假期作业5 平面向量的概念与线性运算-【快乐假期】2025年高一数学暑假大作业（北师大版）

=022 对于B选项，当x=2时，函数值c0(受×2）=-1，故x 6.AB[A和B属于数乘对向量与实数的分配律，正确： C中，若m=0,则不能出a=b,错误：D中，若a=0,则 =2是函数的一条对称轴.] m,n没有关系，错误.] 2.C[因为y=c0s(2x+若)向左平移晋个单位所得函 7.ABC[对于A.(AB-DC)-CB=AB+CD+BC=AB 数为y=o[+)+] +BD=AD:对于B,AD-(CD+DC)=AD-0 =AD:对于C,-(CD+MC)-(DA+DM)=-MD o(2r+受）=-in2,所以r)=-m2 DA-DM=DM+AD-DM=AD:对于D,-BM-DA 而y=x-显然过(0，)与1,0)两点， +MB=MB+AD+MB-AD+2 MB. 8.解析：在△ABC中，∠A=60°，|BC1=1,点D为AB的 作出f代与y=2x一2的大致图像如下， 中点，点E为CD的中点.A店=a,AC=b,则A正= +d)=+号花-+私 答案：a+号b 9.D[由c∥d,得c=d,.ka+b=A(a-b) f(x 南省2A收二中6=-4+b里6=-d 考虑2x=- 3π 7，即x= 3 3π 41 10,解：B成-=-店-子C-(Bi+Aò. =华处f)与y=一的大小关系， 1 4 ∴耐-专a花-mA花 当=- m=一 =×(）=-8-1 8 11.解：(1)因为2AC+C3=0,所以2(O心-OA)+(O店 3π 1×3π-1 0心)=0,20元-20A+0i-0元=0. 2 所以OC=2OA-OB】 3x一4<1： (2)证明：如图，DA=D心+OA 8 当=时(）】 ）-in=1,y=2X、 1 =- 20成+0i-220i-0. 2 一2 7x一4>1： 由(1)知Di=合心即DA∥OC,且 所以由国可知，(x)与y=之一的交点个数为3.] 1 DA≠OC,故四边形OCAD为梯形 12.解：(1)OG=OP+PG=OP+aPQ=OP+(OQ-OP 假期作业5 =(1-)OP+OQ. 思维整合室 (2)由1)及OP=x0.0=y0. 1.(1)方向模(2)0(3)1个单位长度(4)相反 得O元=(1-A)OP+AOQ=(1-A)xOA+yOB.① (5)方向(6)方向 技能提升台素养提升 :G是△OAB的重心 1.C :0=号oi=号×2o+0成 2.ABC[由于AB=DC,因此与AB相等的向量只有DC, 而与AB的模相等的向量有DA,DC,AC,CB,AD,CD, =oi+30成@ CA,BC,BA.因此选项A,B正确；而R1△AOD中， 由①②得[1-)x- 号]可i-(号-w)。 ∠ADO=30°， 而OA,OB不共线， Dò-号Di1,故D-5Di1.周此选项C正 1 确：由于CB=DA,因此CB与DA是共线的，故选项D (1一1)x=3这得 =3-3 1 y=3 1 错误.门 =3入 3.解析：易知AC⊥BD,且∠ABD=30°，设AC与BD交于 +1=3,即+是定值 点O,则A0=2AB=1,.在Rt△AB0中，易得B0 x y 新题快递 =5, 1.BC[对于A,D:不妨取a,b分别为x、y轴上的单位向 ∴.|BD1=21BO=23. 量，满足“|a=b”,满足“a与b都是单位向量”，但是a 答案：2V3 ∥b不成立.故A、D错误：对于B:由零向量与任何向量 4.解析：(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD和 平行，可知a=0或b=0时，a∥b.故B正确：对于C: ABDE都是平行四边形，可知与向量ED相等的向量有 因为a=-2b,所以a∥b.故C正确.] 2.解：设AF=mAD,BF=nBE, AB.DC. 根据向量共线定理，得：AF=mAD (2)因为AB=3,|EC=2AB1,所以1EC1=6. AF=AE+(1-)AB.3 AE=AC. 答案：(1)AB,DC(2)6 5. 所以=号A花+-)A, 55 坠快乐假期 c00-= 又国为A方=(+A0, ,,点C的坐标为(3，一6)， 所以学A花+-mA成=受（店+C. 又：C正=ED,且E在DC的延长线上， 1 =-成 解得： ,即 m=2 方法一：向量相等法 n= 3 4 设EB.则-3y叶6)=一子4-，-3- 代入萨=nB成=(A花-A成)=子（侵花-AB) x-3=- 4- =花-子. 解得t=3 +6=--3-0 (y=-7, 解得：以=一3 =4： “点E的坐标为（停一7小 (1)入十=- 28 1 方法二：定比分点公式法 设E(xy), 假期作业6 思维整合室 i=-i.C3,-6.D4,-3 1.不共线1e十入e基2.(1)0°≤0≤180° (2)同向180°(3)90°a⊥b3.(1)x1+xy+3 则x=3-1.8 (2)1-xy1-(3)ax,Ay4.(1)a=池 (2)x1为-xy=0 技能提升台素养提升 1. “点E的坐标为（管-7）小 2.BCD [BC-a.CA-6.AD-cB+Ac--a-6. 答案：（停-）】 故A错：B酝-武+C=a+b,故B正确：C 9.B[因为向量a=(-3,1),b=(1,3),所以c=2a+kb (一6+k,2+3k). =号C成+C)=号（-a+6)=-2a+b:故C正 因为a∥c,所以一6+=(2十3k)×(一3)，解得k=0.故 选B.] 确：所以Ai+成+=-a+a+b+b0 10.解析：由a=(32),b=(2,一1)，得a+b=(3m十2n, 2m-n),a+2b=(7,0).因为a+b与a+2b共线，所 =0.故D正确.] 3.B[知图，图为CB=C+AB, 以10-7m=0,解得号=之 BD=2DA,所以AD=AC+CD 答案：日 =n-m,AB=3AD.CB=CA+ 11.解：AB=(-4,0),AC-(1,-1), 3AD=m+3(n-m)=3n-2m, -4×(-1)-0×1≠0， 故选B.] AB,AC不共线 5 入= A,B,C三点不共线 4解析：由条件可知+1=2 2 i以=3，解得 12.解：(1)由题意得(3,2)=m(一1,2)十n(4,1), 5 答案：号一 所以{。m十4n。3得 m=9 {2m+n=2, 8 =9 5,A[建立平面直角坐标系. (2)a+c=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 用三角形法则画出向量2a 由题意得2×(3十4k)一(-5)×(2十k)=0. 十b,如图，由图可知2a十b 在平面直角坐标系中的坐标 =一8 为(3,4).故选A. 新题快递 6.B[由题意可知b=子[(20 0 L.ACD[设D(x,y),若AB-CD,则(1，-1)=(x-3, +3b)-2a]=3[6,-3) 2中仁一1，年得：车D.4者商 {y=1, (-4,3)门]=(3，-2).故选B.] DC,期(1，-1)=(3-，2-y,即二3=-1解得 7.B[设P(xy),则由AP-AB+AAC {y-2=1, 得(x-2,y-3)=(2.2)+A(5,7)=(2+5λ，2+7λ). (=8即D2,3)若AD-CB,则(xy-1)=(一2，-2)，即 所以x=5入+4，y=7a+5, (y=3, 又点P在直线x一2y=0上， x=-2, 故5+4-2(7以+5)=0，解得入=-号.] 12.解释{-：即D-2.-1D.ACD] 2.解析：建立如下图的平面直角坐标系， 8.解析：设O为坐标原点， 由已知得B(6,0),D(0,4),E(3,4).EB=(3,-4) :aC=号8.0-0i=20-0. 由成-3F得-成-（只，-3） .0C=20A-0B=(3,-6). 授F,剩r-3y-0=(号，-3小 56　　　　　假期作业５　平面向量的概念与线性运算　　　 １．向量的有关概念 (１)向量:既有大小又有　　　　的量叫向 量;向量的大小叫做向量的　　　　． (２)零向量:长度等于　　的向量,其方向 是任意的． (３)单位向量:模等于　　　　的向量． (４)平行向量:方向相同或　　　　的非零向 量,又叫共线向量,规定:０与任一向量 共线． (５)相等向量:长度相等且　　　　相同的 向量． (６)相反向量:长度相等且　　　　相反的 向量． ２．向量的线性运算 (１)向量的加法和减法 ①加法法则:服从三角形法则,平行四 边形法则．运算性质:a＋b＝b＋a;(a＋ b)＋c＝a＋(b＋c)． ②减法与加法互为逆运算;服从三角形 法则． (２)实数与向量的积 ①实数λ与向量a 的积是一个向量,记 作λa,规定: a．长度:|λa|＝|λ||a|; b．方向:当λ＞０时,λa 与a 的方向相 同;当λ＜０时,λa与a的方向相反;当λ ＝０时,λa＝０． ②运算律:设λ、μ∈R,则:λ(μa)＝(λμ)a; (λ＋μ)a＝λa＋μa;λ(a＋b)＝λa＋λb． ３．共线向量定理 向量a(a≠０)与b共线的充要条件是存 在唯一一个实数λ,使得b＝λa． ◆[考点一]　平面向量的基本概念 １．下列各命题中假命题的个数为 (　　) ①向量AB → 的长度与向量BA → 的长度相等; ②向量a与向量b平行,则a与b的方向 相同或相反; ③两个有共同起点而且相等的向量,其 终点必相同; ④两个有共同终点的向量,一定是共线 向量; ⑤向量AB → 与向量CD → 是共线向量,则点 A,B,C,D 必在同一条直线上; ⑥有 向 线 段 就 是 向 量,向 量 就 是 有 向 线段． A．２ B．３ C．４ D．５ ２．(多选)如图,在菱形 ABCD 中,∠BAD ＝１２０°,则以下说法正确的是 (　　) A．与AB → 相等的向量只有一个(不含AB →) B．与AB → 的模相等的向量有９个(不含AB →) C．BD → 的模恰为DA → 的模的 ３倍 D．CB → 与DA → 不共线 ３．已 知 在 边 长 为 ２ 的 菱 形 ABCD 中, ∠ABC＝６０°,则|BD → |＝　　　　． ４．如 图,四 边 形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形． (１)与向量ED → 相 等 的 向 量有　　　　; (２)若|AB → |＝３,则|EC → |＝　　　　． ◆[考点二]　平面向量的线性运算 ５．如图,在正六边形 ABCＧ DEF中,BA → ＋CD → ＋EF → ＝ (　　) A．０　　　　　B．BE → C．AD → D．CF → ６．(多选)已知m,n是实数,a,b是向量,则 下列说法中正确的是 (　　) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb,则a＝b D．若ma＝na,则m＝n ７．(多选)下列各式中,化简结果为AD → 的是 (　　) A．(AB → －DC →)－CB → B．AD → －(CD → ＋DC →) C．－(CD → ＋MC →)－(DA → ＋DM →) D．－BM → －DA → ＋MB → 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０１ ８．(２０２３􀅰天津卷)在△ABC中,∠A＝６０°, |BC → |＝１,点D 为线段AB 的中点,点E 为线段CD 的中点,若设AB → ＝a,AC → ＝b, 则AE → 可用a,b表示为　　　　． ◆[考点三]　向量共线定理及其应用 ９．已知向量a,b不共线,c＝ka＋b(k∈R), d＝a－b,如果c∥d,那么 (　　) A．k＝１且c与d 同向 B．k＝１且d与c反向 C．k＝－１且c与d 同向 D．k＝－１且d与c反向 １０．已知AB → ＝１４BC →,且BA → ＝mAC →,求实数 m 的值． １１．已知O,A,B 是平面上不共线的三点, 直线AB上有一点C,满足２AC → ＋CB → ＝０． (１)用OA →,OB → 表示OC →; (２)若点D 是OB 的中点,证明:四边形 OCAD 是梯形． １２．如图,G 是 △OAB 的 重 心,OG 的延长线交AB 于点 M,P,Q 分别是边 OA,OB 上的动点,且P, G,Q 三点共线． (１)设PG → ＝λPQ →,将OG → 用λ,OP →,OQ → 表示; (２)设OP → ＝xOA →,OQ → ＝yOB →, 证明:１ x＋ １ y 是定值． １．(多选)以下选项中,能使a∥b成立的条 件有 (　　) A．|a|＝|b| B．|a|＝０或|b|＝０ C．a＝－２b D．a与b都是单位向量 ２．如图,在△ABC 中, 点 D 是 BC 的 中 点,点 E 在 边 AC 上,且满足３AE → ＝ AC →,BE 交AD 于点F,设BF → ＝λAB → ＋μ AC →(λ,μ∈R),求(１)λ＋μ的值;(２) AF AD 的值． 一 男 子 和 老 婆 在 火 锅 店,边 吃 边 聊,正 高 兴 时,有 个 少妇走过来,直视着 他说:“我怀孕了!”那个男人的老婆先是一 愣,紧接着甩手给了他一耳光,又拉又扯, 连哭带闹．全火锅楼的目光都聚焦在他俩 身上,那哥们欲哭无泪! 这时,少妇又幽幽的来了一句:“麻烦 你把烟掐了,谢谢!” 哥们捂住脸哭都哭不出来􀆺􀆺 吃饭有风险,抽烟需谨慎! 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １１