假期作业21 空间直线、平面的平行-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（人教A版）

　假期作业２１　空间直线、平面的平行　　　　　　　 １．(１)基本事实４:平行于同一条直线的两条 直线互相　　　　． (２)等角定理:空间中如果两个角的两边分别 对应平行,那么这两个角　　　　　． ２．直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 平面外一条直线 与　　　　　的 一条直线平行,则 该直线与此平面 平行(线线平行⇒ 线面平行) 因为l∥a,a ⊂α,l⊄α,所 以l∥α 性 质 定 理 一条直线与一个 平面平行,则过这 条直线的任一平 面 与 此 平 面 的 　　　　 与 该 直 线 平 行 (简 记 为 “线面平行⇒线线 平行”) 因为l∥α,l ⊂β,α ∩β ＝b, 所以l∥b ３．平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 一个平面内的两 条　　　　　　 与另一个平面平 行,则这两个平面 平行(简记为“线 面平行⇒面面平 行”) 因为a∥β,b ∥β, a∩b＝P, a⊂α,b⊂α, 所以α∥β 性 质 定 理 如果两个平行平 面同时和第三个 平面　　　　,那 么它们的　　　 平行 因为α∥β,α ∩γ＝a, β∩γ＝b, 所以a∥b ◆[考点一]　直线与平面平行的判定与性质 １．设AB,BC,CD 是不在同一平面内的三条 线段,则经过它们的中点的平面和直线AC 的位置关系是 (　　) A．平行　　　　　　B．相交 C．平行或相交 D．AC在此平面内 ２．在五棱台ABCDEＧA１B１C１D１E１ 中,F,G 分 别是AA１ 和BB１ 上的点,且 AF FA１ ＝BGGB１ ,则 FG与平面ABCDE 的位置关系是 (　　) A．平行 B．相交 C．FG⊂平面ABCDE D．无法判断 ３．(２０２４􀅰全国甲卷(理))设α,β为两个平面, m,n 为两条直线,且α∩β＝m．下述四个 命题: ①若m∥n,则n∥α或n∥β;②若m⊥n,则 n⊥α或n⊥β;③若n∥α且n∥β,则m∥n; ④若n与α,β所成的角相等,则m⊥n．其中 所有真命题的编号是 (　　) A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ ４．如图,四棱锥 PＧABCD 的底面ABCD 是平行 四边形,M,N 分别为线 段PC,PB 上一点,若 PM∶MC＝４∶１,且 AN∥平面BDM,则PN∶NB＝　　　　． ◆[考点二]　平面与平面平行的判定与性质 ５．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相 等且不为零,则α与β的位置关系为 (　　) A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．可能重合 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １４ ６．(多选)已知a,b表示两条直线,α,β,γ表示 三个不重合的平面,给出下列命题,正确 的是 (　　) A．若α∩γ＝a,β∩γ＝b,且a∥b,则α∥β B．若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,b∥α, a∥β,b∥β,则α∥β C．若a∥α,b∥β,且a∥b,则α∥β D．若a⊂α,a∥β,α∩β＝b,则a∥b ７．(２０２５􀅰浙江温州高一月考)下列四个正方 体中,A,B,C 分别为其所在棱的中点,D, E,F为正方体的三个顶点,则能得出平面 ABC∥平面DEF的是 (　　) ８．如图,在正方体 ABCDＧ A１B１C１D１ 中,与 平 面 AA１D１D 平 行 的 平 面 是 　 　 　 　 　;与 平 面 A１B１C１D１ 平行的平面是　　　　　,与平 面BDD１B１ 平行的棱有　　　　　． ◆[考点三]　平行的综合问题 ９．如图,在棱长均为１的正三 棱柱 ABCＧA１B１C１ 中,M, N 分别为线段A１B,B１C上 的 动 点,且 MN ∥ 平 面 ACC１A１,则这样的 MN 有 (　　) A．１条 B．２条 C．３条 D．无数条 １０．(答案不唯一型)如图所示, 在 正 四 棱 柱 ABCD Ｇ A１B１C１D１ 中,E,F,G,H 分 别是 棱 CC１,C１D１,D１D, DC的中点,N 是BC 的中 点,点 M 在四边形EFGH 及其内部运动, 则 M 只需满足条件　　　　　时,就有 MN∥平面B１BDD１．(注:请填上你认为正确 的一个条件即可,不必考虑全部可能情况) １１．如图,在平行六面体ABＧ CDＧA１B１C１D１ 中,E,M, N,G,H 分 别 是 AA１, CD,CB,CC１,BB１ 的 中 点,求证: (１)MN∥B１D１; (２)AC１∥平面EB１D１; (３)平面EB１D１∥平面BDG． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２４ １２．由 四 棱 柱 ABCD Ｇ A１B１C１D１ 截 去 三 棱 锥 C１ＧB１CD１ 后 得 到 的几何体如图所示,四 边形ABCD 为平行四 边形,O为AC 与BD 的交点． (１)求证:A１O∥平面B１CD１; (２)求证:平面A１BD∥平面B１CD１; (３)设平面B１CD１ 与底面ABCD 的交线 为l,求证:BD∥l． １．给出下列命题: (１)若平面α内有两条直线分别平行于平面 β,则α∥β; (２)若平面α内任意一条直线与平面β 平 行,则α∥β; (３)过已知平面外一条直线,必能作出一个 平面与已知平面平行; (４)不重合的平面α,β,γ,若α∥γ,β∥γ,则 有α∥β． 其中正确的命题是　　　　．(填写序号) ２．在 正 方 体 ABCD Ｇ A１B１C１D１ 中,面对角线 A１D,CD１ 上各有一个动 点M,N(不包含端点), 使 得 直 线 MN ∥ 平 面A１ACC１． (１)当M,N 为对角线A１D,CD１ 的中点,T 为CD 的中点时,证明:平面 MNT∥ 平 面A１ACC１; (２)当正方体的棱长为２时,求线段 MN 长度的最小值． １．不要向这个世界认 输,因 为 你 还 有 牛 逼 的 梦想! ２．即 使 梦 想 不 能 实 现,我们也不会放弃努力! ３．所有的伤害只会让 我变强,用更强大的自己守护我的梦想! ４．我若不努力,那谁来替我完成梦想! 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３４ ２．D　[连接 AD１,则 AD１∥EF,连 接 FD１,则平面 AEF 截正方体所得 截 面多边形为梯形AD１FE, ∵正方 体 棱 长 为 ２,故 AD１ ＝２ ２, EF＝ ２, 又AE＝D１F＝ ２２＋１２＝ ５, ∴等腰梯形AD１FE 的高为 (５)２－ ２ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝３ ２ , ∴梯形AD１F１E 的面积为＝ ２＋２ ２ ２ × ３ ２ ＝９２． ] 假期作业２１　空间直线、 平面的平行 思维整合室 １．(１)平行　(２)相等或互补 ２．这个平面内　交线　３．相交直线　相交　交线 技能提升台　素养提升 １．A　 ２．A　[五 棱 台 中,AB∥A１B１,∴ 四 边 形 AA１B１B 是 梯 形, ∵AFFA１ ＝BGGB１ ,∴FG∥AB．而FG⊄平面 ABCDE,AB⊂平 面ABCDE．∴FG∥平面ABCDE．] ３．A　[对于①,若m∥n,则n∥α或n∥β,正确;对于②,若 m ⊥n,当n⊂α或n⊂β时,结论不一定成立,错误;对于③,若n ∥α且n∥β,根据线面平行的性质知,m∥n,正确,对于④, 若n与α,β所成的角相等,m 与n 不一定垂直,错误．] ４．解析:如 图,连 接 AC 交BD 于 点 O,连 接 CN 交 BM 于 点 G,连 接OG． 由AN∥平 面 BDM,平 面 ANC∩ 平面BDM＝OG,AN⊂平面ANC, 可得 AN∥OG,∵OA＝OC,∴CG ＝NG,∴G 为CN 的中点． 作 HN∥BM 交PC 于点H,∴CM ＝HM． 又∵PM∶MC＝４∶１,∴PH∶HM＝３∶１, ∴PN∶NB＝PH∶HM＝３∶１． 答案:３∶１ ５．C ６．BD　[A:若α∩γ＝a,β∩γ＝b,且a∥b,则α,β可能相交、平 行,错误;B:若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,b∥α,a∥β,b∥ β,由面面平行的判定可得α∥β,正确;C:若a∥α,b∥β,且a ∥b,则α,β可能相交、平行,错误;D:若a⊂α,a∥β,α∩β＝b, 由线面平行的性质定理得a∥b,正确．] 图① ７．B　[对于 A 选项,若平面ABC∥平面 DEF,BC⊂ 平 面 ABC,则 BC∥ 平 面 DEF,由题图可知 BC 与平面DEF 相 交,故平面ABC 与平面DEF 不平行, A不满足题意; 对于B选项,如图①所示,连接 NG, 因为 A,C 分别为PN,PG 的 中 点,所 以AC∥NG, 在正方体EHDGＧMFNP 中,FN∥EG 且FN＝EG,故 四 边 形 EFNG 为 平 行 四 边 形,所 以 NG∥ EF,所以AC∥EF,因为 AC⊄平面 DEF,EF⊂平面 DEF, 所以AC∥平面DEF, 图② 同理可 证 BC∥ 平 面 DEF,因 为 AC, BC⊂平面 ABC,AC∩BC＝C,所以平 面ABC∥平面DEF,B满足题意; 对于 C选项,如图②所示, 在正 方 体 PHDGＧMNFE 中,若 平 面 ABC∥平面DEF,且平面 DEF∥平面 MNHP, 则平面ABC∥平面 MNHP,但这与平 面ABC与平面MNHP 相交矛盾, 因此平面ABC与平面DEF 不平行,C不满足题意; 图③ 对于 D选项,在正方体PDHGＧFNEM 中,连接PH,PM,MH,如图③所示, 因为DH∥FM 且DH＝FM,所以四边 形 DHMF 为 平 行 四 边 形,所 以 DF ∥MH, 因 为 DF⊄ 平 面 PHM,MH ⊂ 平 面 PHM,所以DF∥平面PHM, 同理可证EF∥平面PHM,因为 DF∩ EF＝F,DF,EF⊂平面DEF,所以平面 DEF∥平面PHM, 若平面ABC∥平面DEF,则平面ABC∥平面PHM, 这与平面ABC与平面PHM 相交矛盾,故平面ABC与平面 DEF 不平行,D不满足题意．] ８．解析:由正方体是侧棱长等于底面正方形边长的正四棱柱 知:平 面 AA１D１D ∥ 平 面 BB１C１C,平 面 ABCD ∥ 平 面 A１B１C１D１;∵正方体的侧棱相互平行,∴AA１∥BB１∥CC１, ∴CC１∥平面BDD１B１,AA１∥平面BDD１B１． 答案:平面BB１C１C;平面ABCD;AA１,CC１ ９．D　[如图,任取线段A１B 上一点M,过 M 作MH∥AA１,交AB 于H,过 H 作HG∥ AC交BC 于G,过G 作CC１ 的平行线,与 CB１ 一定有交点 N,连接 MN, 可证平面 MNGH∥平面ACC１A１ 所以 MN∥平 面 ACC１A１,则 这 样 的 MN 有无数条．] １０．解析:连接 HN,FH,FN,则FH∥DD１,HN∥BD, 易知平面FHN∥平面B１BDD１,只需 M∈FH,则 MN⊂ 平面FHN,∴MN∥平面B１BDD１． 答案:点 M 在线段FH 上(或点 M 与点H 重合) １１．证明:(１)因 为 M,N 分 别 是CD,CB 的 中点, 所以 MN∥BD．又因为BB１􀱀DD１,所以 四边形BB１D１D 是平行四边形,所以BD ∥B１D１, 从而 MN∥B１D１． (２)连接A１C１,交B１D１ 于点O,连接OE． 因为四边形A１B１C１D１ 为平行四边形,则O 点是A１C１ 的 中点．因为E 是AA１ 的中点,所以EO 是△AA１C１ 的中位 线,所以EO∥AC１． 又AC１⊄平面EB１D１,EO⊂平面EB１D１, 所以AC１∥平面EB１D１． (３)连接GH,因为EA􀱀B１H,则四边形EAHB１ 是平行四 边形,所以EB１∥AH．因为AD􀱀HG,则四边形ADGH 是 平行四边形,所以DG∥AH,所以EB１∥DG． 又因为BB１􀱀DD１,所以四边形BB１D１D 是平行四边形, 所以BD∥B１D１．因为BD∩DG＝D, 所以平面EB１D１∥平面BDG． １２．证 明:(１)取 B１D１ 的 中 点 O１,连 接 CO１,A１O１, ∵ABCDＧA１B１C１D１ 是四棱柱, ∴A１O１􀱀OC, ∴四边形A１OCO１ 为平行四边形, ∴A１O∥O１C． 又O１C⊂ 平 面 B１CD１,A１O⊄ 平 面 B１CD１,∴A１O∥ 平 面B１CD１． (２)∵BB１􀱀AA１􀱀DD１,∴四 边 形 BB１D１D 是 平 行 四 边 形,∴BD∥B１D１． 又 BD⊄ 平 面 B１CD１,B１D１ ⊂ 平 面 B１CD１,∴BD∥ 平 面B１CD１, 由(１)得A１O∥平面B１CD１ 且BD∩A１O＝O,BD,A１O⊂ 平面A１BD, ∴平面A１BD∥平面B１CD１． (３)由(２)得平面A１BD∥平面B１CD１, 又平面 A１BD∩ 平 面 ABCD＝BD,平 面 B１CD１ ∩ 平 面 ABCD＝l,∴BD∥l． 新题快递 １．解析:(１)由平面与平面平行的判定可知,若平面α内有两条 相交直线分别平行于平面β,则α∥β,故(１)错误; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７９ (２)由平面与平面平行的定义可知,若平面α内任意一条直 线与平面β平行,则α∥β,故(２)正确; (３)当平面外的一条直线与平面相交时,过已知平面外一条 直线,不能作出一个平面与已知平面平行,故(３)错误; (４)不重合的平面α,β,γ,若α∥γ,β∥γ,由平面与平面平行 的传递性可得α∥β,故(４)正确． 答案:(２)(４) ２．(１)证明:如图,连接 NT,MT,AD１,因为 侧面ADD１A１ 为正方形,M 为A１D 的中 点,所以 M 为AD１ 的中点．因为 N,T 分 别是线段CD１,CD 的中点,所以 MN∥ AC,NT∥DD１． 因为 AC⊂ 平 面 A１ACC１,MN ⊄ 平 面 A１ACC１,所以 MN∥平面A１ACC１． 因为DD１∥AA１,所以 NT∥AA１． 因为 NT∥AA１,AA１⊂平面A１ACC１,NT⊄平面A１ACC１, 所以 NT∥平面A１ACC１． 因为 NT∩MN＝N,NT,MN⊂平面 MNT,所以平面 MNT ∥平面A１ACC１． (２)解:如图,过点 M 作AD 的垂线,垂足 为P,过点N 作DC 的垂线,垂足为Q,连 接PQ,由正方体的性质可知 MP∥AA１, NQ∥DD１,AA１∥DD１,则 MP∥NQ,则 MP,NQ 可确定平面MNQP． 因为 MP∥AA１,AA１ ⊂ 平 面 A１ACC１, MP ⊄ 平 面 A１ACC１,所 以 MP ∥ 平 面A１ACC１． 又 MN∥ 平 面 A１ACC１,MP∩MN＝M,MP,MN⊂ 平 面 MNQP,所以平面 MNQP∥平面A１ACC１, 因为平面 MNQP∩平面ABCD＝PQ,平面A１ACC１∩平面 ABCD＝AC,所以PQ∥AC． 设PD＝x,０＜x＜２,则QD＝x,MP＝x,又正方体的棱长为 ２,则 NQ＝QC＝２－x． 在四边形 MNQP 中,MP∥NQ,MP⊥PQ,PQ＝ ２x,则 MN２＝(NQ－MP)２ ＋PQ２ ＝６x２ －８x＋４＝６ x－２３( ) ２ ＋４３ , 则当x＝２３ 时,线段 MN 长度的最小值为２ ３３ ． 假期作业２２　空间直线、 平面的垂直 思维整合室 １．两条相交直线　平行　２．垂线　交线　３．(１)锐角　∠PAO 技能提升台　素养提升 １．D　 ２．C　[对于①,垂直于同一直线的两条 直 线 平 行、相 交 或 异 面,故①错误;对于②,垂直于同一平面的两条直线平行,故 ②正确;对于③,垂直于同一直线的两个平面平行,故③正 确;对于④,垂直于同一平面的两个平面平行或相交,故④ 错误．] ３．C　[对于 A,B,若m∥α,n∥α,则 m 与n 可能平行、相交或 异面,故 A,B错误;对于 C,D,若m∥α,n⊥α,则m⊥n,且m 与n 可能相交,也可能异面,故 C正确,D错误．] ４．D ５．A　[过点A 作AH⊥BD 于点 H(图略),由平面ABD⊥平 面BCD,得 AH⊥ 平 面 BCD,则 AH⊥BC．又 DA⊥ 平 面 ABC,所以BC⊥AD,所以BC⊥平面 ABD,所以BC⊥AB, 即△ABC为直角三角形．] ６．A　[∵PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PA⊥BC．又 正方形 ABCD 中,BC⊥AB,PA∩AB＝A,PA,AB⊂平 面 PAB,∴BC⊥平面PAB,BC⊂平面PBC,∴平面PAB⊥平 面PBC,②正确; 同理AD⊥平面PAB,AD⊂平面PAD,∴平面PAD⊥平面 PAB,①正确; 设平面PAB∩平面PCD＝l,∵AB∥CD,AB⊂平面PAB, CD⊄平面PAB,∴CD∥平面PAB,∴CD∥l．∵CD⊥平面 PAD,∴l⊥平面PAD,P 为垂足,∴∠APD 为二面角AＧlＧD 的平 面 角,若 平 面 PAB⊥ 平 面 PCD,则 AP⊥PD,在 Rt△PAD中不可能存在AP⊥PD,③错误．;∵AB⊥PA,AC ⊥PA,∴∠BAC 为 二 面 角B－PA－C 的 平 面 角,若 平 面 PAB⊥平面PAC,则AB⊥AC,在 Rt△ABC 中不可能存在 AB⊥AC,④错误．] ７．BD　[对于 A,显然混淆了平面与半平面的概念,故 A错误; 对于B,因为a,b分别垂直于二面角的两个面,所以也垂直 于二面角的棱,但由于异面直线所成的角为锐角或直角,所 以与这个二面角相等或互补,故B正确;对于 C,因为所作射 线不一定垂直于棱,故 C错误;由定义知 D正确．] ８．B　[设棱台高为h,且三条侧棱延长后交于一点O,则由已 知得AB＝３A１B１, 则O 到上底的距离为１２h ,O 到下底的距离为３２h ,又SABC＝ ９ ３,SA１B１C１＝ ３, 所以１ ３ 􀅰９ ３􀅰３２h－ １ ３ 􀅰 ３􀅰 １２h＝ ５２ ３ ⇒h＝ ４ ３ ,上底中 心到顶点A１ 的 距 离 为 ２ ３ ,所 以 所 求 正 切 值 为 １ ２h ２ ３ ＝ ３４h ＝１．] ９．C　[取 AB 的 中 点E,连 接CE,DE, 因为 △ABC 是 等 腰 直 角 三 角 形,且 AB 为斜边,则有CE⊥AB, 又 △ABD 是 等 边 三 角 形,则 DE⊥ AB,从而∠CED 为二面角C－AB－D 的平面角,即∠CED＝１５０°, 显 然 CE∩DE＝E,CE,DE⊂ 平 面 CDE,于是 AB⊥平面CDE,又 AB⊂ 平面ABC, 因此平 面 CDE⊥ 平 面 ABC,显 然 平 面 CDE∩ 平 面 ABC ＝CE, 直线CD⊂平面CDE,则直线CD 在平面ABC 内的射影为 直线CE, 从而∠DCE 为直线CD 与平面ABC 所成的角,令 AB＝２, 则CE＝１,DE＝ ３,在△CDE 中,由余弦定理得: CD＝ CE２＋DE２－２CE􀅰DEcos∠CED ＝ １＋３－２×１× ３× － ３２ æ è ç ö ø ÷ ＝ ７, 由正弦定理 DE sin∠DCE＝ CD sin∠CED , 得sin∠DCE＝ ３sin１５０° ７ ＝ ３ ２ ７ , 显 然 ∠DCE 是 锐 角,cos∠DCE ＝ １－sin２∠DCE ＝ １－ ３ ２ ７ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ５ ２ ７ , 所以直线CD 与平面ABC 所成的角的正切值为 ３５． ] １０．D　[四 棱 锥 的 底 面 是 边 长 为４的 正方形,且 PA＝PB＝４,PC＝PD ＝２ ２,如图,设 AB,CD 的中点分 别为E,F,则 PE⊥AB,PF⊥CD, 连接EF,∵EF⊥CD,PF⊥CD,EF ∩PF＝F,EF⊂平面 PEF,PF⊂平面 PEF,∴CD⊥平面 PEF,又CD⊂平面ABCD,∴平面PEF⊥平面ABCD,且 平面PEF∩平面ABCD＝EF．过点P 作PO⊥EF 于点O, 则PO⊂平面PEF,则 PO⊥平面 ABCD．在△PEF 中,由 题可求得PE＝２ ３,PF＝２,EF＝４,∴PE２＋PF２＝EF２, ∴∠EPF＝９０°,根据面积相等可得 PO􀅰EF＝PE􀅰PF, 即４PO＝２ ３×２,得PO＝ ３．] １１．解:(１)因为AB＝BC＝２,所以BE⊥AC,又因为是直三棱 锥ABC－A１B１C１,不妨设AC＝２a, 因为BF⊥A１B１,所以BF⊥AB,连接AF, E,F 分别为AC 和CC１ 的中点,则 AF２＝BF２＋AB２, ⇒４a２＋１＝５＋４⇒a２＝２⇒a＝ ２, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８９