假期作业24 基本立体图形及立体图的直观图-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（北师大版）

　假期作业２４　基本立体图形及立体图的直观图　　　　　　　　 １．空间几何体的结构特征 (１)多面体的结构特征 多面体 结构特征 棱柱 有两个面　　　　　　,其余各面 都是四边形且每相邻两个四边形的 公共边都互相平行 棱锥 有一个面是多边形,而其余各面都 是有一个　　　　　的三角形 棱台 棱锥被　　　　底面的平面所截, 截面和底面之间的部分叫做棱台 (２)旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 矩形一边所在的直线 或对边中点连线所在 直线 圆锥 直角三角形 或 等腰三角形 一直角边所在的直线 或等腰三角形底边上 的高所在直线 圆台 直角梯形或 等腰梯形 直角腰所在的直线或 等腰梯形上下底中点 连线所在直线 球 半圆或圆 直径所在的直线 ２．直观图 (１)画法:常用斜二测画法． (２)规则:①原图形中x 轴、y 轴、z轴两两垂 直,直观图中,x′轴,y′轴的夹角为　　　 　　,z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中 仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段 在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的 线段长度在直观图中　　　　　　． ◆[考点一]　空间几何体的结构特征 １．观察如图所示的四个几何体,其中判断不正 确的是 (　　) A．①是棱柱　　　　　　B．②不是棱锥 C．③不是棱锥 D．④是棱台 ２．下列说法中,正确的是 (　　) A．棱柱的侧面可以是三角形 B．若棱柱有两个侧面是矩形,则该棱柱的 其他侧面也是矩形 C．正方体的所有棱长都相等 D．棱柱的所有棱长都相等 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７５ ３．(多选)下列命题正确的是 (　　) A．过球面上任意两点只能作一个经过球心 的圆 B．球的任意两个经过球心的圆的交点的连 线是球的直径 C．用不过球心的截面截球,球心和截面圆 心的连线垂直于截面 D．球的半径是球面上任意一点和球心的连线段 ４．下列命题正确的是　　　　．(填序号) ①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一 周所得的旋转体是圆台; ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ③以等腰三角形的底边上的高线所在的直 线为旋转轴,其余各边旋转一周形成的几何 体是圆锥; ④半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成 球面; ⑤用一个平面去截球,得到的截面是一个 圆面． ◆[考点二]　空间几何体的直观图 ５．已 知 正 三 角 形 ABC 的 边 长 为a,那 么 △ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为 (　　) A．３４a ２ B．３８a ２ C．６８a ２ D．６１６a ２ ６．用斜二测画法画出的某平 面图形的直观图如图,边 AB 平行于y 轴,BC,AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为 ２ ２cm２,则原平面图形的面积为 (　　) A．４cm２ B．４ ２cm２ C．８cm２ D．８ ２cm２ ７．在直观图(如图)中,四边 形为O′A′B′C′菱形且边 长为２cm,则在xOy坐标 系中,四边形ABCO周长为　　　　　cm, 面积为　　　　　cm２． ８．如图所示,四边形 OABC 是上底为２,下底为６,底 角为４５°的等腰梯形,用斜 二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′,则 直观图中梯形的高为　　　　． ◆[考点三]　空间几何体的计算问题 ９．如图,一个矩形边长为１和４, 绕它的长为４的边旋转二周后 所得如图的一开口容器(下表 面密封),P 是BC 中点,现有一只妈蚁位于 外壁A 处,内壁P 处有一米粒,若这只蚂蚁 要先爬到上口边沿再爬到点 P 处取得米 粒,则它所需经过的最短路程为 (　　) A．π２＋３６ B．π２＋１６ C．４π２＋３６ D．４π２＋１ １０．埃及胡夫金字塔是古代 世界建筑奇迹之一,它 的形状可视为一个正四 棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面 积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积, 则其侧面三角形底边上的高与底面正方形 的边长的比值为 (　　) A．５－１４ 　　　　　　B． ５－１ ２ C．５＋１４ D． ５＋１ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８５ １１．圆台的一个底面周长是另 一个底面周长的３倍,轴截 面的面积等于３９２cm２,母 线与轴的夹角是４５°,求这个圆台的高、母 线长和两底面半径． １２．长方体 ABCD－A１B１C１D１ (如图所示)中,AB＝３,BC ＝４,A１A＝５,现有一甲壳虫 从A 出发沿长方体表面爬 行到C１ 来获取食物,试画出 它的最短爬行路线,并求其路程的最小值． １．如图所示,在正三棱柱ABC －A１B１C１ 中,AB＝２,AA１ ＝２,由顶点B 沿棱柱侧面 (经过棱AA１)到达顶点C１, 与AA１ 的交点记为 M,则从点B 经点M 到 C１ 的最短路线长为 (　　) A．２ ２　　B．２ ５　　C．４　　D．４５ ２．棱台的上下底面面积分别为４和９,则这个 棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是 　　　　　． 某学生本科读的重大,硕 士读的浙大,博士读的北大, 毕业证上校长栏统统盖的林 建华的章． 找工作的时候,面试官: “同学,造假也要专业一点,你 就不能多刻几个章?”(林建华先后任重大、浙 大、北大的校长) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９５ ６．B　[根据复数加、减法的几何意义及|z１＋z２|＝ |z１－z２|,知以OA,OB 为邻边所作的平行四边形的对角线相 等,则此平行四边形为矩形,故△AOB为直角三角形．] ７．BC　[由z(４＋３i)＝２－i,可得z＝２－i４＋３i＝ (２－i)(４－３i) (４＋３i)(４－３i)＝ ５－１０i １６＋９＝ １ ５－ ２ ５i． 对于 A,z的虚部为－２５ ,故 A错误;对于B, z在复平面内对应的点 １５ ,－２５( ) 位于第四象限,故B正确; 对于C, z＋􀭵z＝１５－ ２ ５i＋ １ ５＋ ２ ５i＝ ２ ５ ,故C正确;对于D,|z|＝ １ ５ １ ２＋(－２)２＝ ５５． 故D错误．故选BC．] ８．解析:由题意将 z　１＋i－i　２i ＝０ 化简得,z􀅰２i＋i(１＋i)＝０,z＝ １－i ２i＝ i－i２ ２i２ ＝i＋１－２＝－ １ ２－ １ ２i ,所以􀭵z＝－１２＋ １ ２i ,所以复数 􀭵z在复平面内对应的点在第二象限． 答案:二 ９．A　[因为z＝１－i２＋２i＝－ １ ２i ,所以z＝１２i ,所以z－z＝－i．] １０．解析:由题意可得５＋１４i２＋３i＝ (５＋１４i)(２－３i) (２＋３i)(２－３i)＝ ５２＋１３i １３ ＝４＋i． 答案:４＋i １１．解:设z＝a＋bi(a,b∈R),由|z|＝１＋３i－z, 得 a２＋b２－１－３i＋a＋bi＝０, 则 a ２＋b２＋a－１＝０, b－３＝０,{ 所以 a＝－４, b＝３,{ 所以z＝－４＋３i． 则 (１＋i)２(３＋４i)２ ２z ＝ ２i(３＋４i)２ ２(－４＋３i) ＝２ (－４＋３i)(３＋４i) ２(－４＋３i) ＝３＋４i． １２．解:(１)设z＝a＋bi(a,b∈R), 由已知条件得:a２＋b２＝２,z２＝a２－b２＋２abi,所以２ab＝２． 所以a＝b＝１或a＝b＝－１,即z＝１＋i或z＝－１－i． (２)当z＝１＋i时,z２＝(１＋i)２＝２i,z－z２＝１－i, 所以点A(１,１),B(０,２),C(１,－１), 所以S△ABC＝ １ ２|AC|×１＝ １ ２×２×１＝１ ; 当z＝－１－i时,z２＝(－１－i)２＝２i,z－z２＝－１－３i．所以 点A(－１,－１),B(０,２),C(－１,－３), 所以S△ABC＝ １ ２|AC|×１＝ １ ２×２×１＝１． 即△ABC 的面 积为１． 新题快递 １．B　[由题意可得z＝ ２＋i １＋i２＋i５ ＝ ２＋i１－１＋i＝ i(２＋i) i２ ＝２i－１－１ ＝ １－２i,则z＝１＋２i．] ２．AD　[对于 A,若z１＋z２＝０,则z１＝－z２,所以|z１|＝|－z２|＝ |z２|,所以 A正确;对于 B,设z１＝２＋４i,z２＝４,则|z１＋１|＝ |３＋４i|＝５＝|z２＋１|＝|５|,而|z１|＝ ２２＋４２＝２ ５≠|z２|＝ ４,所以B错误;对于 C,设z１＝x＋yi(x,y∈R),则z２１＝(x＋ yi)２＝x２－y２＋２xyi,|z１|＝ x２＋y２,所以|z１|２＝x２＋y２, 所以z２１≠|z１|２,所以 C错误;对于 D,设z１＝x＋yi(x,y∈ R),z２＝a－bi(a,b∈R),则z１z２＝(x＋yi)(a－bi)＝(ax＋ by)(ay－bx)i, 所以|z１z２|＝ (ax＋by)２＋(ay－bx)２ ＝ (x２＋y２)(a２＋b２),|z１||z２| ＝ (x２＋y２)(a２＋b２),所以当z３＝z１z２ 时, |z３|＝|z１||z２|,所以 D正确．故选 AD．] 假期作业２４ 思维整合室 １．互相平行　公共顶点　平行于 ２．(２)①４５°(或１３５°)　②变为原来的一半 技能提升台　素养提升 １．B　２．C ３．BCD　[当任意两点与球心在一条直线上时,可作无数个圆,故A 错;B正确;C正确;根据球的半径的定义可知D正确．] ４．解析:①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一 周可得到圆台;②它们的底面为圆面;③④⑤正确． 答案:③④⑤ ５．D　[如图所示为原图形和其直观图． 由图可知,A′B′＝AB＝a,O′C′＝１２OC＝ ３ ４a , 在图中作C′D′⊥A′B′于点D′, 则C′D′＝ ２２O′C′＝ ６ ８a． ∴S△A′B′C′＝ １ ２A′B′ 􀅰C′D′＝１２×a× ６ ８a＝ ６ １６a ２．故选 D．] ６．C　[解法一:依题意可知∠BAD＝４５°,则原平面图形为直 角梯形,上下底面的长与BC,AD 相等,高为梯形ABCD 的 高的２ ２倍,所以原平面图形的面积为８cm２．故选 C． 解法二:依题意可知,S直观图 ＝２ ２cm２, 故S原图形 ＝２ ２S直观图 ＝８cm２．故选 C．] ７．解析:在直观图中,四边形为O′A′B′C′菱形且边长为２cm, ∴由斜二测法的规则得:在xOy坐标系中,四边形ABCO 是 矩形, 其中OA＝２cm,OC＝４cm, ∴四边形ABCO 的周长为:２×(２＋４)＝１２(cm), 面积为S＝２×４＝８(cm２)． 答案:１２　８ ８．解析:作CD,BE⊥OA 于点D,E, 则OD＝EA＝OA－BC２ ＝２ , ∴CD＝OD＝２, ∴在直观图中梯形的高为１２×２× ２ ２＝ ２ ２． 答案:２ ２ ９．A　[依题意可得圆柱的底面半径r＝１,高h ＝４ 将圆柱的侧面(一半)展开后得矩形ABCD, 其中AB＝π,AD＝４, 问题转化为在CD 上找一点Q,使AQ＋PQ 最短, 作P 关于CD 的对称点E,连接AE,令 AE 与CD 交于点Q, 则得 AQ＋PQ 的 最 小 值 就 是 为 AE ＝ π２＋(４＋２)２ ＝ π２＋３６．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２０１ １０．C　[如图,设正四棱锥的高为h,底面边 长为a,侧面三角形底边上的高为h′,则依 题意 有: h２＝１２ah′ h２＝h′２－ a２( ) ２ ì î í ïï ï ,因 此 有h′２ － a２( ) ２ ＝１２ah′ ,化简得４ h′a( ) ２ －２ h′a( ) －１＝０,解得 h′ a ＝ ５＋１ ４ (负根已舍去)．] １１．解:圆台的轴截面题图所示,设圆台上、下底面半径分别为 xcm,３xcm,延长AA１ 交OO１ 的延长线于S,在 Rt△SOA 中,∠ASO＝４５°,则∠SAO＝４５°, 所以SO＝AO＝３x,SO１＝A１O１＝x,所以OO１＝２x． 又S轴截面 ＝１２ (６x＋２x)􀅰２x＝３９２,所以x＝７． 所以圆台的高OO１＝１４(cm),母线长l＝２OO１＝１４２(cm), 两底面半径分别为７cm,２１cm． １２．解:把长方体的部分面展开,如图所示． 对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC１ 的长分别为 ９０、７４、８０,由此可见乙是最短线路,所以甲壳虫可以先 在长方形ABB１A１ 内由A 到E,再在长方形BCC１B１ 内由E 到C１,也可以先在长方形AA１D１D 内由A 到F,再在长方形 DCC１D１ 内由F到C１,其最短路程为 ７４． 新题快递 １．B　[沿侧棱BB１ 将正三棱柱的侧面 展 开,得 到 一 个 矩 形 BB１B１′B′ (如图)． 由侧面展开图可知,当B,M,C１ 三点 共线时,从点B 经过M 到达C１ 的路线最短． 所以最短路线长为BC１＝ ４２＋２２＝２ ５．] ２．解析:不妨设原棱锥为四棱锥, 设棱台的 高 为h,截 得 棱 台 的 原 棱锥的高为h１, 如图所示,即 MN＝h,PN＝h１ 因为 四 边 形 ABCD 与 四 边 形 EFGH 相似, 且上下底面面积分别为４和 ９, 故EM AN＝ ２ ３ , 由△PEM∽△PAN, 故PM PN＝ EM AN＝ ２ ３ ,MN PN ＝ h h１ ＝１－２３＝ １ ３ , 这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比为１ ３． 答案:１ ３ 假期作业２５ 思维整合室 １．２πrl　πrl　π(r１＋r２)l　２．S底 􀅰h　 １ ３S底 􀅰h　４πR２ 技能提升台　素养提升 １．C　 ２．A　[依 题 意,圆 柱 的 母 线 长l＝２πr,故S侧 ＝２πrl＝４π２r２ ＝４π２．] ３．A　[设正三棱锥的侧棱长为b,由条件知２b２＝a２,所以三棱 锥的表面积为 ３ ４a ２＋３×１２× １ ２×a ２＝３＋ ３４ a ２．] ４．AC　[如图,由∠APB＝ １２０°,AP＝２ 可 知,底 面 直径AB＝２ ３,高PO＝１, 故该圆 锥 的 体 积 为 π,故 A对;该圆锥的侧面积 为 ２ ３π,故 B 错;连 接 CB, 取AC中点为Q,连接QO,PQ,易证二面角P－AC－O 的平 面角为∠PQO＝４５°,所以QO＝PO＝１,PQ＝ ２,所以BC＝ ２,所以AC＝２ ２,故C对;S△PAC＝ １ ２AC 􀅰PQ＝２,故D错．] ５．B　[由题意可知:三棱锥PＧABC 的高为PA＝３,所以该四 面体的体积为１ ３×３× １ ２×２×２＝２． ] ６．B　[按相似,小圆锥 的 底 面 半 径r＝ ２００ ２ ２ mm＝５０mm ,故 V小锥 ＝１３×π×５０ ２×１５０mm３＝５０３􀅰πmm３, 积水厚度h＝V小锥S大圆 ＝ ５０３􀅰π π􀅰１００２ mm＝１２．５mm,属 于 中 雨, 选B．] ７．B　[如图,分别过 M,C 作 MM′ ⊥PA,CC′⊥PA,垂 足 分 别 为 M′,C′．过B 作BB′⊥平面PAC, 垂足 为 B′,连 接 PB′,过 N 作 NN′⊥PB′,垂足为 N′． 因为BB′⊥平面 PAC,BB′⊂平 面PBB′, 所以平面PBB′⊥平面PAC． 又因为平面PBB′∩平面PAC＝PB′,NN′⊥PB′,NN′⊂平 面PBB′,所以 NN′⊥平面PAC, 且BB′∥NN′． 在△PCC′中,因为 MM′⊥PA,CC′⊥PA, 所以 MM′∥CC′,所以PMPC＝ MM′ CC′＝ １ ３ , 在△PBB′中,因为BB′∥NN′,所以PNPB＝ NN′ BB′＝ ２ ３ , 所以 VP－AMN VP－ABC ＝ VN－PAM VB－PAC ＝ １ ３S△PAM 􀅰NN′ １ ３S△PAC 􀅰BB′ ＝ １ ３× １ ２PA 􀅰MM′( ) 􀅰NN′ １ ３× １ ２PA 􀅰CC′( ) 􀅰BB′ ＝２９． ] ８．解析:由题意易求正四棱锥的高为６,V棱台 ＝V大四棱锥 －V小四棱锥 ＝１３×４×４×６－ １ ３×２×２×３ ＝２８． 答案:２８ ９．A　[由题意知☉O１ 的半径r为２,由正弦定理知 AB sinC＝２r ,则 OO１＝AB＝２rsin６０°＝２ ３,所以球O的半径R＝ r２＋OO２１＝４, 所以球O的表面积为４πR２＝６４π,故选A．] １０．A　[记△ABC的外接圆圆心为O１,由AC⊥BC,AC＝BC ＝１,知O１ 为AB 的中点,且AB＝ ２,O１C＝ ２ ２ ,又球的半 径为１,所以 OA＝OB＝OC＝１,所 以 OA２＋OB２＝AB２, OO１＝ ２ ２ ,于是OO２１＋O１C２＝OC２,所以有OO１⊥O１C,OO１ ⊥ AB,进 而 OO１ ⊥ 平 面 ABC,所 以 VO－ABC ＝ １ ３S△ABC 􀅰OO１＝ １ ３ 􀅰１ ２ 􀅰１􀅰１􀅰 ２２＝ ２ １２ ,故选 A．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３０１