精品解析：2025届江西省南昌市东湖区南昌中学高三模拟预测数学试题

南昌中学2024-2025学年度“校模考” 高三数学试卷 命题：高三数学组 审题：张金生 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的) 1. 8月20日《黑神话悟空》风靡全球，下列几组对象可以构成集合的是（ ） A. 游戏中会变身的妖怪 B. 游戏中长的高的妖怪 C. 游戏中能力强的妖怪 D. 游戏中击败后给奖励多的妖怪 2. 关于复数与其共轭复数，下列结论正确的是（ ） A. 在复平面内，表示复数和的点关于虚轴对称 B. C. 必为实数，必为纯虚数 D. 若复数为实系数一元二次方程的一根，则也必是该方程的根 3. 已知三点A，B，C共线，不共线且A在线段BC上（不含BC端点），若，则的最小值为（ ） A. 不存在最小值 B. C. 4 D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. - 5. 艳阳高照的夏天，“小神童”是孩子们喜爱的冰淇淋之一．一个“小神童”近似为一个圆锥，若该圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，圆锥的母线长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的方程在内恰有3个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．） 9. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 中位数就是第50百分位数 B. 已知随机变量，若，则 C. 已知随机变量，且函数为偶函数，则 D. 已知采用分层抽样得到的高三年级男生､女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为120. 10. 已知函数，则（ ） A. 为周期函数 B. 存在，使得的图象关于对称 C. 在区间上单调递减 D. 的最大值为 11. 数学中有许多形状优美的曲线，如图，曲线与轴交于两点，与轴交于两点，点是上一个动点，则（ ） A. 点在上 B. 面积的最大值为 C. 曲线恰好经过个整点（即横，纵坐标均为整数的点） D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡的相应位置上） 12. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P在双曲线右支上运动不与顶点重合，设与双曲线的左支交于点Q，的内切圆与相切于点若，则双曲线C的离心率为_____________________. 13. 已知函数，若函数的图象在点和点处的两条切线相互平行且分别交轴于、两点，则的取值范围为______. 14. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 为了提高市民的业余生活质量，因地制宜地利用空置土地资源，某市规划管理局拟在交通便利的区域规划一个休闲区，由于该市三环路附近有一个便捷的停车场和一片三角形空置区域，该市规划管理局准备在三角形空置区域规划三个功能区：如图所示，区域规划为游客餐饮服务区，区域规划为微型游乐场，区域规划为网红打卡区. 已知，m，m，， （1）若m，求的长； （2）若，求的值； 16. 如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合. （1）已知，直线过点与曲线交于两点，若，求直线的方程； （2）已知，斜率为的直线过点与曲线交于两点，若，求实数的最大值. 17. 如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D是棱BC的中点． （1）求证：平面； （2）在棱上AC是否存在点M，其中，使得平面与平面所成角的大小为60°，若存在，求出；若不存在，说明理由． 18. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求的值； （2）若，证明：； （3）若在上有且仅有一个极值点，求正实数的取值范围． 19. 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的乘积，形成一个新数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“J延拓”.如数列1，2第一次“J延拓”后得到数列1，2，2，第二次“J延拓”后得到数列1，2，2，4，将数列a，b，c经过n次“J延拓”后所得数列的项数记为，所有项的乘积记为 （1）给定数列，2，1，回答下列问题： ①求， ②若，求正整数n的最小值. （2）已知数列，其中，求该数列经过3次“J延拓”后，能被48整除的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌中学2024-2025学年度“校模考” 高三数学试卷 命题：高三数学组 审题：张金生 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的) 1. 8月20日《黑神话悟空》风靡全球，下列几组对象可以构成集合的是（ ） A. 游戏中会变身的妖怪 B. 游戏中长的高的妖怪 C. 游戏中能力强的妖怪 D. 游戏中击败后给奖励多的妖怪 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的确定性依次判断选项即可. 【详解】对A：游戏中会变身的妖怪可以构成集合，故A正确； 对B、C、D：不满足集合的确定性，故不能构成集合，故B、C、D错误. 故选：A. 2. 关于复数与其共轭复数，下列结论正确的是（ ） A. 在复平面内，表示复数和的点关于虚轴对称 B. C. 必为实数，必为纯虚数 D. 若复数为实系数一元二次方程的一根，则也必是该方程的根 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的几何意义可判断A正确，时可排除BC，易知当一元二次方程有两实根时正确，若可得方程两根互为共轭复数，即D正确. 【详解】对于选项A，表示复数和的点关于实轴对称，故A错误： 对于选项B和选项C，当时均不成立，故BC错误； 对于选项D，若方程的可得为实数，即，符合题意； 若，则方程的两个复数根为和， 此时两根互为共轭复数，因此D正确. 故选：D 3. 已知三点A，B，C共线，不共线且A在线段BC上（不含BC端点），若，则的最小值为（ ） A. 不存在最小值 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件，由三点共线的充要条件可知，所以，由“乘1”法结合基本不等式即可求解. 【详解】设，因为A在线段BC上（不含BC端点）， 所以由向量共线定理设， 所以， 由题意有，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. - 【答案】D 【解析】 【分析】根据角的变换及二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】因为， 所以 . 故选：D 5. 艳阳高照的夏天，“小神童”是孩子们喜爱的冰淇淋之一．一个“小神童”近似为一个圆锥，若该圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，圆锥的母线长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥的底面圆的半径为，由题意可得，可求，由圆锥的体积公式可求体积. 【详解】设圆锥的底面圆的半径为，则底面圆的面积为， 侧面面积为，由题意知， 所以，解得， 因此该圆锥的高， 故该圆锥的体积． 故选：C． 6. 已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据的性质画出函数图象，然后把函数仅有4个零点，转化为函数与有4个交点，数形结合即可求解． 【详解】当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 又函数是定义在上偶函数，其图象关于轴对称作出函数图象： 因为函数仅有4个零点，所以函数与有4个交点， 根据图象可知：，即实数的取值范围是． 故选：C． 7. 已知关于x的方程在内恰有3个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，根据方程有3个不相等的实数根可得，求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 由，可得， 因为方程有3个不相等的实数根，所以由正弦函数的图像可得， 解得，所以的取值范围． 故选：B． 8. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三个数进行恒等变形，使三个数中都出现，结合三个数据的形式构造定义域在上的函数，通过求导分析函数单调性，确定时的函数值与的大小关系，即可比较三个数的大小. 【详解】由题意得，. 令，则， 令，则， 令，则，当时，， ∴在上是减函数，且，， ∴，使得， ∴当时，，当时，， ∴在上为增函数，在为减函数. ∵，， ∴当时，， ∴在上为增函数. ∵， ∴， ∴. ②令， 则， ∴在上为增函数. ∵, ∴， ∴. 故选：B. 【点睛】方法点睛：构造函数比大小问题，比较两个数大小的方法如下： ①将两个数恒等变形，使两数有共同的数字， ②将看成变量，构造函数， ③分析包含的某个区域的函数单调性， ④根据函数单调性比较大小. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．） 9. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 中位数就是第50百分位数 B. 已知随机变量，若，则 C. 已知随机变量，且函数为偶函数，则 D. 已知采用分层抽样得到的高三年级男生､女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为120. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用中位数的概念即可判断A正确；对于选项B，利用二项分布的方差公式及方差性质求解；对选项C，利用正态分布的对称性即可求解，对选项D，利用平均数和方差公式计算即可 【详解】对于选项A，中位数就是第50百分位数，选项A正确； 对选项B，，则，故B正确； 对选项C，，函数为偶函数， 则， 区间与关于对称， 故，选项C正确； 对选项D，分层抽样的平均数， 按分成抽样样本方差的计算公式，选项D错误. 故选：ABC 10. 已知函数，则（ ） A. 为周期函数 B. 存在，使得的图象关于对称 C. 在区间上单调递减 D. 的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】证明，结合周期函数定义判断A，证明函数为奇函数，结合周期性证明若函数存在对称轴，则为其对称轴，推出矛盾，判断B，利用导数判断指定区间函数的单调性，判断C，结合正弦函数性质可得，进一步说明等号不成立，判断D. 【详解】由于，故，所以为的周期，A正确； 函数的定义域为，定义域关于原点对称，， 所以为奇函数， 假设图象关于对称，则函数为偶函数， 所以，故， 所以，又，所以为函数的对称轴， 所以， 但，， 所以，矛盾，所以图象不关于对称，B错误； 因为，化简整理得， 当时，， 函数的图象为开口向上，对称轴为的抛物线， 若，则， 所以当时，， 故在区间上单调递减，C正确； 因为，当且仅当时取等号， 但当，即时，，所以，D不正确． 故选：AC. 11. 数学中有许多形状优美的曲线，如图，曲线与轴交于两点，与轴交于两点，点是上一个动点，则（ ） A. 点在上 B. 面积的最大值为 C. 曲线恰好经过个整点（即横，纵坐标均为整数的点） D. 【答案】BD 【解析】 【分析】将点代入曲线方程判断A，由方程取求点的坐标，取求坐标，求直线与曲线的交点，由此判断B，求直线与曲线的交点，判断C，求到点距离和为的点的轨迹，求该轨迹与已知曲线的交点，由此判断D. 【详解】将点代入曲线的方程的左侧可得， 所以点不在曲线上，A错误； 取可得，所以，，所以， 由曲线可得，因为， 设， 当时，， 当时，，代入曲线的方程成立， 所以直线与曲线的交点坐标为， 所以点的纵坐标的绝对值的最大值为， 所以面积的最大值为，，B正确； 由，取，可得， 所以直线与曲线交于点，直线与曲线交于点， 所以曲线经过点，C错误； 坐标平面内到定点的距离和为的点的轨迹为以为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆方程为，由已知， 又，故， 所以椭圆方程为， 联立，所以， 所以，所以， 所以， 故椭圆与曲线的交点为，， 如图： 故曲线上的所有点都满足故选，D正确； 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于结合曲线方程，确定曲线的范围及曲线上的关键点的坐标. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡的相应位置上） 12. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P在双曲线右支上运动不与顶点重合，设与双曲线的左支交于点Q，的内切圆与相切于点若，则双曲线C的离心率为_____________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义以及三角形内切圆的性质，找出的值，再结合双曲线中、、的关系求出的值，最后根据离心率公式求解. 【详解】设的内切圆与与相切于点，相切于点， 根据切线长定理可知：，，. 由双曲线的定义可知：，.  ，. 则. 又因为， 所以.  所以，即，解得.  在双曲线中，，根据可得： .  根据离心率公式，可得.  故答案为：. 故答案为：. 13. 已知函数，若函数的图象在点和点处的两条切线相互平行且分别交轴于、两点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由可得出，利用弦长公式得出，利用导数求出函数在上的值域，即可为所求. 【详解】当时，，，则， 当时，，，则， 因为函数的图象在点和点处的两条切线相互平行， 则，即，则， ，， 所以，， 令，其中，则， 当时，，此时函数在上单调递减， 当时，，此时函数在上单调递增， 所以，，因此，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用切线斜率相等得出、所满足的关系式，然后将转化为含的函数，转化为函数的值域问题求解. 14. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】定义从出发最终从1号口出的概率为，结合独立乘法、互斥加法列出方程组即可求解. 【详解】设从出发最终从1号口出的概率为，所以，解得. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 为了提高市民的业余生活质量，因地制宜地利用空置土地资源，某市规划管理局拟在交通便利的区域规划一个休闲区，由于该市三环路附近有一个便捷的停车场和一片三角形空置区域，该市规划管理局准备在三角形空置区域规划三个功能区：如图所示，区域规划为游客餐饮服务区，区域规划为微型游乐场，区域规划为网红打卡区. 已知，m，m，， （1）若m，求的长； （2）若，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出正切值，再应用余弦定理计算得出，即可求解； （2）应用正弦定理得出及，再结合已知条件得出即可求角. 【小问1详解】 因为， 得，又，所以． 若，在中，由余弦定理，得， 解得，所以，所以， 所以为等腰三角形，所以． 【小问2详解】 设，在中，由正弦定理，得， 同理， 又，所以， 所以， 即，又，所以，即，所以． 16. 如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合. （1）已知，直线过点与曲线交于两点，若，求直线的方程； （2）已知，斜率为的直线过点与曲线交于两点，若，求实数的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据直线与圆锥曲线的综合运用，设直线方程为，联立椭圆或双曲线方程，结合韦达定理，向量数量积的坐标运算即可求解； （2）根据已知条件，由得到，再判断出直线与双曲线右支无交点，从而转化为直线与椭圆交于两点，利用韦达定理将表示为斜率的函数求最值即可． 【小问1详解】 当时，椭圆，双曲线. 联立，由得， 由得，两式相减消去得， 代入双曲线方程得，又因为点在第一象限，所以. 设.， 由，得，即，所以， 当直线斜率不存在时，其方程为，此时，则， 成立. 当直线斜率存在时，由题知交点必定在直线两侧，即左侧为与椭圆的交点，右侧为直与双曲线的交点，易知当交点在位于第一象限椭圆上曲线段之间时，，此时，故不可能，舍去； 因为双曲线的渐近线方程为， 所以直线与双曲线没有横坐标大于2的交点， 即当交点位于椭圆第二象限时，不可能，舍去；同理：当直线与椭圆交于轴下方时，也舍去， 综上：直线方程为. 【小问2详解】 如图，已知，由（1）知椭圆，双曲线. 直线过点且斜率为，则直线的方程为. 设，由， 根据三角形面积公式， 则， 即. ， 因为双曲线的渐近线方程为，而，故直线与双曲线右支无交点， 故均为直线与椭圆的交点，联立， 消去得，则， ， 令，则， 设，则，当时，即，解得或，因为，所以在上，单调递增. 故单调递增且，所以单调递减，所以当时取得最大值，又所以的最大值为. 17. 如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D是棱BC的中点． （1）求证：平面； （2）在棱上AC是否存在点M，其中，使得平面与平面所成角的大小为60°，若存在，求出；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 证明：连接交于点, 由于四边形为矩形，所以为的中点， 又点D是棱BC的中点，故在中，是的中位线，因此, 平面， 平面,所以平面 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线得线线平行，即可证明线面平行， （2）根据空间向量，利用法向量的夹角即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面ABC，可知，三棱柱为直三棱柱，且底面为直角三角形， 故以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系; 则 由得, , 设平面的法向量为，则 ，取，得， , 设平面的法向量为，则 ，取，得， 故 ， 化简得 由于 ，所以， 故棱上AC存在点M，其中，即，使得平面与平面所成角的大小为60°. 18. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求的值； （2）若，证明：； （3）若在上有且仅有一个极值点，求正实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2）若，则， 若，等价于， 设，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即，所以. （3） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程，进而结合面积列式求解即可； （2）分析可知原不等式等价于，构建，利用导数分析证明； （3）构建，分析可知原题意等价于有零点，利用导数分析求解. 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为，且， 则，， 即切点坐标为，切线斜率，则切线方程为， 令，可得， 可知切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，解得或， 所以的值为或. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）可知：， 令，整理可得， 设， 则， 因为，，所以， 所以函数在上单调递减，且当趋近于，趋近于， 所以只需，得， 所以正实数的取值范围. 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 19. 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的乘积，形成一个新数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“J延拓”.如数列1，2第一次“J延拓”后得到数列1，2，2，第二次“J延拓”后得到数列1，2，2，4，将数列a，b，c经过n次“J延拓”后所得数列的项数记为，所有项的乘积记为 （1）给定数列，2，1，回答下列问题： ①求， ②若，求正整数n的最小值. （2）已知数列，其中，求该数列经过3次“J延拓”后，能被48整除的概率. 【答案】（1）①，；②7； （2） 【解析】 【分析】（1）①利用定义写出数列，进而求出；②求出的递推公式，进而求出通项，再求出的通项，并求出n的最小值. （2）利用定义求出的表达式，法1，利用概率的性质，结合古典概率求解；法2，借助排列、组合计数问题求出古典概率. 【小问1详解】 给定数列，2，1， ①经过1次“J延拓”后得到数列：，，2，2，1， 经过2次“J延拓”后得到数列：，2，，，2，4，2，2，1， 则，； ②数列，2，1第n次“J延拓”后得到数列，记为，，，， 第次“J延拓”后，每两项之间添加1项，共添加了项， 则总项数，即，又， 因此是首项为4，公比为2的等比数列，，即， 第次“J廷拓”后，每相邻两项之间插入这两项的乘积， 则在计算所有项的乘积时，因子共出现了3次，，，共出现了2次，，， 于是所有项的乘积，即， 两边同时取以e为底的对数，则， 而，是首项为，公比为3的等比数列， 因此，， 由，则，， 当时，， 当时，， 所以的最小值为7. 【小问2详解】 设事件该数列经过3次"延拓"后，能被48整除， 由a，b，c都有6种可能性，得基本事件总数为， 依题意，，，，则， 而，要使能被48整除，则中既要有能被2整除的数，又要有能被3整除的数， 法一：记事件“”，事件“”， 则，， 所以该数列经过3次“J廷拓”后，能被48整除的概率为. 法二：令集合，，， ①在集合M，N，T中各取一个数构成数列，共有种； ②在集合M中取两次数，集合N中取一个数构成数列，共有种； ③在集合N中取两次数，集合M中取一个数构成数列，共有种， 所以该数列经过3次“J廷拓”后，能被48整除的概率为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $