专题06 圆（14题型）（山东专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题06 圆 题型概览 题型01 命题与证明 题型02 垂径定理 题型03 圆周角定理及其推论 题型04 圆内接四边形 题型05 与弧长有关的计算 题型06 切线长定理 题型07 正多边形与圆 题型08 与扇形面积有关的计算 题型09 与切线的判定有关的证明与计算 题型10 与切线的性质有关的证明与计算 题型11 尺规作图 题型12 圆与解直角三角形综合 题型13 圆与相似综合 题型14 圆与解三角形、相似综合 01命题与证明 1．（2025·山东东营·一模）下列是真命题的是（    ） A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 B．三角形有且只有一个外接圆 C．平分弦的直径垂直于弦 D．过三点有且只有一个圆 【答案】B 【分析】根据垂径定理、圆周角定理、三角形的外接圆、确定圆的条件即可一一判断； 【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；错误，在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角可能相等也可能互补；即A是假命题． B、三角形有且只有一个外接圆；正确，即B是真命题； C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，即C是假命题． D、过不在同一条直线上的三点有且只有一个圆．即D是假命题． 故选：B． 2．（2025·山东东营·一模）下列命题正确的是（         ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平分弦的直径垂直于弦 C．面积之比为的两个相似三角形的周长之比也是 D．顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质、垂径定理的推论、相似三角形的性质、中点四边形等知识，根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选项错误，不符合题意； B．平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，故选项错误，不符合题意； C．面积之比为的两个相似三角形的周长之比是，故选项错误，不符合题意； D．顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，故选项正确，符合题意； 故选：D． 02垂径定理 3．（2025·山东日照·一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AC=12，sinB=，则⊙O的半径为（   ） A．6.5 B．7.5 C．8.5 D．10 【答案】B 【详解】试题解析：作直径AD，连结DC，如图， ∵∠D=∠B， ∴sinD=sinB=， ∵AD为直径， ∴∠ACD=90°， 在Rt△ADC中，sinD=， ∴AD==15， ∴OA=AD=7.5， 即⊙O的半径为7.5． 故选B． 4．（2025·山东日照·一模）如图，内接于，是的直径，交于点C，若，则的度数为 °．    【答案】28 【分析】本题考查了垂径定理，平行线的性质，圆周角定理，先根据圆周角定理以及平行线的性质得，再结合垂径定理得，故，即可求出，再结合圆周角定理得，即可作答． 【详解】解：连接记与的交点为，如图所示：    ∵是的直径， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 03 圆周角定理 5．（2025·山东济南·一模）如图，点A，B，C，D是上的点，是的直径，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是的直径，可得，进而可得，问题随之得解． 【详解】∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．（2025·山东枣庄·一模）如图，是的直径，C，D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于E，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 连接，根据圆周角定理可得，由为的切线可得，根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】连接，如图所示， ∵，， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 故选：C. 7．（2025·山东淄博·一模）如图，为的直径，点C在上，且于点O，弦与相交于点E，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角定理等知识．先根据圆周角定理求出，再根据三角形外角定理即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是外角， ∴． 故选：B 8．（2025·山东淄博·一模）如图，线段是的直径，，为上两点，如果，，那么的度数是 ． 【答案】30 【分析】本题考查圆周角定理，特殊角的三角函数值，连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，得到，即可得出结果． 【详解】解：连接，则：， ∵线段是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 9．（2025·山东威海·一模）如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（    ） A． B．4 C．6 D． 【答案】A 【分析】根据作图知CE垂直平分AC，即可得，，根据圆的半径得，，根据圆周角的推论得，根据勾股定理即可得． 【详解】解：根据作图知CE垂直平分AC， ∴，， ∴， ∴， 即， ∵线段AB是半圆O的直径， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， 故选A． 10．（2025·山东青岛·一模）如图，A、B、C、D均为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦长时，发现C点、D点分别与刻度1和4对齐，则A、B两点的距离是（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据点B，找到十二等分点的第六个分点E，连接，则为圆上的直径，连接，取的中点O，连接、，在证为等边三角形，根据刻度尺得出圆半径，根据圆周角定理得为直角三角形，根据勾股定理即可求出． 【详解】如图，在圆上取点E，连接，使得为圆上的直径，连接，取的中点O，连接、， C、D均为圆周上十二等分点， 占2个分点，， ， 为等边三角形， C点、D点分别与刻度1和4对齐， ，即， 由图可知：占4个分点，为直径， 占2个分点，，， ， ， 中 ， 故选：C． 11．（2025·山东枣庄·一模）如图，已知五边形为正五边形，以点A为圆心，以的长为半径画弧，分别交，的延长线于点F，G，连接，，则 ． 【答案】/18度 【分析】本题考查圆周角的性质，正多边形的性质以及等腰三角形的性质．连接，，首先，由正五边形内角和公式求出内角的度数，进而得到的度数，然后，根据等腰三角形性质求出和的度数，求出的度数，最后通过，求出的度数． 【详解】解：如图，连接， 则与是上弧所对的圆心角和圆周角， ∴，， ∵五边形为正五边形， ， 在等腰，， ∴； 同理：， ， ∴； 故答案为：． 04 圆内接四边形 12．（2025·山东东营·一模）已知的半径是，A 是上一点，过 A 作弦，，则弦所对的圆周角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形定理，熟练掌握这两个定理是解题的关键．注意：圆当中一条弦对了两条弧，也就对了两个圆周角，做题时防止漏掉一个解． 先计算出的度数，根据圆周角定理即可求出的度数，再根据圆的内接四边形定理，可得的度数 ，这两个角都是弦所对的圆周角． 【详解】解：如图， ∵的半径为2，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，      ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴弦所对的圆周角的度数是或． 故答案为：或． 13．（2025·山东德州·一模）如图，四边形内接于，是的直径，，点E在上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，连接，根据圆内接四边形的性质，得，再得到，再根据圆周角定理即可求解，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 05 与弧长有关的计算 14．（2025·山东潍坊·一模）如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则    的长为（　　） A． B． C．2π D． 【答案】D 【详解】分析：先计算圆心角为120°，根据弧长公式=，可得结果． 详解：连接OD， ∵∠ABD=30°， ∴∠AOD=2∠ABD=60°， ∴∠BOD=120°， ∴的长== ， 故选D． 15．（2025·山东枣庄·一模）如图①是山东舰航徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母横空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线长为 ． 【答案】13. 【分析】由扇形弧长求出底面半径，由勾股定理即可求出母线AB的长． 【详解】解：∵圆锥底面周长=侧面展开后扇形的弧长= ∴OB=， 在Rt△AOB中，AB=， 所以，该圆锥的母线长为13. 故答案为：13． 16．（2025·山东东营·一模）在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用扇形的弧长等于圆锥的底圆周长求解即可． 【详解】解：由题意可知： 扇形的弧长 设底面圆半径为r, ∵扇形的弧长等于圆锥的底圆周长 ∴，解得：， 故选：C． 17．（2025·山东泰安·一模）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关键．利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径，再利用矩形的性质证得是等边三角形，得到，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，，交于点， ∵ ， ∴是直径， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴门洞的圆弧所对的圆心角为 ， ∴改建后门洞的圆弧长是， 故选：C． 18．（2025·山东青岛·一模）如图，在扇形中，平分交弧于点．点为半径上一动点若，则阴影部分周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，先作扇形关于对称的扇形 连接交于，再分别求解的长即可得到答案． 【详解】解： 最短，则最短， 如图，作扇形关于对称的扇形 连接交于， 则 此时点满足最短， 平分 而的长为： 最短为 故答案为： 06 切线长定理 19．（2025·山东淄博·一模）如图，四边形是的外切四边形，且，，的半径，则四边形的面积为（   ） A．44 B．88 C．100 D．110 【答案】D 【分析】本题考查的是切线长定理的应用，如图，连接，，，，作出过切点的半径，，，，证明，再利用割补法求解面积即可. 【详解】解：如图，连接，，，，作出过切点的半径，，，， ∵四边形是的外切四边形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的面积为： ； 故选：D 07 正多边形与圆 20．（2025·山东济南·一模）若一个正多边形的每个外角是，则它共有几条对角线（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查的是多边的外角和，多边形的对角线及正多边形的概念和性质．正多边形的每个外角都相等．n边形的对角线条数为条，据此根据多边形外角和定理求出边数即可得到答案． 【详解】 解：每个外角都是， 这个多边形的边数为：， 这个正多边形的对角线是条． 故选：B． 21．（2025·山东济宁·一模）如图，是正五边形的内切圆，分别切，于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为(   )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正多边形内角和公式求出，根据切线的定义得出，进而可得，再根据圆周角定理可得． 【详解】解：五边形是正五边形， ， 切，于点M，N， ， 又五边形的内角和为， ， ， 故选C． 22．（2025·山东潍坊·一模）如图，在一个边长为的正六边形纸板中截去一个边长为的等边三角形后，余下部分的面积与所截去的等边三角形的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，设正六边形的中心为O，连接，证明是等边三角形，进而推出，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设正六边形的中心为O，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∵正六边形的边长为， ∴是边长为的等边三角形， ∴， ∴余下部分的面积与所截去的等边三角形的面积之比为， 故选：C． 23．（2025·山东青岛·一模）如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形与圆，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，如图，连接，．求出，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，． ，，分别是，，与的切点， ，， ， ， ， ， 故选：C． 08 与扇形面积有关的计算 24．（2025·山东聊城·一模）如图，从一张腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得到的长，再利用弧长公式计算出弧的长，设圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到． 【详解】过作于， ， ， ， 弧的长， 设圆锥的底面圆的半径为，则，解得． 故选A． 25．（2025·山东青岛·一模）如图，正八边形和正六边形的边长均为6，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】根据正八边形、正六边形的性质求出它的内角的度数，进而求出阴影部分扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可．本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，掌握正六边形、正八边形的性质，扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 【详解】解：八边形是正八边形，六边形是正六边形， ，， ， ． 故答案为：． 26．（2025·山东淄博·一模）如图，在半径为6的中，点都在上，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为 .    【答案】 【分析】连接OB，根据平行四边形的性质得到AB=OC，推出△AOB是等边三角形，得到∠AOB=60°，根据扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接OB，    ∵四边形OABC是平行四边形， ∴AB=OC， ∴AB=OA=OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∵OC∥AB， ∴S△AOB=S△ABC， ∴图中阴影部分的面积=S扇形AOB==6π， 故答案为：6π． 27．（2025·山东滨州·一模）已知正方形的边长为4，为边的中点，以为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，以长为直径在正方形内部作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形的面积、正方形的性质等知识，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先根据正方形的性质可得，，，再根据图中阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∵为边的中点， ∴， ∴图中阴影部分的面积是 ， 故选：B． 28．（2025·山东东营·一模）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点是的中点，连接，．以点为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质得出：，，再根据圆内接四边形的性质得出：，进而可得．由垂径定理的推论和圆周角定理的推论可得，进而求出的长，最后根据扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接，   ∵是等边三角形， ， ， ， ∵点为弧的中点， ， ∴垂直平分线段， ∴经过点O，， ， ， ． 故选：A． 29．（2025·山东济南·一模）如图，以为直径的半圆，绕点顺时针旋转，点的对应点为点，交半圆于点，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积等．连接，，根据圆周角定理得出，根据题意可得，求得是等边三角形，结合图形得出，，，利用计算即可得出结果． 【详解】解：连接，， ∵为半圆O的直径， ∴， 由题意得， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 30．（2025·山东日照·一模）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径作弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是学会用分割法求面积，属于中考常考题型． 连接，过点作，垂足为，找出即可求出答案． 【详解】解：连接，过点作，垂足为，如图所示， ，，， ，，， 以点为圆心，的长为半径作弧， ， 是等边三角形， ， ， 是等腰三角形， ， ，， ， 故答案为：． 31．（2025·山东烟台·一模）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是旋转的性质、扇形面积公式、勾股定理，解题关键是理解阴影部分面积的组成． 结合旋转性质得出阴影部分面积可表示为，再结合扇形面积公式及勾股定理即可得解． 【详解】解：根据旋转性质可得： ，，， ，， ， ， ， ， 又中，， 即， ， ． 09 与切线的判定有关的证明及计算 32．（2025·山东日照·一模）如图，在中，，以为直径的交于点D，过D作，垂足为E，的延长线交的延长线于点F． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得出，，得出，进而得出，由，得出，即可证明是的切线； （2）先求出，再由勾股定理求出，最后再用面积法求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵在直角中，， ∴， 解得． 33．（2025·山东泰安·一模）如图所示，是直角三角形，，以为直径的交于点E，点D是边的中点，连接． (1)求证：与相切； (2)若的半径为，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、直角三角形斜边的中线性质等知识． （1）如图连接，由是直径知，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知，再利用，根据等腰三角形的性质知，得到，即得证为切线； （2）由，知，在直角中可利用勾股定理求出，再利用的面积相等求出，然后在直角中利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 又， ∴，又是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵，知， ∴， ∵， ∴， ∴． 34．（2025·山东菏泽·一模）已知：如图，AB是的直径，点C，点D在上，点E在外，． (1)求证：直线AE是的切线； (2)若°，时，求劣弧AC的长（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，∠CBA+∠CAB=90°，由∠EAC=∠B，得到∠CAE+∠CAB=90°，从而可得直线AE是⊙O的切线； （2）连接CO，计算出AO的长，再利用圆周角定理得到∠AOC的度数，然后利用弧长公式可得答案． 【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CBA+∠CAB=90°， ∵∠EAC=∠B， ∴∠CAE+∠CAB=90°， 即∠BAE=90°， ∴BA⊥AE， ∴AE是⊙O的切线． （2）解：连接CO，如图所示： ∵AB=12， ∴AO=6， ∵∠D=60°， ∴∠AOC=2∠D=120°， ∴==4π． 35．（2025·山东济南·一模）如图，为⊙O的直径，A为⊙O上一点，点E为的延长线上一点，连接、、，且．    (1)求证：为⊙O的切线； (2)若，⊙O的半径，求阴影部分的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）连接，结合半径相等得出，再根据已知条件，求出即可得出结论． （2）结合角之间的关系求出的度数，从而求出，利用扇形面积减去的面积即可得出． 【详解】（1）证明：如图所示连接，    为直径 又 为⊙O的切线 （2）解：， 过A点作交于H点 36．（2024·山东枣庄·一模）如图，以菱形的边为直径作交于点E，连接，F是上的一点，且，连接． (1)求证：是的切线． (2)当，时，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径2 【分析】（1）连接，根据是直径，得出，求出，根据菱形的性质得出，，证明，得出，根据平行线的性质得出，得出，即可证明结论． （2）首先证明出是等边三角形，得到，然后利用含度角的直角三角形的性质得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示：      ∵是直径， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴是的切线． （2）∵四边形是菱形 ∴ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴的半径2． 10 与切线的性质有关的证明及计算 37．（2025·山东烟台·一模）如图①，中，．点D为边上一点，以为直径作，点A在O上，过点B作交的延长线于点E，交于点F．连接． (1)求证：； (2)如图②，当与相切时，四边形是什么特殊四边形？证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，见解析 【分析】（1）利用圆周角定理求得，利用等角的余角相等求得，再圆内接四边形的性质求得，即可证明； （2）由，推出，得到，利用切线的性质结合圆周角定理求得，证明，证得四边形是平行四边形，由，推出是菱形． 【详解】（1）证明：∵BD为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 又∵， ∴； （2）解：是菱形． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． 38．（2025·山东威海·一模）如图，是的直径，是的弦，连接是的切线，交的延长线于点，半径交于点． (1)写出图中任意一组相等的角：___________； (2)求证：； (3)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)（）（答案不唯一） (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算，解直角三角形，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明， （2）根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，得到； （3）根据三角形面积公式、扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：（）（答案不唯一）． （2）证明：为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，， ， ， ， ， 11 尺规作图 39．（2025·山东东营·一模）如图，在直径为的半圆O中，C为半圆上一点，连接，利用尺规在上分别截取，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若，，P为上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查作图—基本作图，垂线段最短，角平分线的性质，圆周角的性质． 如图，过点G作于H．根据角平分线的性质定理证明，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，过点G作于H． ∵为半圆的直径， ∴， 由作图可知，平分， ∵， ∴， ∴ 根据垂线段最短得，的最小值为2， 故选：A． 40．（2025·山东烟台·一模）如图，在中，． (1)使用直尺和圆规，作交于点D（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，以D为圆心，的长为半径作弧，交于点E，连接，．根据已作图形，写出图中一个与相等的角 ． 【答案】(1)见详解 (2)见解析， 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质和圆周角定理． （1）利用基本作图，作的垂直平分线得到； （2）先利用得到，再根据圆周角定理得到，根据等角的余角相等得到． 【详解】（1）解：如图，即为所作． （2）解：如图所示： ，， ，平分， 为的直径， ， ， 为的直径， ， ∴， ， ∴， ． 故答案为： 41．（2025·山东潍坊·一模）如图，已知及外一点P． (1)用无刻度的直尺和圆规，按下列作图步骤完成作图并准确标注字母． ①作出线段的垂直平分线交于点A； ②以点A为圆心，为半径作，与交于点B（点B位于直线上侧），作直线． (2)在（1）的条件下，设（1）中所作垂直平分线交于点C． ①求证：是的切线； ②若，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2)①证明见解析，② 【分析】此题考查了基本作图、切线的判定、圆周角定理、勾股定理等知识，准确作图和添加辅助线是解题的关键． （1）按照要求进行作图即可； （2）①连接，由是的直径得到，即于点B，即可证明结论成立；②连接，由勾股定理求出，设，结合垂直平分线的性质可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）证明：①连接， ∵是的直径， ∴， 即于点B， ∴是的切线． ②连接， ∵，， ∴， ∵为的垂直平分线 ∴， 设，则， 在中， ∴ 解得：． ∴． 42．（2025·山东东营·一模）在中，，，，点在斜边上． (1)作出经过点，且与边相切于点的（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）； (2)若（1）中所作的的圆心落在边上，则的半径长为 ； (3)设（1）中所作的与交于点，与交于点，线段的最小值为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，再过点作交于点，最后以点为圆心，线段的长为半径作圆，就是所求的图形； （2）当圆心在上时，连接，则，由切线的性质可得，根据勾股定理得到，证明得到，求出，即可求解； （3）作于点，连接、、，根据等面积法求出，由可知是的直径，得到，当，且的值最小时，则的值最小，再根据即可求解． 【详解】（1）解：作法：连接，作的垂直平分线，再过点作交于点，最后以点为圆心，线段的长为半径作圆，就是所求的图形； 证明：连接， 点在的垂直平分线上， ， 经过点， 是的半径，且， 与相切于点， 就是所求的图形； （2）如图2，当圆心在上时，连接，则， 与相切于点， ， ， ∠ACB＝90°，AC＝3，， ， ， ， ， ＝， ， 解得:， 的半径长为， 故答案为：． （3）如图3，作于点，连接、、， ， ， 解得:， ， 是的直径， ， ， ， 当，且的值最小时，则的值最小， ， ， 的最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 12 圆与解直角三角形 43．（2025·山东烟台·一模）如图，是的直径，点都在上，若点是的中点，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．连接、，根据垂径定理得，可得出，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍得出，易得出，然后根据正弦的定义即可得出，最后根据直径是半径的2倍，即可得出答案． 【详解】解：连接、， 点A是的中点， ，设垂足为点， ， ， 和所对的弧都是， ， ，且， ， ， ， 在中，,，，， ， 是的直径， ， 故答案为：． 44．（2025·山东济南·一模）如图，内接于为直径，交的延长线于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）由圆周角定理得，，证出，则，即，即可得出结论； （2）在中，利用正切函数的定义求得的长，再利用勾股定理求得的长，在中，再利用正切函数的定义即可求解． 【详解】（1）证明：为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 点在上， 是的切线； （2）解：在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴． 45．（2025·山东青岛·一模）如图，O是的外接圆，是的直径，点D是延长线上一点，过点D作，分别交的延长线于点E、F，若点E恰是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角，可得，从而可得，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，然后利用等腰三角形的性质可得，最后利用平角定义求出，即可解答； （2）连接，根据已知可得，从而可得，然后证明是等边三角形，可得，根据，可得，从而可得，即可得是等边三角形，最后利用的面积减去扇形的面积进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴． ∵是的直径， ∴． ∵点E是的中点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， 从而， ∴， 即． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接， 由（1）知：， ∵， ， ∴． ∴， ∴． ∵，E是的中点， ∴， ∴． ∴． 由得是等边三角形，从而． 在中，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 46．（2025·山东济南·一模）如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，． (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若，，求AB的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连接OC，利用三角形的外角定理得到：，因为，可证明，因为，进一步可得； （2）分析可得：，再利用同弧所对圆周角相等可知：，利用，，即可求出AB． 【详解】（1）证明：连接OC， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：连接AC，BC， ∵BE是⊙O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13 圆与相似综合 47．（2025·山东烟台·一模）如图，四边形内接于是的直径．过点作圆的切线交的延长线于点，过点作交的延长线于点．已知，求长度． 【答案】 【分析】在中，勾股定理求得，根据已知证明得出，，进而根据，得出，则，根据，即可求解． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∵是的直径． ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆周角定理，平行线的性质，切线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 48．（2025·山东枣庄·一模）如图，在中，为上一点，以为圆心，长为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点作于点，先由求得，再由及求得，最后根据角平分线的性质可得，依据切线的判定可得证； （2）根据勾股定理得到，证明根据相似三角形的性质求出，进而得到，再证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：过点作于点， 于点， ， ，， ， ， 又为的切线， ， ， ， ，即平分， ， ，是的半径， 是的切线； （2）解：，，， ， ，， ， ，即， ， ， ，， ， ，即 ， 的半径为． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识． 49．（2025·山东济南·一模）如图，直线与相切于点，是的直径，点，在上，且位于点两侧，连接，分别与交于点，连接．若的半径． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）先求得，证明和是等腰直角三角形，则，再根据圆周角定理即可求解； （2）连接，由（1）可知，则，，由圆周角定理可知，再证，得，可得，可得，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵直线l与相切于点A， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴也是等腰直角三角形，则， ∴； （2）连接，由（1）可知， 则， ∵是等腰直角三角形，则， ∴，即， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴，则 ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 50．（2025·山东济宁·一模）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ， ， ， ， ， 连接， 平分， ， ， ， 是的直径， ， ． 51．（2025·山东淄博·一模）如图1所示，，，，是上的四个点，是的直径，，交于点，，． (1)求证：； (2)求的长； (3)连接，交于点，求图2中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题综合考查了等边三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判断和性质以及扇形的面积公式． （1）先根据，可知，再根据即可得出； （2）根据，得出，以此求出的长； （3）由勾股定理得，可证得为等边三角形，则，由垂径定理可知，则，，再根据阴影部分的面积即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， （2）∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：． （3）∵是的直径， ∴， 则， ∴， ∴为等边三角形，则， ∵， ∴，则， ∴阴影部分的面积 ． 52．（2025·山东日照·一模）如图1，等腰中，，以为直径的与所在直线、分别交于点、，于点． (1)求证：为的切线； (2)如图2，当时，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证出，由切线的判定可得出结论； （2）证明，得出，证明，得出，求出的长，由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：证明: 连接， ∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 如图所示, 连接， ∵， 由勾股定理可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ，即 ， 解得， ∵为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 53．（2025·山东济南·一模）如图，为的直径，为的切线，连接交于点，点为弧的中点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，由为的直径，得到，由为的切线，得到，根据点D为弧的中点，得到，再得到，即可得出结论； （2）连接，，即，再得到，证明，得到，即，求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵点D为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 14 圆与解三角形、相似综合 54．（2024·山东烟台·一模）如图，是的外接圆，为的直径，点D为上一点，交的延长线于点E，与交于点F，连接，若． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）连接，由推导出，求出即可得到答案． （2）设的半径为r，求出，列分式方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ， 设的半径为r， ， ， ， ， ， 解得， 经检验是所列分式方程的解， 的半径为． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，切线的判定定理，平行线的性质，锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 55．（2025·山东青岛·一模）如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则，因为，所以，由AD是的直径，得，推导出，即可证明是的切线； （2）因为的半径为5，所以，，由，，得，则，由勾股定理求得，再证明，得，则，且，于是得，求得． 【详解】（1）证明：连接，则， ， ， ， 是的直径， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：的半径为5， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ，且， ， 解得：， 的长为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 56．（2025·山东临沂·一模）如图，点，，在上，是弦的中点，点在的延长线上，连接，，，． （1）求证：是切线； （2）连接，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）根据垂径定理的条件得出，根据已知条件得出，即可证得； （2）先延长，交于点F，利用三角函数和证明即可求出． 【详解】（1）证明：如图1， 是弦的中点，过圆心， 即． 在四边形中， ， ． 又是的半径， 是切线． （2）解：延长，交于点F，如图2． ， ． 在中，， ． 在中，， ． ， 即 ． 57．（2025·山东枣庄·一模）如图，在中，，以为直径作交于点D，过点O作的平行线，交于点E，作射线交的延长线于点F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定与性质和扇形的面积： （1）连接，根据平行得到，，从而可得，然后证明即可求出答案； （2）证明，求出长，由正切得到，根据阴影部分面积可得结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D在上， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴， ∴图中阴影部分的面积 ． 1．（2025·山东威海·一模）已知正六边形内切圆的半径为，则正六边形的面积为（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查正多边形和圆，解直角三角形等有关知识．根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决． 【详解】解：如图，连接；过点O作于点G． ∵是正六边形的一边， ∴，是等边三角形， 在中，，， ∵， ∴， ∴这个正六边形的面积． 故选：B． 2．（2025·山东聊城·一模）如图，的边经过的圆心，与相切于，是上的一点，连接，，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设交于点，连接、，由切线的性质得，则，由圆周角定理得，再根据直径所对的圆周角是直角得，则． 【详解】解：设交于点，连接、， 与相切于， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 故选：C． 【点睛】此题重点考查切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 3．（2025·山东青岛·一模）如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，平行线的性质，熟记圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质求出，再根据平行线的性质及圆周角定理求解即可． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：C． 4．（2025·山东德州·一模）如图，用圆心角为，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（    ）    A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】求出扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径． 【详解】解：扇形的弧长， 圆锥的底面半径为． 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长． 5．（2025·山东淄博·一模）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点C，D的连线交于点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、、，由，可知是直径且值为，可知，根据勾股定理逆定理可判断出是等腰直角三角形，求出，可知的长是圆周长的，利用圆周长公式求解即可． 【详解】解：如图所示：连接、、， ∵， ∴是直径， ∴， 根据网格图形可知： ， ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴所对的圆心角是， ∴的长为以为直径的圆周长的， 即． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理、圆周角定理及其推论、弧长的计算公式、利用网格求线段长等知识，准确的作出辅助线构造出直角三角形和正确的计算是解决本题的关键． 6．（2025·山东潍坊·一模）如图，点是与坐标轴三个交点，是上动点（包括端点和），于点．半径为2，．点从到运动中，线段扫过面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求扇形面积，直径所对的弦是圆的直径；连接，设是的中点．点在第一象限从到运动过程中，点的运动路径（轨迹）圆弧的圆心为，半径为，．根据线段扫过面积即可求解． 【详解】连接，设是的中点． ∵半径为2，． ∴， 中，； 中，． 点在第一象限从到运动过程中，点的运动路径（轨迹）圆弧的圆心为，半径为，． 线段扫过面积 7．（2024·山东烟台·一模）如图，将边长为的正六边形铁丝框（面积记为），变形为以点为圆心，为半径的扇形（面积记为），则的值为（    ）    A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由正六边形的性质的长的长，根据扇形面积公式与弧长公式推得扇形面积可表示为弧长半径，求出；再由正六边形性质，利用等边三角形性质、含的直角三角形性质及勾股定理求出相应线段长度，表示出，作比即可得结果． 【详解】解：，， ， 由题中正六边形变为扇形过程可知：的长度， ， 在正六边形中，，如图所示：   由正六边形性质可知是等边三角形， 在中，，，则， ， ， 故选：A． 8．（2025·山东济南·一模）如图，边长为6的正六边形内接于，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，正六边形的性质等知识点．将阴影部分合并即可得到扇形的面积，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意，图形可转换成下图， ∵是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2024·山东烟台·一模）如图，在中，，，．以点C为圆心，以的长为半径画弧，分别交于点D，E，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，解直角三角形，等边三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 如图所示，过点作于，连接，先解得到，再证明是等边三角形得到；解求出，最后根据进行求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于，连接， ∵，， ∴， ∵以的长为半径画弧，分别交于点， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ， 故答案为：． 10．（2025·山东济南·一模）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是 ． 【答案】2+ 【详解】试题分析：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA． ∵PE⊥AB，AB=2，半径为2， ∴AE=AB=，PA=2， 根据勾股定理得：PE=1， ∵点A在直线y=x上， ∴∠AOC=45°， ∵∠DCO=90°， ∴∠ODC=45°， ∴△OCD是等腰直角三角形， ∴OC=CD=2， ∴∠PDE=∠ODC=45°， ∴∠DPE=∠PDE=45°，   ∴DE=PE=1，   ∴PD= ∵⊙P的圆心是（2，a），   ∴a=PD+DC=2+． 【点睛】本题主要考查的就是垂径定理的应用以及直角三角形勾股定理的应用，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是在于作出辅助线，将所求的线段放入到直角三角形中．本题还需要注意的一个隐含条件就是：直线y=x或直线y=-x与x轴所形成的锐角为45°，这一个条件的应用也是很重要的． 11．（2025·山东淄博·一模）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质、轴对称性质、平行四边形的性质及勾股定理等，确定点、的位置是本题解题的关键． 由正方形的性质，知点是点关于的对称点，过点作，且使，连接交于点，取，连接、，则点、为所求点，进而求解． 【详解】解：的面积为，则圆的半径为，则， 由正方形的性质，知点是点关于的对称点， 过点作，且使， 连接交于点，取，连接、，则点、为所求点， 理由：，且，则四边形为平行四边形， 则， 故的周长的最小值， ， 则的周长的最小值为， 故答案为：． 12．（2025·山东济宁·一模）如图，是的直径，点A在上，点C在的延长线上，，平分交于点D，连接． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直径对的圆周角是直角，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角为直角得到．根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到．求得．连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ． ． ， ． ∵， ． ． ． 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ． ． ∴． ． ． 如图，连接， 平分， ． ． ． 是的直径， ． ． ． 13．（2025·山东东营·一模）如图，在中，是直径，是弦，F是上的一点，交于点为延长线上的一点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）圆周角定理推出，根据，结合三角形的内角和定理，推出，即，即可得证； （2）连接，得出，直径得到，在中，勾股定理求出的长，证出，设，则，在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：， ． ，， ，即， 是的半径， 是的切线； （2）解：连接． ， ， 是的直径， ， ， ． ， ∴， 设，则， 在中，， ， ， ， 的半径为． 14．（2025·山东烟台·一模）如图，在平行四边形 中，过 三点的 交 于点 ，连结 ． (1)求证： ． (2)如图 2 ，已知 为 的切线，连结 并延长交 于点 ． ①求证： ； ②若 ，求 的值． 【答案】(1)见解析(2)①见解析；② 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，再根据同角的补角相等得，可得最后根据等角对等边得出答案； （2）①延长 交 于点 ，连结 ， 根据切线的性质和平行线的性质，及垂径定理得是的垂直平分线，得，再根据等腰三角形的性质得，进而得出，最后根据“弧，弦，圆心角的关系”得，即可得出结论； ②延长交的延长线于点M，设，则,进而得出再说明， 可求出，然后证明，可得，，接下来说明，再设，则，根据相似三角形的对应边成比例求出 ，最后根据得出答案. 【详解】（1）证明： ． ， ； （2）①证明：如图，延长 交 于点 ，连结 ， 切 于点， ， ∵， ∴ ， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， 即． ②如图3，延长交的延长线于点M，设，则． 由， ∴， ∴． 由，得， ， 解得． 由 得. ∵， ∴， ∴ ． ∴， ∴， ∴． ∵，且， ∴， ∴． 设，则，得  ， 解得， ∴， ∴． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 圆 题型概览 题型01 命题与证明 题型02 垂径定理 题型03 圆周角定理及其推论 题型04 圆内接四边形 题型05 与弧长有关的计算 题型06 切线长定理 题型07 正多边形与圆 题型08 与扇形面积有关的计算 题型09 与切线的判定有关的证明与计算 题型10 与切线的性质有关的证明与计算 题型11 尺规作图 题型12 圆与解直角三角形综合 题型13 圆与相似综合 题型14 圆与解三角形、相似综合 01命题与证明 1．（2025·山东东营·一模）下列是真命题的是（    ） A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 B．三角形有且只有一个外接圆 C．平分弦的直径垂直于弦 D．过三点有且只有一个圆 2．（2025·山东东营·一模）下列命题正确的是（         ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平分弦的直径垂直于弦 C．面积之比为的两个相似三角形的周长之比也是 D．顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 02垂径定理 3．（2025·山东日照·一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AC=12，sinB=，则⊙O的半径为（   ） A．6.5 B．7.5 C．8.5 D．10 4．（2025·山东日照·一模）如图，内接于，是的直径，交于点C，若，则的度数为 °．    03 圆周角定理及其推论 5．（2025·山东济南·一模）如图，点A，B，C，D是上的点，是的直径，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．（2025·山东枣庄·一模）如图，是的直径，C，D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于E，则为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·山东淄博·一模）如图，为的直径，点C在上，且于点O，弦与相交于点E，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山东淄博·一模）如图，线段是的直径，，为上两点，如果，，那么的度数是 ． 9．（2025·山东威海·一模）如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（    ） A． B．4 C．6 D． 10．（2025·山东青岛·一模）如图，A、B、C、D均为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦长时，发现C点、D点分别与刻度1和4对齐，则A、B两点的距离是（    ） A． B． C． D．6 11．（2025·山东枣庄·一模）如图，已知五边形为正五边形，以点A为圆心，以的长为半径画弧，分别交，的延长线于点F，G，连接，，则 ． 04 圆内接四边形 12．（2025·山东东营·一模）已知的半径是，A 是上一点，过 A 作弦，，则弦所对的圆周角的度数为 ． 13．（2025·山东德州·一模）如图，四边形内接于，是的直径，，点E在上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 05 与弧长有关的计算 14．（2025·山东潍坊·一模）如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则    的长为（　　） A． B． C．2π D． 15．（2025·山东枣庄·一模）如图①是山东舰航徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母横空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线长为 ． 16．（2025·山东东营·一模）在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径是（    ） A． B． C． D． 17．（2025·山东泰安·一模）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是（   ） A． B． C． D． 18．（2025·山东青岛·一模）如图，在扇形中，平分交弧于点．点为半径上一动点若，则阴影部分周长的最小值为 ． 06 切线长定理 19．（2025·山东淄博·一模）如图，四边形是的外切四边形，且，，的半径，则四边形的面积为（   ） A．44 B．88 C．100 D．110 07 正多边形与圆 20．（2025·山东济南·一模）若一个正多边形的每个外角是，则它共有几条对角线（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 21．（2025·山东济宁·一模）如图，是正五边形的内切圆，分别切，于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为(   )    A． B． C． D． 22．（2025·山东潍坊·一模）如图，在一个边长为的正六边形纸板中截去一个边长为的等边三角形后，余下部分的面积与所截去的等边三角形的面积之比为（    ） A． B． C． D． 23．（2025·山东青岛·一模）如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 08 与扇形面积有关的计算 24．（2025·山东聊城·一模）如图，从一张腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（　　） A． B． C． D． 25．（2025·山东青岛·一模）如图，正八边形和正六边形的边长均为6，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 ．（结果保留） 26．（2025·山东淄博·一模）如图，在半径为6的中，点都在上，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为 .    27．（2025·山东滨州·一模）已知正方形的边长为4，为边的中点，以为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，以长为直径在正方形内部作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 28．（2025·山东东营·一模）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点是的中点，连接，．以点为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 29．（2025·山东济南·一模）如图，以为直径的半圆，绕点顺时针旋转，点的对应点为点，交半圆于点，若，则图中阴影部分的面积为 ． 30．（2025·山东日照·一模）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径作弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为 ． 31．（2025·山东烟台·一模）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为 ． 09 与切线的判定有关的证明及计算 32．（2025·山东日照·一模）如图，在中，，以为直径的交于点D，过D作，垂足为E，的延长线交的延长线于点F． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求长． 33．（2025·山东泰安·一模）如图所示，是直角三角形，，以为直径的交于点E，点D是边的中点，连接． (1)求证：与相切； (2)若的半径为，，求． 34．（2025·山东菏泽·一模）已知：如图，AB是的直径，点C，点D在上，点E在外，． (1)求证：直线AE是的切线； (2)若°，时，求劣弧AC的长（结果保留） 35．（2025·山东济南·一模）如图，为⊙O的直径，A为⊙O上一点，点E为的延长线上一点，连接、、，且．    (1)求证：为⊙O的切线； (2)若，⊙O的半径，求阴影部分的面积． 36．（2024·山东枣庄·一模）如图，以菱形的边为直径作交于点E，连接，F是上的一点，且，连接． (1)求证：是的切线． (2)当，时，求的半径． 10 与切线的性质有关的证明及计算 37．（2025·山东烟台·一模）如图①，中，．点D为边上一点，以为直径作，点A在O上，过点B作交的延长线于点E，交于点F．连接． (1)求证：； (2)如图②，当与相切时，四边形是什么特殊四边形？证明你的结论． 38．（2025·山东威海·一模）如图，是的直径，是的弦，连接是的切线，交的延长线于点，半径交于点． (1)写出图中任意一组相等的角：___________； (2)求证：； (3)若，求图中阴影部分的面积． 11 尺规作图 39．（2025·山东东营·一模）如图，在直径为的半圆O中，C为半圆上一点，连接，利用尺规在上分别截取，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若，，P为上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．无法确定 40．（2025·山东烟台·一模）如图，在中，． (1)使用直尺和圆规，作交于点D（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，以D为圆心，的长为半径作弧，交于点E，连接，．根据已作图形，写出图中一个与相等的角 ． 41．（2025·山东潍坊·一模）如图，已知及外一点P． (1)用无刻度的直尺和圆规，按下列作图步骤完成作图并准确标注字母． ①作出线段的垂直平分线交于点A； ②以点A为圆心，为半径作，与交于点B（点B位于直线上侧），作直线． (2)在（1）的条件下，设（1）中所作垂直平分线交于点C． ①求证：是的切线； ②若，求的长． 42．（2025·山东东营·一模）在中，，，，点在斜边上． (1)作出经过点，且与边相切于点的（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）； (2)若（1）中所作的的圆心落在边上，则的半径长为 ； (3)设（1）中所作的与交于点，与交于点，线段的最小值为 ． 12 圆与解直角三角形综合 43．（2025·山东烟台·一模）如图，是的直径，点都在上，若点是的中点，，，则的长为 ． 44．（2025·山东济南·一模）如图，内接于为直径，交的延长线于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 45．（2025·山东青岛·一模）如图，O是的外接圆，是的直径，点D是延长线上一点，过点D作，分别交的延长线于点E、F，若点E恰是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 46．（2025·山东济南·一模）如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，． (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若，，求AB的长． 13 圆与相似综合 47．（2025·山东烟台·一模）如图，四边形内接于是的直径．过点作圆的切线交的延长线于点，过点作交的延长线于点．已知，求长度． 48．（2025·山东枣庄·一模）如图，在中，为上一点，以为圆心，长为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 49．（2025·山东济南·一模）如图，直线与相切于点，是的直径，点，在上，且位于点两侧，连接，分别与交于点，连接．若的半径． (1)求的度数； (2)求的长． 50．（2025·山东济宁·一模）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 51．（2025·山东淄博·一模）如图1所示，，，，是上的四个点，是的直径，，交于点，，． (1)求证：； (2)求的长； (3)连接，交于点，求图2中阴影部分的面积． 52．（2025·山东日照·一模）如图1，等腰中，，以为直径的与所在直线、分别交于点、，于点． (1)求证：为的切线； (2)如图2，当时，若，，求的长． 53．（2025·山东济南·一模）如图，为的直径，为的切线，连接交于点，点为弧的中点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 14 圆与解三角形、相似综合 54．（2024·山东烟台·一模）如图，是的外接圆，为的直径，点D为上一点，交的延长线于点E，与交于点F，连接，若． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 55．（2025·山东青岛·一模）如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 56．（2025·山东临沂·一模）如图，点，，在上，是弦的中点，点在的延长线上，连接，，，． （1）求证：是切线； （2）连接，若，，，求的长． 57．（2025·山东枣庄·一模）如图，在中，，以为直径作交于点D，过点O作的平行线，交于点E，作射线交的延长线于点F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 1．（2025·山东威海·一模）已知正六边形内切圆的半径为，则正六边形的面积为（   ） A． B． C． D．6 2．（2025·山东聊城·一模）如图，的边经过的圆心，与相切于，是上的一点，连接，，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·山东青岛·一模）如图，为的直径，点，在上，与交于点，连接，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东德州·一模）如图，用圆心角为，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（    ）    A．4 B．2 C． D． 5．（2025·山东淄博·一模）如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，格点C，D的连线交于点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山东潍坊·一模）如图，点是与坐标轴三个交点，是上动点（包括端点和），于点．半径为2，．点从到运动中，线段扫过面积是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山东烟台·一模）如图，将边长为的正六边形铁丝框（面积记为），变形为以点为圆心，为半径的扇形（面积记为），则的值为（    ）    A． B． C．1 D． 8．（2025·山东济南·一模）如图，边长为6的正六边形内接于，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 9．（2024·山东烟台·一模）如图，在中，，，．以点C为圆心，以的长为半径画弧，分别交于点D，E，则图中阴影部分的面积为 ． 10．（2025·山东济南·一模）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是 ． 11．（2025·山东淄博·一模）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是 ． 12．（2025·山东济宁·一模）如图，是的直径，点A在上，点C在的延长线上，，平分交于点D，连接． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长． 13．（2025·山东东营·一模）如图，在中，是直径，是弦，F是上的一点，交于点为延长线上的一点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 14．（2025·山东烟台·一模）如图，在平行四边形 中，过 三点的 交 于点 ，连结 ． (1)求证： ． (2)如图 2 ，已知 为 的切线，连结 并延长交 于点 ． ①求证： ； ②若 ，求 的值． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$