第04讲 线段垂直平分线与角平分线-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第04讲 线段垂直平分线与角平分线 思维导图 知识点1 线段垂直平分线 1.如图，直线PQ是线段AB的垂直平分线，PQ与AB交于点O， 把OA沿直线PQ翻折，可得OA与OB重合。 几何语言：∵直线PQ是线段AB的垂直平分 ∴∠1=∠2=90°，OA=OB 因此，线段是轴对称图形； 它得对称轴是线段的垂直平分线和它本身所在得直线。 2.如图，线段AB的垂直平分线l交AB于点O，点P是l上任意一点，PA与PB相等吗？为什么？通过证明，你发现了什么？用语言描述你得到的结论． PA=PB 证：∵直线l是线段AB的垂直平分线 ∴∠1=∠2=90°，OA=OB 在▲PAO与▲PBO中 ∴▲PAO≌▲PBO（SAS） ∴PA=PB 因此线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 几何语言：∵直线l是线段AB的垂直平分线，点P是l上一点 ∴PA=PB（证明定理：SAS） 3.如图，若点Q是线段AB外任意一点，且QA＝QB， 那么点Q在线段AB的垂直平分线上吗？为什么？ 在。过点Q作AB的垂线交AB与点M，可得∠QMA=∠QMB=90° 证：在Rt▲AQM和Rt▲BQM中，∠QMA=∠QMB=90°， ∴Rt▲AQM≌Rt▲BQM（HL）∴AM=BM∴点Q在线段AB的垂直平分线上。 因此线段垂直平分线的判定定理是到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 几何语言：∵QA=QB∴点Q在线段AB的垂直平分线上 4.如图：已知AC=AD，BC=BD，求证：AB垂直平分CD。 证明：∵AC=AD，BC=BD ∴点A、B是线段CD垂直平分线上的 ∴AB垂直平分CD 5.你用尺规画出任一条线段的垂直平分线吗？ 作法： 1.分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C、D。 2.过C、D两点作直线。 直线CD就是线段AB的垂直平分线。 6.在直线AB外任取一点C，用该方法作出线段BC、AC的垂直平分线，你会发现什么？ 三角形三边的垂直平分线交于一点.这一点到三角形三个顶点的距离相等 知识点2 角平分线 1. 如图，OC是∠AOB的角平分线，如果把∠1沿OC翻折， 因为∠1=∠2，所以射线OA与射线OB重合。 因此， 角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴. 2.如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P，PD⊥OA，PE⊥OB，证：PD=PE。 证：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90° 在▲PDO与▲PEO中， ∴▲PDO≌▲PEO（AAS） ∴PD=PE 因此，角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 几何语言： ∵点P在∠AOB的平分线上， PD⊥OA,PE⊥OB ∴PD＝PE 3.如图，若点Q在∠AOB内部，QD⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE，点Q在∠AOB的角平分线上吗？为什么？ 点Q在∠AOB的角平分线上；连接OQ， ∵QD⊥OA，QE⊥OB ∴∠QDO=QEO=90° 在Rt▲QDO和Rt▲QEO中，∠QDO=QEO=90°， ∴Rt▲QDO≌Rt▲QEO（HL） ∴∠DOQ=∠EOQ ∴点Q在∠AOB的角平分线上 因此，角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 几何语言： ∵点Q在∠AOB的内部， QD⊥OA,QE⊥OB，且QD＝QE ∴点Q在∠AOB的平分线上 4. 已知∠AOB（如图），求作：用尺规作图作出∠AOB的平分线OM． （1）以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D． （2）分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点M （3） 作射线OM。 5.在直线AB外任取一点C，用该方法作出线段∠A、∠B的角平分线，你会发现什么？ 三角形三个顶角的角平分线交于一点.这一点到三角形三条边的距离相等 6.设三角形角平分线的交点到三边的距离为h，三角形的周长为C，面积为S，三者之间的关系是？ 教材习题01 如图，在中，边，的垂直平分线，相交于点P． (1)求证：； (2)请判断点是否也在边的垂直平分线上？并说明理由； (3)由（1）（2）你能得出什么结论？（写一条即可） 教材习题02 如图，已知，是的垂直平分线，交于点E，交于点D，连接．若的周长为19，周长为13，求的长． 教材习题03 如图，，分别为的两个外角的角平分线，于点P，于点Q，于点D，求证：点E在的角平分线上． 教材习题04 尺规作图：如图，相关部门要修建一个车站，要求车站到两个村庄C，D的距离相等，且车站到两条公路的距离相等，在内部确定车站的位置点P．（保留作图痕迹，不写作法） 考点一、线段垂直平分线的性质 1．如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，，则的周长为（   ） A．17 B．16 C．18 D．20 2．如图，在中，是的垂直平分线，，如果的周长为，则的周长是 ． 3．如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的周长． 考点二、角平分线的性质 1．如图，在中，平分交于点D，于点E，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．1 2．如图，在中，以点C为圆心、任意长为半径作弧，分别交于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线交于点G．若，，的面积为9，则的面积为 ． 3．如图所示，点O是的角平分线和的交点，，，，，，求的面积是多少？ 考点三、线段垂直平分线的逆定理 1．如图，已知：，，点E在的延长线上． (1)求证：垂直平分； (2)求证： 2．已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证： (1)； (2)是的垂直平分线． 3．“风筝飞满天，笑语乐无边”，由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形—筝形．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． (1)初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质，请你试着写出图中筝形的两条性质（定义除外）：① ；② ； (2)选择（1）题中你写的其中一条筝形的性质进行证明； (3)如图，若，，求筝形的面积． 考点四、角平分线的逆定理 1．如图，，M是的中点，平分．求证：平分． 2．在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：平分． 3．如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)的度数是 ； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 考点五、尺规作图 1．尺规作图：求作点P，使点P到点M，N的距离相等，同时到的两边的距离也相等． 2．如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点D，作线段的垂直平分线，分别交于点E，交于点F，垂足为O（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在所作图中，写出一对全等三角形，并给出证明． 3．如图所示，和是两条互相垂直的道路，A、B是某公司的两个销售点，公司要在C处修建一个货运站，使C到两条道路的距离相等，且到A、B两个销售点的距离相等，请作出点C的位置（已知点C在的区域内）．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 考点六、网格作图 1．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上． (1)在图中作出关于直线对称的． (2)在直线上找一点Q，使的值最小． (3)图中若有格点P满足．请你用尺规画图（保留作图痕迹）找到这样的点，并标注出来． 2．图①，图②，图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，P，Q均为格点．只用直尺在给定的网格中，按下列要求画图． (1)在图①中，画出关于直线l的轴对称图形； (2)在图②中，找出格点O，使它到P，Q两点的距离相等，且到的距离相等； (3)在图③中，在直线l上找出一点M，使得的值最小． 3．如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，若，，三点是格点． (1)在图1中，画出的中点； (2)在图1中，画出的垂直平分线； (3)在图2中，在边上找点，使； (4)在（3）的基础上，请在上画点，使． 考点七、双垂直平分线 1．如图所示，在中，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，求的度数． 2．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，求： (1)的度数 (2)的周长 3．【问题发现】 （1）如图①，在中，过点作，垂足为点，．若，则的值为________． 【问题探究】 （2）如图②，在中，、的垂直平分线分别交于点、，垂足分别为， 连接、，求的周长； 【拓展应用】 （3）如图③，是一个游乐场的平面示意图，其中，，平分交于点．现计划分别在处各修建一个游客休息区，、分别在小路、上，且，连接、，由规划得知的最小值为．现要继续在点、、处修建游乐区，点在上，且在线段的垂直平分线上，点、分别是、上的动点．沿、修建轨道交通以方便游客游玩．为节约成本要求的值最小，请问的值是否存在最小值；若存在，请求出此时的长；若不存在，请说明理由． 考点八、垂直平分线与角平分线结合 1．如图，中，的角平分线与边的垂直平分线交于点D，于点E，于点F． 求证： (1) (2) 2．如图，的角平分线与线段的垂直平分线交于点D，，垂足分别为点E、F．    (1)求证：； (2)求证：． 3．已知：如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别为，．    (1)求证：； (2)若，，求的周长． 知识导图记忆 1．如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，平分，则点到的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．1．5 3．如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（   ） A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7 4．如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 5．已知在直角三角形中，，，．动点在边上运动，过点作，垂足为点．则在点的运动过程中，的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，是的角平分线，，则的面积是 ． 7．如图，已知是线段的垂直平分线，E是上的一点，若，则的长为 ． 8．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ． 9．在小学，我们学习过“三角形的内角和为”．如图，在中，，根据作图痕迹推断的度数为 ． 10．如图，的2个内角与的角平分线相交于点． （1）设，则 ．（用含的式子表示） （2）过的直线分别交，于D，E两点，，的面积分别记为，．若，的周长为8，则的值为 ． 11．如图，道路和的交叉区域（的内部）为一个公园．C，D分别是两处游乐场地，若设置一个游乐场售票点P，使点P到两条道路的距离相等，且到两游乐场的距离也相等，这个售票点的位置应建在何处？请作出这个点．（保留作图痕迹，不写作法） 12．如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．求证：． 13．如图，是的平分线，于，于．求证：． 14．综合与实践 问题情境：数学课上，同学们利用两个全等的直角三角形的纸片进行图形变换的操作探究．如图，，，．将和按如图1的方式在同一平面内放置，其中点E与点A重合，边与边重合．       初步思考：（1）小丽在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将沿着射线的方向平移，边与边交于点H，边与直线交于点G．如图2，当点H为边的中点时，判断线段与线段的数量关系，并说明理由； 问题探究：（2）请在图2的基础上进行如下操作：连接，．求证：垂直平分； 拓展延伸：（3）小颖在图1的基础上进行如下操作：，保持不动，将沿着射线的方向平移，如图2，在平移的过程中，当点F平移到的边所在的直线上时，请直接写出平移的距离． 15．已知点，在直线两侧，点，在直线上，点为上一动点，连接，，且． (1)如图（）所示， 当点在线段上时， 若，，则 （选填“”“”或“”）； (2)如图（）所示，当点在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图（）所示，当点在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 线段垂直平分线与角平分线 思维导图 知识点1 线段垂直平分线 1.如图，直线PQ是线段AB的垂直平分线，PQ与AB交于点O， 把OA沿直线PQ翻折，可得OA与OB重合。 几何语言：∵直线PQ是线段AB的垂直平分 ∴∠1=∠2=90°，OA=OB 因此，线段是轴对称图形； 它得对称轴是线段的垂直平分线和它本身所在得直线。 2.如图，线段AB的垂直平分线l交AB于点O，点P是l上任意一点，PA与PB相等吗？为什么？通过证明，你发现了什么？用语言描述你得到的结论． PA=PB 证：∵直线l是线段AB的垂直平分线 ∴∠1=∠2=90°，OA=OB 在▲PAO与▲PBO中 ∴▲PAO≌▲PBO（SAS） ∴PA=PB 因此线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 几何语言：∵直线l是线段AB的垂直平分线，点P是l上一点 ∴PA=PB（证明定理：SAS） 3.如图，若点Q是线段AB外任意一点，且QA＝QB， 那么点Q在线段AB的垂直平分线上吗？为什么？ 在。过点Q作AB的垂线交AB与点M，可得∠QMA=∠QMB=90° 证：在Rt▲AQM和Rt▲BQM中，∠QMA=∠QMB=90°， ∴Rt▲AQM≌Rt▲BQM（HL）∴AM=BM∴点Q在线段AB的垂直平分线上。 因此线段垂直平分线的判定定理是到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 几何语言：∵QA=QB∴点Q在线段AB的垂直平分线上 4.如图：已知AC=AD，BC=BD，求证：AB垂直平分CD。 证明：∵AC=AD，BC=BD ∴点A、B是线段CD垂直平分线上的 ∴AB垂直平分CD 5.你用尺规画出任一条线段的垂直平分线吗？ 作法： 1.分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C、D。 2.过C、D两点作直线。 直线CD就是线段AB的垂直平分线。 6.在直线AB外任取一点C，用该方法作出线段BC、AC的垂直平分线，你会发现什么？ 三角形三边的垂直平分线交于一点.这一点到三角形三个顶点的距离相等 知识点2 角平分线 1. 如图，OC是∠AOB的角平分线，如果把∠1沿OC翻折， 因为∠1=∠2，所以射线OA与射线OB重合。 因此， 角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴. 2.如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P，PD⊥OA，PE⊥OB，证：PD=PE。 证：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90° 在▲PDO与▲PEO中， ∴▲PDO≌▲PEO（AAS） ∴PD=PE 因此，角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 几何语言： ∵点P在∠AOB的平分线上， PD⊥OA,PE⊥OB ∴PD＝PE 3.如图，若点Q在∠AOB内部，QD⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE，点Q在∠AOB的角平分线上吗？为什么？ 点Q在∠AOB的角平分线上；连接OQ， ∵QD⊥OA，QE⊥OB ∴∠QDO=QEO=90° 在Rt▲QDO和Rt▲QEO中，∠QDO=QEO=90°， ∴Rt▲QDO≌Rt▲QEO（HL） ∴∠DOQ=∠EOQ ∴点Q在∠AOB的角平分线上 因此，角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 几何语言： ∵点Q在∠AOB的内部， QD⊥OA,QE⊥OB，且QD＝QE ∴点Q在∠AOB的平分线上 4. 已知∠AOB（如图），求作：用尺规作图作出∠AOB的平分线OM． （1）以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D． （2）分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点M （3） 作射线OM。 5.在直线AB外任取一点C，用该方法作出线段∠A、∠B的角平分线，你会发现什么？ 三角形三个顶角的角平分线交于一点.这一点到三角形三条边的距离相等 6.设三角形角平分线的交点到三边的距离为h，三角形的周长为C，面积为S，三者之间的关系是？ 教材习题01 如图，在中，边，的垂直平分线，相交于点P． (1)求证：； (2)请判断点是否也在边的垂直平分线上？并说明理由； (3)由（1）（2）你能得出什么结论？（写一条即可） （1）证明：∵点P是的垂直平分线上的点， ∴． 同理． ∴； （2）解：点P在边的垂直平分线上． 理由：， ∴点P在边的垂直平分线上； （3）解：由（1）、（2）可得： ①三角形三边的垂直平分线相交于一点． ②三角形三边垂直平分线的交点到三顶点距离相等． ③三角形一边的垂直平分线也必过其它两边垂直平分线的交点． 教材习题02 如图，已知，是的垂直平分线，交于点E，交于点D，连接．若的周长为19，周长为13，求的长． 解：因为垂直平分， 所以． 因为的周长为13， 所以． 所以，即． 因为的周长为19， 所以． 所以． 因为， 所以． 教材习题03 如图，，分别为的两个外角的角平分线，于点P，于点Q，于点D，求证：点E在的角平分线上． 证明：∵，分别为的两个外角平分线，，，， ∴，， ， 又∵，， 点在的平分线上． 教材习题04 尺规作图：如图，相关部门要修建一个车站，要求车站到两个村庄C，D的距离相等，且车站到两条公路的距离相等，在内部确定车站的位置点P．（保留作图痕迹，不写作法） 解：如图所示，作线段的垂直平分线和的角平分线，二者的交点即为点P的位置． 考点一、线段垂直平分线的性质 1．如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，，则的周长为（   ） A．17 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【分析】本题考查作图，线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质．由题意可得垂直且平分，根据垂直平分线的性质可得，从而可得，求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可得，垂直且平分， ， ， 故选：D． 2．如图，在中，是的垂直平分线，，如果的周长为，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质．根据线段的垂直平分线的性质得到和，根据三角形的周长公式计算即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长， 的周长， 故答案为：． 3．如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据，且，可得垂直平分，则，根据垂直平分，可得，据此可证明； （2）根据线段垂直平分线的定义得到，根据，得到，再根据三角形周长计算公式和线段之间的关系可得的周长． 【详解】（1）证明：∵，垂足为D，且， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分，交于点F，交于点E， ∴， ∴； （2）解：∵垂直平分，交于点F，交于点E， ∴． ∵， ∴． 由（1）得， ∴的周长． 考点二、角平分线的性质 1．如图，在中，平分交于点D，于点E，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点D作于F，由角平分线的性质得到，再由三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于F， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．如图，在中，以点C为圆心、任意长为半径作弧，分别交于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线交于点G．若，，的面积为9，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，三角形的面积等知识，过点G作于点M，于点N．利用角平分线的性质定理证明，利用三角形面积公式求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点G作于点M，于点N． 由作图可知平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图所示，点O是的角平分线和的交点，，，，，，求的面积是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了三角形内心的性质.根据题意得到点O到，的距离均，根据三角形面积公式计算即可. 【详解】解：∵点O是的角平分线和的交点，， ∴点O到，的距离均， ∴； 故答案为：. 考点三、线段垂直平分线的逆定理 1．如图，已知：，，点E在的延长线上． (1)求证：垂直平分； (2)求证： 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质性质． （1）由线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可证明问题; （2）由线段垂直平分线的性质定理推出，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴点A和D都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）证明：由（1）知垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴． 2．已知，如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，．求证： (1)； (2)是的垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形判定与性质、线段垂直平分线的判定、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的判定是解答的关键． （1）先根据角平分线的性质得到，再证明，利用全等三角形的对应边相等即可证得结论； （2）利用线段垂直平分线的判定可得结论． 【详解】（1）证明：∵是平分线上的一点，，， ∴，，又， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴点O、P在线段的垂直平分线上， 即是的垂直平分线； 3．“风筝飞满天，笑语乐无边”，由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形—筝形．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． (1)初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质，请你试着写出图中筝形的两条性质（定义除外）：① ；② ； (2)选择（1）题中你写的其中一条筝形的性质进行证明； (3)如图，若，，求筝形的面积． 【答案】(1)垂直平分， (2)见解析 (3)30 【分析】本题考查中垂线的性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据题意易得垂直平分，； （2）根据中垂涎的判定方法，全等三角形的判定方法进行判断即可； （3）分割法求出筝形的面积即可． 【详解】（1）解：观察可知：垂直平分，； 故答案为：垂直平分，； （2）性质1：∵，， ∴点均在线段的中垂线上， ∴垂直平分； 性质2：∵， ∴； （3）∵垂直平分， ∴． 考点四、角平分线的逆定理 1．如图，，M是的中点，平分．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线性质和判定的应用，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 过M作于E，根据角平分线性质求出，再根据角平分线的判定即可． 【详解】证明：过M作于E， ∵平分，，， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∵，， ∴平分． 2．在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用角的和差可得，结合，，即可由证得； （2）过点作，，由（1）可知，推出，，然后利用面积公式进而得到，根据角平线的判定定理即可判定． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ． （2）证明：过点作，，如图， 由（1）可知， ，， ， ， 又，， 平分． 3．如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)的度数是 ； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理的应用； （1）先求出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可得； （2）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证； （3）过点作于点，作于点，则，设，再根据和三角形的面积公式可得的值，从而可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）证明：如图，过点作于点，作于点，   平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ， ， 又点在的内部， 平分． （3）解：如图，过点作于点，作于点，    由（2）已得：， 设， ， ， ，即， 又， ， ， ， 的面积为． 考点五、尺规作图 1．尺规作图：求作点P，使点P到点M，N的距离相等，同时到的两边的距离也相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，垂直平分线的判定应用，作线段的垂直平分线，作角平分线．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 由点P到点M和点N的距离相等，可知点P在线段的垂直平分线上，由点P到两边的距离相等，可知点P在的平分线上，即点P为线段的垂直平分线与的平分线的交点，如图作线段的垂直平分线与角平分线即可． 【详解】解：如图：点P即为所求． 2．如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点D，作线段的垂直平分线，分别交于点E，交于点F，垂足为O（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在所作图中，写出一对全等三角形，并给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线和线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由角平分线的定义得到，由线段垂直平分线的性质得到，据此可利用证明． 【详解】（1）解；如图所示，射线，直线即为所求． （2）解：，证明如下： ∵为的平分线， ∴， ∵垂直平分， ∴． 又∵， ∴． 3．如图所示，和是两条互相垂直的道路，A、B是某公司的两个销售点，公司要在C处修建一个货运站，使C到两条道路的距离相等，且到A、B两个销售点的距离相等，请作出点C的位置（已知点C在的区域内）．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的画法和性质，角平分线的画法和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 先作出线段的垂直平分线，再作出的角平分线，两线相交于点C，由线段垂直平分线的性质可知点C到A、B两个销售点的距离相等，由角平分线的性质可知点C到两条道路的距离相等，故点C即为所求． 【详解】解：如图所示 考点六、网格作图 1．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上． (1)在图中作出关于直线对称的． (2)在直线上找一点Q，使的值最小． (3)图中若有格点P满足．请你用尺规画图（保留作图痕迹）找到这样的点，并标注出来． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查画轴对称图形，尺规作图—作垂线，熟练掌握轴对称的性质，中垂线的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，作图即可； （2）连接，与的交点即为点； （3）作的中垂线，确定点的位置即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，点即为所求； （3）如图，点即为所求； 2．图①，图②，图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，P，Q均为格点．只用直尺在给定的网格中，按下列要求画图． (1)在图①中，画出关于直线l的轴对称图形； (2)在图②中，找出格点O，使它到P，Q两点的距离相等，且到的距离相等； (3)在图③中，在直线l上找出一点M，使得的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析． 【分析】本题考查作图-轴对称变换、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接正方形网格对角线，交点即为所作； （3）作点B关于直线l的对称点，连接，交直线l于点M，则点M即为所作． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，点即为所作； （3）解：如图，点M即为所作； 3．如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，若，，三点是格点． (1)在图1中，画出的中点； (2)在图1中，画出的垂直平分线； (3)在图2中，在边上找点，使； (4)在（3）的基础上，请在上画点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查无刻度网格作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，轴对称的性质， （1）利用网格特征作出的中点即可； （2）根据线段的垂直平分线的定义作出图形即可； （3）构造等腰直角三角形，交一点，点即为所求； （4）根据对称性，构造等腰，，交于点，连接交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，根据网格的特点，点即为所求： （2）如图所示，分别找到的格点，则四边形是正方形，取与网格线的交点，作直线，则即为所求 （3）构造等腰直角三角形，交一点，点即为所求； （4）如图，根据对称性，构造等腰，，交于点，连接交于点，点即为所求． 考点七、双垂直平分线 1．如图所示，在中，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质等知识，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． 根据三角形的内角和定理可求出，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得，，于是可得，进而求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 2．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，求： (1)的度数 (2)的周长 【答案】(1)的度数为； (2)的周长为． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、线段的垂直平分线的性质和判定，解决问题的关键是灵活运用转化角和转化线段． （1）根据三角形内角和定理求出，通过线段的垂直平分线的性质，得到，，转化角即可得解； （2）通过线段的垂直平分线的性质，即可得到，，转化线段即可得到的周长． 【详解】（1）解：在中， ， 的垂直平分线交于点， ， 同理可得，， ，， 答：的度数为； （2）解：的垂直平分线交于点，交于点， ， 又的垂直平分线交于点，交于点， ， 的周长为：， 答：的周长为． 3．【问题发现】 （1）如图①，在中，过点作，垂足为点，．若，则的值为________． 【问题探究】 （2）如图②，在中，、的垂直平分线分别交于点、，垂足分别为， 连接、，求的周长； 【拓展应用】 （3）如图③，是一个游乐场的平面示意图，其中，，平分交于点．现计划分别在处各修建一个游客休息区，、分别在小路、上，且，连接、，由规划得知的最小值为．现要继续在点、、处修建游乐区，点在上，且在线段的垂直平分线上，点、分别是、上的动点．沿、修建轨道交通以方便游客游玩．为节约成本要求的值最小，请问的值是否存在最小值；若存在，请求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4；（2）30；（3）1． 【分析】（1）直接证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （2）由垂直平分线的性质可得、，再根据三角形的周长公式及等量代换即可解答； （3）由题意可得，如图∶作线段，使， ，连接， 可证是等边三角形可得，再证明可得，进而得到的最小值为，即，即；如图：作的垂直平分线交与M，即，作点F关于的对称点R，连接，则；根据轴对称的性质和等腰三角形的性质可得点R在直线上；然后根据三角形的三边关系可得当共线且直线垂直于，即点R和点O重合，有最小值，最后根据等腰三角形的对称性解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． （2）解：∵、的垂直平分线分别交于点、， ∴， ∴的周长为． （3）解∶∵，， ∴， ∵平分， ∴， 如图∶作线段，使， ，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．， ∵ 的最小值为，即 ∴． 如图：作的垂直平分线交与M，即，作点F关于的对称点R，连接，则 ∵平分，点F关于的对称点R， ∴点R在直线上， ∵， ∴当共线且直线垂直于， ∴点R和点O重合，即时，有最小值， ∵平分，点R在直线上，点F关于的对称点R， ∴ 【点睛】本题主要考出了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 考点八、垂直平分线与角平分线结合 1．如图，中，的角平分线与边的垂直平分线交于点D，于点E，于点F． 求证： (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，会利用中垂线的性质找出全等的条件是解此题的关键． （1）连接，根据角平分线的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，证明，由全等三角形的性质即可得到结论； （2）证明，根据全等三角形的性质得到，等量代换即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， 平分， ，， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：在和中 ， ， ， ，， ， ， ． 2．如图，的角平分线与线段的垂直平分线交于点D，，垂足分别为点E、F．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，垂直平分线的性质． （1）连接，根据垂直平分线和角平分线的性质分别得到，证明，从而证得； （2）证明，得到，从而可以得到． 【详解】（1）证明：连接，   垂直平分， ， 平分，， ， 在和中， ， ∴， ； （2）证明：在和中， ， ∴， ， ， ， ． 3．已知：如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别为，．    (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质； （1）连结，根据线段垂直平分线的性质和角平分线性质得出，，证明，即可得出结论； （2）证明，可得，然后求出的周长为，计算即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵D在的中垂线上， ∴， ∵，，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴的周长为：． 知识导图记忆 1．如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到，得到，即，求出，即可得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长等于， ， ，即， ， 故选：B． 2．如图，在中，，，，平分，则点到的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．1．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 过点D作于点E，根据角平分线的性质，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即点到的距离为2． 故选：A 3．如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（   ） A．1：1：1 B．7：6：5 C．6：5：7 D．5：6：7 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键．根据角平分线上的点到这个角的两边的距离相等性质和等面积法求解即可． 【详解】解∶过点O作于D，于E，于F， 点O是内心， ． 故选：D． 4．如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过D作于F，由角平分线的性质定理即可求出，再计算出，最后根据，即可求出的值． 【详解】解：过D作于F， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∵的面积为7， ∴ 即， 解得：， 故选：A． 5．已知在直角三角形中，，，．动点在边上运动，过点作，垂足为点．则在点的运动过程中，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，轴对称的性质；作点关于的对称点，过点作于点，交于点，连接，根据轴对称的性质以及垂线段最短可得的最小值为，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，过点作于点，交于点，连接， ∴， ∴当和重合时，， ∵ ∴的最小值为 ∵，，． ∴ ∵ ∴， 故选：B． 6．如图，是的角平分线，，则的面积是 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握其性质及运用是关键． 先作于E，再根据角平分线的性质得到，最后根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过D作于E， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴的面积． 故答案为：24． 7．如图，已知是线段的垂直平分线，E是上的一点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等，进行作答即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， 故答案为：． 8．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∴的周长为:； 故答案为：14． 9．在小学，我们学习过“三角形的内角和为”．如图，在中，，根据作图痕迹推断的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是作角平分线，三角形的内角和定理的应用，证明，，可得. 【详解】解：由作法得平分，平分， ∴，． ∵ ∵， ∴． 故答案为： 10．如图，的2个内角与的角平分线相交于点． （1）设，则 ．（用含的式子表示） （2）过的直线分别交，于D，E两点，，的面积分别记为，．若，的周长为8，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，和角平分线有关的三角形内角和问题，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先求出，然后由角平分线求出，，进而求解即可； （2）如图，连接，作于点于点于点，首先根据角平分线的性质定理得到，然后表示出，，然后结合求解即可． 【详解】（1） 与的平分线相交于点 ， ； 故答案为：． （2）如图，连接，作于点于点于点， ∵平分，， ∴ 同理可得 ∴ ． 的周长为 ． 故答案为：． 11．如图，道路和的交叉区域（的内部）为一个公园．C，D分别是两处游乐场地，若设置一个游乐场售票点P，使点P到两条道路的距离相等，且到两游乐场的距离也相等，这个售票点的位置应建在何处？请作出这个点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握角平分线的性质和线段的垂直平分线的是解题的关键． 作的平分线和线段的垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图，作的平分线和线段的垂直平分线，交点P即为所作． 12．如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，掌握该知识点是解题的关键．由“到线段两端点距离相等的点在该线段垂直平分线上”，可判断是的垂直平分线，即可解得． 【详解】证明：∵，， ∴点A、C在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴． 13．如图，是的平分线，于，于．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，可证明，即可得到． 【详解】证明：是的平分线，，， ， 在和中， ， ． 14．综合与实践 问题情境：数学课上，同学们利用两个全等的直角三角形的纸片进行图形变换的操作探究．如图，，，．将和按如图1的方式在同一平面内放置，其中点E与点A重合，边与边重合．       初步思考：（1）小丽在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将沿着射线的方向平移，边与边交于点H，边与直线交于点G．如图2，当点H为边的中点时，判断线段与线段的数量关系，并说明理由； 问题探究：（2）请在图2的基础上进行如下操作：连接，．求证：垂直平分； 拓展延伸：（3）小颖在图1的基础上进行如下操作：，保持不动，将沿着射线的方向平移，如图2，在平移的过程中，当点F平移到的边所在的直线上时，请直接写出平移的距离． 【答案】（1），理由见解析（2）详见解析（3）或 【分析】（1）利用中点的含义与含的直角三角形的性质可得结论； （2）如图，连接，证明，再利用线段的垂直平分线的判定即可得到答案； （3）①当点F落在边所在直线上时，如图，②当点F落在边所在直线上时，如图，再进一步利用全等三角形的性质，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）．理由：在中，，，， 点H为边的中点， ， ． （2）证明：如图，连接， 由平移可知：， ， ， ， 在与中： ， ， ， 点G在的垂直平分线上， ， 点D在的垂直平分线上， 垂直平分． （3）或．理由如下： ①当点F落在边所在直线上时，如图， 由平移可知：， ，， ∴，而，， ， ， 在中，，，， ∴， ， ， 在中，，， ， ； ②当点F落在边所在直线上时，如图， 过点E向边所在直线作垂线，交边所在直线于点H， 由平移可知：， ， ， ， 在中，，， 同理：， ． 综上，平移距离为或． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 15．已知点，在直线两侧，点，在直线上，点为上一动点，连接，，且． (1)如图（）所示， 当点在线段上时， 若，，则 （选填“”“”或“”）； (2)如图（）所示，当点在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图（）所示，当点在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下见解析 (3)，理由如下见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）可证明从而得出结果； （）可证明从而得出，进而得出结论； （）证明从而得出，从而得出 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵，，， ∴， 由折叠得：，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 2 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $$