假期作业16 平面向量的概念与线性运算-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（北师大版）

当x＝３π４ 时,f ３π４( ) ＝－sin ３π ２ ＝１ ,y＝ １２ × ３π ４ － １ ２ ＝ ３π－４ ８ ＜１ ; 当x＝７π４ 时,f ７π４( ) ＝－sin ７π ２ ＝１ ,y＝ １２ × ７π ４ － １ ２ ＝ ７π－４ ８ ＞１ ; 所以由图可知,f(x)与y＝１２x－ １ ２ 的交点个数为３．] 假期作业１６ 思维整合室 １．(１)方向　模　(２)０　(３)１个单位长度　(４)相反 (５)方向　(６)方向 技能提升台　素养提升 １．C　 ２．ABC　[由于AB→＝DC→,因此与AB→相等的向量只有DC→,而与 AB→的模相等的向量有DA→,DC→,AC→,CB→,AD→,CD→,CA→,BC→, BA→．因此选项 A,B正确;而 Rt△AOD 中,∠ADO＝３０°, ∴|DO→|＝ ３２|DA →|,故|DB→|＝ ３|DA→|．因此选项 C正确; 由于CB→＝DA→,因此CB→与DA→是共线的,故选项 D错误．] ３．解析:易知AC⊥BD,且∠ABD＝３０°,设 AC 与BD 交于点 O,则AO＝１２AB＝１． 在 Rt△ABO 中,易得|BO→|＝ ３, ∴|BD→|＝２|BO→|＝２ ３． 答案:２ ３ ４．解析:(１)根据向量相等的定义以及四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形,可知与向量ED→相等的向量有AB→,DC→． (２)因为|AB→|＝３,|EC→|＝２|AB→|,所以|EC→|＝６． 答案:(１)AB→,DC→　(２)６ ５．D　 ６．AB　[A和B属于数乘对向量与实数的分配律,正确;C中, 若m＝０,则不能推出a＝b,错误;D中,若a＝０,则m,n没有 关系,错误．] ７．ABC　[对于 A,(AB→－DC→)－CB→＝AB→＋CD→＋BC→＝AB→＋ BD→＝AD→;对于B,AD→－(CD→＋DC→)＝AD→－０ ＝AD→;对于 C,－(CD→＋MC→)－(DA→＋DM→)＝－MD→－DA→－ DM→＝DM→＋AD→－DM→＝AD→;对于 D,－BM→－DA→＋MB→＝ MB→＋AD→＋MB→＝AD→＋２MB→．] ８．解析:在△ABC 中,∠A＝６０°,|BC→|＝１,点 D 为AB 的 中 点,点E 为CD 的中点,AB→＝a,AC→＝b,则AE→＝ １２ (AD →＋ AC→)＝１４AB →＋１２AC →＝１４a＋ １ ２b． 答案:１ ４a＋ １ ２b ９．D　[由c∥d,得c＝λd,∴ka＋b＝λ(a－b) 即 k＝λ, １＝－λ,{ ∴ k＝－１, λ＝－１,{ 即c＝－a＋b且c＝－d．] １０．解:∵BA→＝＝－AB→＝－１４BC →＝－１４(BA →＋AC→), ∴BA→＝－１５AC →＝mAC→, ∴m＝－１５． １１．解:(１)因为２AC→＋CB→＝０,所以２(OC→－OA→)＋(OB→－OC→) ＝０,２OC→－２OA→＋OB→－OC→＝０, 所以OC→＝２OA→－OB→． (２)证明:如图,DA→＝DO→＋OA→＝－１２OB →＋OA→ ＝１２ (２OA→－OB→)． 由(１)知DA→＝ １２OC →．即 DA∥OC,且DA≠OC,故 四 边 形 OCAD 为梯形． １２．解:(１)OG→＝OP→＋PG→＝OP→＋λPQ→＝OP→＋λ(OQ→－OP→) ＝(１－λ)OP→＋λOQ→． (２)由(１)及OP→＝xOA→,OQ→＝yOB→,得OG→＝(１－λ)OP→＋ λOQ→＝(１－λ)xOA→＋λyOB→．① ∵G 是△OAB 的重心, ∴OG→＝２３OM →＝２３× １ ２ (OA→＋OB→)＝１３OA →＋１３OB →．② 由①②得 (１－λ)x－１３[ ]OA →＝ １３－λy( )OB →, 而OA→,OB→不共线, ∴ (１－λ)x＝１３ λy＝１３ ì î í ïï ï ,解得 １ x＝３－３λ １ y＝３λ ì î í ïï ï , ∴１x＋ １ y＝３ ,即１ x＋ １ y 是定值． 新题快递 １．BC　[对于 A、D:不妨取a,b分别为x、y轴上的单位向量, 满足“|a|＝|b|”,满足“a与b 都是单位向量”,但是a∥b不 成立．故 A、D错误;对于 B:由零向量与任何向量平行,可知 |a|＝０或|b|＝０时,a∥b．故B正确;对于C:因为a＝－２b, 所以a∥b．故 C正确．] ２．解:设AF＝mAD,BF＝nBE, 根据向量共线定理,得:AF→＝mAD→, AF→＝nAE→＋(１－n)AB→,３AE→＝AC→, 所以AF→＝n３AC →＋(１－n)AB→, 又因为AD→＝１２(AB →＋AC→), 所以n ３AC →＋(１－n)AB→＝m２(AB →＋AC→), 解得: n ３＝ m ２ １－n＝m２ ì î í ïï ï ,即 m＝１２ n＝３４ ì î í ïï ï , 代入BF→＝nBE→＝n(AE→－AB→)＝ ３４ １ ３AC →－AB→( ) ＝ １４AC → －３４AB →, 解得:λ＝－３４ ,μ＝ １ ４ , (１)λ＋μ＝－ １ ２ ,(２)AFAD＝ １ ２． 假期作业１７ 思维整合室 １．不共线　λ１e１＋λ２e２　基　２．(１)０°≤θ≤１８０° (２)同向　１８０°　(３)９０°　a⊥b　３．(１)x１＋x２,y１＋y２ (２)x１－x２,y１－y２　(３)λx,λy　４．(１)a＝λb (２)x１y２－x２y１＝０ 技能提升台　素养提升 １．B　 ２．BCD　[BC→＝a,CA→＝b,AD→＝１２CB →＋AC→＝－１２a－b,故 A 错;BE→＝BC→＋１２CA →＝a＋ １２b,故 B 正确;CF →＝ １２ (CB →＋ CA→)＝１２(－a＋b)＝－ １ ２a＋ １ ２b ,故 C正确;所以AD→＋BE→ ＋CF→＝－b－１２a＋a＋ １ ２b＋ １ ２b－ １ ２a＝０． 故 D正确．] ３．B　[如图,因为CB→＝CA→＋AB→,BD＝ ２DA,所 以AD→＝AC→＋CD→＝n－m, AB→＝３AD→,CB→＝CA→＋３AD→＝m＋ ３(n－m)＝３n－２m,故选B．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５９ 　　　　　假期作业１６　平面向量的概念与线性运算　　　　 １．向量的有关概念 (１)向量:既有大小又有　　　　的量叫向量; 向量的大小叫做向量的　　　　． (２)零向量:长度等于　　的向量,其方向是任 意的． (３)单位向量:模等于　　　　的向量． (４)平行向量:方向相同或　　　　的非零向量, 又叫共线向量,规定:０与任一向量共线． (５)相等向量:长度相等且　　　　相同的 向量． (６)相反向量:长度相等且　　　　相反的 向量． ２．向量的线性运算 (１)向量的加法和减法 ①加法法则:服从三角形法则,平行四边形 法则．运算性质:a＋b＝b＋a;(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)． ②减法与加法互为逆运算;服从三角形法则． (２)实数与向量的积 ①实数λ与向量a 的积是一个向量,记作 λa,规定: a．长度:|λa|＝|λ||a|; b．方向:当λ＞０时,λa与a的方向相同;当 λ＜０时,λa 与a 的方向相反;当λ＝０时, λa＝０． ②运算律:设λ、μ∈R,则:λ(μa)＝(λμ)a; (λ＋μ)a＝λa＋μa;λ(a＋b)＝λa＋λb． ３．共线向量定理 向量a(a≠０)与b共线的充要条件是存在 唯一一个实数λ,使得b＝λa． ◆[考点一]　平面向量的基本概念 １．下列各命题中假命题的个数为 (　　) ①向量AB → 的长度与向量BA → 的长度相等; ②向量a与向量b 平行,则a与b 的方向相 同或相反; ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点 必相同; ④两 个 有 共 同 终 点 的 向 量,一 定 是 共 线 向量; ⑤向量AB → 与向量CD → 是共线向量,则点A, B,C,D 必在同一条直线上; ⑥有向线段就是向量,向量就是有向线段． A．２　　　　　　　　　B．３ C．４ D．５ ２．(多选)如图,在菱形 ABCD 中,∠BAD＝１２０°,则以下说 法正确的是 (　　) A．与AB → 相等的向量只有一个(不含AB →) B．与AB → 的模相等的向量有９个(不含AB →) C．BD → 的模恰为DA → 的模的 ３倍 D．CB → 与DA → 不共线 ３．已知在边长为２的菱形ABCD 中,∠ABC ＝６０°,则|BD → |＝　　　　． ４．如 图,四 边 形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形． (１)与 向 量ED → 相 等 的 向 量有　　　　; (２)若|AB → |＝３,则|EC → |＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９３ ◆[考点二]　平面向量的线性运算 ５．如图,在正六边形ABCDEF 中,BA → ＋CD → ＋EF → ＝ (　　) A．０　　　　　B．BE → C．AD → 　　　　D．CF → ６．(多选)已知m,n是实数,a,b是向量,则下 列说法中正确的是 (　　) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb,则a＝b D．若ma＝na,则m＝n ７．(多选)下列各式中,化简结果为AD → 的是 (　　) A．(AB → －DC →)－CB → B．AD → －(CD → ＋DC →) C．－(CD → ＋MC →)－(DA → ＋DM →) D．－BM → －DA → ＋MB → ８．(２０２３􀅰天津卷)在△ABC 中,∠A＝６０°, |BC → |＝１,点D 为线段AB 的中点,点E 为 线段CD 的中点,若设AB → ＝a,AC → ＝b,则AE → 可用a,b表示为　　　　． ◆[考点三]　向量共线定理及其应用 ９．已知向量a,b不共线,c＝ka＋b(k∈R),d＝ a－b,如果c∥d,那么 (　　) A．k＝１且c与d 同向 B．k＝１且d与c反向 C．k＝－１且c与d 同向 D．k＝－１且d与c反向 １０．已知AB → ＝１４BC →,且BA → ＝mAC →,求实数m 的值． １１．已知O,A,B 是平面上不共线的三点,直线 AB 上有一点C,满足２AC → ＋CB → ＝０． (１)用OA →,OB → 表示OC →; (２)若点 D 是OB 的中点,证明:四边形 OCAD 是梯形． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０４ １２．如图,G 是△OAB 的重心, OG 的 延 长 线 交 AB 于 点 M,P,Q 分别是边OA,OB 上的动点,且 P,G,Q 三点 共线． (１)设PG → ＝λPQ →,将OG → 用λ,OP →,OQ → 表示; (２)设OP → ＝xOA →,OQ → ＝yOB →,证明:１ x＋ １ y 是定值． １．(多选)以下选项中,能使a∥b 成立的条 件有 (　　) A．|a|＝|b| B．|a|＝０或|b|＝０ C．a＝－２b D．a与b都是单位向量 ２．如 图,在 △ABC 中,点 D 是 BC 的中点,点 E 在 边 AC 上,且 满 足 ３AE → ＝AC →, BE 交AD 于点F,设BF → ＝λAB → ＋μAC →(λ, μ∈R),求(１)λ＋μ的值;(２) AF AD 的值． 一 男 子 和 老 婆 在 火 锅 店,边 吃 边 聊,正 高 兴 时,有 个 少 妇 走 过 来,直 视 着他 说:“我 怀 孕 了 !”那 个 男 人 的 老 婆 先 是一愣,紧接着甩手给了他一 耳 光,又 拉 又 扯,连哭带闹．全火锅楼的目光 都 聚 焦 在 他 俩身上,那哥们欲哭无泪 ! 这时,少妇 又 幽 幽 的 来 了 一 句:“麻 烦 你把烟掐了,谢谢 !” 哥们捂住脸哭都哭不出来􀆺􀆺 吃饭有风险,抽烟需谨慎 ! 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １４