假期作业12 基本立体图形及立体图的直观图-【快乐假期】2025年高一数学暑假大作业（北师大版）

则 (１＋i)２(３＋４i)２ ２z ＝ ２i(３＋４i)２ ２(－４＋３i) ＝２ (－４＋３i)(３＋４i) ２(－４＋３i) ＝３＋４i． １２．解:(１)设z＝a＋bi(a,b∈R), 由已知条件得:a２＋b２＝２,z２＝a２－b２＋２abi,所以２ab＝２． 所以a＝b＝１或a＝b＝－１,即z＝１＋i或z＝－１－i． (２)当z＝１＋i时,z２＝(１＋i)２＝２i,z－z２＝１－i, 所以点A(１,１),B(０,２),C(１,－１), 所以S△ABC＝ １ ２|AC|×１＝ １ ２×２×１＝１ ; 当z＝－１－i时,z２＝(－１－i)２＝２i,z－z２＝－１－３i． 所以点A(－１,－１),B(０,２),C(－１,－３), 所以S△ABC＝ １ ２|AC|×１＝ １ ２×２×１＝１． 即△ABC 的 面积为１． 新题快递 １．B　[由 题 意 可 得z＝ ２＋i １＋i２＋i５ ＝ ２＋i１－１＋i＝ i(２＋i) i２ ＝ ２i－１ －１ ＝１－２i ,则z＝１＋２i．] ２．AD　[对于 A,若z１＋z２＝０,则z１＝－z２,所以|z１|＝ |－z２|＝|z２|,所以 A 正确;对于 B,设z１＝２＋４i,z２＝ ４,则|z１ ＋１|＝|３＋４i|＝５＝|z２＋１|＝|５|,而|z１|＝ ２２＋４２＝２ ５≠|z２|＝４,所以 B错误;对于 C,设z１＝ x＋yi(x,y∈R),则z２１＝(x＋yi)２＝x２－y２＋２xyi,|z１| ＝ x２＋y２,所以|z１|２＝x２＋y２,所以z２１≠|z１|２,所以 C错误;对于 D,设z１＝x＋yi(x,y∈R),z２＝a－bi(a,b ∈R),则z１z２＝(x＋yi)(a－bi)＝(ax＋by)(ay－bx)i, 所以|z１z２|＝ (ax＋by)２＋(ay－bx)２ ＝ (x２＋y２)(a２＋b２),|z１||z２| ＝ (x２＋y２)(a２＋b２),所以当z３＝z１z２ 时, |z３|＝|z１||z２|,所以 D正确．故选 AD．] 假期作业１２ 思维整合室 １．互相平行　公共顶点　平行于 ２．(２)①４５°(或１３５°)　②变为原来的一半 技能提升台　素养提升 １．B　２．C ３．BCD　[当任意两点与球心在一条直线上时,可作无数个圆, 故A错;B正确;C正确;根据球的半径的定义可知D正确．] ４．解析:①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋 转一周可得到圆台;②它们的底面为圆面;③④⑤正确． 答案:③④⑤ ５．D　[如图所示为原图形和其直观图． 由图可知,A′B′＝AB＝a,O′C′＝１２OC＝ ３ ４a , 在图中作C′D′⊥A′B′于点D′, 则C′D′＝ ２２O′C′＝ ６ ８a． ∴S△A′B′C′＝ １ ２A′B′ 􀅰C′D′＝ １２ ×a× ６ ８a＝ ６ １６a ２．故 选 D．] ６．C　[解法一:依题意可知∠BAD＝４５°,则原平面图形为 直角梯形,上下底面的长与BC,AD 相等,高为梯形ABＧ CD 的高的２ ２倍,所以原平面图形的面积为８cm２．故 选 C． 解法二:依题意可知,S直观图 ＝２ ２cm２, 故S原图形 ＝２ ２S直观图 ＝８cm２．故选 C．] ７．解析:在 直 观 图 中,四 边 形 为 O′A′B′C′菱 形 且 边 长 为 ２cm, ∴由斜二测法的规则得:在xOy坐标系中,四边形ABＧ CO 是矩形, 其中OA＝２cm,OC＝４cm, ∴四边形ABCO 的周长为:２×(２＋４)＝１２(cm), 面积为S＝２×４＝８(cm２)． 答案:１２　８ ８．解析:作CD,BE⊥OA 于点D,E, 则OD＝EA＝OA－BC２ ＝２ , ∴CD＝OD＝２, ∴在直观图中梯形的高为１２×２× ２ ２＝ ２ ２． 答案:２ ２ ９．A　[依题意可得圆柱的底面半径r＝１, 高h＝４ 将圆柱的侧面(一半)展开后得矩形ABＧ CD, 其中AB＝π,AD＝４, 问题转化为在CD 上找一点Q,使AQ＋ PQ 最短, 作P 关于CD 的对称点E,连接 AE,令 AE 与CD 交于点Q, 则 得 AQ＋PQ 的 最 小 值 就 是 为AE＝ π２＋(４＋２)２ ＝ π２＋３６．] １０．C　[如图,设正四棱锥的高为h,底 面边长为a,侧面三角形底边上的高为 h′,则依 题 意 有: h２＝１２ah′ h２＝h′２－ a２( ) ２ ì î í ïï ï , 因此有h′２－ a２( ) ２ ＝１２ah′ ,化简得４ h′a( ) ２ － ２ h′a( )－１＝０,解得 h′ a ＝ ５＋１ ４ (负根已舍去)．] １１．解:圆台的轴截面题图所示,设圆台上、下底面半径分 别为xcm,３xcm,延长 AA１ 交OO１ 的延长线于S,在 Rt△SOA 中,∠ASO＝４５°,则∠SAO＝４５°, 所以SO＝AO＝３x,SO１＝A１O１＝x,所以OO１＝２x． 又S轴截面 ＝１２ (６x＋２x)􀅰２x＝３９２,所以x＝７． 所以圆台的高OO１＝１４(cm),母线长l＝ ２OO１ ＝１４ ２(cm), 两底面半径分别为７cm,２１cm． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２６ １２．解:把长方体的部分面展开,如图所示． 对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC１ 的长分别 为 ９０、７４、８０,由此可见乙是最短线路,所以甲壳虫可 以先在长方形ABB１A１ 内由A 到E,再在长方形BCC１B１ 内由E到C１,也可以先在长方形AA１D１D内由A到F,再 在长方形DCC１D１ 内由F到C１,其最短路程为 ７４． 新题快递 １．B　[沿侧棱BB１ 将正三棱柱的侧 面展开,得到一个矩形BB１B１′B′ (如图)． 由侧面 展 开 图 可 知,当 B,M,C１ 三点共线时,从点B 经过M 到达C１ 的路线最短． 所以最短路线长为BC１＝ ４２＋２２＝２ ５．] ２．解 析:不 妨 设 原 棱 锥 为 四 棱锥, 设棱台的高为h,截得棱台的 原棱锥的高为h１, 如图 所 示,即 MN＝h,PN ＝h１ 因为四边形ABCD 与四边形 EFGH 相似, 且上下底面面积分别为４和 ９,故EMAN＝ ２ ３ , 由△PEM∽△PAN, 故PM PN＝ EM AN＝ ２ ３ ,MN PN ＝ h h１ ＝１－２３＝ １ ３ , 这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比为１ ３． 答案:１ ３ 假期作业１３ 思维整合室 １．２πrl　πrl　π(r１＋r２)l　２．S底 􀅰h　 １ ３S底 􀅰h　４πR２ 技能提升台　素养提升 １．C　 ２．A　[依题意,圆柱的母线长l＝２πr,故S侧 ＝２πrl＝４π２r２ ＝４π２．] ３．A　[设正三棱锥的侧棱长为b,由条件知２b２＝a２,所以 三棱锥的表面积为 ３ ４a ２＋３×１２× １ ２×a ２＝３＋ ３４ a ２．] ４．AC 　 [如 图,由 ∠APB ＝１２０°,AP ＝２可 知,底 面 直 径 AB＝２ ３,高PO＝１, 故该 圆 锥 的 体 积 为 π,故 A 对;该圆锥的 侧面积为２ ３π,故 B 错;连接CB,取AC 中点为Q,连接QO,PQ,易证二面 角P－AC－O 的平面角为∠PQO＝４５°,所以QO＝PO ＝１,PQ＝ ２,所 以 BC＝２,所 以 AC＝２ ２,故 C 对; S△PAC＝ １ ２AC 􀅰PQ＝２,故 D错．] ５．B　[由题意可知:三棱锥PＧABC 的高为PA＝３,所以该 四面体的体积为１ ３×３× １ ２×２×２＝２． ] ６．B　[按相似,小圆锥的底面半径r＝ ２００ ２ ２ mm＝５０mm , 故V小锥 ＝１３×π×５０ ２×１５０mm３＝５０３􀅰πmm３, 积水厚度h＝V小锥S大圆 ＝ ５０３􀅰π π􀅰１００２ mm＝１２．５mm,属于中雨, 选B．] ７．B　 [如 图,分 别 过 M,C 作 MM′⊥PA,CC′⊥PA,垂 足 分别为M′,C′．过B 作BB′⊥ 平面 PAC,垂 足 为 B′,连 接 PB′,过 N 作NN′⊥PB′,垂 足为 N′． 因为BB′⊥平面PAC,BB′⊂ 平面PBB′, 所以平面PBB′⊥平面PAC． 又因为平面PBB′∩平面PAC＝PB′,NN′⊥PB′,NN′ ⊂平面PBB′,所以 NN′⊥平面PAC, 且BB′∥NN′． 在△PCC′中,因为 MM′⊥PA,CC′⊥PA, 所以 MM′∥CC′,所以PMPC＝ MM′ CC′＝ １ ３ , 在△PBB′中,因为BB′∥NN′,所以PNPB＝ NN′ BB′＝ ２ ３ , 所以 VP－AMN VP－ABC ＝ VN－PAM VB－PAC ＝ １ ３S△PAM 􀅰NN′ １ ３S△PAC 􀅰BB′ ＝ １ ３× １ ２PA 􀅰MM′( ) 􀅰NN′ １ ３× １ ２PA 􀅰CC′( ) 􀅰BB′ ＝２９． ] ８．解析:由 题 意 易 求 正 四 棱 锥 的 高 为 ６,V棱台 ＝V大四棱锥 － V小四棱锥 ＝１３×４×４×６－ １ ３×２×２×３ ＝２８． 答案:２８ ９．A　[由题意知☉O１ 的半径r为２,由正弦定理知 AB sinC＝２r , 则OO１ ＝AB＝２rsin６０°＝２ ３,所 以 球 O 的 半 径 R＝ r２＋OO２１＝４,所以球O的表面积为４πR２＝６４π,故选A．] １０．A　[记△ABC的外接圆圆心为O１,由AC⊥BC,AC＝ BC＝１,知O１ 为AB 的中点,且AB＝ ２,O１C＝ ２ ２ ,又 球的半径为１,所以OA＝OB＝OC＝１,所以OA２＋OB２ ＝AB２,OO１＝ ２ ２ ,于是OO２１＋O１C２＝OC２,所以有OO１ ⊥O１C,OO１⊥AB,进而OO１⊥平面 ABC,所以VO－ABC ＝ １３S△ABC 􀅰OO１ ＝ １ ３ 􀅰 １ ２ 􀅰１􀅰１􀅰 ２２ ＝ ２ １２ ,故 选 A．] １１．解:如 图,过 C 作CE 垂 直 于AD,交 AD 延长线于E,则所求几何体的体积 可看成是由梯形ABCE 绕AE 旋转一 周所得的圆台的体积,减去△EDC 绕 DE 旋转一周所得的圆锥的体积． 所以所求几何体的体积V＝V圆台 －V圆锥 ＝１３π× (５２＋ ５×２＋２２)×４－１３π×２ ２×２＝１４８３π． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３６ 　假期作业１２　基本立体图形及立体图的直观图　　　　　　　　 １．空间几何体的结构特征 (１)多面体的结构特征 多面体 结构特征 棱柱 有两个面　　　　　　,其余各 面都是四边形且每相邻两个四 边形的公共边都互相平行 棱锥 有一个面是多边形,而其余各面 都是 有 一 个 　 　 　 　 　 的 三 角形 棱台 棱锥被　　　　底面的平面所 截,截面和底面之间的部分叫做 棱台 (２)旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 矩形 一 边 所 在 的 直线 或 对 边 中 点 连线所在直线 圆锥 直角三角形 或 等腰三角形 一直 角 边 所 在 的 直线 或 等 腰 三 角 形底 边 上 的 高 所 在直线 几何体 旋转图形 旋转轴 圆台 直角梯形或 等腰梯形 直角 腰 所 在 的 直 线或 等 腰 梯 形 上 下底 中 点 连 线 所 在直线 球 半圆或圆 直径所在的直线 ２．直观图 (１)画法:常用斜二测画法． (２)规则:①原图形中x 轴、y 轴、z轴两两 垂直,直观图中,x′轴,y′轴的夹角为 　　　　　,z′轴与x′轴和y′轴所在平 面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段,直观 图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变, 平行于 y 轴 的 线 段 长 度 在 直 观 图 中 　　　　　　． ◆[考点一]　空间几何体的结构特征 １．观察如图所示的四个几何体,其中判断 不正确的是 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５２ A．①是棱柱　　　　　　B．②不是棱锥 C．③不是棱锥 D．④是棱台 ２．下列说法中,正确的是 (　　) A．棱柱的侧面可以是三角形 B．若棱柱有两个侧面是矩形,则该棱柱 的其他侧面也是矩形 C．正方体的所有棱长都相等 D．棱柱的所有棱长都相等 ３．(多选)下列命题正确的是 (　　) A．过球面上任意两点只能作一个经过球 心的圆 B．球的任意两个经过球心的圆的交点的 连线是球的直径 C．用不过球心的截面截球,球心和截面 圆心的连线垂直于截面 D．球的半径是球面上任意一点和球心的连 线段 ４．下列命题正确的是　　　　．(填序号) ①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转 一周所得的旋转体是圆台; ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ③以等腰三角形的底边上的高线所在的 直线为旋转轴,其余各边旋转一周形成 的几何体是圆锥; ④半圆面绕其直径所在直线旋转一周形 成球面; ⑤用一个平面去截球,得到的截面是一 个圆面． ◆[考点二]　空间几何体的直观图 ５．已知正三角形 ABC 的边长为a,那么 △ABC 的 平 面 直 观 图 △A′B′C′的 面 积为 (　　) A．３４a ２ B．３８a ２ C．６８a ２ D．６１６a ２ ６．用斜二测画法画出的 某平面图形的直观图 如图,边 AB 平行于y 轴,BC,AD 平 行 于x 轴．已 知 四 边 形 ABCD 的面积为２ ２cm２,则原平面图形 的面积为 (　　) A．４cm２ B．４ ２cm２ C．８cm２ D．８ ２cm２ ７．在直观图(如图)中,四 边形为O′A′B′C′菱形 且边 长 为 ２cm,则 在 xOy坐标系中,四边形 ABCO周长为　　　　　cm,面积为　 　　　　cm２． ８．如 图 所 示,四 边 形 OABC 是上底为２,下 底为６,底角为 ４５°的 等腰梯形,用斜二测画法画出这个梯形 的直观图O′A′B′C′,则直观图中梯形的 高为　　　　． ◆[考点三]　空间几何体的计算问题 ９．如图,一个矩形边长为１和 ４,绕它的长为４的边旋转二 周后所得如图的一开口容器 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６２ (下表面密封),P 是BC 中点,现有一只 妈蚁位于外壁A 处,内壁P 处有一米粒, 若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点 P 处取得米粒,则它所需经过的最短路 程为 (　　) A．π２＋３６ B．π２＋１６ C．４π２＋３６ D．４π２＋１ １０．埃及胡夫金字塔是古 代世 界 建 筑 奇 迹 之 一,它的形状可视为 一个正四棱锥,以该 四棱锥的高为边长的正方形面积等于 该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其 侧面三角形底边上的高与底面正方形 的边长的比值为 (　　) A．５－１４ 　　　　　　B． ５－１ ２ C．５＋１４ D． ５＋１ ２ １１．圆台的一个底面周长是 另一个底面周长的３倍, 轴 截 面 的 面 积 等 于 ３９２cm２,母线与轴的夹角是４５°,求这 个圆台的高、母线长和两底面半径． １２．长方体ABCD－A１B１C１D１ (如图所示)中,AB＝３,BC ＝４,A１A＝５,现有一甲壳虫 从A出发沿长方体表面爬 行到C１ 来获取食物,试画 出它的最短爬行路线,并求 其路程的最小值． １．如 图 所 示,在 正 三 棱 柱 ABC－A１B１C１ 中,AB＝ ２,AA１＝２,由顶点B 沿 棱柱侧面(经过棱 AA１) 到达顶点C１,与 AA１ 的 交点记为 M,则从点B 经点M 到C１ 的 最短路线长为 (　　) A．２ ２　　B．２ ５　　C．４　　D．４５ ２．棱台的上下底面面积分别为４和９,则这 个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的 比是　　　　　． 某 学 生 本 科 读 的 重 大,硕士读的浙大,博士读 的北 大,毕 业 证 上 校 长 栏 统统盖的林建华的章． 找工 作 的 时 候,面 试 官:“同 学,造 假 也 要 专 业 一点,你 就 不 能 多 刻 几 个 章?”(林 建 华 先 后 任 重 大、浙 大、北 大 的 校长) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７２