新知预览4 空间向量及其运算的坐标表示-【快乐假期】2024年高一数学暑假大作业（人教A版）

新知预览４　空间向量及其运算的坐标表示　　　　　　　 　　★[学习目标]:１．掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．２．掌握空间向量的线性运算及其 坐标表示．３．掌握空间向量的数量积及其坐标表示．４．能利用空间两点间的距离公式解决有关 问题． 知识梳理———自学教材,素养奠基 １．空间直角坐标系 (１)空间直角坐标系:在空间选定一点O 和一 个　　　　基底{i,j,k}．以点O为原点,分 别以i,j,k的方向为　　　　、以它们的长为 　　　　建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它 们都叫做坐标轴．这时就建立了一个空间直 角坐标系Oxyz,O叫做　　　　,i,j,k都 叫做　　　　． (２)通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面, 分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面, 它们把空间分成八个部分． 点睛:坐标向量i,j,k满足:①|i|＝|j|＝ |k|＝１,②i􀅰j＝i􀅰k＝j􀅰k＝０ ２．空间直角坐标系的画法 (１)空间直角坐标系的画法:画空间直角坐标 系Oxyz时,一般使∠xOy＝　　　　, ∠yOz＝　　　　． (２)右手直角坐标系:在空间直角坐标系中,让 右手拇指指向　　　　　的正方向,食指 指向　　　　　的正方向,如果中指指向 　　　　的正方向,则称这个坐标系为右 手直角坐标系． ３．空间向量的坐标 (１)点的坐标:在单位正交基底{i,j,k}下与向 量OA → ＝xi＋yj＋zk 对应的有序实数组 (x,y,z),叫做点A 在空间直角坐标系中 的坐标,记作　　　　,其中x 叫做点A 的横坐标,y叫做点A 的纵坐标,z叫做点 A 的竖坐标． (２)向量的坐标:在空间直角坐标系O－xyz 中,给定向量a,作OA → ＝a．由空间向量基 本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z), 使a＝xi＋yj＋zk,有序实数组　　　　 叫做a在空间直角坐标系O－xyz中的坐 标,上式可简记作　　　　　． ４．空间向量的坐标运算 (１)空间向量的坐标 一个空间向量的坐标等于表示此向量的有 向线段的　　　　　　　　　． (２)设a＝(a１,a２,a３),b＝(b１,b２,b３),则有 向量运算 坐标表示 加法 a＋b＝　　　　　　　　 减法 a－b＝　　　　　　　　 数乘 λa＝　　　　　　 数量积 a􀅰b＝　　　　　　 ５．空间向量的平行、垂直及模和夹角 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a∥b a＝λb(b≠０) a１＝λb１,a２＝λb２, a３＝λb３(λ∈R) a⊥b a􀅰b＝０ 　　　　　　　　 模 |a|＝ a􀅰a |a|＝ a２１＋a２２＋a２３ 夹角 cos‹a,b›＝ a 􀅰b |a||b| cos‹a,b›＝ a１b１＋a２b２＋a３b３ a２１＋a２２＋a２３ b２１＋b２２＋b２３ ６．空间两点间距离公式 设P１(x１,y１,z１),P２(x２,y２,z２),则P１P２＝ |P１P２ → |＝　　　　　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２７ 典例探究———探究学习,素养形成 ◆[题型一]　求点的坐标 　(１)点P(－２,１,３)关于x 轴的对称点 的坐标是　　　　,关于坐标平面xOy 的 对称点的坐标是　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　求点关于坐标轴或坐标平面 对称的点的坐标,其规律是“关于谁对称, 谁不变”,如点(x,y,z)关于y 轴的对称 点为(－x,y,－z),关于平面yOz的对称 点是(－x,y,z)． [变式训练] １．已知点A(３,２,－３),则点A 关于y 轴的对 称点的坐标是 (　　) A．(－３,－２,３)　　　　B．(－３,２,－３) C．(－３,２,３) D．(－３,－２,－３) ◆[题型二]　求向量的坐标 　 已 知 ABCD － A１B１C１D１ 是棱长为２的 正方体,E,F 分别为BB１ 和DC 的中点,建立如图 所示的空间直角坐标系, 试写出DB１ →,DE →,DF → 的坐标． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 用坐标表示空间向量的步骤 [变式训练] ２．已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,M,N 分别是AB,PC 的中点, 并且 PA＝AD＝１．在如 图所示的空间直角坐标系中,求向量MN → 的 坐标． ◆[题型三]　空间向量的坐标运算 　(１)已知a＝(－１,２,１),b＝(２,０,１),则 (２a＋３b)􀅰(a－b)＝　　　　． (２)若２a－b＝(２,－４,３),a＋２b＝(１,３,－１), 则cos‹a,b›＝ 　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 关于空间向量坐标运算的两类问题 (１)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来,然 后准确运用空间向量坐标运算公式 计算． (２)由条件求向量或点的坐标 首先把向量坐标形式设出来,然后通 过建立方程组,解方程组求出其坐标． [变式训练] ３．已知向量a＝(３,－２,１),b＝(－２,４,０),则 ４a＋２b等于 (　　) A．(１６,０,４)　　　　B．(８,－１６,４) C．(８,１６,４) D．(８,０,４) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３７ ◆[题型四]　空间向量平行、垂直的坐标表示 及应用 　已知空间三点A(－２,０,２),B(－１,１, ２),C(－３,０,４),设AB → ＝a,AC → ＝b． (１)设向量c＝ －３２ ,－１,１ æ è ç ö ø ÷,试判断２a－b 与c是否平行? (２)若ka＋b与ka－２b互相垂直,求k． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　判断两向量是否平行或垂直 可直接利用向量平行或垂直的充要条件; 已知两向量平行或垂直求参数值,则利用 平行、垂直的充要条件,将位置关系转化 为坐标关系,列方程(组)求解． [变式训练] ４．(１)已知向量a＝(１,１,０),b＝(－１,０,２), 且ka＋b与２a－b互相垂直,则k的值是 (　　) A．１　　B．１５　　C． ３ ５　　D． ７ ５ (２)若A(m＋１,n－１,３),B(２m,n,m－２n), C(m＋３,n－３,９)三点共线,则 m＋n 的 值为 (　　) A．０ B．－１ C．１ D．－２ ◆[题型五]　夹角和距离的计算 　 如 图,在 直 三 棱 柱 ABC－A１B１C１ 中,CA＝ CB＝１,∠BCA＝９０°,棱 AA１ ＝２,M,N 分 别 为 A１B１,A１A 的中点． (１)求BN 的长; (２)求A１B 与B１C所成角的余弦值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　通过分析几何体的结构特 征,建立适当的坐标系,使尽可能多的点 在坐标轴上,以便写点的坐标时便捷,建 立坐标系后,写出相关点的坐标,然后再 写出相应向量的坐标表示,把向量坐标 化,然后再利用向量的坐标运算求解夹角 和距离问题． [变式训练] ５．在四棱锥P－ABCD 中, PD⊥平面ABCD,PA 与 平面ABCD 所成的角为 ６０°,在四边形 ABCD 中, ∠ADC＝ ∠DAB＝９０°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４７ AB＝４,CD＝１,AD＝２． (１)求BP 的长; (２)求异面直线 PA 与BC 所成的角的余 弦值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 检测评价———诊断落实,素养达标 一、选择题 １．点A(－２,３,－４)关于坐标平面xOz对称 点A′的坐标为 (　　) A．(－２,－３,－４)　　B．(２,－３,４) C．(－２,－３,４) D．(２,３,－４) ２．如图,在长方体OABC－ O１A１B１C１ 中,OA＝３,OC ＝５,OO１ ＝４,点 P 是 B１C１ 的中点,则点P 的坐 标为 (　　) A．(３,５,４) B．３２ ,３,４ æ è ç ö ø ÷ C．３２ ,５,４ æ è ç ö ø ÷ D．５,３２ ,２ æ è ç ö ø ÷ ３．已知a＝(１,０,１),b＝(－２,－１,１),c＝(３, １,０),则|a－b＋２c|等于 (　　) A．３ １０ B．２ １０ C．１０ D．５ ４．已知向量a＝(１,０,－１),则下列向量中与a 成６０°夹角的是 (　　) A．(－１,１,０) B．(１,－１,０) C．(０,－１,１) D．(－１,０,１) ５．已知 A(１,－２,１１),B(４,２,３),C(６,－１, ４),则△ABC的形状是 (　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 ６．(多选题)若向量a＝(１,２,０),b＝(－２,０, １),则 (　　) A．cos‹a,b›＝－２５ B．a⊥b C．a∥b D．|a|＝|b| ７．(多选题)如图所示,正方 体 ABCD－A１B１C１D１ 的 棱长为a,对角线AC１ 和 BD１ 相交于点O,则有 (　　) A．A１B →􀅰B１C → ＝a２ B．AB →􀅰AC１ → ＝ ２a２ C．AB →􀅰AO → ＝１２a ２ D．BC →􀅰DA１ → ＝a２ 二、填空题 ８．若向量a＝(１,１,x),b＝(１,２,１),c＝(１,１, １),且满足条件(c－a)􀅰２b＝ －２,则 x ＝　　　　． ９．若a＝(x,２,－４),b＝(－１,y,３),c＝(１,－２,z), 且a,b,c两两垂直,则x＝　　　　　,y＝ 　　　　,z＝　　　　． １０．已知A(２,－５,１),B(２,－２,４),C(１,－４, １),则向量AB → 与AC → 的夹角为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５７ 三、解答题 １１．已知A(１,０,０),B(０,１,０),C(０,０,２)． (１)若DB → ∥AC →,DC → ∥AB →,求点D 的坐标; (２)问是否存在实数α,β,使得AC → ＝αAB → ＋ βBC → 成立? 若存在,求出α,β的值;若不存 在,说明理由． １２．棱长为１的正方体ABCD－A１B１C１D１ 中, E,F,G分别是DD１,BD,BB１ 的中点． (１)求证:EF⊥CF; (２)求 异 面 直 线 EF 与CG 所 成 角 的 余 弦值; (３)求CE 的长． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６７ 三0022 高一学 12.解：(1)证明：设AB=p,AC=q,AD=r 变式训练 由题意可知，p=q=r=a, 2.解：因为PA=AD=AB=1,所以可设A店=i,AD=,A市 且p,qr三个向量两两夹角均为60. =k. 不--A成=配+d-Ai-g+r-pm 因为M=M+A+P示=Mi+AP+P .店-g+rp…p =++专Pi+A市+D心)=-A+市+ =gp+…p-p) (-市+方+商=合护+号亦=+号，所以 (cos6o-cos 6. 不-()} :MN⊥AB,即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD. [例3][解析](1)易得2a+3b=(4.4.5).a-b=(-3,2,0), (2)设向量AV与MC的夹角为. 则(2a+3b)·(a-b)=4×(-3)十4×2+5×0=-4. (2)设a=(x1y,),b=(xy), (AC+AD)-+). 由题设可得24-=2， M心=A花-Ai=q-… x1+2x2=1, 解得=1， 成.=g+·(g-zp） x=0, 同理可得y1=一1，y:=2,1=1,=一1， =(g-2q…p叶…g-…p小》 即a=(1,-1,1),b=(0,2,-1). 则a·b=0-2-1=-3,a=3,|b1=5, cos6+a'cos 60cos 6 a·b =-学+号)号 所以oab=8治=-压 5 又：a=-9… [答案]1)-4(2)-国 5 变式训练 ..AN.MC-IANIIMCI cos 0 3.D[4a+2b=4(3,-2,1)+2(-2,4,0)=(12,-8,4)+ (-4,8,0)=(8,0,4).] [例4][解](1)图为a=AB=(1,1,0),b-AC=(-1,0, :向量与M心的失角的余孩值为号，从而并面直线AN 2,所以2a-b=(3,2.-2,又c=(-是-11）所以20 与CM所成角的余孩位为号 -b=-2e.所以(2a-b)∥e. (2)因为a=AB=(1.1,0).b=AC=(-1,0,2), 新知预览4 所以0十b=(k-1,k,2), 知识梳理 如-2b=(k+2,k,-4). 1.(1)单位正交正方向单位长度原点坐标向量 又国为(ka十b)⊥(ka一2b), 2.(1)135°（或45°）90°(2).x轴y轴x轴 所以(ka十b)·(如-2b)=0, 3.(1)A(xy,x)(2)(x…y)a=(xyx） 即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k十k-10=0. 4.(1)终点坐标减去起点坐标(2)(a,十ba:十a十b) (a1-b,a:-b,a-b）(aa1,Aag,a),A∈R 解得k=2或一受 a1b十azb十db 变式训练 5.a1b十a:b+ab=0 4.(1)D[ka十b=(k-1,k,2),2a-b=(3.2.-2),(ka+b)· 6.V(x:一西)+(y一y)+(-名) （2a-b)=3-0+2业-4=0，解得=子.] 典例探究 [例1门[解析]在空间直角坐标系中，点P(-2,1,3)关于x (2)A[图为AB=(m-1,1,m-2n-3),AC-(2,-2,6) 轴的对称点的横坐标不变，纵坐标与竖坐标都变为原来的 由题意得/A花，所以2=之名一”一=3，所以m -2 相反数，即(-2，-1，-3)：点P(-2,1,3)关于坐标平面 6 xOy的对称点的横，纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反 0,n=0,所以m十n=0.] 数，即(-2,1，-3). [例5][解]如图所示，建立空间直角坐 [答案](-2，-1，-3)(-2,1，-3) 标系C-xy之. 变式训练 (1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1), 1,C[由对称定义知选项C正确，门 .1BN|=√1-0)+(0-1)+1-0) [例2][解]DB=DA+DC+DD,=2i+2+2k=(2,2, =5, 2). 线段BN的长为原 D元-Di+D心+号DD=2i++号×2k=2i+2j+k (2)由(1)中建立的坐标系得A:(1,0,2), C(0,0,0),B(0,1,2), (2.2.1). .BA,=(1.-1,2).CB=(0.1.2). D亦=号D=号×2j=j=010. :BA,·CB,=1×0+(-1)X1+2×2=3. 109 化空快乐隰期 SE 又BA1=6,1CB,1=5, 8.解析：据题意，有c一a=(0,0,1一x),2b=(2,4,2) 故(c一a)·(2b)=2(1-x)=-2,解得x=2. ..cos(BAT.CB)= BA·CB 3 v30 答案：2 IBA:ICBIx5 10 9.解析：，ab,a⊥c,b⊥c, 故A,B与BC所成角的余孩值为阅 /a·b=0,/-x+2y-12=0, a·c=0,即 x-4-4x=0, 变式训练 (b·c=0,-1-2y+3x=0, 5.解：(1)如图，建立空间直角坐 1x=-64, 标系， 解得y=一26， :∠ADC=∠DAB=90 g=-17. AB=4,CD=1,AD=2, 答案：-64-26-17 .A(2.0.0).C(0.1.0).B(2,4.0). 10.解析：AB=(0,3:3),AC=(-1,1,0) 由PD⊥平面ABCD,得 .AB=32.AC=2. ∠PAD为PA与平面ABCD所 D-. AB.AC=0×(-1)+3×1+3×0=3. 成的角，，.∠PAD=60°. 在Rt△PAD中，由AD=2,得 m成应惑中 PD=23. .P(0,0,2). 又(AB.Ad∈[0，..（店.AC= ∴.BP=1BP=√(0-2)+(0-4)2+(23-0)产=4√2. 答案：号 (2)由(1D得，PA=(2,0.-23).BC-(-2.-3,0), 11.解：(1)设D(xy,),则D成=(x,1-y,-),AC=(-1, ∴0s(Pi,BC=2X(-2)+0X(-3)+(-23X0 0,2),DC=(-x,-y,2-).AB=(-1.1,0). 4×√13 因为DB∥AC,DC∥AB.所以存在实数m,n有 =-3 x=-1, 13 (-x,1-y,-)=m(-1.02)解得=1， {(-x,-y,2-x)=n(-1,1,0), 西直线P以与C所成角的余弦位为震 x=2. 即D(-1,1,2) 检测评价 (2)依题意AB=(-1,1,0).AC=(-1,0,2),BC=(0.-1,2). 1,A[点A的坐标中横、竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反 假设存在实教a,A,使得AC=aAB+BBC成立， 数即得A'的坐标为（一2，-3，-4）.] 则有(-1.0.2)=a(-1,1.0)+30.-1.2)=(-aa一，28 2.C[由题图知，点P在x轴y轴、之轴上的射影分别为P, a=1, P,P,它们在坐标轴上的坐标分别是受，5,4，藏点P的坐 所以 a-月=0，故存在a=B=1,使得AC=aA店+BB配 23=2, 标是（侵54）门 成立。 12.解：建立如图所示的空间直角坐 42 标系D-xyz D 3.A[:a-b+2c=(9,3,0),.1a-b+2c=√9+3+0 B =310.] 则D00.0.E00,） 4.B[设b=(x,y,)与a成60°夹角， 则cos60°= 2有 代入检验得b=(1,一1,0)满足，] c,） 5.C[因为AB=(3,4,-8).BC=(2,-3,1),AC=(5,1, 所以成=（合·合）市 -7),于是BC·AC=10-3-7=0,而BC1=4,AC= 5,所以△ABC是直角三角形.] -(合-0）-(0,2)c正-0，-1）月 6.AD[向量a=(1,2,0),b=(-2,01), 4)运明：因为应.=立×号+合×() ∴.la=5,bl=5, a·b=1×(-2)+2×0+0×1=-2, ()X0=0,所以E求1C市，即EF1CF mab-8治-号=-手 (2圈为萨.元-合×1+2×0+()×是-： 故A,D正确，B、C不正确.] 7,AC[连接AD,则AB·B,C-A,B·A,D=|A,B1· √合)+()+()- A DIcos(A1B,AD)=√2aX2a×cos60°=a.A正确.AB ++(合)-受 ·AC=AB·(AB+BC+CC)=AB+A店.BC+A店. cd=d,故B错送.店.A0=A店，号AC=A店.(A 所以os成，=求. 15 EFIICGI +A市+A)=之店+A店，市+A店，AA)=号A店 ×雪 15 -=.C正确C.D,-B.(A- 所以异面直货F与QG所成角的余滨维为得 -BC·AA-BC·AD=-a.D错误，] acE=G+(-P+(合)- 110