精品解析：河北省张家口市2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

张家口市2024—2025学年度高一年级第二学期期中考试 数学试卷 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章，必修第二册第六章、第七章7.1，7.2． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数的乘法运算，再得出复数对应点即可求解. 【详解】因为在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选:C. 2. ，是平面内不共线两向量，已知，，若，，三点共线，则的值为（ ） A. B. C. -4 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量共线列式求解即得. 【详解】由，，三点共线，得，又，，，不共线， 则，所以. 故选：A 3. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方的方法求得正确答案. 【详解】由两边平方得， 即. 故选：C 4. 设与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的求法求得正确答案. 【详解】依题意，在上的投影向量为. 故选：C 5. 已知角A、B是的内角，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】应用正弦定理结合充要条件判断即可. 【详解】因为中，，由正弦定理得，所以； 由，由正弦定理得，所以； 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 6. 如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，则破裂的断点两点间距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于点，求得，根据正弦定理即可求得，进而可求得，在中，由余弦定理即可求解. 【详解】如图，延长交于点，因为，所以， 在中，由正弦定理，得， 由题意得20， 在中，由余弦定理，得， 故两点之间的距离为. 故选：D. 7. 设函数，若．则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质确定出，再得出即可求最值. 【详解】由可知，， ，，，， ，，， 当且仅当或时（，），． 故选：A． 8. 已知中，是外接圆的圆心，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，利用向量的减法运算和数量积化简，将问题转化为求的最值，再利用正弦定理和三角函数范围即可求最值. 【详解】过点作，垂足分别为， 因为是外接圆的圆心，则为的中点， 则， 由正弦定理得， 等号当且仅当时成立， 则， 所以的最大值为. 故选：C 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列选项正确的是（ ） A. 能作为平面内所有向量的一组基底 B. C. D. 的夹角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算逐项运算即可判断每个选项的正误. 【详解】由，可得，所以不共线， 所以能作为平面内所有向量的一组基底，故A正确； 由，所以， 所以，所以，故B正确； ，所以，故C错误； ，故的夹角为，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 复数的模为 B. 复数的虚部为﹣1 C. 若，则 D. 若复数满足，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数模长公式和虚部的定义可以判断A、B选项，虚数不能比较大小，可判断C选项，举反例即可判断D选项. 【详解】对于A选项，，故A正确， 对于B选项，的虚部为，故B正确， 对于C选项，因，均为虚数，虚数不能比较大小，故C错误， 对于D选项，令 ，则，故D错误， 故选：AB. 11. 已知函数，，则（  ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数关于对称 C. 函数的值域为 D. 函数在上是减函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二倍角公式可得，即可判断；根据正切函数的对称中心即可判断；利用换元法可得，，根据正弦函数的单调性即可判断；由三角恒等变换可得，根据函数图象变换结合正弦函数的单调性即可判断. 【详解】由已知， 因为，所以函数的最小正周期为，故正确； 因为，正切函数的对称中心为，， 当时，的对称中心为，故正确； 因为，设，所以，， 因为在上单调递增，所以值域为， 所以的值域为，故错误； ， 设，因为，所以， 所以，， 因为当时， ， 所以， 又当时，单调递增， 所以在上单调递减， 即在上是减函数，故正确. 故选：. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的几何意义结合复数的模相等求解即可. 【详解】由题意可设对应向量为对应的向量为， 由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直， 则解得. 故答案为： 13. 已知，且为第三象限角，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由已知得且，结合同角三角函数的平方关系即可求. 【详解】， ∴， 又为第三象限角， 所以， 由知：. 故答案为：. 14. 在中，角的对边分别为，且.若，则对的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用三角恒等变换及三角形内角的性质求得，令，结合向量数乘的几何意义及减法法则化简向量并求其模长. 【详解】由，得， 所以， 因为，则，所以， 设，则点在直线上，所以， 当时，最小，其最小值为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知复数和它的共轭复数满足. （1）求； （2）若是关于的方程的一个根，求复数的模长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，结合共轭复数的定义，以及复数相等的条件，即可求解． （2）根据已知条件，结合韦达定理，求出，再结合复数的模的运算法则即可求解． 【小问1详解】 设， 则， 所以，解得， 故. 【小问2详解】 是关于的方程的一个根， 是关于的方程的另一个根， ，解得， . 16. 已知中，内角的对边分别为，若向量，且向量. （1）求角的值； （2）若，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量平行得到从而利用余弦定理求解得到 （2）利用正弦定理得到进而得到从而求解出周长. 【小问1详解】 因为，所以， 即， 所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由正弦定理，将代入，得， 因为，所以， 所以， 故的周长为. 17. 已知函数，（，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据周期求出，代入点求出即可； （2）根据自变量范围，结合正弦函数的性质及值域，建立不等式即可得解. 【小问1详解】 由图可知，函数的最小正周期满足：，解得， 因为，故， 依题意，把点代入，可得， 因为函数图象在附近呈上升趋势，故得，， 又，则， 故函数的解析式为． 【小问2详解】 对于， 因为，则， 由函数在区间上的值域为， 可得在区间上的值域为， 作出其图象，可知需使，解得， 即实数的取值范围是． 18. 在平行四边形中，是线段的中点，点在直线上，且. （1）当时，求的值； （2）当时，与交于点，求的值； （3）求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以，为基底表示，，再根据数量积运算律和定义求结论， （2）设，，以，为基底表示，结合平面向量基本定理列方程求，，由此可得，再求，，由此可得结论， （3）以，为基底表示，，再根据数量积运算律和数量积的定义求，结合二次函数性质求其最小值. 【小问1详解】 由已知当时，， 所以，， 所以， 因为，所以， . 【小问2详解】 当时，，即为的中点， 因为三点共线， 设，则 ， 因为三点共线， 设，则， 又不共线， 根据平面向量基本定理得解得 所以，又，则 所以. 【小问3详解】 因为，， 所以 ， 由（1），又， 所以 ， 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为. 19. 定义：若非零向量，函数解析式满足，则称为的“线性函数”，为的“线性向量”， （1）若向量为函数的“线性向量”，求 （2）若函数为向量的“线性函数”，在中，，且，求的值； （3）若函数为向量的“线性函数”，且当时，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据两角和差公式及新定义计算结合模长求解； （2）先应用正弦定理计算，再应用余弦定理求解； （3）应用辅助角公式结合三角函数值域计算求参； 【小问1详解】 因为， 则，故 【小问2详解】 依题意，， 由可得， 因，则，故，解得， 因，则， 又，代入解得①， 由正弦定理，，可得， 代入①，可得②， 又由余弦定理，， 可得③， 于是， 解得. 【小问3详解】 ， 当时，， 由，得， 或， 由，即，而，解得或， 即在上有两个根， 方程在上存在4个不相等的实数根， 当且仅当且在上有两个不等实根， 在同一坐标系内作出函数在上的图像和直线，如图， 方程在上有两个不等实根， 当且仅当函数在上的图像和直线4）有两个公共点， 观察图像知：或， 解得或， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 张家口市2024—2025学年度高一年级第二学期期中考试 数学试卷 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章，必修第二册第六章、第七章7.1，7.2． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. ，是平面内不共线两向量，已知，，若，，三点共线，则的值为（ ） A. B. C. -4 D. 4 3. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 4. 设与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知角A、B是的内角，则“”是“”的（ ）条件 A 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 6. 如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，则破裂的断点两点间距离为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，若．则最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，是外接圆的圆心，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列选项正确的是（ ） A. 能作为平面内所有向量的一组基底 B C. D. 的夹角为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 复数的模为 B. 复数的虚部为﹣1 C. 若，则 D. 若复数满足，则 11. 已知函数，，则（  ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数关于对称 C. 函数的值域为 D. 函数在上是减函数 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 13. 已知，且为第三象限角，则______. 14. 在中，角的对边分别为，且.若，则对的最小值为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知复数和它的共轭复数满足. （1）求； （2）若是关于的方程的一个根，求复数的模长. 16. 已知中，内角的对边分别为，若向量，且向量. （1）求角值； （2）若，求的周长. 17. 已知函数，（，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 18. 在平行四边形中，是线段的中点，点在直线上，且. （1）当时，求的值； （2）当时，与交于点，求的值； （3）求的最小值. 19. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的“线性函数”，为的“线性向量”， （1）若向量为函数的“线性向量”，求 （2）若函数为向量的“线性函数”，在中，，且，求的值； （3）若函数为向量“线性函数”，且当时，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$