路】本题主要考查频数，熟练掌握频数是解题的关键．根据频数进行计算即可． 【详细解答】解：元的频数是． 故答案为：． 12．如图是某校八年级部分同学跳高测试成绩的频数分布折线图（折线图中每一组包括前一个边界值，不包括后一个边界值），从图中可知：频数最大的这组组中值是 ；跳高成绩低于有 人．    【答案】 【解题思路】根据折线图所给出的数据以及折线图的特点，直接得出频数最大的这组组中值以及跳高成绩低于的人数即可． 【详细解答】解：根据所给的图形可得： 频数最大的这组组中值是， 跳高成绩低于有人， 故答案为：；． 【考点点评】本题考查了频数分布折线图，从图中获取必要的信息是解题的关键，在作图题时必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断． 考点五确定事件与随机事件 13．在“石头、剪刀、布”游戏中，对方出“剪刀”是 事件．（填“随机”“必然”或“不可能”） 【答案】随机 【解题思路】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详细解答】解：由题可知，在“石头、剪刀、布”游戏中，对方出“剪刀”是随机事件． 故答案为：随机． 14．不透明的袋中装有5个红球和5个黄球，它们除颜色外都相同，搅匀后任意取出1个球，取出 球是不可能事件，取出 球是随机事件，取出 球是必然事件； 【答案】绿（答案不唯一） 红（或填黄） 红或黄 【解题思路】此题考查的是事件的分类，根据不可能事件、随机事件、必然事件的定义结合题意，即可得出结论． 【详细解答】解：不透明的袋中装有5个红球和5个黄球，它们除颜色外都相同，搅匀后任意取出1个球，取出绿（只要填1个红、黄以外的颜色即可）球是不可能事件，取出红（或填黄）球是随机事件，取出红或黄球是必然事件． 故答案为：绿（答案不唯一）；红（或填黄）；红或黄． 15．有下列事件：①某餐厅供应2荤2素4种不同的菜肴，下一位顾客任选一种菜肴是素菜；②某100件产品全部为正品，从中选出1件得到的是次品；③在1、2、3、4、5这五条线路公交车的停靠站上，某游客等候到6路车；④明年有台风登陆江苏；⑤在有30个空位的电影院里，小红找到了1个空位．这些事件中，必然事件有 ，不可能事件有 ，随机事件有 （填序号）． 【答案】⑤ ②③ ①④ 【解题思路】本题主要考查的知识点是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，正确理解概念是解题的关键． 必然事件指在一定条件下，一定发生的事件； 不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件； 随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详细解答】解：必然事件有：⑤ 不可能事件有：②③ 随机事件有：①④ 故答案为：⑤；②③；①④ 考点六可能性的大小 16．从一副扑克牌中任意抽取1张，①这张牌是“Q”；②这张牌是“大王”；③这张牌是“红心”．将这些事件的序号按照发生的可能性从小到大的顺序排列： ． 【答案】②①③ 【解题思路】此题主要考查了随机事件发生的可能性的大小问题，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出一副扑克牌中含“A”、“红桃”、“大王”、“红色的牌”的张数各是多少． 首先分别求出一副扑克牌中含“A”、“红桃”、“大王”、“红色的牌”的张数各是多少，然后根据每张牌被抽到的机会相等，只要比较出哪个事件的可能结果最多，即可判断出这些事件发生的可能性的大小，并将这些事件按发生的可能性从小到大顺序排列即可． 【详细解答】解：一副扑克牌中含“Q”4张，“红心”13张，“大王”1张， ∵， ∴将这些事件按发生的可能性从小到大顺序排列：②①③． 故答案为：②①③． 17．下列事件：①抛一枚普通硬币，正面朝上：②在一副54张的扑克牌中抽出1张恰好为红桃：③掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和大于1．把这些事件按发生的可能性从小到大排序： （只填序号）． 【答案】②①③ 【解题思路】本题考查了事件的概率，熟练掌握计算方法是解答本题的关键．①硬币有两种结果，正面向上或负面向上，故正面朝上的可能性是；②54张的扑克牌中有13张为红桃，则抽出1张恰好为红桃的可能性是；③投掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和大于1的可能性是，即可求解． 【详细解答】解：①抛一枚普通硬币，正面朝上的可能性是； ②在一副54张的扑克牌中抽出1张恰好为红桃的可能性是； ③投掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和大于1的可能性是； 因为， 所以把这些事件按发生的可能性从小到大排序是②①③． 故答案为：②①③． 18．转动如图所示的转盘一次，比较下列4个事件发生的可能性大小，用“很可能”“可能”“不太可能”或“不可能”填空： （1） 转到指针指向红色区域； （2） 转到指针指向白色区域； （3） 转到指针指向蓝色区域； （4） 转到指针指向黑色区域． 【答案】可能 很可能 不太可能 不可能 【解题思路】本题考查的是可能性的大小． （1）根据红色区域在转盘上的占比，分析即可； （2）根据红白区域在转盘上的占比，分析即可； （3）根据蓝白区域在转盘上的占比，分析即可； （4）根据黑白区域在转盘上的占比，分析即可． 【详细解答】解：（1）因为红色区域较多， 所以可能转到指针指向红色区域， 故答案为：可能； （2）因为白色区域最多， 所以很可能转到指针指向白色区域， 故答案为：很可能； （3）因为蓝色区域最少， 所以不太可能转到指针指向蓝色区域， 故答案为：不太可能； （4）因为没有黑色区域， 所以不可能转到指针指向黑色区域， 故答案为：不可能． 考点七频率与概率 19．对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如表所示： 随机抽取的乒乓球数 优等品数 优等品率 在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是 （精确到）． 【答案】 【解题思路】本题考查了利用频率估计概率，由表中数据可判断频率在左右摆动，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一只乒乓球是优等品的概率为，解题的关键是正确理解大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 【详细解答】解：由表可知，随着乒乓球数量的增多，其优等品的频率逐渐稳定在附近， ∴这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是， 故答案为：． 20．如图，已知面积为的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取个点，若有个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为 ． 【答案】 【解题思路】本题主要考查利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题的关键．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可． 【详细解答】解：二维码中黑色部分的面积约为， 故答案为：． 21．某射手在同一条件下进行多次射击，结果如下表： 射击次数 击中靶心次数 击中靶心的频率 这个射手射击次，击中靶心的概率（精确到）约为 ． 【答案】 【解题思路】本题主要考查利用频率估计概率的知识，利用频率估计概率有以下条件及方法：（1）当事件的试验结果不是有限个或结果发生的可能性不相等时，要用频率来估计概率；（2）当试验次数足够大时，试验频率稳定于理论概率．观察表格的数据可以得到击中靶心的频率，然后用频率估计概率即可求解． 【详细解答】解：表中击中靶心的各个频率均在左右， 击中靶心的概率约为， 故答案为：． 考点八图形的旋转 22．如图，旋转后到达的位置，，若，，，则的长度是 ． 【答案】2 【解题思路】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出，再由求出即可． 【详细解答】解：∵旋转后到达的位置，， ∴， ∴． 故答案为：2． 23．如图，若最大圆的直径是，则空白部分的面积是 ． 【答案】48 【解题思路】本题考查求阴影部分是不规则图形，正方形的面积．求阴影面积时，关键在于观察阴影部分的图形，若阴影部分是特殊图形，利用面积公式即可解答，若阴影部分是不规则图形，考虑把不规则图形转化为可计算的规则图形． 【详细解答】解∶观察图中阴影部分，可以发现四个阴影部分加起来是大圆外切正方形的四分之一， ∴， ∴ ． 故答案为48． 24．下列图案中，可以由一个基本图案连续旋转得到的是 ．（填序号） 【答案】② 【解题思路】本题主要考查了求旋转角，用360度除以基本图形个数即可求出对应的旋转角度，据此求解即可． 【详细解答】解：①是由一个基本图案连续旋转得到的； ②是由一个基本图案连续旋转得到的， ③是由一个基本图案连续旋转得到的， ④是由一个基本图案连续旋转得到的， 故答案为：②． 考点九中心对称与中心对称图形 25．若点与点关于原点成中心对称，则的值是 【答案】10 【解题思路】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标的特征是解题的关键． 关于原点对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，求出和，代入计算即可． 【详细解答】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：10． 26．图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的小正方形放在图②中A，B，C，D的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是 ． 【答案】C 【解题思路】此题属于识别中心对称图形的问题，中心对称图形的定义； 中心对称图形是把图形的一部分绕某一点旋转，两部分能完全重合； 接下来试着将图①的正方形放在规定的各个位置上，结合中心对称图形的定义进行分析即可． 【详细解答】解：图①中的正方形放在图②中的C的位置，组成的图形是中心对称图形，故放在C的位置． 故答案为：C． 27．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C的坐标分别为，，．一个动点从原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称，……这个动点照此规律跳下去，则点的坐标是 ． 【答案】 【解题思路】本题考查了中心对称的性质与规律的综合，熟练掌握中心对称性质以及找出点的循环数是解题的关键． 根据中心对称的性质可得、、、、、的坐标，即可找出6个点一循环，从而求出的坐标． 【详细解答】解：的坐标分别为，，，点与点关于点A成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， ……， 以此类推可知，每6个点为一个循环， ， 点的坐标是：， 故答案为：． 考点十平行四边形的性质与判定 28．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，．若轴上有两个动点、（在的左侧），且，则的最小值为 ． 【答案】 【解题思路】将点向左平移1个单位得到点，连接，连接交轴于点，推出的最小值是，求出即可． 【详细解答】解：将点向左平移1个单位得到点，连接，连接交轴于点， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 的最小值是，此时位于位置， 此时 故答案为：． 【考点点评】本题考查最短路线问题，涉及平面直角坐标系，勾股定理、平移，平行四边形的判定和性质，两点之间线段最短，熟练掌握平移的性质是关键． 29．如图，在平行四边形中，设，将平行四边形绕顶点顺时针旋转到平行四边形，当首次经过顶点时，旋转角 ．（用含有的代数式表示） 【答案】 【解题思路】由旋转的性质可知：平行四边形全等于平行四边形，得出，由等腰三角形的性质得出，由旋转角，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详细解答】解：∵平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形， ∴， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点点评】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形是等腰三角形． 30．如图，在四边形中，，，．动点从点出发，以的速度向点运动．同时，动点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间 时，四边形为平行四边形． 【答案】 【解题思路】本题考查了平行四边形的判定，由题意可得，，进而根据平行四边形的判定列出方程解答即可求解，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详细解答】解：由题意得，，， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得， 故答案为：． 考点十一矩形、菱形与正方形 31．如图，在中，，分别以的三边为边向外构造正方形，，，分别记正方形的面积为．若，则的值为 ． 【答案】/ 【解题思路】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、二次根式的混合运算等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图：作交的延长线于点Q，则，设，则，根据一线三垂直模型证明可得-、，再运用勾股定理可得，即，再代入计算即可解答． 【详细解答】解：如图：作交的延长线于点Q，则， 设，则， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 32．如图，这是汽车常备的一种千斤顶的示意图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，的度数为 ． 【答案】/度 【解题思路】根据菱形的性质，解答即可． 本题考查了菱形的性质，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详细解答】解：∵菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 33．如图，在直角梯形中，，，点F是边上一点，将该直角梯形纸片沿折叠，点C落在点E，且直线恰好经过点D，若，，则折痕的长为 ． 【答案】 【解题思路】本题考查折叠性质、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的内角和定理，熟知含30度角的直角三角形的性质是解答的关键．过点D作于点，由勾股定理求出，易证四边形是矩形，推出，再根据直角三角形的性质得到，求出，，由勾股定理逆定理推出，推出，由折叠性质得，得到，利用勾股定理即可解答． 【详细解答】解：如图，过点D作于点， ∵ ，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠性质得， ∴， 在中，则， ∴（负值舍去）， 故答案为：． 考点十二三角形的中位线 34．如图，已知，延长直角边至点，使，为直角边上的点，且，连接，、分别为，的中点，连接，则 ． 【答案】 【解题思路】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，连接，取中点K，连接，由三角形中位线定理推出，，，，得到，求出，，由勾股定理即可求出的长． 【详细解答】解：连接，取中点K，连接， ∵P，Q分别为的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 35．如图，是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为 cm． 【答案】 【解题思路】本题考查的是三角形中位线定理和全等三角形的判定和性质，过点作于， 过点作交的延长线于，则可得到是矩形，然后证明，即可得到，确定是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可． 【详细解答】解：过点作于， 过点作交的延长线于， ∵， ， ∴四边形是矩形，， ∴， 又∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 另一端离地面的高度为， 故答案为：． 36．如图，菱形的对角线长度为4，边长，为菱形外一个动点，满足，为中点，连接．则当运动的过程中，长度的最大值为 ． 【答案】 【解题思路】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线．连接，交于点，连接，易得是的中位线，得到，取的中点，连接，，得到，得到当，，三点共线时，最长，进行求解即可．掌握并灵活运用相关知识点，构造三角形的中位线是解题的关键． 【详细解答】解：如图，连接，交于点，连接， 菱形的对角线长度为4，边长， ，，， ， 为中点， 是的中位线， ， ， ， ， 取的中点，连接，， 则， ， 当，，三点共线时，的长度最大为； 故答案为：． 考点十三分式 37．若，则分式的值为 ． 【答案】1.5 【解题思路】本题考查了分式的化简求值．先把分子分母因式分解，再约分化简，然后将变形为，再代值即可得出答案． 【详细解答】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：1.5． 38．若，则分式的值为 ． 【答案】 【解题思路】根据得，代入解答即可． 本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的计算是解题的关键． 【详细解答】解：得， 故． 故答案为：． 39．下列各式：、、、中，分式共有 个． 【答案】2 【解题思路】本题考查的是分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有字母的式子叫分式． 【详细解答】解：在、、、中，、中的分母含有字母，是分式，共2个， 故答案为：2． 考点十四分式的基本性质 40．分式与的最简公分母是 ． 【答案】或 【解题思路】此题主要考查了最简公分母的定义，即通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 根据确定最简公分母的方法解答即可． 【详细解答】解：分式与的最简公分母是， 故答案为：． 41．将分式的分子、分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，则变形后的分式为 ． 【答案】 【解题思路】本题考查了分式的性质，解题关键是掌握分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变． 分式的分子分母都乘以10，可得答案． 【详细解答】解：． 故答案为：． 42．不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数都化为整数且最简，结果为 ． 【答案】 【解题思路】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，分式的值不变，可得答案．分式的分子分母都乘以12是解题关键． 【详细解答】解：分式的分子与分母都乘以12，得， 故答案为：． 考点十五分式的加减 43．计算的结果为 ． 【答案】 【解题思路】本题考查异分母分式的加减法，先通分再做加减即可． 【详细解答】解：， 故答案为：． 44．已知，则 ． 【答案】 【解题思路】本题考查了已知式子的值求代数式的值，分式的约分，解题关键是将已知式子适当变形，再整体代入求值． 先将，变形为，再整体代入求值． 【详细解答】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 45．已知，则 ． 【答案】 【解题思路】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则，正确将已知变形进而化简是解题关键．将变形得到，代入分式化简即可得解． 【详细解答】解： ， ， ， ， 故答案为：． 考点十六分式的乘除 46．若，则 ． 【答案】 【解题思路】本题考查了分式的混合运算，根据分式的混合运算法则计算即可得解，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详细解答】解：， 故， 故答案为：． 47．计算 ． 【答案】 【解题思路】本题考查的是分式的乘法运算，根据分式的乘法运算法则计算即可． 【详细解答】解：， 故答案为： 48．如果一个四位正整数A与另一个四位正整数B相加得到四位正整数C，且C的四个数位上的数字相同，我们就称A与B互为“如影随形数”．一个四位正整数M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，将M的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到一个新的四位正整数，当M与互为“如影随形数”时，记 ．若为整数，是5的倍数，则 ；满足条件的M的最大值与最小值的和为 ． 【答案】7 【解题思路】本题考查了数字规律，新定义，分式的运算，根据“如影随形数”的定义，得，整理，结合为整数，故为整数，所以，因此，因为是5的倍数，所以是5的倍数，当要取M的最大值，即要求千位数最大，且，当时，，因为满足是5的倍数，则或，即或（舍去），同理要取M的最小值，即要求千位数最小，且，当时， ，则或，即可作答． 【详细解答】解：∵一个四位正整数M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，将M的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到一个新的四位正整数， ∴ ∵一个四位正整数A与另一个四位正整数B相加得到四位正整数C，且C的四个数位上的数字相同，我们就称A与B互为“如影随形数”．且M与互为“如影随形数”， ∴， ∵仍是一个四位正整数， ∴， ∵ ∴， ∵为整数， ∴为整数， ∵为正整数，且， ∴， 即， ∴， ∵ ∴ ， ∵是5的倍数， ∴是5的倍数， ∵要取M的最大值，即要求千位数最大，且， ∴当时， ， 若要满足是5的倍数，则或，即或， ∵要取M的最大值，， ∴（舍去） 则M的最大值为， ∵要取M的最小值，即要求千位数最小，且， ∴当时， ， 若要满足是5的倍数，则或，即或或或， 则M的最小值为， ∴ 故答案为：7，． 考点十七分式方程 49．若关于的分式方程有解，则的取值范围是 ． 【答案】，且 【解题思路】此题考查了分式方程的有根，解分式分母不为零，方程第二个分母提取变形后，去分母转化为整式方程，表示出方程的解，结合有解解不等式即可求出的值． 【详细解答】解：， 去分母得：， 解得：， ∵方程有解， ∴，且， 解得：，且， 故答案为：，且． 50．八年级（）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校．一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的倍，慢车的速度为 ． 【答案】 【解题思路】设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意列方程求解即可；本题主要考查了分式方程的应用，准确分析条件列方程是解题的关键． 【详细解答】解：设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意，得， 解得：； 经检验：是原方程的解； ∴慢车的速度为， 故答案为：． 51．在某学校的读书活动中，一同学对甲、乙两个班学生的读书情况进行了统计：甲班学生人数比乙班学生人数多2人，甲班学生读书256本，乙班学生读书180本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的，则乙班有学生 名． 【答案】30 【解题思路】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙班有学生x名，则甲班有学生名，根据甲班学生读书256本，乙班学生读书180本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的建立方程求解即可． 【详细解答】解：设乙班有学生x名，则甲班有学生名， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴乙班有学生30名， 故答案为：30． 考点十八反比例函数 52．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ． 【答案】 【解题思路】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的图象特点是解题关键． 将和代入函数解析式，求得和的值，再相加即可． 【详细解答】解：把和代入解析式得：，， ∴， 故答案为：． 53．某段视频的完整时长为40分钟，当以x倍速播放时，实际播放时间t（分钟）与x的函数关系为.若该视频以8倍速播放，则实际播放时间为 分钟． 【答案】5 【解题思路】本题考查求反比例函数的函数值，将代入计算即可． 【详细解答】解：当时，（分钟）， 故答案为：5． 54．如表，如果与成正比例关系，那么表格中“？”处应填 ，如果与成反比例关系，那么表格中“？”处应填 ． 15 ？ 3 5 【答案】25 9 【解题思路】本题考查正比例关系及反比例关系，如果与成正比例关系，则，求解即可得到答案；如果与成反比例关系，则，求解即可得到答案．熟记正比例关系及反比例关系是解决问题的关键． 【详细解答】解：如果与成正比例关系，则， 解得； 如果与成反比例关系，则， 解得； 故本题答案为：． 考点十九反比例函数的图形与性质 55．如图，直线与双曲线交于、两点，连接、，轴于，轴于，设，的解析式分别为，，现有以下结论：①；②；③若，则；④有最小值．其中正确的是 （所有正确结论的序号）    【答案】①③/③① 【解题思路】①联立直线与双曲线，依题意得出方程有两个不相等的实数根，得出，得出，即可判断①，作直线，交于，则，设点，证明，，同理可得，，进而根据即可判断③，当时，，，即可判断②；根据题意得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出即可判断④ 【详细解答】令，整理得：， 直线与双曲线交于、两点， 方程有两个不相等的实数根， ， 或， ， ，故①正确； 如图，作直线，交于，则， 设点， 点、在双曲线上， ， 将代入中，整理得：， ， 又， ， ，， 在和中， ， ， ，， 直线是由直线平移之后所得，直线是第二、四象限的角平分线， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， 同理可得，， ， ， 1，故③正确； ， 当时，，， 、、、不再彼此全等， ，故②错误； ，的解析式分别为，，， ，， ， ， ， ， ， ， 没有最小值，故④错误； 综上所述：结论正确的是①③． 故答案为：①③．    【考点点评】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数与一次函数综合，掌握反比例函数的性质，将两函数交点问题转化为一元二次方程的解的情况是解题的关键． 56．如图，一次函数与反比例函数在第一象限内交于点，则当时，的解集为 ． 【答案】 【解题思路】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．根据，结合图像得出答案． 【详细解答】解：由图像可知，当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上面， ∴当时，，即 ∴的解集为． 故答案为：． 57．两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②四边形的面积不会发生变化；③与始终相等；④当点A是的中点时，点B一定是的中点．其中一定正确的是 ． 【答案】①②④ 【解题思路】本题考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数的图象等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 由点均在反比例函数的图象上，利用反比例函数系数的几何意义即可得出，即可判断①正确；利用分割图形求面积法即可得出四边形的面积为，即可判断②正确；设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，求出的长度，可得出与的关系无法确定，即可判断③错误；连接，由点是的中点可得，结合，可得，从而可得，即可判断④正确． 【详细解答】解：∵点均在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴，， ∴，结论①正确； ∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴， ∴， 即四边形的面积不会发生变化，结论②正确； 设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ，， 与的关系无法确定，结论③错误； 如图，连接， 点是的中点， ， ，， ，即， ， ∴点一定是的中点，结论④正确； 综上，正确的结论有①②④， 故答案为：①②④． 考点二十用反比例函数解决问题 58．某数学兴趣小组用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为和，当动力臂由增加到时，撬动这块石头可以节省 N的力． 【答案】75 【解题思路】本题考查有理数运算的实际应用和反比例，根据阻力乘阻力臂等于动力乘动力臂，列出算式进行求解即可． 【详细解答】解：； 故答案为：75． 59．一定质量的二氧化碳，其密度是体积的反比例函数，请你根据图中的已知条件，若时， （）． 【答案】3 【解题思路】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数的解析式，根据解析式求函数值，从图像获取信息是解题的关键． 由函数图像信息可得反比例函数过点，根据待定系数法求解析式；将代入即可求得． 【详细解答】解：∵反比例函数过点， 设反比例函数解析式为， 则， ∴反比例函数解析式为， 当时，， 故答案为：3． 60．数学家发现一个有趣的现象：经过长年累月的习惯，走路时，每个人的一只脚伸出的步子要比另一只脚伸出的步子长，设步差为，就是这小小的，会导致这个人走出一个半径为的大圈子．经过大量的数据研究后，得到关于的函数关系为．已知测得小明的步差约为，那么他会走出的圈子的半径约为 ． 【答案】7 【解题思路】本题主要考查反比例函数的实际应用．将直接代入计算即可求解． 【详细解答】解：将代入得， 他会走出的圈子的半径约为． 故答案为：7． 考点二十一二次根式 61．若，则 ． 【答案】4 【解题思路】根据二次根式被开方数不小于零的条件得到，解不等式组求出a的值，进而求出b的值即可得到答案． 本题考查二次根式有意义的条件、化简二次根式，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件是解题的关键． 【详细解答】解：由题可知，， 解得， 把代入，解得， 则 故答案为： 62．已知，化简： ． 【答案】 【解题思路】先判断x，y的正负，然后根据二次根式的性质进行化简即可. 本题考查了化简二次根式，解题的关键是掌握二次根式的性质. 【详细解答】解：∵， ∴ ∵， ∴，或 ∴； 故答案为. 63．已知是正整数，是整数，则的最小值是 ． 【答案】7 【解题思路】此题主要考查了二次根式的定义，关键是掌握．首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值． 【详细解答】解：， ∵是正整数，是整数， ∴是完全平方数， ∴n的最小值是7. 故答案是：7． 考点二十二二次根式的乘除 64．计算： ． 【答案】 【解题思路】本题考查了二次根式乘法运算，由乘法法则得，即可求解；掌握（，）是解题的关键． 【详细解答】解：原式 ； 故答案为：． 65．直接写出结果： ； ； ． 【答案】 / 【解题思路】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式性质，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据二次根式运算法则进行计算即可得出的结果，根据二次根式性质化简和即可． 【详细解答】解：； ； ． 故答案为：；；． 66．若与最简二次根式可以合并，则 ． 【答案】 【解题思路】本题考查了同类二次根式及最简二次根式，根据题意得，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详细解答】解：依题意得：， 解得：， 故答案为：． 考点二十三二次根式的加减 67．已知，求代数式的值是 ． 【答案】14 【解题思路】根据，整体代入计算即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详细解答】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：14． 68．若与最简二次根式可以合并，则 ． 【答案】9 【解题思路】本题考查同类二次根式．根据被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式进行求解即可． 【详细解答】解：， ∵与最简二次根式可以合并， ∴， ∴， 故答案为：9 69．如图是小明用6个完全相同的小矩形无重叠、无缝隙地拼成的一个大矩形，已知小矩形的长为，宽为，则大矩形的面积为 ． 【答案】96 【解题思路】本题考查二次根式的运算，先求出大矩形的长和宽，再根据矩形面积公式求解即可． 【详细解答】解：∵小矩形的长为，宽为， ∴大矩形的长为：， 大矩形的宽为：， ∴大矩形的面积为：， 故答案为：96． 学科网（北京）股份有限公司 $$