第05讲 等腰三角形-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第05讲 等腰三角形思维导图 知识点1 等腰三角形 1.把等腰三角形纸片沿顶角平分线折叠，有什么发现？ 几何语言说明：由题意得AB=AC，∠BAD=∠CAD， 在▲ABD和▲ACD中， ∴▲ABD≌▲ACD（SAS） 所以三角形ABD和三角形ACD重合。 所以，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD。 由此可以发现，等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。 并且得到下面定理： （1）等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”） 几何语言：∵AB=AC ∴∠B=∠C （2）等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（三线合一） 几何语言： （1） 已知角平分线，用SAS证高与中线。几何语言： ∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD ∴AD⊥BC，BD＝CD （2） 已知中线，用SSS证角平分线与高线。几何语言： ∵AB＝AC，BD＝CD ∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC （3）已知高线，用HL证角平分线与中线。几何语言： ∵AB＝AC，AD⊥BC ∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD 2. 按下列作法，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC=a，高AD=h。 作法：（1）作线段BC=a；（2）作线段BC的垂直平分线，MN交BC与点D； （3）在MN上截取线段DA，使DA=h；（4）连接AB、AC。▲ABC就是所求作的等腰三角形。 3.已知如图，在△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC． 方法1：作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．由∠B＝∠C， ∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，可得△BAD≌△CAD，则AB＝AC． 方法2：作BC边上的高AD．由∠B＝∠C，∠BDA＝∠CDA＝90° ，AD＝AD，可得△BAD≌△CAD，则AB＝AC． 因此，可以得到有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”） 几何语言：∵∠B＝∠C∴AB=AC 知识点2 等边三角形 1.（1）回想一下什么是等边三角形，也可以称为什么三角形？ 三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。 （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它有它特有的性质吗？ 等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。 已知AB=BC=CA，证∠A=∠B=∠C。 证：∵AB=BC，BC=CA∴∠A=∠C，∠A=∠B ∴∠A=∠B=∠C ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴∠A=∠B=∠C =60° 因此，等边三角形的各角都等于60°。 几何语言：∵AB=AC=BC ∴∠A=∠B=∠C =60° 2.（1）那如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形吗？ 已知∠A=∠B=∠C，证：AB=AC=BC 证：∵∠A=∠C，∠A=∠B ∴AB=BC，BC=CA ∴AB=AC=BC ∴▲ABC是等边三角形 因此，三个角都相等的三角形是等边三角形。 几何语言：∵∠A=∠B=∠C ∴▲ABC是等边三角形 （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？ 已知顶角∠A=60°，AB=AC，证：▲ABC是等边三角形 证： ∵∠A=60°，AB=AC ∴∠B=∠C= =60° ∴∠A=∠B=∠C ∴▲ABC是等边三角形 已知底角∠A=60°，BA=BC，证：▲ABC是等边三角形 证： ∵∠A=60°，BA=BC∴∠A=∠C=60°∴∠B=180°-∠A-∠C=60° ∴∠A=∠B=∠C ∴▲ABC是等边三角形 因此，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 几何语言：∵∠A=60°，AB=AC∴▲ABC是等边三角形 3.两个斜边的一半 （1）如图，已知∠B=90°，∠A=30°，证： 证：延长CB到点D，使得BC=BD，连接AD。 ∵BC=BD,BC+BD=CD ∴ ∵∠B=90°，BC=BD ∴AD垂直平分 ∴AC=AD ∵∠BAC=30°，∠ABC=90° ∴∠C=60° ∵AC=AD ∴▲ACD是等边三角形 ∴CD=AC ∵ ∴ 因此，30°对应的直角边等于斜边的一半。 几何语言：∵∠B=90°，∠A=30°∴ （2）如图，∠ABC=90°，在AC上取一点D，使得BD=CD 证： ∵∠ABC=90° ∴∠A+∠C=90°，∠ABD+∠CBD=90° ∵BD=CD ∴∠C=∠CBD ∴∠A=∠AB ∴AD=BD ∵BD=CD，AC=AD+CD ∴AC=2BD ∴ 因此，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何语言：∵∠ABC=90°，D是AC中点 ∴ 教材习题01 如图，在中，，过点A作且，连接．试说明：． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 教材习题02 如图，是的一个外角，平分，且，请说明是等腰三角形． 证明：平分， ， ∵， ， ， ∴， 是等腰三角形． 教材习题03 如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，，且．求证：是等边三角形． 证明：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 教材习题04 如图，已知四边形中，，E是的中点．    (1)求证：： (2)若，，求的度数． （1）证明：∵，E是的中点， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴， ∴， ∴． 考点一、等边对等角 1．如图，在中，，过点作，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是两直线平行内错角相等、等边对等角、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握等边对等角． 根据两直线平行内错角相等求出，再由等边对等角得，最后由三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：，， ， ， ， 中，． 故选：． 2．若一个等腰三角形的顶角比底角的2倍还多，则这个等腰三角形顶角的度数为 ． 【答案】/108度 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，三角形内角和定理； 设这个等腰三角形底角的度数为x，则顶角的度数为，然后根据三角形内角和定理列方程求出底角的度数，进而可得顶角的度数． 【详解】解：设这个等腰三角形底角的度数为x，则顶角的度数为， 由题意得：， 解得：， ∴这个等腰三角形顶角的度数为， 故答案为：． 3．如图，平分，，，垂足分别为，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等边对等角，先由角平分线的性质得到，再证明得到，则可证明． 【详解】证明：∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 考点二、三线合一 1．如图，分别是的中线和高线．若则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三线合一，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求出的度数，三线合一求出的度数即可． 【详解】解：∵是高线， ∴， ∵ ∴， ∵，是的中线， ∴； 故选D． 2．加图，在中，是的中线，于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握等据三角形的性质是解决问题的关键． 根据三角形外角的性质得，由等腰三角形的性质可得是的平分线，即可求出的度数． 【详解】于点， ， ， ， 是的中线， 是的角平分线， ． 故答案为：． 3．如图，已知：，，．求度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．延长到点E，使得，证明，得到，推出，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：延长到点E，使得， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即点C为的中点， ， ， 是等腰三角形， 是底边上的中线， ， ． 考点三、等角对等边 1．如图，在中，平分交于点，，交于点．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线性质、平行线性质、以及等角对等边的性质等，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 首先根据角平分线的性质得出，进而利用平行线的性质得出，即可得出进而求出即可． 【详解】解：平分交于， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 2．如图，为上一点，连接，平分交于点，且，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由平分，，证明，可得，，再由等角对等边可得，代入数值进行计算即可得到答案． 【详解】解：平分，， ∴ ∵ ∴ ，， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，是的角平分线，在上取点使． (1)求证：是等腰三角形 (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理和平行线的性质： （1）角平分线的性质，平行线的性质，推出，即可得出结论； （2）三角形的内角和定理，求出的度数，平行线的性质，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 考点四、等边三角形的性质 1．如图，以正五边形的边为一边，向内作等边三角形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由等边三角形性质得到，，进而由正五边形性质得到相关角度与边的关系，再由等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理求出相关角度，数形结合表示出要求的角，代值求解即可得到答案． 【详解】解：以正五边形的边为一边，向内作等边三角形， ，， 是正五边形， ，且， ，，， 在等腰中，，则， ， 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形中求角度，涉及等边三角形的性质、正多边形性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、正多边形内角与外角关系．数形结合，准确表示各个角度是解决问题的关键． 2．如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为 ． 【答案】/82度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．利用平行线的性质和等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ， 故答案为：． 3．如图，等边三角形中，是中线，延长至使得，过点D作于．试说明：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．首先根据三线合一性质得到，然后推出，然后利用三角形外角的性质和等边对等角得到，得到，然后利用三线合一证明即可． 【详解】证明：为等边三角形，是中线， ， 又， ， ， ∵， ， ，为等边三角形， ， ∴， ， ， ． 考点五、两个斜边的一半——30°对应的直角边 1．如图，是等边三角形，点D是的中点，于点E，若，则的长为（    ） A．12 B．9 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质是解题的关键． 由等边三角形的性质及中点的定义得，，再根据直角三角形两锐角互余得，最后根据含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形，点是的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 2．如图，在等腰三角形中，，若腰，则的底边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握这些定理是解题的关键． 过点作于点，根据等腰三角形三线合一的性质得出，，即可求出的度数，的长，再根据勾股定理即可求出的长，于是得出的长． 【详解】如图，过点A作于点， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得 ， ， 故答案为：． 3．如图，在中，，在右侧作等边三角形． (1)求的度数； (2)若，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定和性质是关键． （1）根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质进行解答即可； （2）作于点E．，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ．                   为等边三角形， ， ， ， （2）如图，作于点E． ，，， ．                  ， ．                       ， ，               ． 考点六、两个斜边的一半——直角三角形斜边上的中线 1．如图，在中，于点D，E是的中点．若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．根据直角三角形的性质可得，从而得到是等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵在中，E是的中点， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 故选：B 2．如图，在四边形中，，点O是对角线的中点，若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 在和，由斜边上中线等于斜边的一半得到，即可求解． 【详解】解：∵，点O是对角线的中点， ∴， 故答案为：3． 3．如图，已知，，，垂足为，，垂足为，点是的中点． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）证明，即可得出结论； （2）先由全等三角形的性质得，再根据直角三角形的性质得，进而得，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：，垂足为D，，垂足为， 在和中， （）. ； （2）证明：由（1）可知， ， ，点是的中点， ， ， 又， 是等边三角形． 考点七、等边三角形的判定 1．如图，在四边形中，，平分，于点M，于点N，连接． (1)证明：； (2)若，证明：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线定义得到 即可证明，从而证明； （2）根据直角三角形的性质求出，，，得到，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵于点M， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形的判定、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题的关键． 2．如图，是等边三角形，，垂足分别为，连接．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，三线合一． 根据等边三角形三线合一推出，进而推出，结合，即可证明结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 3．如图，在中，，在上取一点，使得，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点． (1)求证：； (2)若点为中点，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，垂直平分线的判定和性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定是解题的关键． （1）利用证明，进而可得，然后利用垂直平分线的性质即可得出结论； （2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，结合已知条件即可得出的形状． 【详解】（1）证明：，且， ， 在和中， ， ， ， ， ∴垂直平分线段， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： ，点为中点， ， ， 是等边三角形． 考点八、格点三角形 1．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，请在下图的网格中画出符合条件的格点三角形． (1)在图①中画出以为边且面积为2的等腰； (2)在图②中画出以为边的等腰直角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义成为解题的关键． （1）直接根据等腰三角形以及相关要求作图即可； （2）直接根据等腰三角形以及相关要求作图即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：即为所求． 2．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，点A、B、C均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，以为边画一个等腰三角形，且三角形是钝角三角形； (2)在图②中，以为斜边画一个等腰直角三角形； (3)在图③中，以为边画一个四边形，使其是轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了作图应用与设计，轴对称图形和等腰三角形的性质等知识，解题关键是： （1）根据等腰三角形的性质作图即可； （2）根据等腰直角三角形的性质作图即可； （3）根据轴对称图形的性质画图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ； （2）解：如图，即为所求， ； （3）解：如图，四边形即为所求， ． 3．阅读与理解 下面是小刚同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 巧用正方形网格 由边长为1的小正方形组成的正方形网格是数学学习的重要工具，我们把小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点上的三角形叫做格点三角形．利用正方形网格可以构造格点直角三角形的角平分线．如图1，已知是格点三角形，由网格可知，，．可以用如下两种方法构造的角平分线． 方法一：延长到格点D，使．连接，利用网格找出的中点F，连接交边于点P，线段即为的角平分线．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵点F是的中点， ∴平分（依据）， 即为的角平分线． 方法二：如图2，延长到格点D，使．利用网格在上取格点E，使BE=BC，连接交于点P，连接，线段即为的角平分线．理由如下： 同方法一可得，， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． … (1)请写出方法一中“依据”的内容： ； (2)请将方法二中的说理过程补充完整； (3)按照材料中的思路，请你在图3中作出的角平分线． 【答案】(1)等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查作图——角平分线，涉及全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质和角平分线的判定， (1)根据等腰三角形的性质即可知答案为等腰三角形的三线合一； (2)结合已知可知，即可证明，则有，故结论成立； (3)根据第一问利用等腰三角形的性质可得图一，结合第二问的结论利用三角形全等即可知为角平分线． 【详解】（1）解：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合；(或等腰三角形“三线合一”)； （2）解：∴， ∵， ， ∴， ∴， 即是的角平分线 （3）解：如图， 即为△ABC的角平分线． 考点九、等腰(边)三角形的手拉手 1．如图，和都是等边三角形，连接，延长交于点F，连接，保持不动，将绕点A旋转．当点D，F重合时，请直接写出之间的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，先由等边三角形的性质得到，，，再证明得到，即可根据线段之间的关系得到． 【详解】解：，理由如下： 和都是等边三角形， ，，， ，， ， ∴， ， ，， ． 2．如图，和都是等边三角形，和交于点，绕点旋转． （1）如图1所示，求证：； （2）如图2所示，求证：平分． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）由和都是等边三角形，可得，，，再证明，即可得到结论； （2）过点作交于点，过点作交于点，由（1）可得：，可得，再利用全等三角形的对应高相等可得，再利用角平分线的判定可得结论． 【详解】证明：（1）∵和都是等边三角形 ∴，， ∴，即 在和中， ∴． （2）过点作交于点，过点作交于点， 由（1）可得：， ∴， ∴ ∴平分． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，掌握以上知识是解题的关键． 3．在等边中，点D是直线上的一个点（不与点B、C重合），以为边在右侧作等边，连接．    【观察猜想】（1）如图1，当点D在线段上时，则线段与线段的数量关系为______． 【数学思考】（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，猜想三条线段、与的数量关系，并加以证明． 【方法感悟】在解决问题时，条件中若出现有公共顶点的两个等边三角形时，常常考虑旋转某个三角形，从而使问题得到解决． 【拓展延伸】（3）如图3，边长为a的等边中，是中线，且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，请直接写出周长的最小值． 【答案】（1）    （2），理由见解析    （3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形判定与性质、最短路径问题： （1）由等边三角形的性质可得，，，推出，进而根据“SAS”证得，由全等三角形对应边相等即可得出结论； （2）证明，结合全等三角形的性质，利用线段的和差关系即可得出结论； （3）证明，由全等三角形的性质得，进而根据等边三角形的性质可得，点E在射线上运动，作点A关于直线的对称点M，连接交于，当点运动到点时，周长的最小，再根据线段的和差关系，即可得到答案． 【详解】（1）证明：，都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， . 故答案为：； （2）解：. 证明：与都是等边三角形， ，，， . 即. 在和中， ， . ， . （3）解：如图，连接， ，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， 等边中，是中线，且， ，，， 点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于，当点运动到点时，周长的最小，   ，， 是等边三角形， ， ， ， 周长的最小值. 考点十、三线合一与斜中定理结合 1．如图，已知的高、相交于点O，M、N分别是、的中点，求证：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】此题考查了直角三角形斜边上中线的性质，以及线段垂直平分线的逆定理，利用了转化的思想，其中连接出如图所示的辅助线是解本题的关键． 连接，由与为三角形的两条高，可得，根据M，N为、的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得，，根据线段垂直平分线的逆定理得到M、N在线段的垂直平分线上，即可得出结论． 【详解】证明：连接， ∵，， ∴， ∵M、N是、的中点， ∴， ∴，， ∴M、N在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 2．已知：如图，，、分别是、的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质．连接、，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，进而根据等腰三角形的“三线合一”即可证明． 【详解】解：连接、， ，是的中点， ， 点是的中点， ． 3．如图，已知在中，，为的中点，在图中作点D，使，且，在上取点F，使得，分别联结、、，试判断与之间的位置关系，并证明． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的三线合一即可得出结论． 【详解】解：，证明如下： ∵在中，，为的中点， ∴， ∵在中，，为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即平分， 又∵，， ∴， ∴（等腰三角形的三线合一）． 知识导图记忆 1．如图，公路互相垂直，的中点与点被湖隔开．测得长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解答即可求解，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故选：． 2．如图，在中，，，，将沿着的方向平移得到，连接，若，则的周长为（　　） A．19 B．22 C．24 D．30 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，等边三角形的判定及性质；由平移的性质得，，，由等边三角形的判定得是等边三角形，即可求解；掌握平移的性质，等边三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：由平移得： ， ， ， ， 是等边三角形， 的周长为： ， 故选：C． 3．如图，正五边形和等边三角形的一条边重叠，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形内角问题，等边三角形的性质，等边对等角和三角形内角和定理，根据正多边形内角和定理得到，由等边三角形的性质得到，则可得到，据此根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图，在中，，．分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，连接．下列说法中，错误的是（   ） A． B．是的平分线 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，角的直角三角形的性质，先根据垂直平分线的性质判断A选项；然后利用等边对等角得到，即可判断B选项；根据角的直角三角形的性质判断C选项；然后根据高相等的两三角形的面积比等于底的比判断D选项解答即可． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，是的平分线，故B、C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 5．数学综合实践课上，数学兴趣小组根据等腰三角形的性质联想到，一个三角形中，如果一条边比另一条边长，那么长边所对的角大于短边所对的角．如图，在中，，下面操作不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边对等角、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据等边对等角、三角形外角的性质，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、由图可得， ， ， ，故A选项不符合题意； B、由图可得， ， ， ，故B选项不符合题意； C、由图可得， ， ，故C选项不符合题意； D、由图可得， ， 根据图形无法说明与的大小关系， 不能说明，故D选项符合题意； 故选：D． 6．如图，在中，，平分交于点，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．由等腰三角形的性质可得，，最后根据，即可求解． 【详解】解：在中，，平分交于点， ，， ， 故答案为：． 7．如图，在中，，点为上一点，连接，且，若的周长为，则的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了等角对等边，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键 ； 利用等角对等边得，将的周长转化为，然后计算的周长即可． 【详解】∵， ∴． ∵的周长为， ∴ ． ∵的周长为，， 的周长为． 故答案为：20 ． 8．如图所示的图案是由中间的一个正五边形、五个等腰三角形（阴影部分）和五个正三角形无缝隙、不重叠地拼接而成，则每个等腰三角形（阴影部分）的一个底角度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了镶嵌，正多边形的内角，先求出正五边形的每个内角度数，进而根据图形求出等腰三角形的顶角度数，再根据等腰三角形的性质求出底角度数即可，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵正五边形的每个内角度数为，正三角形的每个内角度数为， ∴等腰三角形的顶角度数为， ∴等腰三角形的一个底角度数为， 故答案为：． 9．如图，在中，，点是边上一动点（点不与点和点重合），将沿所在直线折叠得到，若是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和性质，折叠的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想解决问题是关键．根据等边对等角的性质可得，进而得到，分三种情况讨论，利用折叠的性质和等腰三角形的性质分别求解即可． 【详解】解： ， ， ， 由折叠的性质可知，，，， ①如图，当时，则， ， ； ②如图，当时，则， ， ； ③当时，则， 点不与点和点重合， 此种情况不存在， 综上可知，的度数为或， 故答案为：或． 10．如图，等腰，，，于点D，点P、Q分别为上的动点，联结，当最小时， ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂线段最短，三角形的内角和定理，理解等腰三角形的性质和垂线段最短是解题的关键．过点C作，垂足为Q，根据等腰三角形的性质可得垂直平分，因此，故当最小时，即最小，此时C、P、Q共线，且，根据三角形的内角和与等腰三角形的两底角相等可求得，，从而． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为Q， ∵等腰，，于点D， ∴垂直平分， ∴， 当最小时，即最小， ∴此时C、P、Q共线，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：20． 11．如图，点C在线段上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． 由，根据“”证明，得，则． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 12．如图，点D在上，，交于点F，，，． (1)证明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由SAS证，即可解答． （2）利用（1）中全等三角形的对应角相等得到，由等腰的性质和三角形内角和定理求得，最后根据邻补角的定义解答． 本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）， . 在与中， （2）由（1）知，， 则. ，， . . . 13．如图，在中，，为的中点，，分别为，上的点，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的内角和，等腰三角形，熟练掌握是解答本题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，为的中点，得到，可证明，即可证明； （2）由（1）得，根据全等三角形可得，根据平角可得，根据得，在中，利用内角和可求，即，在中，利用内角和可求解． 【详解】（1）证明：， ， 为的中点， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）得，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ． 14．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，且每个小正方形的边长均为，三点均在格点上． (1)在图①中，作的角平分线； (2)在图②中，作的角平分线； (3)在图③中，是的角平分线，作的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了格点作图，三线合一性质，三角形角平分线的概念等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）取中点E，连接，根据三线合一可得即为的角平分线； （2）连接，取中点F，连接，根据三线合一可得即为的角平分线； （3）取中点H，连接与交于点M，连接并延长交于点G，由三角形角平分线交于一点可得即为的角平分线； 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，即为所求； 15．综合与探究 【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． 【基本模型】（1）如图1，在“手拉手”图形中，，，，连接、．求证：； 【变式探究】（2）如图2，和都是等腰三角形，即，，且，、、在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，若，则______（用含的式子表示） 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，运用边角边即可求证； （2）根据等腰三角形的性质可证，得到，，由，得到，由此即可求解； （3）延长至，使，连接，可得是等边三角形，再证明，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，； 和是等腰三角形，，，， ∴， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， ； （3）解：， 理由：如图3，延长至，使，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ∴，即， 在和中， ， ， ， ． 2 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 等腰三角形思维导图 知识点1 等腰三角形 1.把等腰三角形纸片沿顶角平分线折叠，有什么发现？ 几何语言说明：由题意得AB=AC，∠BAD=∠CAD， 在▲ABD和▲ACD中， ∴▲ABD≌▲ACD（SAS） 所以三角形ABD和三角形ACD重合。 所以，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD。 由此可以发现，等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。 并且得到下面定理： （1）等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”） 几何语言：∵AB=AC ∴∠B=∠C （2）等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（三线合一） 几何语言： （1） 已知角平分线，用SAS证高与中线。几何语言： ∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD ∴AD⊥BC，BD＝CD （2） 已知中线，用SSS证角平分线与高线。几何语言： ∵AB＝AC，BD＝CD ∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC （3）已知高线，用HL证角平分线与中线。几何语言： ∵AB＝AC，AD⊥BC ∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD 2. 按下列作法，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC=a，高AD=h。 作法：（1）作线段BC=a；（2）作线段BC的垂直平分线，MN交BC与点D； （3）在MN上截取线段DA，使DA=h；（4）连接AB、AC。▲ABC就是所求作的等腰三角形。 3.已知如图，在△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC． 方法1：作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．由∠B＝∠C， ∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，可得△BAD≌△CAD，则AB＝AC． 方法2：作BC边上的高AD．由∠B＝∠C，∠BDA＝∠CDA＝90° ，AD＝AD，可得△BAD≌△CAD，则AB＝AC． 因此，可以得到有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”） 几何语言：∵∠B＝∠C∴AB=AC 知识点2 等边三角形 1.（1）回想一下什么是等边三角形，也可以称为什么三角形？ 三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。 （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它有它特有的性质吗？ 等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。 已知AB=BC=CA，证∠A=∠B=∠C。 证：∵AB=BC，BC=CA∴∠A=∠C，∠A=∠B ∴∠A=∠B=∠C ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴∠A=∠B=∠C =60° 因此，等边三角形的各角都等于60°。 几何语言：∵AB=AC=BC ∴∠A=∠B=∠C =60° 2.（1）那如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形吗？ 已知∠A=∠B=∠C，证：AB=AC=BC 证：∵∠A=∠C，∠A=∠B ∴AB=BC，BC=CA ∴AB=AC=BC ∴▲ABC是等边三角形 因此，三个角都相等的三角形是等边三角形。 几何语言：∵∠A=∠B=∠C ∴▲ABC是等边三角形 （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？ 已知顶角∠A=60°，AB=AC，证：▲ABC是等边三角形 证： ∵∠A=60°，AB=AC ∴∠B=∠C= =60° ∴∠A=∠B=∠C ∴▲ABC是等边三角形 已知底角∠A=60°，BA=BC，证：▲ABC是等边三角形 证： ∵∠A=60°，BA=BC∴∠A=∠C=60°∴∠B=180°-∠A-∠C=60° ∴∠A=∠B=∠C ∴▲ABC是等边三角形 因此，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 几何语言：∵∠A=60°，AB=AC∴▲ABC是等边三角形 3.两个斜边的一半 （1）如图，已知∠B=90°，∠A=30°，证： 证：延长CB到点D，使得BC=BD，连接AD。 ∵BC=BD,BC+BD=CD ∴ ∵∠B=90°，BC=BD ∴AD垂直平分 ∴AC=AD ∵∠BAC=30°，∠ABC=90° ∴∠C=60° ∵AC=AD ∴▲ACD是等边三角形 ∴CD=AC ∵ ∴ 因此，30°对应的直角边等于斜边的一半。 几何语言：∵∠B=90°，∠A=30°∴ （2）如图，∠ABC=90°，在AC上取一点D，使得BD=CD 证： ∵∠ABC=90° ∴∠A+∠C=90°，∠ABD+∠CBD=90° ∵BD=CD ∴∠C=∠CBD ∴∠A=∠AB ∴AD=BD ∵BD=CD，AC=AD+CD ∴AC=2BD ∴ 因此，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何语言：∵∠ABC=90°，D是AC中点 ∴ 教材习题01 如图，在中，，过点A作且，连接．试说明：． 教材习题02 如图，是的一个外角，平分，且，请说明是等腰三角形． 教材习题03 如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，，且．求证：是等边三角形． 教材习题04 如图，已知四边形中，，E是的中点．    (1)求证：： (2)若，，求的度数． 考点一、等边对等角 1．如图，在中，，过点作，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．若一个等腰三角形的顶角比底角的2倍还多，则这个等腰三角形顶角的度数为 ． 3．如图，平分，，，垂足分别为，．求证：． 考点二、三线合一 1．如图，分别是的中线和高线．若则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．加图，在中，是的中线，于点，若，则的度数为 ． 3．如图，已知：，，．求度数． 考点三、等角对等边 1．如图，在中，平分交于点，，交于点．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，为上一点，连接，平分交于点，且，，，，则的长为 ． 3．如图，是的角平分线，在上取点使． (1)求证：是等腰三角形 (2)若，，求的度数． 考点四、等边三角形的性质 1．如图，以正五边形的边为一边，向内作等边三角形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为 ． 3．如图，等边三角形中，是中线，延长至使得，过点D作于．试说明：． 考点五、两个斜边的一半——30°对应的直角边 1．如图，是等边三角形，点D是的中点，于点E，若，则的长为（    ） A．12 B．9 C．8 D．6 2．如图，在等腰三角形中，，若腰，则的底边长为 ． 3．如图，在中，，在右侧作等边三角形． (1)求的度数； (2)若，求的长度． 考点六、两个斜边的一半——直角三角形斜边上的中线 1．如图，在中，于点D，E是的中点．若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 2．如图，在四边形中，，点O是对角线的中点，若，则的长为 ． 3．如图，已知，，，垂足为，，垂足为，点是的中点． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 考点七、等边三角形的判定 1．如图，在四边形中，，平分，于点M，于点N，连接． (1)证明：； (2)若，证明：是等边三角形． 2．如图，是等边三角形，，垂足分别为，连接．求证：是等边三角形． 3．如图，在中，，在上取一点，使得，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点． (1)求证：； (2)若点为中点，试判断的形状，并说明理由． 考点八、格点三角形 1．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，请在下图的网格中画出符合条件的格点三角形． (1)在图①中画出以为边且面积为2的等腰； (2)在图②中画出以为边的等腰直角． 2．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，点A、B、C均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中，以为边画一个等腰三角形，且三角形是钝角三角形； (2)在图②中，以为斜边画一个等腰直角三角形； (3)在图③中，以为边画一个四边形，使其是轴对称图形． 3．阅读与理解 下面是小刚同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 巧用正方形网格 由边长为1的小正方形组成的正方形网格是数学学习的重要工具，我们把小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点上的三角形叫做格点三角形．利用正方形网格可以构造格点直角三角形的角平分线．如图1，已知是格点三角形，由网格可知，，．可以用如下两种方法构造的角平分线． 方法一：延长到格点D，使．连接，利用网格找出的中点F，连接交边于点P，线段即为的角平分线．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵点F是的中点， ∴平分（依据）， 即为的角平分线． 方法二：如图2，延长到格点D，使．利用网格在上取格点E，使BE=BC，连接交于点P，连接，线段即为的角平分线．理由如下： 同方法一可得，， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． … (1)请写出方法一中“依据”的内容： ； (2)请将方法二中的说理过程补充完整； (3)按照材料中的思路，请你在图3中作出的角平分线． 考点九、等腰(边)三角形的手拉手 1．如图，和都是等边三角形，连接，延长交于点F，连接，保持不动，将绕点A旋转．当点D，F重合时，请直接写出之间的数量关系，并说明理由． 2．如图，和都是等边三角形，和交于点，绕点旋转． （1）如图1所示，求证：； （2）如图2所示，求证：平分． 3．在等边中，点D是直线上的一个点（不与点B、C重合），以为边在右侧作等边，连接．    【观察猜想】（1）如图1，当点D在线段上时，则线段与线段的数量关系为______． 【数学思考】（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，猜想三条线段、与的数量关系，并加以证明． 【方法感悟】在解决问题时，条件中若出现有公共顶点的两个等边三角形时，常常考虑旋转某个三角形，从而使问题得到解决． 【拓展延伸】（3）如图3，边长为a的等边中，是中线，且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，请直接写出周长的最小值． 考点十、三线合一与斜中定理结合 1．如图，已知的高、相交于点O，M、N分别是、的中点，求证：垂直平分． 2．已知：如图，，、分别是、的中点．求证：． 3．如图，已知在中，，为的中点，在图中作点D，使，且，在上取点F，使得，分别联结、、，试判断与之间的位置关系，并证明． 知识导图记忆 1．如图，公路互相垂直，的中点与点被湖隔开．测得长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，将沿着的方向平移得到，连接，若，则的周长为（　　） A．19 B．22 C．24 D．30 3．如图，正五边形和等边三角形的一条边重叠，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，．分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，连接．下列说法中，错误的是（   ） A． B．是的平分线 C． D． 5．数学综合实践课上，数学兴趣小组根据等腰三角形的性质联想到，一个三角形中，如果一条边比另一条边长，那么长边所对的角大于短边所对的角．如图，在中，，下面操作不能说明的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，平分交于点，，，则的面积为 ． 7．如图，在中，，点为上一点，连接，且，若的周长为，则的周长为 ． 8．如图所示的图案是由中间的一个正五边形、五个等腰三角形（阴影部分）和五个正三角形无缝隙、不重叠地拼接而成，则每个等腰三角形（阴影部分）的一个底角度数为 ． 9．如图，在中，，点是边上一动点（点不与点和点重合），将沿所在直线折叠得到，若是等腰三角形，则的度数为 ． 10．如图，等腰，，，于点D，点P、Q分别为上的动点，联结，当最小时， ． 11．如图，点C在线段上，．求证：． 12．如图，点D在上，，交于点F，，，． (1)证明：； (2)若，求的度数． 13．如图，在中，，为的中点，，分别为，上的点，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 14．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，且每个小正方形的边长均为，三点均在格点上． (1)在图①中，作的角平分线； (2)在图②中，作的角平分线； (3)在图③中，是的角平分线，作的角平分线． 15．综合与探究 【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． 【基本模型】（1）如图1，在“手拉手”图形中，，，，连接、．求证：； 【变式探究】（2）如图2，和都是等腰三角形，即，，且，、、在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，若，则______（用含的式子表示） 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$