精品解析：陕西省咸阳市实验中学2024-2025学年高二下学期第三次质量检测数学试题

咸阳市实验中学2024—2025学年第二学期第三次质量检测 高二数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设的概率分布为（，1，2，3，4，5），则（ ） A. 10 B. 30 C. 15 D. 5 3. 已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且=0.6826，则p（X>4）=（ ） A. 0.1588 B. 0.1587 C. 0.1586 D. 0.1585 4. 已知随机变量，，则将m个人分到3个不同的地方，每个人必去一个地方，每个地方至少去1人的分配方案共有（ ） A. 150 B. 200 C. 260 D. 300 5. 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入②号球槽的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 某电子元件生产厂家新引进一条产品质量检测线，现对检测线进行上线的检测试验：从装有个正品和个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出个，再将电子元件放回.重复次这样的试验，那么“取出的个电子元件中有个正品，个次品”的结果恰好发生次的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知（为常数），若，则（ ） A. B. C. D. 8. 在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一个袋子中有3个大小相同的球，其中有1个红球、2个白球.从袋中不放回摸球2次，每次摸1个球，记摸得红球个数为X；从袋中有放回摸球2次，每次摸1个球，记摸得红球个数为Y，则（ ） A. X的所有可能取值为0或1 B. Y的所有可能取值为0或1 C. D. 10. 已知等比数列的公比不为1，设的前项和为，若，且成等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 11. 已知是抛物线上不同的动点，为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，线段的中点为，则（ ） A. 当时，的最大值为32 B. 当时，的最小值为22 C. 当时，直线的斜率为 D. 当三点共线时，点到直线的距离的最小值为14 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 3名男生和3名女生站成一排，任何2名男生都不相邻，任何2名女生也不相邻，共有_________种排法.（用数字作答） 13. 的展开式中常数项为________．（用数字作答） 14. 某人射击一发子弹，命中目标的概率为0.8，现在他射击19发子弹，则击中目标的子弹数最可能是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）解方程：； （2）解不等式： 16. 生物兴趣小组有名学生，其中正、副组长各名，组员名．现从该小组选派名同学参加生物学科知识竞赛． （1）如果正、副组长人中有且只有人入选，共有多少种不同的选派方法？ （2）如果正、副组长人中至少有人入选，且组员甲没有入选，共有多少种不同的选派方法？ 17. 如图，在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）若点M满足，且与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求： （1）从乙盒取出2个红球的概率； （2）已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率． 19. 传球是排球运动中最基本､最重要的一项技术．传球是由准备姿势､迎球､击球､手型､用力5个动作部分组成．其中较难掌握的是触球时的手型，因为触球时手型正确与否直接影响手控制球的能力和传球的准确性，对初学者来说掌握了正确手型才能保证正确击球点和较好的运用手指，手腕的弹力．从小张､小胡､小郭､小李､小陈这5人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出． （1）记小胡､小李､小陈这三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列； （2）若刚好抽到小胡､小李､小陈三个人相互做传球训练，且第1次由小胡将球传出，记次传球后球在小胡手中的概率为． ①直接写出的值； ②求与的关系式，并求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸阳市实验中学2024—2025学年第二学期第三次质量检测 高二数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式得到，利用交集概念求出答案. 【详解】， 故. 故选：C 2. 设的概率分布为（，1，2，3，4，5），则（ ） A. 10 B. 30 C. 15 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，根据二项分布的方差公式求出，再根据方差的性质计算可得； 【详解】解：由（，1，2，3，4，5）可知，所以，所以． 故选：A 3. 已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且=0.6826，则p（X>4）=（ ） A. 0.1588 B. 0.1587 C. 0.1586 D. 0.1585 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：正态分布曲线关于对称，因为,故选B． 考点：正态分布 4. 已知随机变量，，则将m个人分到3个不同的地方，每个人必去一个地方，每个地方至少去1人的分配方案共有（ ） A. 150 B. 200 C. 260 D. 300 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项分布的期望得到，然后采用先分组后排序的方法计算即可. 【详解】由，得，即， 故分配方案共有种． 故选：A． 5. 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入②号球槽的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】小球落下要经过5次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为 ，并且相互独立，最终落入②号球槽1次向右，4次向左，根据独立重复事件发生的概率公式，即可求解. 【详解】解：设这个球落入②号球槽为事件 ， 落入②号球槽要经过5次碰撞，其中1次向右，4次向左， 所以 故选：B 6. 某电子元件生产厂家新引进一条产品质量检测线，现对检测线进行上线的检测试验：从装有个正品和个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出个，再将电子元件放回.重复次这样的试验，那么“取出的个电子元件中有个正品，个次品”的结果恰好发生次的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取出的个电子元件中有个正品，个次品的概率，重复次这样的试验，利用次独立重复试验中事件恰好发生次的概率计算公式能求出“取出的个电子元件中有个正品，个次品”的结果恰好发生次的概率 【详解】从装有个正品和个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出个， 再将电子元件放回， 取出的个电子元件中有个正品，个次品的概率， 重复次这样的试验， 那么“取出的个电子元件中有个正品，个次品”的结果恰好发生次的概率是： . 故选：B 【点睛】本题考查了次独立重复试验中事件恰好发生次的概率计算公式，属于基础题. 7. 已知（为常数），若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理写出通项公式对比所给条件得出等式后，再化简求出，结合二项分布的均值与方差公式即可求出答案. 【详解】由已知得，的第项为， 令，得到， 令，得到， 又因为， 对比可知，，化简得， 解得，所以， 所以. 故选：C 8. 在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记该市去年人均收入为万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为,设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为，根据马尔可夫不等式可得，再根据二项分布求得，令，求导判断单调性即可求得最大值. 【详解】记该市去年人均收入为万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为. 设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为， 则根据马尔可夫不等式可得， ， 因为， 所以， 令，则， ，即， 在上单调递增. ，即. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一个袋子中有3个大小相同的球，其中有1个红球、2个白球.从袋中不放回摸球2次，每次摸1个球，记摸得红球个数为X；从袋中有放回摸球2次，每次摸1个球，记摸得红球个数为Y，则（ ） A. X的所有可能取值为0或1 B. Y的所有可能取值为0或1 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意确定的取值可判断AB，再由离散型的概率计算出相应的概率可判断C，由期望公式可判断D. 【详解】对于A，由题意可得，摸得红球的个数为0或1，所以X的所有可能取值为0或1，故A正确； 对于B，由题意可得，有放回的摸球，每次都可摸到红球、摸到1次红球、摸到0次红球， 所以Y的所有可能取值为0或1或2，故B错误； 对于C，， ，故C错误； 对于D，， ，， 所以，即，故D正确. 故选：AD 10. 已知等比数列的公比不为1，设的前项和为，若，且成等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，设出公比，根据得到方程，求出，故A错误；B选项，求出，故，B正确；C选项，，，当为奇数时，，当为偶数时，，得到，CD正确. 【详解】A选项，设的公比为，， 成等差数列，故， 又，所以，即， 所以，又，解得， 所以，A错误； B选项，， 故， 所以，又,所以数列为等比数列，B正确； CD选项，， 故， 当为奇数时，，故， 当为偶数时，，故， 所以，CD正确. 故选：BCD 11. 已知是抛物线上不同的动点，为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，线段的中点为，则（ ） A. 当时，的最大值为32 B. 当时，的最小值为22 C. 当时，直线的斜率为 D. 当三点共线时，点到直线的距离的最小值为14 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用抛物线的定义，结合线段和差关系求出的最大值判断A；利用抛物线的定义转化，结合几何图形求出最小值判断B；利用点差法求出直线的斜率判断C；设出直线的方程并与抛物线联立，求出最小值即可判断D. 【详解】设．因为， 所以当三点共线时，有最大值32，故A正确； 因为点在抛物线内侧，准线为，过作于， 由抛物线的定义可得，所以， 的最小值为点到准线的距离，所以，故B错误； 由，得， 所以，故C正确； 当三点共线时，点到直线的距离， 设直线的方程为，， 由，消去得，， 所以，则 ， 所以当时，，所以，故D正确． 故选：ACD. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 3名男生和3名女生站成一排，任何2名男生都不相邻，任何2名女生也不相邻，共有_________种排法.（用数字作答） 【答案】72 【解析】 【分析】先排男生，再从3名女生中选2名女生排在3名男生的中间，最后一名女生排在首或尾，最后由分步乘法计算原理可得出答案. 【详解】先排男生，则有种，再从3名女生中选2名女生排在3名男生的中间， 则有种排法，最后一名女生排在首或尾，再有种排法， 最后由分步乘法计算原理可得：. 故答案为：72. 13. 的展开式中常数项为________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】 利用二项式定理求出通项公式，再根据的取值，即可得答案； 【详解】的展开式的通项公式 当和时，可得展开式中常数项为， 故答案为：. 【点睛】本题考查二项式定理求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意符号问题. 14. 某人射击一发子弹，命中目标的概率为0.8，现在他射击19发子弹，则击中目标的子弹数最可能是_________. 【答案】15或16 【解析】 【分析】设命中目标的子弹数为X，则，利用二项分布的概率公式，求出概率最大的子弹数即可. 【详解】设命中目标的子弹数为X，则，有， 设最大，显然，都不是最大的，即有， 于是，即， ，整理得，解得， 所以击中目标的子弹数最可能是15或16． 故答案为：15或16 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）解方程：； （2）解不等式： 【答案】（1）或（2）． 【解析】 【分析】（1）根据组合数的性质，得到关于的方程，解得的值；（2）根据排列数的公式，得到关于的分式不等式，解出的范围，再结合，得到答案 【详解】解：因为, 所以或, 解得或 , 解原不等式即， 整理得，即 ，所以 所以得到， 而 故或． 原不等式的解集为． 【点睛】本题考查解组合数方程和排列数不等式，属于中档题. 16. 生物兴趣小组有名学生，其中正、副组长各名，组员名．现从该小组选派名同学参加生物学科知识竞赛． （1）如果正、副组长人中有且只有人入选，共有多少种不同的选派方法？ （2）如果正、副组长人中至少有人入选，且组员甲没有入选，共有多少种不同的选派方法？ 【答案】（1）90；（2）81. 【解析】 【分析】 （1）正、副组长2人中有且只有1人入选，可知10名组员中有2人入选，即可求解. （1）由正、副组长人中至少有人入选，可分为两类，一类为只有1人入选，另一类为2人都入选，再根据组员甲没有入选确定其他组员入选情况，进行求解. 【详解】（1）正、副组长2人中有且只有1人入选， 选派方法数为. （2）正、副组长2人都入选，且组员甲没有入选， 选派方法数为. 正、副组长2人中有且只有1人入选，且组员甲没有入选，选派方法数为 . 所以正、副组长人中至少有人入选，且组员甲没有入选，选派方法数为 . 17. 如图，在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）若点M满足，且与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）推导出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得出关于的方程，结合的范围可求出的值，然后利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 连接，因为是以为斜边的等腰直角三角形，则， 因为是的中点，所以，，且， 又，则，且， 所以，，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，平面平面. 【小问2详解】 因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，，， ， 设平面的一个法向量 则，取，则，， 可得， 因为与平面所成角的正弦值为， 则，整理可得， 因为，解得，则， 所以，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 所以，， 因此，面与平面夹角的余弦值为． 18. 设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求： （1）从乙盒取出2个红球的概率； （2）已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式进行求解即可； （2）根据条件概率公式进行求解即可. 【详解】[解]　（1）设A1＝从甲盒取出2个红球；A2＝从甲盒取出2个白球；A3＝从甲盒取出1个白球1个红球；B＝从乙盒取出2个红球．则A1，A2，A3两两互斥，且A1＋A2＋A3＝Ω，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝． （2）． 19. 传球是排球运动中最基本､最重要的一项技术．传球是由准备姿势､迎球､击球､手型､用力5个动作部分组成．其中较难掌握的是触球时的手型，因为触球时手型正确与否直接影响手控制球的能力和传球的准确性，对初学者来说掌握了正确手型才能保证正确击球点和较好的运用手指，手腕的弹力．从小张､小胡､小郭､小李､小陈这5人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出． （1）记小胡､小李､小陈这三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列； （2）若刚好抽到小胡､小李､小陈三个人相互做传球训练，且第1次由小胡将球传出，记次传球后球在小胡手中的概率为． ①直接写出的值； ②求与的关系式，并求． 【答案】（1） 的分布列为 1 2 3 （2）①；②； 【解析】 【分析】（1）依题意可知的可能取值为1、2、3，求出所对应的概率，即可得到分布列； （2）①利用古典概型的概率公式计算可得； ②记表示事件“经过次传球后，球在小胡手中”，由全概率公式可求，再由数列知识，由递推公式求得通项公式． 【小问1详解】 的所有可能取值为， 所以， 所以的分布列为 1 2 3 【小问2详解】 ①由题意知，． ②记表示事件“经过次传球后，球在小胡手中”，， 所以 即 所以，且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 即次传球后球在小胡手中的概率是． 【点睛】思路点睛：离散型随机变量的分布列问题，首先确定离散型随机变量的可能取值，再利用组合数公式和古典概型进行求概率，列出分布列即可，第（2）问，利用全概率公式建立等式，利用递推关系和等比数列的定义、得出通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $