精品解析：贵州省黔西南州金成实验学校2024-2025学年高一下学期第二次月考（4月）数学试题

黔西南州金成实验学校2024—2025学年度第二学期0426 质量检测试题高一年级数学 答卷注意事项： 1、学生必须用黑色（或蓝色）钢笔、圆珠笔或签字笔在试卷上答题． 2、填涂答题卡必须使用2B铅笔填涂． 3、答题时字迹要清楚、工整． 4、本卷共22小题，总分为150分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 B. 以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥 C. 用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 D. 空间中，到一个定点的距离等于定长的点的集合是球 3. 在中，，，则（    ） A. B. C. D. 4. 已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，则原四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点A∈直线l，又A∈平面，则（ ） A. B. C. D. 或 6. 已知正四棱锥的高为3，底面边长为，则该棱锥的体积为（ ） A. 6 B. C. 2 D. 7. 如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形ACDE为该圆柱的轴截面，点B为半圆弧CD的中点，则在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为（ ）． A. B. C. 3 D. 2 8. 某数学兴趣小组欲测量一下校内旗杆顶部M和教学楼M₁顶部N之间的距离，已知旗杆AM高15m，教学楼BN高21m，在与A,B同一水平面C处测得的旗杆顶部M的仰角为，教学楼顶部N的仰角为，，则M,N之间的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，以下结论正确的是（ ） A. 是纯虚数 B. C. D. 在复平面内，复数对应的点位于第三象限 10. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 球的体积是圆锥体积的两倍 11. 在下列底面为平行四边形的四棱锥中，是四棱锥的顶点或棱的中点，则平面的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 在复平面内，对应的点位于第___________象限． 13. 已知平面和直线，且则与的位置关系是___________． 14. 在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，、、的面积分别为、、，则三棱锥的外接球的体积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图：在平面内，在平面内，且平行于，平行于．求证： 16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，．．（为三角形外接圆的半径） （1）求的值； （2）求的值． 17. 如图，在正方体中，、分别为、的中点，与交于点.求证： （1）； （2）平面平面. 18. 已知复数（i为虚数单位，）为纯虚数，和实数b是关于x的方程的两个根. （1）求a，b的值； （2）若复数z满足，说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形？并求该图形的面积. 19. 如图，在正四棱柱中，，是的中点. （1）求证：平面； （2）若正四棱柱的外接球的表面积是，求三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黔西南州金成实验学校2024—2025学年度第二学期0426 质量检测试题高一年级数学 答卷注意事项： 1、学生必须用黑色（或蓝色）钢笔、圆珠笔或签字笔在试卷上答题． 2、填涂答题卡必须使用2B铅笔填涂． 3、答题时字迹要清楚、工整． 4、本卷共22小题，总分为150分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 且，故选项C正确. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 B. 以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥 C. 用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 D. 空间中，到一个定点的距离等于定长的点的集合是球 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，根据棱柱的定义可判断；对于B，以直角三角形的斜边为旋转轴；对于C，用垂直于底面的平面去截圆锥；对于D，由球的定义可判断. 【详解】解：对于A，根据棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，得棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故A正确； 对于B，以直角三角形的斜边为旋转轴，旋转所得的旋转体不是圆锥，故B不正确； 对于C，用垂直于底面的平面去截圆锥，得到的是不是一个圆锥和一个圆台，故C不正确； 对于D，空间中，到一个定点的距离等于定长的点的集合是球面，而不是球体，故D不正确， 故选：A． 3. 在中，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以. 故选：D. 4. 已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，则原四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法，还原出原图形，求出边长，求出面积. 【详解】 如图所示，作与，根据斜二测画法可知为等腰直角三角形， 因为，所以,在根据勾股定理可知， 如图所以，还原出平面图形，是直角梯形，根据斜二测画法可知， 所以四边形的面积. 故选：B. 5. 已知点A∈直线l，又A∈平面，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系判断． 【详解】点A∈直线l，又A∈平面，则与平面至少有一个公共点，所以或． 故选：D． 6. 已知正四棱锥的高为3，底面边长为，则该棱锥的体积为（ ） A. 6 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用棱锥的体积公式计算即可. 【详解】根据棱锥的体积公式得该棱锥的体积为 故选：C. 7. 如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形ACDE为该圆柱的轴截面，点B为半圆弧CD的中点，则在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为（ ）． A. B. C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】画出圆柱的侧面展开图，解三角形即得解. 【详解】解：圆柱的侧面展开图如图所示，由题得, 所以. 所以在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为. 故选：B 8. 某数学兴趣小组欲测量一下校内旗杆顶部M和教学楼M₁顶部N之间的距离，已知旗杆AM高15m，教学楼BN高21m，在与A,B同一水平面C处测得的旗杆顶部M的仰角为，教学楼顶部N的仰角为，，则M,N之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，利用余弦定理求出旗杆与教学楼的距离，即可得出M,N之间的距离. 【详解】由题意， 过点作于点， 则， 在中， ∴， 在中， ∴， 在中，，由余弦定理得， ， ∴, 在Rt中，，由勾股定理得， , 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，以下结论正确的是（ ） A. 是纯虚数 B. C. D. 在复平面内，复数对应的点位于第三象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用复数除法运算法则化简可得，根据的幂运算的周期性、模长的定义、共轭复数定义和复数的乘法运算、复数对应的点坐标来依次判断各个选项即可. 【详解】 对于A，，为纯虚数，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，对应的点为，位于第三象限，D正确. 故选：ABD. 10. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 球的体积是圆锥体积的两倍 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据圆柱的侧面积公式即可求解；对B，根据圆锥的侧面积公式即可求解；对C，根据圆柱的侧面积公式和球的表面积公式即可判断；对D，根据球的体积和圆锥的体积公式即可判断. 【详解】解：对于A，圆柱的底面直径和高都等于， 圆柱的侧面积故 A正确； 对于B，圆锥的底面直径和高等于， 圆锥的侧面积为，故B错误； 对于C，圆柱的侧面积为， 球的表面积，即圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确； 对于D，球的体积为，圆锥的体积为， 即球的体积是圆锥体积的两倍，故D正确． 故选：ACD． 11. 在下列底面为平行四边形的四棱锥中，是四棱锥的顶点或棱的中点，则平面的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用线面平行的性质定理结合平面内过一点有且仅有一条直线和已知直线平行可判断A，D；根据线面平行的判定定理可判断B，C； 【详解】对于A，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 设交于点，连接， 则， 又, 故，即四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 平面平面， 假设平面，则， 即在平面内过点有两条直线和都平行， 这是不可能的，因此与平面不平行，故A错误； 对于B，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 则， 又，, 故，即四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 故平面，故B正确； 对于C，设为的中点，底面为平行四边形，连接， 则， 又，， 故，即四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 故平面，故C正确； 对于D，设底面为平行四边形， 连接交于点，交于点， 则为的中点，连接， 由于为的中点，故； 又平面，平面，平面平面， 假设平面，则， 即在平面内过点有两条直线和都平行，这是不可能的， 因此与平面不平行，故D错误； 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 在复平面内，对应的点位于第___________象限． 【答案】一 【解析】 【分析】先根据复数的乘法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解. 【详解】， 所以对应的点为，位于第一象限. 故答案为：一. 13. 已知平面和直线，且则与的位置关系是___________． 【答案】平行或相交 【解析】 【分析】分别考虑相交或平行时，是否存在满足条件的直线得解. 【详解】，， 当与相交或平行时，都能找到且， 故答案为：平行或相交 14. 在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，、、的面积分别为、、，则三棱锥的外接球的体积为__________． 【答案】. 【解析】 【详解】在三棱锥中，侧棱、、两两垂直， 补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的体对角线即为球的直径， 设长方体的三度分别为、、， 则有，，， 解得：，，， 所以球的直径， 球的半径， ∴三棱锥的外接球的体积为 ． 点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图：在平面内，在平面内，且平行于，平行于．求证： 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】分别在和的两边上截取和，使得，证明即可. 【详解】如图，分别在和的两边上截取和， 使得， 因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 同理， ， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 所以. 16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，．．（为三角形外接圆的半径） （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理求得，再代入正弦定理求； （2）代入余弦定理，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 又由得 ∵，，， 由正弦定理得， ∴； 【小问2详解】 由余弦定理得， 解得或（舍）． 综上． 17. 如图，在正方体中，、分别为、的中点，与交于点.求证： （1）； （2）平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）证明出四边形为平行四边形，可证得结论成立； （2）证明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立. 【小问1详解】 证明：在正方体中，且， 因为、分别为、的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，则. 【小问2详解】 证明：因为四边形为正方形，，则为的中点， 因为为的中点，则， 平面，平面，所以，平面， 因为，平面，平面，所以，平面， 因为，因此，平面平面. 18. 已知复数（i为虚数单位，）为纯虚数，和实数b是关于x的方程的两个根. （1）求a，b的值； （2）若复数z满足，说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形？并求该图形的面积. 【答案】（1），；（2）在复平面内z对应的点Z的集合是以原点为圆心，以为半径的圆，. 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义求得a，再根据和实数b是关于x的方程的两个根结合韦达定理即可求得b； （2）设，根据，即可求得在复平面内z对应的点Z的轨迹，从而得出答案. 【详解】解：（1）∵复数（i为虚数单位，）为纯虚数， ∴，解得， ∴，由韦达定理可得，，解得； （2）∵复数z满足， ∴， 设，则有， ∴在复平面内z对应的点Z的集合是以原点为圆心，以为半径的圆， ∴. 19. 如图，在正四棱柱中，，是的中点. （1）求证：平面； （2）若正四棱柱的外接球的表面积是，求三棱锥的体积. 【答案】（1）连接交于，连接； 分别是的中点， 平面平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，则，利用线面平行的判定定理即可证明； （2）求出正四棱柱的外接球半径，进而可求出，根据，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，正四棱柱的外接球的半径为， 因为正四棱柱的外接球的表面积，解得， 由题意为正四棱柱的外接球的直径， 由，得， 解得或（舍），即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $