期末高频易错考点必刷练03【23个考点解答69题 第7-12章】2024-2025学年八年级数学下册期末考试考点全攻略（苏科版）

期末考试考点全攻略 作者的话 亲爱的同学们： 期末考试即将来临，数学作为一门逻辑性强、知识点环环相扣的学科，系统化的复习至关重要。为了帮助大家高效备考，我们精心整理了这份《八年级数学下册期末考试考点全攻略》，按照选择题、填空题、解答题三大题型分类，精准剖析高频考点，点拨易错陷阱，并提供针对性解题策略。 本攻略以苏科版教材为纲，结合历年期末真题，提炼出最核心的考查方向。无论你是希望夯实基础，还是冲刺高分，都能在这里找到清晰的复习路径。选择题注重概念辨析与快速计算，填空题强调细节与严谨性，解答题则综合考查逻辑推理与规范书写。我们力求用最简洁的语言，直击要害，助你在考场上游刃有余。 复习建议： 先梳理再刷题——对照攻略自查知识漏洞，优先攻克薄弱环节； 限时模拟训练——按题型分配时间（如选择题1~2分钟/题）； 错题归因——标记反复出错的考点，考前重点复盘。 数学的魅力在于思维的严谨与灵活。愿这份攻略成为你复习路上的“导航仪”，助你稳扎稳打，自信迎考！ ​​ 中小学数学教研 2025年6月 2024-2025学年八年级数学下册期末考试考点全攻略 期末高频易错考点必刷练03 【23个考点解答69题（第7-12章）】 目录 考点一普查与抽样调查 3 考点二统计图的应用 4 考点三频数和频率 6 考点四频数分布表和频数分布直方图 7 考点五确定事件与随机事件 9 考点六可能性的大小 10 考点七频率与概率 11 考点八图形的旋转 13 考点九中心对称与中心对称图形 14 考点十平行四边形的性质与判定 16 考点十一矩形、菱形与正方形 17 考点十二三角形的中位线 19 考点十三分式 21 考点十四分式的基本性质 22 考点十五分式的加减 23 考点十六分式的乘除 24 考点十七分式方程 25 考点十八反比例函数 26 考点十九反比例函数的图形与性质 27 考点二十用反比例函数解决问题 29 考点二十一二次根式 30 考点二十二二次根式的乘除 31 考点二十三二次根式的加减 33 考点一普查与抽样调查 1．下列调查分别采用了哪种调查方式？样本是否具有代表性？ (1)某县教育局为了了解八年级学生的学习掌握情况，对农村一所中学八年级的部分学生进行测试调查． (2)暑假前，某市对全市学生进行了防溺水安全教育，并要求所有学生和家长一起观看防溺水专题视频讲座，为了检查学生的观看效果，随机对全市各学校的部分学生进行了防溺水知识测试． 2．小红想了解几类电视节目在本班同学中的受欢迎情况，于是对全班50名同学做了一次调查，结果如下表： 几类电视节目受欢迎情况调查统计表 节目/类别 新闻 体育 综艺 动画 军事 人数/人 16 18 8 5 3 (1)小红采用了什么样的调查方式？ (2)如果调查对象改为全班同学的母亲，根据你的了解，应设置哪些类别的节目进行调查？ 3．下列调查中，哪些适合用普查？哪些适合用抽样调查？ （1）某班每名学生的体重情况； （2）人们的环保意识； （3）一批电视机显示屏的使用寿命； （4）某校八年级学生的视力情况； （5）某试验田里水稻的穗长． 考点二统计图的应用 4．某学校举办读书节，购买了一批课外读物，为使购买的课外读物满足同学们的需求，学校就 “我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图 是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图． 扇形统计条形统计图 (1)本次调查中，一共调查了 名同学． （直接填答案） (2)   ，   ，扇形图中艺术类读物所对的圆心角是 度． （直接填数字答案） (3)根据调查的结果，请你给学校购买课外读物提供一条合理化建议． 5．我国体育健儿在近七届奥运会上获得奖牌的情况如图所示． (1)在近七届奥运会上，我国体育健儿共获得多少枚奖牌？ (2)用条形图表示折线图中的信息． 6．为进一步做好“光盘行动”，某校食堂推出“半份菜”服务，在试行阶段，食堂对师生满意度进行抽样调查．并将结果绘制成如右统计图． (1)求被调查的师生人数，并补全条形统计图． (2)求扇形统计图中表示“满意”的扇形圆心角度数． 考点三频数和频率 7．有甲、乙两只不透明的布袋，甲袋中有个红球、个白球和个黑球，乙袋中有个红球，个白球和个黑球，这些球除颜色外全相同． (1)如果你想取出个红球，选哪个袋子成功的机会大？请说明理由； (2)“从乙袋中取出个红球后，乙袋中的红球个数仍比甲袋中红球个数多，所以此时若想取出个红球，选乙袋成功的机会大”，你认为此说法正确吗？为什么？ 8．“养鱼大王”老张为了与销售商签订购销合同，需要对自己池塘中鱼的总重量进行估计．为此，他先从鱼池中捞出条鱼，将每条鱼做上记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出条称得重量为千克，且带有记号的鱼为条．问： (1)老张的鱼塘中估计有多少条鱼？ (2)池塘中的鱼约共重多少千克？ 9．某校为了进一步丰富学生的课外阅读，欲增购一些课外书，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的书籍”问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）： 请根据图中提供的信息，完成下列问题： (1)在这次问卷调查中，喜欢“科普书籍”出现的频率为 ； (2)求在扇形统计图中，喜欢“科普书籍”的所占的圆心角度数； (3)如果全校共有学生1500名，请估计该校最喜欢“科普书籍”的学生约有多少人？ 考点四频数分布表和频数分布直方图 10．某校进行信息技术模拟测试，八（1）班的最高分为99分，最低分为40分，课代表将全班同学的成绩（得分取整数）进行整理后分为6组，制成不完整的频数分布直方图（图），其中在分的学生数占全班学生总数的，结合频数分布直方图提供的信息，解答下列问题： (1)八（1）班共有多少名学生？ (2)求在69.5~79.5分的人数，并补全频数分布直方图； (3)将全班同学的成绩绘制成扇形统计图，若80分及80分以上为优秀，则优秀人数所在扇形圆心角的度数为多少？ 11．从某果园中收集到40棵苹果树上2021年苹果的个数： ． 请按组距为10将数据分组，列出频数分布表，绘制频数分布直方图，分析数据分布的情况． 12．如图，图（1）中一个长方形纸条准备从正方形的左边运行到右边，平均每秒钟运行2厘米；图（2）是长方形运行过程中与正方形重叠面积的部分关系图． (1)运行4秒后，重叠面积是多少平方厘米？ (2)正方形的边长是多少厘米？重叠面积最大是多少平方厘米？ (3)把右图运行时长方形与正方形重叠面积关系图画完整． 考点五确定事件与随机事件 13．你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)小明任意抛掷一枚质地均匀的硬币，前3次抛掷落地后都是“正面朝上”，则他第4次抛掷硬币落地后“正面朝上”是必然事件； (2)因为小明的父亲买彩票从未中过一等奖，所以“今后他买彩票中一等奖”是不可能事件． 14．把一副扑克牌中的13张方块牌洗匀后正面朝下，从中任意抽取1张．判断下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ （1）抽到的牌是方块3； （2）抽到的牌是方块； （3）抽到的牌是红桃3． 15．下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ （1）测得某天的最高气温为； （2）在100件某种产品中有2件次品，从中任取1件恰好是次品； （3）如果m、n是实数，那么； （4）经过某一装有交通信号灯的路口，遇到红灯． 考点六可能性的大小 16．用一副扑克牌中的张牌设计一个翻牌游戏，要求同时满足下列三个条件，请写出你所用的张牌． （1）要求翻出“红桃”与“方块”的可能性相同； （2）要求翻出“梅花”的可能性比翻出“方块”的可能性小； （3）要求翻出黑颜色牌的可能性比翻出红颜色牌的可能性大． 17．（1）图①是一个飞镖靶，其中最里面的圆内部是分区，中间的圆环是分区，最外面的圆环是分区（由小到大三个圆半径的比是）．向飞镖靶掷出一枚飞镖，在不脱靶的前提下，得几分的可能性最大？得几分的可能性最小？为什么？ （2）请设计一个不同于图①的飞镖靶，靶上有个得分区域，分别是分、分、分．要求任意掷出一枚飞镖，在不脱靶的前提下，得分的可能性最小，得分的可能性最大（要求设计两种方案，画在图②和图③上）． 18．如图是一个等分成8个扇形区域的转盘． (1)转动转盘一次，指针指向哪种颜色的区域的可能性最小？ (2)转动转盘一次，指针指向哪种颜色的区域的可能性最大？ (3)请重新设置8个扇形区域的颜色，使得（1）中指针指向的颜色的区域出现的可能性大于（2）中指针指向的颜色的区域． 考点七频率与概率 19．下表是一名同学在罚球区投篮的结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数n 50 100 150 209 250 300 500 投中次数m 28 60 78 104 124 153 252 投中频率（精确到0.01） 0.56 0.60 0.52 0.50 0.50 ______ ______ (1)将表格补充完整； (2)估计这名同学投篮一次投中的概率是多少（精确到0.01）； (3)若这名同学投篮622次，估计他投中的次数是多少． 20．王强和李刚在学习概率时，做掷骰子（质地均匀的正方体形状）试验，他们共掷了60次，出现朝上点数的次数如下表： 朝上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 8 11 6 9 16 10 (1)计算出现朝上点数为3的频率及出现朝上点数为5的频率． (2)根据以上试验，王强说：“根据试验结果，一次试验中出现朝上点数为5的概率最大．”李刚说：“如果掷600次，那么出现朝上点数为6的次数正好是100次．”这两名学生的说法是否正确？为什么？ 21．某商场设立了如图所示的一个可以自由转动的转盘，规定顾客购物50元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“5元兑换券”的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“5元兑换券”的频率 (1)计算并完成表格； (2)你转动该转盘一次，获得5元兑换券的概率约是多少？ 考点八图形的旋转 22．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，O、M也在格点上． (1)画出绕点O按顺时针方向旋转后所得的； (2)计算：__________ 23．如图，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，交于点．若，求的度数． 24．如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． (1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； (3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 考点九中心对称与中心对称图形 25．如图三个顶点的坐标分别为． (1)请画出绕点逆时针旋转得到的； (2)请画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标． 26．如图，已知 的三个顶点及点O， 都在方格纸的格点上． (1)经平移后得到点是点C的对应点，请在图中补全 (2)画出使和关于点O成中心对称． 27．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的，并写出点B的对应点的坐标____________； (2)在网格中画出关于点成中心对称得到的，并写出点的对应点的坐标____________； (3)若与关于点P成中心对称，写出点P坐标____________（非格点）． (4)面积为 ． 考点十平行四边形的性质与判定 28．如图，在四边形中，，，，延长到点，使，连接AE．求证：四边形是平行四边形． 29．如图，在中，，点D在边上，且，连接．E，F分别是线段，的中点，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的周长． 30．在▱中，，相交于点O，过点作于点，在上取点，连接，使．连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，则的面积为________． 考点十一矩形、菱形与正方形 31．如图，在中，D是边的中点，点F，E分别在线段及其延长线上，，连接，，，． (1)若，求证：四边形是矩形； (2)已知，． ①当的长为多少时，四边形是菱形？并加以证明； ②请直接写出当的长为多少时，四边形是正方形． 32．在学习了平行四边形的相关知识后，小明进行了更深入的研究．他发现，过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，解答下列问题． (1)如图，在平行四边形中，是对角线的中点．用无刻度的直尺和圆规过点作，分别交，于点，，连结，．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 33．四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)如图，求证：矩形是正方形（提示：过E分别作、）； (2)若，，求的长； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 考点十二三角形的中位线 34．如图，在中，、、分别是边、、的中点，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 35．在矩形中，，点在线段上运动，作关于直线的对称（点的对称点分别为） (1)如图1，当点在的延长线上时，求的长． (2)如图2，当点与点重合时，连结，交分别于点、，求证：． (3)当直线经过点时，求的长． 36．已知：如图，在四边形中，分别是的中点，可证：（无需证明）． 拓展： (1)如图1；在四边形中，分别是的中点，分别延长，交于两点，求证：． (2)如图2，在四边形中，与相交于点分别是的中点，连结，分别交，于点，，判断的形状：___________（直接写出答案，无需证明）． (3)如图3，在中，，是上一点，且，，分别是，的中点，求的长． 考点十三分式 37．已知，求的值． 38．已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 39．按下列条件求分式的值： (1)； (2)． 考点十四分式的基本性质 40．已知，求的值． 41．约分： (1)； (2)； (3)． 42．通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点十五分式的加减 43．计算： (1)； (2)． 44．对于实数我们规定两种运算：，试化简：． 45．定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n阶差分式”．例如：，我们称是的“3阶差分式”．解答下列问题： (1)分式是分式的“________阶差分式”． (2)分式A是分式的“2阶差分式”．若x取正整数，且A的值为正整数，求A的值． 考点十六分式的乘除 46．计算： (1)； (2) 47．先化简：，再从中选择一个满足题意的整数代入求值． 48．甲、乙两个工程队合修一条公路．已知甲工程队每天修，乙工程队每天修（其中），则甲工程队修所用时间是乙工程队修所用时间的多少倍？ 考点十七分式方程 49．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年1月汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为90万销售额今年只有80万元，求今年1月份A款汽车每辆的售价为多少万元． 50．2025年3月14日是第六个“国际数学日”，鹿鸣“博・约”数学兴趣小组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵，且花450元购买的自动铅笔比花600元购买的钢笔多15支．求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少元? 51．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，称为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买甲、乙两种机器人进行销售．已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少30万元，花2220万元购进甲种机器人的数量是花1780万元购进乙种机器人数量的1.5倍． (1)求购买一个甲种机器人、一个乙种机器人各需多少万元？ (2)某公司开展科技学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种机器人共30个，且经费预算不超过5000万元，则该公司最少可以购进甲种机器人多少个？ 考点十八反比例函数 52．下列函数表达式中，是的反比例函数吗？如果是，把它写成的形式，并指出的值． (1)； (2)； (3)． 53．用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并指出其中哪些是反比例函数． (1)某中学八年级（2）班学生为校运动会制作彩旗80面，完成天数（天）随该班学生平均每天制作的数量（面）的变化而变化； (2)已知菱形的面积为，一条对角线长随另一条对角线长的变化而变化； (3)小明家距学校4000m，若他骑车上学的平均速度是，则上学途中他与学校的距离随他骑车的时间的变化而变化． 54．2024年4月29日，在万里长江的入海口上海市崇明区，由我国自主研制．世界最大直径高铁盾构机——沪渝蓉高铁崇太长江隧道“领航号”盾构机顺利始发，正式开启越江之旅．假设该盾构机每天挖掘隧道的长度和所需的天数如下表： 每天挖掘隧道的长度/m 5 10 15 所需天数 3000 1500 1000 (1)该隧道全长多少米? (2)挖掘隧道的天数怎样随着每天挖掘隧道的长度的变化而变化的? (3)用表示所需的天数，用表示每天挖掘隧道的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系? 考点十九反比例函数的图形与性质 55．在图中，A，B两点在反比例函数的图象上，过点O，是等边三角形，请仅用无刻度的直尺完成以下作图保留作图痕迹 (1)图1中，作，垂足为点E； (2)图2中，点D为的中点，在x轴上作出点F，使四边形为矩形； (3)图3中，在第二象限内作出点G，使四边形为菱形． 56．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交，两点，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求一次函数解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集________； (3)求点O到直线的距离． 57．如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C． (1)求双曲线的解析式； (2)如图2，连接OC． ①若，在双曲线上找一点D，使得的面积是的面积的3倍，请求出此时点D的坐标； ②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 考点二十用反比例函数解决问题 58．某服装厂承揽一项生产短袖T恤1600件的任务，原计划用天完成． (1)按原计划，每天生产短袖T恤数量（件）与生产时间（天）有怎样的函数关系？ (2)由于气温提前升高，商家与服装厂商议，决定比原计划提前4天交货，那么服装厂每天要比原计划多做多少件短袖T恤才能完成任务？ 59．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图像如图所示． (1)写出与之间的函数表达式． (2)当气体的体积为时，压强是多少？ (3)当压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应大于多少（保留两位小数）？ 60．如图是某反比例函数图像的一支，根据图像回答下列问题： (1)举出一个合乎情理且符合图像的生活实例； (2)写出你所举的例子中两个变量的函数表达式，并指出自变量的取值范围； (3)说出图像中点A在你所举例子中的实际意义． 考点二十一二次根式 61．下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？请说明理由． （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ； （6） ；（7） ． 62．当 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 63．化简时，特别要关注字母的取值范围，若字母的取值范围不确定，往往需要分类讨论．例如，化简：． (1)当时，原式______；当时，原式______；当时，原式______． (2)由（）可知，此代数式的值随实数取值的变化而变化，当为任意实数时，化简此代数式． 考点二十二二次根式的乘除 64．如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． (1)请求出的长度； (2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 65．计算： (1)； (2)； (3)． 66．如图，在正方形中，平分，点F在边上，且．连接，交于点G，交于点M，P是线段上的动点，N是线段上的动点，连接． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，求的最小值． 考点二十三二次根式的加减 67．计算：． 68．已知式子在实数范围内有意义． (1)求x的取值范围； (2)若式子A是最简二次根式，且可与合并，求x的值，并计算的值． 69．（1）先化简，再求值：，其中，； （2）解分式方程：． 学科网（北京）股份有限公司 $$期末考试考点全攻略 作者的话 亲爱的同学们： 期末考试即将来临，数学作为一门逻辑性强、知识点环环相扣的学科，系统化的复习至关重要。为了帮助大家高效备考，我们精心整理了这份《八年级数学下册期末考试考点全攻略》，按照选择题、填空题、解答题三大题型分类，精准剖析高频考点，点拨易错陷阱，并提供针对性解题策略。 本攻略以苏科版教材为纲，结合历年期末真题，提炼出最核心的考查方向。无论你是希望夯实基础，还是冲刺高分，都能在这里找到清晰的复习路径。选择题注重概念辨析与快速计算，填空题强调细节与严谨性，解答题则综合考查逻辑推理与规范书写。我们力求用最简洁的语言，直击要害，助你在考场上游刃有余。 复习建议： 先梳理再刷题——对照攻略自查知识漏洞，优先攻克薄弱环节； 限时模拟训练——按题型分配时间（如选择题1~2分钟/题）； 错题归因——标记反复出错的考点，考前重点复盘。 数学的魅力在于思维的严谨与灵活。愿这份攻略成为你复习路上的“导航仪”，助你稳扎稳打，自信迎考！ ​​ 中小学数学教研 2025年6月 2024-2025学年八年级数学下册期末考试考点全攻略 期末高频易错考点必刷练03 【23个考点解答69题（第7-12章）】 目录 考点一普查与抽样调查 3 考点二统计图的应用 4 考点三频数和频率 7 考点四频数分布表和频数分布直方图 10 考点五确定事件与随机事件 13 考点六可能性的大小 15 考点七频率与概率 18 考点八图形的旋转 21 考点九中心对称与中心对称图形 26 考点十平行四边形的性质与判定 30 考点十一矩形、菱形与正方形 33 考点十二三角形的中位线 39 考点十三分式 46 考点十四分式的基本性质 48 考点十五分式的加减 50 考点十六分式的乘除 53 考点十七分式方程 54 考点十八反比例函数 57 考点十九反比例函数的图形与性质 59 考点二十用反比例函数解决问题 65 考点二十一二次根式 68 考点二十二二次根式的乘除 71 考点二十三二次根式的加减 75 考点一普查与抽样调查 1．下列调查分别采用了哪种调查方式？样本是否具有代表性？ (1)某县教育局为了了解八年级学生的学习掌握情况，对农村一所中学八年级的部分学生进行测试调查． (2)暑假前，某市对全市学生进行了防溺水安全教育，并要求所有学生和家长一起观看防溺水专题视频讲座，为了检查学生的观看效果，随机对全市各学校的部分学生进行了防溺水知识测试． 【答案】(1)采用了抽样调查的方式，选取的样本不具有代表性 (2)采用了抽样调查的方式，选取的样本具有代表性 【解题思路】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，抽样的基本原则． （1）根据抽样调查和全面调查的特点，以及选取样本的方式进行判断即可； （2）根据抽样调查和全面调查的特点，以及选取样本的方式进行判断即可． 【详细解答】（1）解：采用了抽样调查的方式，选取的样本不具有代表性． （2）解：采用了抽样调查的方式，选取的样本具有代表性． 2．小红想了解几类电视节目在本班同学中的受欢迎情况，于是对全班50名同学做了一次调查，结果如下表： 几类电视节目受欢迎情况调查统计表 节目/类别 新闻 体育 综艺 动画 军事 人数/人 16 18 8 5 3 (1)小红采用了什么样的调查方式？ (2)如果调查对象改为全班同学的母亲，根据你的了解，应设置哪些类别的节目进行调查？ 【答案】(1)普查 (2)美食、电视剧、家居等 【解题思路】该题考查了普查的定义，解题的关键是理解题意． （1）根据表格数据可得小红调查了全班同学，判断出小红采用了普查的调查方式． （2）设置成母亲感兴趣的节目即可． 【详细解答】（1）解：∵，而全班有50名同学， 即小红调查了全班同学， 故小红采用了普查的调查方式； （2）解：由于母亲普遍对新闻、体育、动画以及军事兴趣不大， 故应设置美食、电视剧、家居等电视栏目进行调查． 3．下列调查中，哪些适合用普查？哪些适合用抽样调查？ （1）某班每名学生的体重情况； （2）人们的环保意识； （3）一批电视机显示屏的使用寿命； （4）某校八年级学生的视力情况； （5）某试验田里水稻的穗长． 【答案】（1）普查（2）抽样调查（3）抽样调查（4）抽样调查（5）抽样调查 【解题思路】本题考查抽样调查和普查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此求解即可． 【详细解答】（1）某班每名学生的体重情况，适合普查； （2）人们的环保意识，适合抽样调查； （3）一批电视机显示屏的使用寿命，适合抽样调查； （4）某校八年级学生的视力情况，适合抽样调查； （5）某试验田里水稻的穗长，适合抽样调查． 考点二统计图的应用 4．某学校举办读书节，购买了一批课外读物，为使购买的课外读物满足同学们的需求，学校就 “我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图 是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图． 扇形统计条形统计图 (1)本次调查中，一共调查了 名同学． （直接填答案） (2)   ，   ，扇形图中艺术类读物所对的圆心角是 度． （直接填数字答案） (3)根据调查的结果，请你给学校购买课外读物提供一条合理化建议． 【答案】(1) (2)；； (3)①学校购买课外读物时，文学类的书多采购一些，科普类的书多采购一些；②艺术类和其他少类采购一些（答案不唯一） 【解题思路】本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生数； （2）根据（1）的结论，可以求得、的值，根据艺术类的占比乘以，求得扇形图中艺术类读物所对的圆心角； （3）根据统计图中的数据判断即可． 【详细解答】（1）解：由题意可得，本次调查的学生有：（名）， 故答案为：； （2）解：， ， 扇形图中艺术类读物所对的圆心角是： 故答案为：；，； （3）解：建议如下：①学校购买课外读物时，文学类的书多采购一些，科普类的书多采购一些；②艺术类和其他少类采购一些（答案不唯一）． 5．我国体育健儿在近七届奥运会上获得奖牌的情况如图所示． (1)在近七届奥运会上，我国体育健儿共获得多少枚奖牌？ (2)用条形图表示折线图中的信息． 【答案】(1)枚 (2)答案见解析 【解题思路】本题考查了折线统计图和条形统计图的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据折线图得到每届获得金牌数，然后相加，即可求解； （2）根据折线图得到每届获得金牌数，然后作出条形统计图； 【详细解答】（1）解：由题可得：枚， 答：在近七届奥运会上，我国体育健儿共获得枚奖牌； （2）解：如图所示： 6．为进一步做好“光盘行动”，某校食堂推出“半份菜”服务，在试行阶段，食堂对师生满意度进行抽样调查．并将结果绘制成如右统计图． (1)求被调查的师生人数，并补全条形统计图． (2)求扇形统计图中表示“满意”的扇形圆心角度数． 【答案】(1)200人；图见解析 (2) 【解题思路】本题考查了扇形统计图与条形统计图的结合，求扇形统计图圆心角，补全条形统计图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用很满意的人数除以占比得出被调查的师生人数，再求出“不满意”的人数，即可补全条形统计图，进行作答； （2）根据“满意”人数的占比乘上，即可作答． 【详细解答】（1）解：被调查的师生人数是：（人） “不满意”的人数有：（人）， 补充条形统计图如图： （2）解：扇扇形统计图中表示“满意”的扇形圆心角度数为 考点三频数和频率 7．有甲、乙两只不透明的布袋，甲袋中有个红球、个白球和个黑球，乙袋中有个红球，个白球和个黑球，这些球除颜色外全相同． (1)如果你想取出个红球，选哪个袋子成功的机会大？请说明理由； (2)“从乙袋中取出个红球后，乙袋中的红球个数仍比甲袋中红球个数多，所以此时若想取出个红球，选乙袋成功的机会大”，你认为此说法正确吗？为什么？ 【答案】(1)选乙袋成功的机会大，理由见解析 (2)选甲袋成功的机会大，理由见解析 【解题思路】本题考查了频率计算公式，熟练掌握频率计算公式，并准确进行实数的大小比较是解答本题的关键． （1）分别计算甲、乙两袋中摸出红球的频率，比较大小后判断即可； （2）分别计算甲、乙两袋中摸出红球的频率，比较大小后判断即可． 【详细解答】（1）解：选乙袋成功的机会大，理由如下： 在甲袋中取出个红球的频率是， 在乙袋中取出个红球的频率是， 因为， 所以选乙袋成功的机会大； （2）解：此说法不正确，理由如下： 因为从乙袋中取出个红球后，从乙袋中取出个红球的频率是， 因为， 所以此时若想取出个红球，选甲袋成功的机会大． 8．“养鱼大王”老张为了与销售商签订购销合同，需要对自己池塘中鱼的总重量进行估计．为此，他先从鱼池中捞出条鱼，将每条鱼做上记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出条称得重量为千克，且带有记号的鱼为条．问： (1)老张的鱼塘中估计有多少条鱼？ (2)池塘中的鱼约共重多少千克？ 【答案】(1)老张的鱼塘中估计有条鱼 (2)池塘中的鱼约共重千克 【解题思路】本题主要根据样本百分比估算总体数量，分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是解题的关键． （1）根据样本估算总体数量的方法列分式方程求解即可； （2）根据捞出条称得重量为千克，结合池塘鱼的数量即可求解． 【详细解答】（1）解：从鱼池中捞出条鱼，将每条鱼做上记号放入水中，当它们完全混合于鱼群后，又捞出条带有记号的鱼为条， 设老张的鱼塘中有条鱼， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴老张的鱼塘中估计有条鱼； （2）解：捞出条称得重量为千克， ∴（千克）， ∴池塘中的鱼约共重千克． 9．某校为了进一步丰富学生的课外阅读，欲增购一些课外书，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的书籍”问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）： 请根据图中提供的信息，完成下列问题： (1)在这次问卷调查中，喜欢“科普书籍”出现的频率为 ； (2)求在扇形统计图中，喜欢“科普书籍”的所占的圆心角度数； (3)如果全校共有学生1500名，请估计该校最喜欢“科普书籍”的学生约有多少人？ 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）根据体育类人数除以体育类所占的百分比，可得被调查的学生人数，再求出喜欢“科普书籍”的人数即可求出喜欢“科普书籍”出现的频率； （2）用乘以“科普书籍”所占的比例可得“科普书籍”所占的圆心角度数； （3）用全校人数乘以最喜欢“文艺”书籍的所占的百分比可得答案． 【详细解答】（1）解：被调查的学生人数为：（人）， 喜欢“科普书籍”的人数为（人）， 喜欢“科普书籍”出现的频率为； 故答案为：； （2）解：“科普书籍”所占的圆心角度数为：， 故答案为：； （3）解：（人）， 答：估计该校最喜欢“科普书籍”书籍的学生有人． 考点四频数分布表和频数分布直方图 10．某校进行信息技术模拟测试，八（1）班的最高分为99分，最低分为40分，课代表将全班同学的成绩（得分取整数）进行整理后分为6组，制成不完整的频数分布直方图（图），其中在分的学生数占全班学生总数的，结合频数分布直方图提供的信息，解答下列问题： (1)八（1）班共有多少名学生？ (2)求在69.5~79.5分的人数，并补全频数分布直方图； (3)将全班同学的成绩绘制成扇形统计图，若80分及80分以上为优秀，则优秀人数所在扇形圆心角的度数为多少？ 【答案】(1)八（1）班共有50名学生 (2)12人，见解析 (3)优秀人数所在扇形圆心角的度数为． 【解题思路】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用表格中的数据，求出所求问题的答案． （1）由分的学生数及其所占百分比可得答案； （2）求出的人数即可补全图形； （3）用乘以优秀人数所占比例即可． 【详细解答】（1）解：（人）， 答：八（1）班共有50名学生； （2）解：的人数为（人）， 补全图形如下： ； （3）解： 答：优秀人数所在扇形圆心角的度数为． 11．从某果园中收集到40棵苹果树上2021年苹果的个数： ． 请按组距为10将数据分组，列出频数分布表，绘制频数分布直方图，分析数据分布的情况． 【答案】见解析 【解题思路】本题考查了频数分布表与直方图，理解题意正确绘制图表是解题的关键．按组距为10将数据分组，列出频数分布表，绘制频数分布直方图，再根据图表信息分析数据分布的情况即可． 【详细解答】解：频数分布表： 分组 划记 频数 正一 6 正 7 正正 12 正正 12 3 合计 40 从统计图表中可以看出，各棵苹果树上的苹果个数在范围的最多，占总棵数的；其次，个数在共13棵，占总棵数的；个数在以上的有3棵，占总棵数的． 12．如图，图（1）中一个长方形纸条准备从正方形的左边运行到右边，平均每秒钟运行2厘米；图（2）是长方形运行过程中与正方形重叠面积的部分关系图． (1)运行4秒后，重叠面积是多少平方厘米？ (2)正方形的边长是多少厘米？重叠面积最大是多少平方厘米？ (3)把右图运行时长方形与正方形重叠面积关系图画完整． 【答案】(1) (2)正方形的边长是厘米；重叠面积最大是平方厘米 (3)关系图见解析 【解题思路】本题考查的是图形的平移和折线图，熟练掌握图形的平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小是解题的关键． （1）纸条向前移动4秒，每秒运行2厘米，用长方形纸条的运行速度乘以时间就是运行的长度，由于重叠面积为长方形，利用长方形的面积公式计算即可得到答案． （2）由图（2）可知当长方形纸条运行6秒时，和正方形完全重叠，这时运行的长度等于正方形的边长，那么长方形的面积用运行的长度乘以纸长的宽度就是重叠部分的面积． （3）分别计算出当长方形左下顶点和正方形左下顶点重合时的时间和当长方形离开正方形时的时间，即可补充关系图． 【详细解答】（1）解：∵长方形每秒钟运行2厘米，运行4秒后， ∴长方形的长是：（厘米）， ∵长方形的宽是：2厘米， ∴重叠的面积为：（平方厘米）， 答：运行4秒后，重叠面积是平方厘米． （2）解：由图（2）可得，当运行时间为6秒时，重叠的面积不再变化， ∴正方形的边长是运行6秒后的长度：（厘米）， ∴此时重叠的面积为：（平方厘米）， 答：正方形的边长是厘米；重叠面积最大是平方厘米． （3）解：当长方形左下顶点和正方形左下顶点重合时的时间为：（秒）， 当长方形离开正方形时：（秒）， 补全关系图如下： 考点五确定事件与随机事件 13．你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)小明任意抛掷一枚质地均匀的硬币，前3次抛掷落地后都是“正面朝上”，则他第4次抛掷硬币落地后“正面朝上”是必然事件； (2)因为小明的父亲买彩票从未中过一等奖，所以“今后他买彩票中一等奖”是不可能事件． 【答案】(1)不同意，理由见解析 (2)不同意，理由见解析 【解题思路】本题考查了事件的分类，解题的关键是： （1）根据随机事件、必然事件的定义判断即可； （2）根据随机事件、不可能事件的定义判断即可 【详细解答】（1）解：不同意， 理由：因为每次抛掷硬币“正面朝上”是一个随机事件，它不受前面出现结果的影响，虽然前面3次出现的结果都是“正面朝上”，但第4次可能出现“正面朝上”或“正面期下”， 所以第4次抛掷硬币落地后“正面朝上”是随机事件， 故不同意； （2）解：不同意， 理由：因为每次买彩票是否中一等奖是一个随机事件，且它不受前面出现的结果的影响 故不同意， 所以“今后他买彩票中一等奖”是随机事件， 故不同意． 14．把一副扑克牌中的13张方块牌洗匀后正面朝下，从中任意抽取1张．判断下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ （1）抽到的牌是方块3； （2）抽到的牌是方块； （3）抽到的牌是红桃3． 【答案】（1）随机事件；（2）必然事件；（3）不可能事件 【解题思路】本题考查了事件的分类，熟练掌握随机事件和确定事件的定义是解题的关键．根据随机事件和确定事件的定义，逐个分析即可判断． 【详细解答】解：（1）抽到的牌是方块3是随机事件； （2）抽到的牌是方块是必然事件； （3）抽到的牌是红桃3是不可能事件． 15．下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ （1）测得某天的最高气温为； （2）在100件某种产品中有2件次品，从中任取1件恰好是次品； （3）如果m、n是实数，那么； （4）经过某一装有交通信号灯的路口，遇到红灯． 【答案】（3）是必然事件，（1）是不可能事件；（2）（4）是随机事件． 【解题思路】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可． 【详细解答】解：（1）测得某天的最高气温为100℃，是不可能事件； （2）在100件某种产品中有2件次品，从中任取1件恰好是次品，是随机事件； （3）如果m、n是实数，那么，是必然事件； （4）经过某一装有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件． 所以（3）是必然事件，（1）是不可能事件；（2）（4）是随机事件． 考点六可能性的大小 16．用一副扑克牌中的张牌设计一个翻牌游戏，要求同时满足下列三个条件，请写出你所用的张牌． （1）要求翻出“红桃”与“方块”的可能性相同； （2）要求翻出“梅花”的可能性比翻出“方块”的可能性小； （3）要求翻出黑颜色牌的可能性比翻出红颜色牌的可能性大． 【答案】张牌是“黑桃”张，“梅花”张，“方块”张，“红桃”张 【解题思路】本题考查等可能事件发生的概率，理解可能性的大小是正确解答的关键．根据各种花色的扑克牌被翻到的可能性的大小，推断出各种花色的扑克牌的张数，再根据总张数为张，每一种都是整数，进而得出答案． 【详细解答】解：一共有张扑克牌，满足（1），说明“红桃”和“方块”的张数相同；满足（2）说明“方块”的张数比“梅花”的张数多； 满足（3）说明黑颜色的牌（黑桃、梅花）的张数比红颜色牌（红桃、方块）的张数要多， 因此黑颜色的牌要多于张，最少为张， 因此，张牌是“黑桃”张，“梅花”张，“方块”张，“红桃”张 17．（1）图①是一个飞镖靶，其中最里面的圆内部是分区，中间的圆环是分区，最外面的圆环是分区（由小到大三个圆半径的比是）．向飞镖靶掷出一枚飞镖，在不脱靶的前提下，得几分的可能性最大？得几分的可能性最小？为什么？ （2）请设计一个不同于图①的飞镖靶，靶上有个得分区域，分别是分、分、分．要求任意掷出一枚飞镖，在不脱靶的前提下，得分的可能性最小，得分的可能性最大（要求设计两种方案，画在图②和图③上）． 【答案】（1）得分的可能性最大，得分的可能性最小．因为分所在的圆环面积最大，分所在的圆面积最小．（2）见解析 【解题思路】本题考查了可能性的大小，解题的关键是数形结合． （1）设三个圆的半径分别为、、，分别求出三个分区的面积，再比较面积的大小，即可求解； （2）只要保证分的区域面积最小，分的区域面积最大即可． 【详细解答】解：（1）得分的可能性最大，得分的可能性最小，理由如下： 由小到大三个圆半径的比是， 设三个圆的半径分别为、、， 分区的面积为， 分区的面积为：， 分区的面积为：， ， 得分的可能性最大，得分的可能性最小； （2）如图即为所求． 18．如图是一个等分成8个扇形区域的转盘． (1)转动转盘一次，指针指向哪种颜色的区域的可能性最小？ (2)转动转盘一次，指针指向哪种颜色的区域的可能性最大？ (3)请重新设置8个扇形区域的颜色，使得（1）中指针指向的颜色的区域出现的可能性大于（2）中指针指向的颜色的区域． 【答案】(1)指向蓝色的可能性最小 (2)指针指向黄色的可能性最大 (3)将2个黄色区域改为蓝色区域 【解题思路】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据可能性的大小分别对每种颜色概率进行分析，即可得出答案； （2）根据可能性的大小分别对每种颜色概率进行分析，即可得出答案； （3）使得蓝色面积大于黄色面积即可． 【详细解答】（1）解：根据转盘可得共有8份，每份大小相同，红色有3份，黄色有4份，蓝色有1份， ∴指针都指向红色区域的概率为， 指针都指向蓝色区域的概率为， 指针都指向黄色区域的概率为， ∴指针指向蓝色的可能性最小． （2）解：根据（1）可得指针指向黄色的可能性最大． （3）解：根据题意，将2个黄色区域改为蓝色区域， 则此时指针都指向蓝色区域的概率为， 指针都指向黄色区域的概率为， 能使指针指向蓝色区域的可能性大于黄色区域． 考点七频率与概率 19．下表是一名同学在罚球区投篮的结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数n 50 100 150 209 250 300 500 投中次数m 28 60 78 104 124 153 252 投中频率（精确到0.01） 0.56 0.60 0.52 0.50 0.50 ______ ______ (1)将表格补充完整； (2)估计这名同学投篮一次投中的概率是多少（精确到0.01）； (3)若这名同学投篮622次，估计他投中的次数是多少． 【答案】(1)见解析 (2)估计这名球员投篮一次，投中的概率约是0.50； (3)311次 【解题思路】本题考查了频率的计算，利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）用投中的次数除以投篮次数即可； （2）对于不同批次的定点投篮命中率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法； （3）投中的次数=投篮次数×投中的概率，依此列式计算即可求解． 【详细解答】（1）解：，； 补充表格如下， 投篮次数n 50 100 150 209 250 300 500 投中次数m 28 60 78 104 124 153 252 投中频率（精确到0.01） 0.56 0.60 0.52 0.50 0.50 0.51 0.50 （2）解：估计这名球员投篮一次，投中的概率约是0.50； （3）解： (次)． 所以估计这名同学投篮622次，投中的次数约是311次． 20．王强和李刚在学习概率时，做掷骰子（质地均匀的正方体形状）试验，他们共掷了60次，出现朝上点数的次数如下表： 朝上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 8 11 6 9 16 10 (1)计算出现朝上点数为3的频率及出现朝上点数为5的频率． (2)根据以上试验，王强说：“根据试验结果，一次试验中出现朝上点数为5的概率最大．”李刚说：“如果掷600次，那么出现朝上点数为6的次数正好是100次．”这两名学生的说法是否正确？为什么？ 【答案】(1)出现向上点数为3的频率是，出现向上点数为5的频率 (2)都不正确，理由见解析 【解题思路】本题考查了频率（频数）和概率． （1）求一个点数朝上的频率，就是用出现的次数除以抛的总次数即可； （2）根据概率的概念和概率公式，可知各类数出现的概率一样大，都为．由于频数的随机性，试验次数扩大10倍时，频数不一定正好扩大为原来频数的10倍，可得结论． 【详细解答】（1）解：出现向上点数为3的频率：， 出现向上点数为5的频率：， 即出现向上点数为3的频率是，出现向上点数为5的频率； （2）解：王强和李刚的说法都不正确，理由如下： 他们混淆了频率与概率的概念．概率是确定的常数，频率（频数）是不确定的、随机的．只有当试验次数足够大时，频率才稳定于概率这一数值．在该试验中，各类数出现的概率一样大，都为．由于频数的随机性，试验次数扩大10倍时，频数不一定正好扩大为原来频数的10倍 21．某商场设立了如图所示的一个可以自由转动的转盘，规定顾客购物50元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“5元兑换券”的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“5元兑换券”的频率 (1)计算并完成表格； (2)你转动该转盘一次，获得5元兑换券的概率约是多少？ 【答案】(1) (2) 【解题思路】此题主要考查了频率求法以及利用频率估计概率，正确理解频率与概率之间的关系是解题关键． （1）分别利用表格中数据结合频率公式求出即可； （2）利用（1）中所求频率即可估计出当n很大时，频率将会接近的值；进而得出获得5元兑换券的概率． 【详细解答】（1）解：填表如下： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“5元兑换券”的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“5元兑换券”的频率 （2）解：由表格中数据可得：当n很大时，频率将会接近；即落在“5元兑换券”的概率为：， 则转动转盘一次，获得5元兑换券的概率是：． 考点八图形的旋转 22．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，O、M也在格点上． (1)画出绕点O按顺时针方向旋转后所得的； (2)计算：__________ 【答案】(1)见解析； (2) 【解题思路】本题考查了画旋转图形，熟练掌握旋转图形的画法是解题关键． （1）先根据轴对称的性质分别画出点，再顺次连接即可得； （2）结合网格特点，利用割补法求解即可得． 【详细解答】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图， 解：， 故答案为：． 23．如图，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，交于点．若，求的度数． 【答案】的度数为 【解题思路】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，能灵活运用旋转的性质是解决问题的关键．由旋转的性质得到， ，进而推出，根据三角形内角和定理证得，即可求得的度数． 【详细解答】解：将绕点逆时针旋转得到， ， ，， ， ， ， ， 故的度数为． 24．如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． (1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； (3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 【答案】(1)＝，⊥； (2)线段与线段的关系不发生变化．证明见解析； (3)． 【解题思路】（1）由直角三角形斜边中线定理即可证明，进而可证； （2）如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，证明，推出，再利用三角形中位线定理即可解决问题； （3）分别求出的最大值、最小值即可解决问题． 【详细解答】（1）∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：＝，⊥； （2）线段与线段的关系不发生变化．理由如下： 如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，     ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 同理可证，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （3）如图2，连接．     ∵， ∴如图3时取得最大值时，点E落在上时，     ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最大值； 如图4中，当点E落在的延长线上时，的值最小，     ∵，， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最小值， 综上所述，． 【考点点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形三边的关系，三角形中位线定理等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 考点九中心对称与中心对称图形 25．如图三个顶点的坐标分别为． (1)请画出绕点逆时针旋转得到的； (2)请画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【解题思路】本题考查坐标与图形变换—旋转与中心对称，熟练掌握旋转的性质，中心对称的性质，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）根据中心对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可． 【详细解答】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； 由图可知：． 26．如图，已知 的三个顶点及点O， 都在方格纸的格点上． (1)经平移后得到点是点C的对应点，请在图中补全 (2)画出使和关于点O成中心对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解题思路】本题主要考查了画平移图形，画中心对称图形，正确找到对应点的位置是解题的关键． （1）根据点C和点的位置可得平移方式为向右平移6个单位长度，向下平移2个单位线长度，据此确定的位置，顺次连接即可； （2）连接并延长到，使得，同理作出，并顺次连接即可． 【详细解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 27．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的，并写出点B的对应点的坐标____________； (2)在网格中画出关于点成中心对称得到的，并写出点的对应点的坐标____________； (3)若与关于点P成中心对称，写出点P坐标____________（非格点）． (4)面积为 ． 【答案】(1)，图见解析 (2)，图见解析 (3) (4) 【解题思路】题目主要考查平移及中心对称图形的作法，求一次函数解析式，利用网格求三角形面积，理解题意，熟练掌握作图方法是解题关键． （1）根据平移的作图方法作图，然后读出点的坐标即可； （2）根据中心对称图形的作法作图，然后读出点的坐标即可； （3）利用待定系数法确定直线的解析式为，直线的解析式为：，然后联立求出交点即可； （4）利用网格求三角形面积即可． 【详细解答】（1）解：如图所示：即为所求，， 故答案为：； （2）如图所示：即为所求，， 故答案为：； （3）连接交于点P， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ， 解得：， ∴， 同理得：直线的解析式为：， 联立两个函数解析式为：，解得， ∴， 故答案为： （4）由图得：面积为：， 故答案为：． 考点十平行四边形的性质与判定 28．如图，在四边形中，，，，延长到点，使，连接AE．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解题思路】本题考查了等边对等角，平行四边形的判定，平行线的判定与性质，由垂直定义可知，再通过等边对等角得，然后通过平行线的判定可得，最后由平行四边形的判定方法即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详细解答】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 29．如图，在中，，点D在边上，且，连接．E，F分别是线段，的中点，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【解题思路】（1）根据三角形中位线定理得到，，求得，根据平行四边形的判定定理得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，，根据勾股定理得到，由E是的中点，得到，于是得到结论． 【详细解答】（1）证明：∵E，F分别是线段，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∵E是AD的中点， ∴， ∴四边形的周长 ． 【考点点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 30．在▱中，，相交于点O，过点作于点，在上取点，连接，使．连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，则的面积为________． 【答案】(1)见详解 (2)96 【解题思路】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟记各性质与判定是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定得出，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明即可； （2）根据勾股定理求出，再根据平行四边形的性质求解即可． 【详细解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， 由（1）得， 在中，由勾股定理得，，即 ， ∵， ∴， ∴ ∴ 故答案为： 考点十一矩形、菱形与正方形 31．如图，在中，D是边的中点，点F，E分别在线段及其延长线上，，连接，，，． (1)若，求证：四边形是矩形； (2)已知，． ①当的长为多少时，四边形是菱形？并加以证明； ②请直接写出当的长为多少时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)①当时，四边形是菱形；见解析；②时，四边形是正方形． 【解题思路】（1）先利用对角线相互平分的四边形是平行四边形，推出四边形是平行四边形，再对角线相等的平行四边形是矩形即可证明结论成立； （2）①当时，平行四边形为菱形，据此得出； ②根据正方形的性质得，根据D是中点得出与的长度，再由勾股定理求出，进而得出结果． 【详细解答】（1）证明：∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：①当时，四边形是菱形；理由如下： ∵， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形是菱形； ②∵四边形是正方形， ∴，， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴． 【考点点评】本题主要考查了菱形的判定、正方形的性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的判定方法或等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 32．在学习了平行四边形的相关知识后，小明进行了更深入的研究．他发现，过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，解答下列问题． (1)如图，在平行四边形中，是对角线的中点．用无刻度的直尺和圆规过点作，分别交，于点，，连结，．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解题思路】（1）根据垂线的尺规作图解答即可． （2）根据菱形的性质解答． 【详细解答】（1）解：根据垂线的基本作图，画图如下： 则四边形即为所求． （2）证明：根据基本作图，得 直线是线段的垂直平分线， 故， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴     ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形． 【考点点评】本题考查了垂线的基本作图，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 33．四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)如图，求证：矩形是正方形（提示：过E分别作、）； (2)若，，求的长； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【解题思路】本题考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、角平分线的性质、多边形的内角和等知识，熟练掌握正方形的判定与性质是解答的关键． （1）作于P，于Q 证明得到，然后根据正方形的判定可得结论； （2）过点G作交延长线于H，证明是等腰直角三角形，可求出，证明，得到，则可证明，由（1）可得，，证明四边形是矩形，得到，则可得到，则； （3）分当与的夹角为时，点F在边上和②当与的夹角为时，点F在的延长线上两种情况分别求解即可． 【详细解答】（1）证明：作于P，于Q，则 ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：如图所示，过点G作交延长线于H 由正方形的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴ ∴； （3）解：当与的夹角为时，点F在边上，， 则， 在四边形中，由四边形内角和定理得：； ②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示： ∵，， ∴， 综上所述，的度数为或． 考点十二三角形的中位线 34．如图，在中，、、分别是边、、的中点，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【解题思路】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）由三角形中位线定理得到，则可证明四边形是平行四边形，再证明，即可证明四边形是矩形， （2）由矩形的性质得到，则由直角三角形的性质得到，证明是等边三角形，即可得到． 【详细解答】（1）解：证明：、、分别是、、的中点， 、、是的中位线， ， 四边形是平行四边形， ∵， ∴， 四边形是矩形， （2）四边形是矩形， ， 是的中线， ， ， 是等边三角形， ． 35．在矩形中，，点在线段上运动，作关于直线的对称（点的对称点分别为） (1)如图1，当点在的延长线上时，求的长． (2)如图2，当点与点重合时，连结，交分别于点、，求证：． (3)当直线经过点时，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【解题思路】本题主要考查了轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由勾股定理求出，由轴对称的性质得到，则，据此利用勾股定理求解即可； （2）连结交于点，可证明为的中位线，得到，由，即可证明． （3）连接，导角证明，当直线经过点时，，则，由勾股定理可得解方程即可得到答案． 【详细解答】（1）解：∵在矩形中，， ∴， ∵、关于直线对称， ∴， ∴ 在中，； ∴的长为； （2）证明：连结交于点， ∵四边形为矩形， ∴， ∵关于对称， ∴垂直平分， ∴为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴． （3）解：连接， ∵、关于直线对称， ∴， ∵， ∴，即， 当直线经过点时， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴ ∴， ∴． 36．已知：如图，在四边形中，分别是的中点，可证：（无需证明）． 拓展： (1)如图1；在四边形中，分别是的中点，分别延长，交于两点，求证：． (2)如图2，在四边形中，与相交于点分别是的中点，连结，分别交，于点，，判断的形状：___________（直接写出答案，无需证明）． (3)如图3，在中，，是上一点，且，，分别是，的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形 (3) 【解题思路】本题主要考查中位线的性质定理以及勾股定理，熟练掌握中位线的性质，添加辅助线构造中位线，是解题的关键． （1）根据中位线的判定和性质得出是的中位线，，，再由平行线的性质及各角之间的关系进行等量代换即可； （2）如图，取的中点H，连接、，证明分别是的中位线，得到，，进而证明，，，即可证明是等腰三角形． （3）取的中点G，连接，利用中位线的性质及勾股定理求解即可． 【详细解答】（1）证明：连接，如图所示： ∵G、E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 同理：， ∴， 又∵， ∴； （2）解：是等腰三角形； 证明：如图，取的中点H，连接、， ∵E、F分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （3）取的中点G，连接， ∵E，F分别是的中点， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴． 考点十三分式 37．已知，求的值． 【答案】 【解题思路】本题主要考查了分式的求值，因式分解，先由分式有意义的条件得到，再由推出，把代入所求式子中化简求解即可． 【详细解答】解：∵分式要有意义， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 38．已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】本题主要考查了分式的求值，正确得到是解题的关键． （1）先求出，再把所求分式中的x用替换，再约分即可得到答案； （2）先求出，再把所求分式中的x用替换，再约分即可得到答案． 【详细解答】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 39．按下列条件求分式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】本题考查了分式的求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把字母的值代入计算即可求出值． （2）把字母的值代入计算即可求出值． 【详细解答】（1）解：当时，； （2）解：当时，． 考点十四分式的基本性质 40．已知，求的值． 【答案】 【解题思路】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．利用，设，，再代入化简求值即可． 【详细解答】解：∵， ∴设，， ∴． 41．约分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)1 【解题思路】本题考查分式的基本性质，因式分解，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据分式的基本性质约分求解即可． （2）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质约分求解即可． （3）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质约分求解即可． 【详细解答】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 42．通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)，， (3)， (4)， 【解题思路】本题主要考查了分式的性质，分式的通分，掌握分式的最简公分母的计算是关键． 最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母叫做最简公分母，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化为同分母的分式的过程，叫作分式的通分，由此即可求解． （1）最简公分母是，结合分式的性质通分即可； （2）最简公分母是，结合分式的性质通分即可； （3）最简公分母是，结合分式的性质通分即可； （4）最简公分母是，结合分式的性质通分即可． 【详细解答】（1）解： ，； （2）解： ，，； （3）解： ，； （4）解： ，． 考点十五分式的加减 43．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【解题思路】本题主要考查了分式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据同分母分式加法法则求解即可； （2）先通分，然后根据同分母分式加法法则求解即可． 【详细解答】（1）解： ； （2） ． 44．对于实数我们规定两种运算：，试化简：． 【答案】 【解题思路】本题考查了分式的混合运算，以及新定义运算，先理解新定义，得，再结合分式运算法则进行化简，即可作答． 【详细解答】解：∵ ∴ ． 45．定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n阶差分式”．例如：，我们称是的“3阶差分式”．解答下列问题： (1)分式是分式的“________阶差分式”． (2)分式A是分式的“2阶差分式”．若x取正整数，且A的值为正整数，求A的值． 【答案】(1)1 (2)3或6 【解题思路】本题主要考查了分式的减法计算，正确理解题意是解题的关键； （1）根据题意计算出的结果即可得到答案； （2）根据定义可得，再由x取正整数，且A的值为正整数得到是正整数，据此求解即可． 【详细解答】（1）解：解：， ∴分式是分式的“1阶差分式”； （2）解：∵分式A是分式的“2阶差分式”， ∴， ∴， ∵A的值为正整数， ∴为正整数， 又∵x取正整数， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， 综上所述，A的值为3或6． 考点十六分式的乘除 46．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【解题思路】本题主要考查了分式的乘除法计算，分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详细解答】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 47．先化简：，再从中选择一个满足题意的整数代入求值． 【答案】， 【解题思路】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据不等式的范围，结合分式有意义的条件，将代入求解． 【详细解答】解： ， ∵且，，且为整数， ∴， ∴原式． 48．甲、乙两个工程队合修一条公路．已知甲工程队每天修，乙工程队每天修（其中），则甲工程队修所用时间是乙工程队修所用时间的多少倍？ 【答案】甲工程队修所用时间是乙工程队修所用时间的倍． 【解题思路】本题考查了分式除法的应用，由题意得甲工程队修所用时间为，乙工程队修所用时间为，则，然后根据分式运算法则进行求解即可，读懂题意，列出分式进行计算是解题的关键． 【详细解答】解：甲工程队修所用时间为，乙工程队修所用时间为， 故甲工程队修所用时间是乙工程队修所用时间的倍． 考点十七分式方程 49．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年1月汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为90万销售额今年只有80万元，求今年1月份A款汽车每辆的售价为多少万元． 【答案】万元． 【解题思路】此题考查了分式方程的应用．首先设今年1月份A款汽车每辆售价x万元，则去年同期每辆A款汽车每辆售价万元，由题意可得等量关系：去年销售量=今年的销量，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详细解答】解：设今年1月份A款汽车每辆售价x万元，由题意得： 解得：， 经检验：是原方程的解． 答：今年1月份A款汽车每辆售价万元． 50．2025年3月14日是第六个“国际数学日”，鹿鸣“博・约”数学兴趣小组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵，且花450元购买的自动铅笔比花600元购买的钢笔多15支．求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少元? 【答案】钢笔的单价为8元，自动铅笔的单价为5元 【解题思路】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解答的关键．设自动铅笔的单价为x元，则钢笔的单价为元，根据“花450元购买的自动铅笔比花600元购买的钢笔多15支”列方程求解即可． 【详细解答】解：设自动铅笔的单价为x元，则钢笔的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合实际， ∴（元）， 答：钢笔的单价为8元，自动铅笔的单价为5元． 51．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，称为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买甲、乙两种机器人进行销售．已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少30万元，花2220万元购进甲种机器人的数量是花1780万元购进乙种机器人数量的1.5倍． (1)求购买一个甲种机器人、一个乙种机器人各需多少万元？ (2)某公司开展科技学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种机器人共30个，且经费预算不超过5000万元，则该公司最少可以购进甲种机器人多少个？ 【答案】(1)购买一个甲种机器人需148万元，购买一个乙种机器人需178万元 (2)该公司最少可以购进甲种机器人12个 【解题思路】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设购买一个甲种机器人需x万元，则购买一个乙种机器人需万元，根据题意列分式方程，求出解后进行检验即可； （2）设可以购进甲种机器人a个，则可以购进乙种机器人个，根据题意列一元一次不等式，求出不等式的最小整数解即可． 【详细解答】（1）解：设购买一个甲种机器人需x万元，则购买一个乙种机器人需万元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 此时，， 答：购买一个甲种机器人需148万元，购买一个乙种机器人需178万元． （2）解：设可以购进甲种机器人a个，则可以购进乙种机器人个， 根据题意可得：， 解得：， 为正整数， 的最小整数解为12， 答：该公司最少可以购进甲种机器人12个． 考点十八反比例函数 52．下列函数表达式中，是的反比例函数吗？如果是，把它写成的形式，并指出的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是 (2)是， (3)不是 【解题思路】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义，是解题的关键： （1）易得，不是反比例函数； （2）易得，是反比例函数，， （3）易得，不是反比例函数． 【详细解答】（1）解：不是； ∵， ∴，不是反比例函数； （2）是； ∵， ∴ ∴； （3）不是； ∵， ∴，不是反比例函数； 53．用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并指出其中哪些是反比例函数． (1)某中学八年级（2）班学生为校运动会制作彩旗80面，完成天数（天）随该班学生平均每天制作的数量（面）的变化而变化； (2)已知菱形的面积为，一条对角线长随另一条对角线长的变化而变化； (3)小明家距学校4000m，若他骑车上学的平均速度是，则上学途中他与学校的距离随他骑车的时间的变化而变化． 【答案】(1)，是反比例函数 (2)，是反比例函数 (3) 【解题思路】本题考查列函数关系式，判断是否是反比例函数，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据每天的数量乘以天数等于总量，列出函数关系式，进行判断即可； （2）根据菱形的面积公式，列出函数关系式，进行判断即可； （3）根据路程等于速度乘以时间，列出函数关系式，进行判断即可． 【详细解答】（1）解：由题意，得：， ∴，是反比例函数； （2）由题意，得：； ∴，是反比例函数； （3）由题意，得：；不是反比例函数． 54．2024年4月29日，在万里长江的入海口上海市崇明区，由我国自主研制．世界最大直径高铁盾构机——沪渝蓉高铁崇太长江隧道“领航号”盾构机顺利始发，正式开启越江之旅．假设该盾构机每天挖掘隧道的长度和所需的天数如下表： 每天挖掘隧道的长度/m 5 10 15 所需天数 3000 1500 1000 (1)该隧道全长多少米? (2)挖掘隧道的天数怎样随着每天挖掘隧道的长度的变化而变化的? (3)用表示所需的天数，用表示每天挖掘隧道的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系? 【答案】(1)15000（米） (2)挖掘隧道的天数随着每天挖掘隧道的长度的增大而减小 (3)，与成反比例关系 【解题思路】本题主要考查了函数的表示方法，反比例函数，利用表格中的数量关系得到函数关系式是解题的关键； （1）利用表格中的数据解答即可； （2）观察表格中的数解答即可； （3）利用（1）和（2）的结论解答即可． 【详细解答】（1）解：该隧道全长（米）； （2）解：挖掘隧道的天数随着每天挖掘隧道的长度的增大而减小； （3）解：，则，与成反比例关系． 考点十九反比例函数的图形与性质 55．在图中，A，B两点在反比例函数的图象上，过点O，是等边三角形，请仅用无刻度的直尺完成以下作图保留作图痕迹 (1)图1中，作，垂足为点E； (2)图2中，点D为的中点，在x轴上作出点F，使四边形为矩形； (3)图3中，在第二象限内作出点G，使四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【解题思路】本题是反比例函数的综合题，考查作垂线及作特殊四边形，解题的关键是理解题意，利用反比例函数的对称性解决问题，属于中考常考题型． （1）连接交于H，连接并延长交于E，点E即为所求； （2）连接并延长交反比例函数的图象于G，连接并延长交反比例函数的图象于M，连接交x轴于F，则点F即为所求； （3）与一样方法得到点G，则和的延长线相交于点G，则四边形为菱形． 【详细解答】（1）解：如图：连接交于H，连接并延长交于E，点E即为所求； （2）如图：连接并延长交反比例函数的图象于G，连接并延长交反比例函数的图象于M，连接交x轴于F，则点F即为所求； （3）如图：与一样方法得到点G，则和的延长线相交于点G，则四边形为菱形． 56．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交，两点，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求一次函数解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集________； (3)求点O到直线的距离． 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，三角形面积即可，待定系数法求函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）将，代入得出点，，进而待定系数法求得直线解析式即可； （2）根据函数图象，直接写出一次函数在反比例函数图象下方的自变量的取值范围，即可求解； （3）连接，，根据求出的面积，设边的高为h，根据三角形面积公式得出，求出结果即可． 【详细解答】（1）解：∵反比例函数的图象经过，， ∴，， ∴，， ∴点，， 把，的坐标代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为． （2）解：观察图象，不等式是的解集为：或． （3）解：连接，，如图所示： 把代入得：， ∴点C的坐标为， ∴ ， ∵， ∴， 设边的高为h，则： ， 解得：， 答：点O到直线的距离为． 57．如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C． (1)求双曲线的解析式； (2)如图2，连接OC． ①若，在双曲线上找一点D，使得的面积是的面积的3倍，请求出此时点D的坐标； ②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)双曲线的解析式 (2)①；②的值不发生变化，为18 【解题思路】（1）根据非负数的性质求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）①求出点，，即可求出的面积，设点D的坐标为，，根据的面积是的面积的3倍，求出m的值，即可解答． ②过C作轴于H，证得是等腰直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，设，则，可得，再根据题意可得，即可得证． 【详细解答】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得， 将代入，得 ，解得， ∴双曲线的解析式． （2）①当时，， 令，得， ∴，即， 联立得：， 解得：或， ∴点C的坐标为， ∴， 设点D的坐标为，，则 ， ∵的面积是的面积的3倍， ∴，解得， 即， ∴． ②的值不发生变化，理由如下： 过C作轴于H，如图：在中，令得，令得， ∴， ∴， 即 ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 由反比例函数可知，， ∴，即， ∴， ∴ 即的值不发生变化，为18． 考点二十用反比例函数解决问题 58．某服装厂承揽一项生产短袖T恤1600件的任务，原计划用天完成． (1)按原计划，每天生产短袖T恤数量（件）与生产时间（天）有怎样的函数关系？ (2)由于气温提前升高，商家与服装厂商议，决定比原计划提前4天交货，那么服装厂每天要比原计划多做多少件短袖T恤才能完成任务？ 【答案】(1)，反比例函数 (2) 【解题思路】本题主要考查了反比例函数的实际应用，分式的减法等知识． （1）根据实际意义可列出每天生产短袖T恤数量（件）与生产时间（天）的函数关系式； （2）用现在每天做的短袖数量减去原计划每天做的短袖数量计算即可． 【详细解答】（1）解：根据题意，得， ∴，反比例函数； （2）解：， 则服装厂每天要比原计划多做件短袖T恤才能完成任务． 59．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图像如图所示． (1)写出与之间的函数表达式． (2)当气体的体积为时，压强是多少？ (3)当压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应大于多少（保留两位小数）？ 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，函数值、自变量值的计算方法是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）把代入计算即可； （3）根据题意把代入计算即可求解． 【详细解答】（1）解：当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数， ∴设反比例函数解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：当时，； （3）解：与之间的函数表达式为， ∴当时，， 解得，， ∴结合函数图象可知，为了安全起见，气球的体积应大于． 60．如图是某反比例函数图像的一支，根据图像回答下列问题： (1)举出一个合乎情理且符合图像的生活实例； (2)写出你所举的例子中两个变量的函数表达式，并指出自变量的取值范围； (3)说出图像中点A在你所举例子中的实际意义． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【解题思路】（1）根据的值都是，可以联系到：矩形面积一定时长和宽之间的关系； （2）结合，即，自变量的范围：，即可作答； （3）观察图象得点，此时矩形的宽为，长为， 本题考查了反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详细解答】（1）解：观察图象，得， 即的值都是， 则矩形面积为，函数图象中的为该矩形的宽，为该矩形的长． 该函数图象表示面积为的矩形的宽和长之间的关系． （2）解：依题意，， 即， ∴自变量的范围：， （3）解：由A点的坐标为， 根据表达式的实际意思，则A点的实际意义就是矩形的宽为，长为． 考点二十一二次根式 61．下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？请说明理由． （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ； （6） ；（7） ． 【答案】，，，是二次根式；，），不是二次根式． 【解题思路】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义逐一排除即可，解题的关键是正确理解满足二次根式的条件有三个：含有根号；根指数是；被开方数是非负数，三个条件缺一不可． 【详细解答】解：（）是二次根式； （）中，不是二次根式； （）中，是二次根式； （）立方根，不是二次根式； （）中，是二次根式； （）中，是二次根式； （）中，不是二次根式； ∴，，，是二次根式；，，不是二次根式． 62．当 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3)，且 (4) 【解题思路】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件， 对于（1），根据二次根式有意义的条件可知，可求出答案； 对于（2），根据题意可知，可得答案； 对于（3），根据二次根式和分式有意义的条件可知，且，求出答案； 对于（4），根据题意可得，可得答案． 【详细解答】（1）解：根据题意，可知， 解得． 所以当得时，原式有意义； （2）解：根据题意，得， 解得． 所以当时，原式有意义； （3）解：根据题意，得，且， 解得，且． 所以当，且时，原式有意义； （4）解：根据题意，得， 解得． 所以当时，原式有意义． 63．化简时，特别要关注字母的取值范围，若字母的取值范围不确定，往往需要分类讨论．例如，化简：． (1)当时，原式______；当时，原式______；当时，原式______． (2)由（）可知，此代数式的值随实数取值的变化而变化，当为任意实数时，化简此代数式． 【答案】(1)；；； (2)当时，原式；当时，原式；当时，原式． 【解题思路】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，掌握二次根式的性质，绝对值的性质是解题的关键． （）把的值代入求解即可； （）当时，当时，当时三种情况分析即可求解． 【详细解答】（1）解：当时， 原式 ； 当时， 原式 ； 当时， 原式 ； 故答案为：；；； （2）解：当时， 原式 ； 当时， 原式 ； 当时， 原式 ； ． 考点二十二二次根式的乘除 64．如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． (1)请求出的长度； (2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】(1)的长度为 (2)该车符合安全标准 【解题思路】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，理解题意是关键． （1）在中，由勾股定理求得； （2）由勾股定理的逆定理判断是否是直角三角形即可； 【详细解答】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：； 答：的长度为； （2）解：， 即， ∴是直角三角形，且， 即； 答：该车符合安全标准． 65．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】本题主要查了二次根式的乘法，二次根式的化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再计算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，再计算即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再计算即可． 【详细解答】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 66．如图，在正方形中，平分，点F在边上，且．连接，交于点G，交于点M，P是线段上的动点，N是线段上的动点，连接． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【解题思路】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等角对等边，线段垂直平分线的性质与判定等等，证明是解题的关键． （1）由可证进而可证，即； （2）正方形中，平分，可得，再证明可得，再由全等三角形的性质即可证明； （3）连接，证明，得到，则垂直平分，可得，故当B、P、N三点共线，且时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，连接交于O，可证明此时点N与点O重合，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详细解答】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）证明：∵正方形中，平分， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴； （3）解：连接，如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵，   ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当B、P、N三点共线，且时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，此时为底边上的高， 如图所示，连接交于O， 根据正方形的性质知，，， ∴此时点N与点O重合， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴的最小值为． 考点二十三二次根式的加减 67．计算：． 【答案】． 【解题思路】本题考查了二次根式的运算，二次根式的性质，零指数幂，根据完全平方公式，二次根式性质，零指数幂法则分别化简，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详细解答】解： ． 68．已知式子在实数范围内有意义． (1)求x的取值范围； (2)若式子A是最简二次根式，且可与合并，求x的值，并计算的值． 【答案】(1)； (2)；3 【解题思路】本题考查了二次根式的性质、同类二次根式，二次根式的除法运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式中被开方数为非负数，求解即可； （2）只有同类二次根式才能合并，把化简为最简二次根式，即可求解；利用二次根式的除法法则求解即可． 【详细解答】（1）解：∵式子有意义， ∴， 解得； （2）解：， ∵与能合并，并且是最简二次根式， ∴， 解得； ∵， ∴． 69．（1）先化简，再求值：，其中，； （2）解分式方程：． 【答案】（1）；；（2） 【解题思路】本题主要考查了解分式方程，分式化简求值，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则，准确计算． （1）先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详细解答】解：（1） ， 把，代入得：原式； （2）， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 学科网（北京）股份有限公司 $$