【第四章 整式的加减 02讲 整式的加法与减法】暑假小升初衔接讲义2025-2026学年七年级上册数学（新版人教版专用）

第四章 整式的加减 02讲 整式的加法与减法 知识清单 1、同类项 1）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项（即仅系数不同或系数也相同的项）。几个常数项也是同类项。 例：5abc2与3abc2 3abc与3abc。 判断同类项需要同时满足2个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数相同 2）合并同类项：将多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项； 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变。 3）同类项合并的计算方法：系数对应向加减，字母及指数不变。 通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列。 如多项式，按字母a升幂排列可写成； 按字母a降幂排列可写成； 按字母b升幂排列可写成； 按字母b降幂排列可写成； 上述多项式都是同一个多项式，只是项的顺序不同。 巩固基础 1．下列各组式子中为同类项的是（   ） A．x与y B．与 C．与 D．与 【分析】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同；相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关． 根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，逐项判定即可． 【详解】解：A、与字母不同不是同类项，故此选项不符合题意； B、与相同字母的指数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； C、与所含字母相同且相同字母的指数也相同，是同类项，故此选项符合题意； D、与所含字母不全相同，不是同类项，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．下列各组中不是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【分析】本题考查了同类项的概念，即所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项．据此逐项分析即可． 【详解】解：A、与，是同类项，本选项不符合题意； B、与，是同类项，本选项不符合题意； C、与，相同字母的指数不同，不是同类项，本选项符合题意； D、与，是同类项，本选项不符合题意； 故选：C． 3．把按字母y的升幂排列后，其中的第2项是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了多项式的重新排列，先按y的升幂排列，再找出第二项即可．我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．此题还要注意分清按哪个字母的降幂或升幂排列． 【详解】解：∵多项式按字母的升幂排列为：， ∴其中的第二项是． 故选：A． 4．写出一个与是同类项的单项式： ． 【分析】本题考查了同类项的知识，同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．根据同类项的定义书写即可，答案不唯一． 【详解】解：例如：（答案不唯一） 故答案为：． 5．多项式中， 与 是同类项； 与 是同类项． 【分析】本题考查同类项，根据同类项的定义“所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项，几个单独的数字也是同类项”解题即可． 【详解】解： ∴和是同类项，和是同类项， 故答案为：；；；． 6．把多项式按x的降幂排列: ． 【分析】本题考查了多项式按某一字母的排列－降幂或升幂排列；把多项式中的项按x指数从高到低进行排列即可． 【详解】解：； 故答案为：． 7．将多项式按字母m升幂排序： ． 【分析】本题考查多项式，把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．据此先分清多项式的各项，然后各项按字母m的指数从小到大进行排列． 【详解】解：依题意，将多项式按字母升幂排序为：． 故答案为：． 8. 合并同类项 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式= 解：原式 解：原式 解：原式= 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 知识清单 2、去（添）括号法则 1）括号前是“+”，去括号后，括号内的符号不变 2）括号前是“－”，去括号后，括号内的符号全部要变号。 3）括号前有系数的，去括号后，括号内所有因素都要乘此系数。 注意：去多重括号，可以先去大括号，在去中括号，后去小括号；也可以先从最内层开始，先去小括号，在去中括号，最后去大括号。可依据简易程度，选择合适顺序。 巩固基础 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了去括号，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 2．下列去括号或添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查去括号和添括号法则，解题的关键是熟练掌握去括号和添括号时符号的变化规律． 根据去括号和添括号的法则，对每个选项逐一进行分析判断． 【详解】A、根据去括号法则，，而不是，该选项A错误； B、根据去括号法则，，而不是，该选项B错误； C、根据添括号法则，，而不是，该选项C错误； D、根据添括号法则，，选项D正确． 故选：D． 3．去括号： ． 【分析】本题考查了去括号法则，如果括号前是正号，去掉括号和括号前面的正号，括号里面各项符号不变；如果括号前是负号，去掉括号和括号前面的负号，括号里面各项符号改变．解决本题的关键是根据去括号的法则去括号即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．化简： ． 【分析】本题考查了整式的加减．去括号，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 5．化简的结果是 ． 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． 根据去括号法则和合并同类项法则逐步化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．去括号填空： ． 【分析】本题考查了去括号．熟练掌握去括号法则是解答本题的关键．如果括号外的因数是正数，去掉括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去掉括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 根据去括号法则将式子可以写成省略括号的形式，本题得以解决． 【详解】解：． 故答案为：． 7．计算：（ ）． 【分析】本题主要考查了添括号，添括号时，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．添括号：（ ）． 【分析】本题考查了去括号与添括号，熟练掌握添括号法则是解题的关键．根据添括号法则解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．计算 ． 【分析】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．先根据去括号，合并同类项法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10. 化简：= . 【分析】本题考查了整式加减运算，熟练掌握运算顺序以及运算法则是解题的关键．先去括号，然后再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 知识清单 3、整式加减的运算法则 几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项，具体步骤为： ① 将同类项找出，并放一起； ② 合并同类项。 注意：（1）当括号前面有数字因数时，应先利用乘法分配律计算，然后再去括号，注意不要漏乘括号内的任一项。 （2）合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并，合并同类项实际上就是有理数的加减运算。合并同类项要完全、彻底，不能漏项。 巩固基础 1. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 直击考点 题型1：同类项的辨析 例1．下列单项式中，与单项式是同类项的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查同类项，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型．所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，据此判断即可． 【详解】解：A，与，所含的字母相同，但是相同字母的指数不相同，不是同类项，故本选项不合题意； B，与，所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，是同类项，故本选项符合题意； C，与，所含的字母相同，但是相同字母的指数不尽相同，不是同类项，故本选项不合题意； D，与，所含的字母相同，但是相同字母的指数不相同，不是同类项，故本选项不合题意； 故选：B． 变式1．下列各组式子中是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【分析】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型． 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【详解】解：A、所含字母不相同，不是同类项，故A选项不符合题意； B、相同字母的指数不相同，不是同类项，故B选项不符合题意； C、相同字母的指数不相同，不是同类项，故C选项不符合题意； D、符合同类项的定义，是同类项，故D选项符合题意； 故选：D． 变式2．下列各组整式中不是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【分析】此题考查了同类项的概念，根据同类项的概念逐项判断即可，解题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：（）所含字母相同；（）相同字母的指数相同． 【详解】、与所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故不符合题意； 、与所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故符合题意； 、与所含字母相同，相同字母的指数不相同，是同类项，故不符合题意； 、与都是数字，是同类项，故不符合题意； 故选：． 题型2：合并同类项 1. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型3：同类项求参问题 例1．若关于x，y的单项式与的和是单项式，则（   ） A． B．81 C． D．64 【分析】本题考查同类项，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型．如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，据此可得a，b的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：关于x，y的单项式与的和是单项式， ， ∴． 故选：B． 例2．若与是同类项，则 ， ． 【分析】本题考查了同类项“如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相等，则这两个单项式是同类项”，熟记同类项的定义是解题关键．根据同类项的定义求解即可得． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， ∴， 故答案为：4，5． 例3．已知与是关于x、y的单项式，且它们是同类项． (1)求a的值； (2)若，且，求的值． 【分析】本题考查了同类项的定义，解题关键是明确同类项所含字母相同，相同的字母的指数也相同； （1）根据同类项相同的字母的指数相同列出方程即可求解； （2）根据同类项合并为0，得出系数和为0，求出字母的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵与是关于x、y的单项式，且它们是同类项， ∴ 解得． （2）解：∵， ∴， ∴． 变式1．若与是同类项，则 的值是(    ) A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了同类项的概念，根据同类项的概念可求，的值，从而求出代数式的值，解题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：（）所含字母相同；（）相同字母的指数相同． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 变式2．如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则 ． 【分析】本题主要考查了合并同类项、同类项的概念，根据同类项的概念求出、的值是解题的关键． 根据同类项的概念求出、的值，然后计算即可． 【详解】解：单项式与单项式的和仍是一个单项式， 故和为同类项， ，， 故； 故答案为： 变式3．如果两个关于、的单项式与是同类项（其中）． (1)求的值； (2)如果这两个单项式的和为零，求的值． 【分析】本题考查了同类项的定义、合并同类项法则的应用等知识点，掌握合并同类项时，把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变成为解题的关键． （1）根据同类项的定义列方程求解即可． （2）根据合并同类项的法则把系数相加可得，即，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：由同类项的定义可得：， 解得：； （2）解：两个单项式的和为零， ， ，即， ． 题型4：去括号、添括号 例1．下列去括号结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了去括号，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式去括号错误，不符合题意； B、，原式去括号错误，不符合题意； C、，原式去括号错误，不符合题意； D、，原式去括号正确，符合题意； 故选：D． 例2．计算： ． 【分析】本题主要考查了去括号，熟练掌握去括号法则，是解题的关键．根据去括号法则，括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变，进行解答即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 变式1．下列各式左右两边相等的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查去括号，添括号，根据去括号和添括号法则，逐一进行判断即可，注意括号外面是负号，括号内的每一项都要变号，括号外面有系数，括号内的每一项都要乘这个系数． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项正确，符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项错误，不符合题意； 故选B． 变式2．下列去括号或添括号的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查整式加减中的去括号与添括号，去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．根据去括号和添括号法则求解判断即可． 【详解】解∶ ．，原添括号错误，故该选项不符合题意； ．，原去括号正确，故该选项符合题意； ．，原添括号错误，故该选项不符合题意； ．，原去括号错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 变式3．化简等于 ． 【分析】本题考查了整式的加减、去括号法则．熟记去括号法则和熟练运用合并同类项的法则是解题的关键． 先按照去括号法则去掉整式中的括号，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 变式4．添括号（填空）： （1）（ ）； （2）（ ）； （3）（ ）． 【分析】本题考查了添括号，根据添括号法则：所添括号前面是“”号，括到括号里的各项都不变符号；所添括号前面是“”号，括到括号里的各项都改变符号． （1）根据添括号法则进行添括号，即可求解． （2）根据添括号法则进行添括号，即可求解． （3）根据添括号法则进行添括号，即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为：． （2）； 故答案为：． （3）； 故答案为：． 题型5：整式的加减运算 1. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型6：整式比较大小 例1．若，，则A与B的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【分析】本题考查了整式的加减运算，运用作差法得出，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴, ∴， 故选：C 例2．【阅读】同学们，我们知道数可以比较大小，比如，那么两个代数式可以比较大小吗？ 例如：比较与的大小，我们可以这样做： 因为， 又因为， 所以． 【尝试】比较代数式与的大小，说明理由． 【分析】本题考查了整式的加减运算，整式的大小比较．直接利用作差法即可比较． 【详解】解：． 理由如下：， 因为， 所以， 所以． 变式1．若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【分析】此题主要考查了整式的加减．利用作差法列式，去括号，合并同类项，再利用偶次方的性质，分析得出答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 即． 故选：B． 变式2．已知：， (1)求； (2)比较与的大小，并说明理由． 【分析】本题主要考查了整式的加减计算： （1）根据题意可得，据此根据整式的加减计算法则求解即可； （2）利用整式的加减计算法则求出的结果，进而判断出的符号，据此可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型7：整式加减中的化简求值 例1．先化简，再求值．，其中 【分析】此题考查了整式加减中的化简求值．先利用合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入求值即可． 【详解】解： 当时， 原式 例2．先化简，再求值：，其中x、y满足． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，正确计算是解题的关键．先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出x、y的值，最后代值计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴原式． 变式1．先化简，再求值：，其中． 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，去括号，合并同类项，化简后，代值计算即可． 【详解】原式 ， 当时， 原式． 变式2．化简求值：，其中， 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解； ， 当，时，原式． 变式3．先化简，再求值： (1)，其中与互为相反数； (2)已知，求的值． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项化简，根据相反数的定义和非负数的性质求出的值，再代值计算即可得到答案； （2）先去括号，然后合并同类项化简，再利用整体代入法代值计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵和互为相反数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 当，时，原式． （2）解： ， ∵， ∴原式． 题型8：整式加减中的无关型问题 例1．多项式中不含项，则a的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】本题考查了整式的加减无关型问题，熟练运用合并同类项的法则，“多项式中不含某一项即合并同类项后某项的系数为零”是解题的关键．先去括号，合并同类项，然后令项的系数为0，即可求解． 【详解】解: ， ∵多项式中不含项， ∴， ∴． 故选：C． 例2．已知，且的值与x的取值无关．若，则A的值是（　　） A．2 B．3 C．10 D．6 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，利用整式加减的运算法则求出，根据的值与x的取值无关，求出的值，根据，求出的值，进而求出A的值即可． 【详解】解： ， ∵的值与x的取值无关， ∴， 解得， ∵， ∴， 即． ∴． 故选：D． 例3．已知代数式，． (1)求的值； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． （1）利用整式加减的运算法则计算即可； （2）由（1）得，，结合题意得，解出的值即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）得，， 的值与y的取值无关， ， 解得：， x的值为． 变式1．已知关于的多项式不含三次项和一次项，则的结果为（    ） A．1 B．0 C． D． 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，把所给多项式合并同类项，再根据不含三次项和一次项得到三次项和一次项的系数都为0，据此求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于的多项式不含三次项和一次项， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 变式2．若代数式的值与的取值无关，则的值为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了整式的加减混合运算、求代数式的值．首先把多项式去括号、合并同类项，得到原式，根据代数式的值与的取值无关，可以求出、的值，再把、的值代入代数式计算求值即可． 【详解】解： ， 代数式的值与的取值无关， ， 解得：， ． 故选： C． 变式3．【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）运用合并同类项法则进行计算即可； （2）判断，，求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，且的值和的取值无关， ∴，． ∴，． ∴． 题型9：整式加减的实际应用 例1．如图，在一个矩形（其边长不变）公园中划出两个矩形草地（阴影部分），若的长固定不变，两个阴影部分的面积之和为，周长之和为，则下列说法正确的是（   ） A．和均不变 B．只有不变 C．只有不变 D．和均会变 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，解题的关键是理解题意，设矩形公园的长为b、宽为a，，得出两阴影部分的周长和为：，设图中两个阴影部分的面积为，，长分别为m、n，将向下平移个单位长度后，两阴影面积和：，说明只有当时，为定值． 【详解】解：根据题意可知：矩形公园的长和宽为定值，如图，设矩形公园的长为b、宽为a，， 利用线段的平移可知，两阴影部分的周长和为：， ∵的长固定不变， ∴为定值， 设图中两个阴影部分的面积为，，长分别为m、n，则： ， 将向下平移个单位长度后，两阴影面积和： ， ∴只有当时，为定值， 综上分析可知：只有不变， 故选：C． 例2．【阅读与理解】能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数．偶数可以用表示，奇数可以用表示，其中n为整数． 我们可以用说理的方法说明任意一个偶数与一个奇数的和为奇数，解答过程如下： 解：设任意一个偶数为，一个奇数为，其中m，n为整数， 则它们的和为． 因为m，n为整数，所以为整数． 所以为奇数，即任意一个偶数与一个奇数的和为奇数． 【迁移与应用】仿照上面的方法，试说明三个连续奇数的和为奇数，且能被3整除． 【分析】本题考查了用字母表示数，整式的加减．用字母表示三个连续奇数，求和即可求解． 【详解】解：设三个连续奇数分别为，，，其中n是整数， 它们的和为：， 由于是整数，所以三个连续奇数的和是3的倍数，即能被3整除， 同时，由于是奇数，所以三个连续奇数的和也是奇数． 因此，三个连续奇数的和为奇数，且能被3整除． 变式1．左图是2025年1月份的日历，用右图所示的“九方格”框住左图中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为a，b，c，d．则代数式的值是（   ） A． B．2 C． D．不确定 【分析】本题考查了整式的加减的应用，数字规律，设正中间的数字为，则可利用日历表示出，再代入求值即可，正确理解日历中的数字规律是解题的关键． 【详解】解：设右图所示的“九方格”中正中间的数字为， 则， 则代数式， 故选：B． 变式2．综合与实践 在小学，我们知道像12，27，36，45，108，……这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形． 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，，则通常记这个两位数为．于是． 显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． (1)一个三位数6□4的十位数字未知，请从2、6、7中找出“□”中合适的取值，使得这个三位数能被3整除，“□”可能等于_________； (2)请你用类似的方法模拟划线部分说明三位数能被3整除的道理； (3)证明：三个连续的正整数之和能被3整除． 【分析】本题主要考查了整式的加减和数的整除，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）将2、6、7中代入“□”中计算即可求解； （2）类比题干可知，即可求解； （3）设三个连续的正整数为，，（为正整数，且），计算，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴“□”等于2， 故答案为：2； （2）， 显然能被3整除，因此，如果能被3整除， 那么就能被3整除 ，即能被3整除． （3）证明：设三个连续的正整数为，，（为正整数，且） ∵ ， 又∵为正整数，且 ∴能被3整除， 即：三个连续的正整数之和能被3整除． 变式3．7张如图1所示的长为，宽为的小长方形纸片，按如图2、3所示的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示． (1)如图2所示，点在同一直线上，点在同一直线上，右下角与左上角的阴影部分面积的差为______．（用含的代数式表示） (2)如图3所示，点在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为． ①长度为______（用的代数式表示） ②当的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，那么a的值为多少？ 【分析】本题主要考查整式的混合运算的应用，根据题意列出整式，熟练掌握整式的混合运算法则是关键． （1）先分别表示出阴影部分的长和宽，进而分别表示出阴影的面积，然后作差求解即可； （2）①根据即可求解； ②先求出，进而即可得到结论． 【详解】（1）解：记左上角阴影部分的面积为，右下角阴影部分的面积为， 左上角阴影部分长方形的长为4，宽为3， ， 右下角阴影部分长方形的长为a，宽为， ， ， 故答案为：； （2）解：①； 故答案为：； ②：右下角与左上角的阴影部分的面积的差为， ∵当的长度变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变， ∴当的值变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变， ． 课后作业 一、单选题 1．（23-24七年级上·四川乐山·期末）下面计算正确的是（       ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据合并同类项的结果，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）下列各组中的两项，属于同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【分析】本题考查了同类项的定义，根据同类项的定义逐一判断即可，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类项，故选项不符合题意； B、与是同类项，故选项符合题意； C、与不是同类项，故选项不符合题意； D、与不是同类项，故选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形的盒子底部，按图2和图3两种方式摆放，若长方体盒子底部的长与宽的差为3，则图2和图3中阴影部分周长之差为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，通过观察图形，用含有a、 b的代数式的表示出盒子底部长方形的长和宽是解题的关键．分别表示出图2中阴影部分的周长和图3中阴影部分的周长，然后相减即可． 【详解】由图3知，长方体盒子底部的长为，宽为， ∴， ∴图2中阴影部分的周长为， 图3中阴影部分的周长为， ∴． ∴图2和图3中阴影部分周长之差为． 故选B． 4．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）若关于，的多项式不含项，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【分析】根据不含项即含项的系数为0，据此求解即可， 本题考查了整式加减中的无关型问题，根据在多项式中不含哪一项，则哪一项的系数为0，由此建立方程，解方程即可求得待定系数的值． 【详解】解：依题意， ∵关于，的多项式不含项， ∴， ∴， 故选B． 5．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）已知，，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了整式的加减，代数式求值，解题的关键关键将整式变形为含有所给数值的代数式及整体思想的应用． 先由等式变形为，再将，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式 ， 故选：． 6．（24-25七年级上·河南安阳·阶段练习）若，，则A与的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【分析】本题主要考查整式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．用即可比较大小． 【详解】解：， ． 故选A． 7．（24-25七年级上·四川成都·期末）下列各式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查的是合并同类项，去括号和添括号，掌握其运算法则是解决此题的关键． 根据合并同类项，去括号和添括号的法则计算即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B 8．（24-25七年级上·重庆·期末）把5张完全相同的长方形纸片不重叠地放在正方形内，用阴影部分表示，若长方形与长方形周长相等，记长方形周长为，长方形周长为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用；解题的关键是正确表示出与的周长．设小长方形纸片的长为a，宽为b，再分别表示与的周长，结合的周长与的周长相等及，再进一步解答即可． 【详解】解：设小长方形纸片的长为a，宽为b， 的周长为：， 的周长为：， 的周长为：， ∵的周长与的周长相等， ，而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ； 故选：A． 9．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）若单项式与是同类项，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 【分析】本题考查根据同类项，求参数的值，根据字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故选：C． 10．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，则所捂住的多项式为（ ） A． B． C． D． 【分析】本题考查整式的加减，根据图可知，所捂的多项式为：，然后计算即可． 【详解】解：由图可得， 所捂的多项式为： ， 故选：C． 二、填空题 11．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知，则 ． 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，根据整式的加减计算法则列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如果单项式与是同类项，那么 ． 【分析】本题主要考查同类项的定义，二元一次方程组的计算，掌握同类项的定义并列式求解是关键． 同类项：字母相同，相同字母的指数也相同，由此列式求解即可． 【详解】解：单项式与是同类项， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知和的和是单项式，x与y互为相反数（），c与d互为倒数，则 ． 【分析】本题考查同类项的判断，相反数和倒数的定义，代数式求值．根据同类项的判断，求得m、n的值，由相反数的定义得出，由倒数的定义得出，即可求解． 【详解】解：∵和的和是单项式， ∴，， 解得，， ∵x与y互为相反数， ∴， ∴， ∵c与d互为倒数， ∴， ∴， 故答案为：11． 14．（24-25七年级上·重庆·期中）若多项式中不含项，则 ． 【分析】本题考查了整式的加减，先合并同类项，根据题意令项的系数为，即可求解． 【详解】解： 依题意， 解得： 故答案为：． 15．（24-25七年级上·广东湛江·期中）已知关于的多项式化简后不含项，则的值是 【分析】本题主要考查的是整式加减中的无关型问题，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键． 先合并同类项，再根据题意列出方程，解方程即可得出结果． 【详解】解： ， 由题意得：， 解得： 故答案为：2． 16．（24-25七年级上·河南信阳·期末）写出一个单项式，使它与多项式的和为单项式： ． 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 根据整式加减的运算，结合单项式的定义，即可得到结果． 【详解】解：， ， ， 运算结果为单项式， 写出的这个单项式为， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·广东揭阳·期末）若关于x，y的单项式与的差仍为单项式，则 ． 【分析】本题考查同类项的判断，合并同类项，代数式求值，掌握同类项的定义是解答本题的关键． 由题意可得单项式与是同类项，即可得出，，解出m、n的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵单项式与的差仍为单项式， ∴单项式与是同类项， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：1． 18．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如果多项式A减去，再加上后得，则A为 ． 【分析】本题考查整式的加减，根据整式的加减计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为： 19．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）对整式A，B定义新运算“#”和“※”∶，；(n是正整数，特别地，)．若， （1） ； （2）若的计算结果中的系数大于100，则n至少是 ． 【分析】本题考查了定义新运算、整式加减的应用，理解新定义是解题的关键． （1）利用定义新运算计算即可； （2）按照定义新运算分别计算，，……，再判断计算结果中的系数是否大于100，即可得出结论． 【详解】解：（1）由题意得，． 故答案为：； （2）由（1）得，， ， ， ， 若的计算结果中的系数大于100，n至少是4． 故答案为：4． 20．（2024·广东河源·一模）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A、B、C、D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形C的边长为，正方形D的边长为，则图2中阴影部分的周长与正方形A的周长之比为 ． 【分析】本题主要考查代数式的化简及求值，整式的混合运算的应用，解本题的关键在于结合图形正确列出代数式． 根据题意表示出正方形A、B的边长，长方形E的长和宽，通过图1的周长得到x、y的关系，在表示出阴影部分的周长求解即可得出结论． 【详解】解：长方形E的宽为， 正方形A的边长为， 正方形B的边长为， 长方形E的长为， ∴， ∴， 如图2： 由题意得： ， ∴， ∴阴影部分的周长 ． 正方形的周长． ． 故答案为：． 三、解答题 21. 计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式       解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 22．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【分析】此题主要考查整式的加减——化简求值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解题的关键；先去括号，合并同类项后，再代入x的值即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 23．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，再把，代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 24．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将整式化简得到，再将代入计算即可． 【详解】解：， 当时，原式． 25．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）先化简再求值：，其中，． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式， 故答案为；． 26．（24-25七年级上·天津宁河·期末）（1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【分析】本题考查整式的加减化简求值，解题的关键是掌握去括号，合并同类项法则，把所求式子化简． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项把所求式子化简，再将x，y的值代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） = ； 当，时， 原式 27．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）化简并求值：已知，，．当，时，求的值． 【分析】本题考查了整式的加减，整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意得到，将，代入计算即可得到答案． 【详解】解： ，，， ， 当，时， ． 28．（24-25七年级上·山东潍坊·阶段练习）（1）先化简，再求值：，其中与互为相反数． （2）若关于、的多项式不含二次项，求的值． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负性的性质求出x、y的值，最后代值计算即可得到答案； （2）先把原多项式合并同类项，再根据不含二次项，即二次项的系数为0求出m、n的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ， ∵与互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴原式； （2） ， ∵关于、的多项式不含二次项， ∴， ∴， ∴． 29．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）某位同学做一道题：已知两个多项式，求的值．他误将看成，求得结果为，已知． (1)求多项式； (2)求的值，其中． 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式加减运算的运算方法是解题关键 ． （1）根据题意可知，再减去即可求出的式子； （2）利用先去括号再合并同类项的方法计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，， ； （2），， ， 当时， 原式． 30．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）已知代数式：，． (1)求的表达式； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【分析】本题考查了整式的加减、整式的加减—无关题型，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题意列式并结合整式的加减的运算法则计算即可得解； （2）由（1）可得，结合题意得出，代入计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴， ∴． 31．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知， ， ． (1)求； (2)求，当时，比较与的大小，写出简单的过程． 【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握整式的加减，分情况讨论a的大小． （1）根据整式的加减运算即可求解； （2）先求出的值，然后讨论的大小即可得出答案； 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ， 当时，，；． 当时，，； 当时，，． 32．（24-25七年级上·四川成都·期中）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)求的值； (2)若关于的多项式，且中不含一次项，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 【分析】本题考查了整式的加减运算，新定义，多项式的项，有理数的混合运算，读懂题目信息，理解新定义，掌握整式的加减运算法则，有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）把相应的值代入，利用新定义的运算求解，再结合条件即可求解； （3）把相应的值代入，利用新定义的运算分别求出，，再比较大小即可． 【详解】（1）解： 3☆ ； （2）（2） ， 中不含一次项， ， ； （3）∵，，（其中为有理数） ，， ， ． 33．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）定义一种新运算“◎”：，比如． (1)求的值； (2)求． 【分析】本题考查了新定义运算，整式的加减，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义运算列出算式，去括号合并同类项即可 【详解】（1）解：， ； （2） ． 34．（24-25七年级上·广东深圳·期中）某小区的一块长方形绿地的造型如图所示（单位：m），其中两个扇形表示绿地，两块绿地用五彩石隔开． (1)绿地的面积为_____平方米；（用含有a，b，π的式子表示） (2)若， ①若铺设五彩石费用为每平方米160元，种草的费用为每平方米80元，则美化这块长方形区域共需多少元？（用含有a，π的式子表示） ②若要求绿地面积大于这块地总面积的，试问该设计方案是否合乎要求？请说明理由． 【分析】本题考查了列代数式，根据各数量之间的关系，用含，的代数式表示出各区域的面积是解题的关键． （1）将两个扇形的面积相加，即可用含有，，的式子表示出绿地的面积； （2）代入，用含有，的式子表示出绿地的面积． ①利用美化这块长方形区域所需费用铺设每平方米五彩石所需费用（这块地的总面积绿地的面积）种每平方米草所需费用绿地面积，即可用含有，的式子表示出美化这块长方形区域所需费用； ②求出这块地总面积的，将其与绿地面积比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：绿地的面积为（平方米）． 故答案为：； （2）解：当时，． ①根据题意得： （元， 美化这块长方形区域共需元； ②该设计方案合乎要求，理由如下： 这块地总面积的是（平方米）． ， 该设计方案合乎要求． 35．（24-25七年级上·北京·期中）观察下列日历中“阶梯框”中的数字规律，回答问题． (1)若像这样在任意一个日历中用“阶梯框”圈出6个数，请根据规律补全“阶梯框”； (2)请通过列式说明日历中“阶梯框”中的数字之和一定是3的倍数； (3)在（1）的条件下， a 可能等于7或26吗？请说明理由． 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，倍数，整式得加减，掌握数字变化类的规律是解题的关键． （1）根据日历中“阶梯框”中的数字规律即可解答； （2）将6个数相加即可解答； （3）根据（1）中阶梯框中的数字规律可得，时， ，日期数字中不可能出现0；当时，，日期数字中不可能； 【详解】（1）解：如图所示： a （2） 所以日历中"阶梯框"中的数字之和一定是3的倍数； （3）不可能，根据（1）中阶梯框中的数字规律可得，当 时， ，日期数字中不可能出现0；当时，，时， ，日期数字中不可能出现0；当时，，日期数字中不可能出现32． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 整式的加减 02讲 整式的加法与减法 目录 【知识点1. （合并）同类项】……………………………………………………… 1 【知识点2. 去（添）括号法则】…………………………………………………… 3 【知识点3. 整式加减的运算法则】………………………………………………… 4 【题型1. 同类项的辨析】…………………………………………………………… 5 【题型2. 合并同类项】……………………………………………………………… 6 【题型3. 同类项求参问题】………………………………………………………… 6 【题型4. 去括号、添括号】………………………………………………………… 7 【题型5. 整式的加减运算】………………………………………………………… 8 【题型6. 整式比较大小】…………………………………………………………… 9 【题型7. 整式加减中的化简求值】………………………………………………… 10 【题型8. 整式加减中的无关型问题】……………………………………………… 11 【题型9. 整式加减中的实际应用】………………………………………………… 12 【课后作业】…………………………………………………………………………… 16 知识清单 1、同类项 1）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项（即仅系数不同或系数也相同的项）。几个常数项也是同类项。 例：5abc2与3abc2 3abc与3abc。 判断同类项需要同时满足2个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数相同 2）合并同类项：将多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项； 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变。 3）同类项合并的计算方法：系数对应向加减，字母及指数不变。 通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列。 如多项式，按字母a升幂排列可写成； 按字母a降幂排列可写成； 按字母b升幂排列可写成； 按字母b降幂排列可写成； 上述多项式都是同一个多项式，只是项的顺序不同。 巩固基础 1．下列各组式子中为同类项的是（   ） A．x与y B．与 C．与 D．与 2．下列各组中不是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．把按字母y的升幂排列后，其中的第2项是（   ） A． B． C． D． 4．写出一个与是同类项的单项式： ． 5．多项式中， 与 是同类项； 与 是同类项． 6．把多项式按x的降幂排列: ． 7．将多项式按字母m升幂排序： ． 8. 合并同类项 知识清单 2、去（添）括号法则 1）括号前是“+”，去括号后，括号内的符号不变 2）括号前是“－”，去括号后，括号内的符号全部要变号。 3）括号前有系数的，去括号后，括号内所有因素都要乘此系数。 注意：去多重括号，可以先去大括号，在去中括号，后去小括号；也可以先从最内层开始，先去小括号，在去中括号，最后去大括号。可依据简易程度，选择合适顺序。 巩固基础 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列去括号或添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 3．去括号： ． 4．化简： ． 5．化简的结果是 ． 6．去括号填空： ． 7．计算：（ ）． 8．添括号：（ ）． 9．计算 ． 10. 化简：= . 知识清单 3、整式加减的运算法则 几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项，具体步骤为： ① 将同类项找出，并放一起； ② 合并同类项。 注意：（1）当括号前面有数字因数时，应先利用乘法分配律计算，然后再去括号，注意不要漏乘括号内的任一项。 （2）合并同类项时，只能把同类项合并，不是同类项的不能合并，合并同类项实际上就是有理数的加减运算。合并同类项要完全、彻底，不能漏项。 巩固基础 1. 计算 直击考点 题型1：同类项的辨析 例1．下列单项式中，与单项式是同类项的是（   ） A． B． C． D． 变式1．下列各组式子中是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 变式2．下列各组整式中不是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型2：合并同类项 1. 计算 题型3：同类项求参问题 例1．若关于x，y的单项式与的和是单项式，则（   ） A． B．81 C． D．64 例2．若与是同类项，则 ， ． 例3．已知与是关于x、y的单项式，且它们是同类项． (1)求a的值； (2)若，且，求的值． 变式1．若与是同类项，则 的值是(    ) A． B． C． D． 变式2．如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则 ． 变式3．如果两个关于、的单项式与是同类项（其中）． (1)求的值； (2)如果这两个单项式的和为零，求的值． 题型4：去括号、添括号 例1．下列去括号结果正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．计算： ． 变式1．下列各式左右两边相等的是（    ） A． B． C． D． 变式2．下列去括号或添括号的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 变式3．化简等于 ． 变式4．添括号（填空）： （1）（ ）； （2）（ ）； （3）（ ）． 题型5：整式的加减运算 1. 计算 题型6：整式比较大小 例1．若，，则A与B的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 例2．【阅读】同学们，我们知道数可以比较大小，比如，那么两个代数式可以比较大小吗？ 例如：比较与的大小，我们可以这样做： 因为， 又因为， 所以． 【尝试】比较代数式与的大小，说明理由． 变式1．若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 变式2．已知：， (1)求； (2)比较与的大小，并说明理由． 题型7：整式加减中的化简求值 例1．先化简，再求值．，其中 例2．先化简，再求值：，其中x、y满足． 变式1．先化简，再求值：，其中． 变式2．化简求值：，其中， 变式3．先化简，再求值： (1)，其中与互为相反数； (2)已知，求的值． 题型8：整式加减中的无关型问题 例1．多项式中不含项，则a的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 例2．已知，且的值与x的取值无关．若，则A的值是（　　） A．2 B．3 C．10 D．6 例3．已知代数式，． (1)求的值； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 变式1．已知关于的多项式不含三次项和一次项，则的结果为（    ） A．1 B．0 C． D． 变式2．若代数式的值与的取值无关，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式3．【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 题型9：整式加减的实际应用 例1．如图，在一个矩形（其边长不变）公园中划出两个矩形草地（阴影部分），若的长固定不变，两个阴影部分的面积之和为，周长之和为，则下列说法正确的是（   ） A．和均不变 B．只有不变 C．只有不变 D．和均会变 例2．【阅读与理解】能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数．偶数可以用表示，奇数可以用表示，其中n为整数． 我们可以用说理的方法说明任意一个偶数与一个奇数的和为奇数，解答过程如下： 解：设任意一个偶数为，一个奇数为，其中m，n为整数， 则它们的和为． 因为m，n为整数，所以为整数． 所以为奇数，即任意一个偶数与一个奇数的和为奇数． 【迁移与应用】仿照上面的方法，试说明三个连续奇数的和为奇数，且能被3整除． 变式1．左图是2025年1月份的日历，用右图所示的“九方格”框住左图中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为a，b，c，d．则代数式的值是（   ） A． B．2 C． D．不确定 变式2．综合与实践 在小学，我们知道像12，27，36，45，108，……这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形． 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，，则通常记这个两位数为．于是． 显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． (1)一个三位数6□4的十位数字未知，请从2、6、7中找出“□”中合适的取值，使得这个三位数能被3整除，“□”可能等于_________； (2)请你用类似的方法模拟划线部分说明三位数能被3整除的道理； (3)证明：三个连续的正整数之和能被3整除． 变式3．7张如图1所示的长为，宽为的小长方形纸片，按如图2、3所示的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示． (1)如图2所示，点在同一直线上，点在同一直线上，右下角与左上角的阴影部分面积的差为______．（用含的代数式表示） (2)如图3所示，点在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为． ①长度为______（用的代数式表示） ②当的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，那么a的值为多少？ 课后作业 一、单选题 1．（23-24七年级上·四川乐山·期末）下面计算正确的是（       ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）下列各组中的两项，属于同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形的盒子底部，按图2和图3两种方式摆放，若长方体盒子底部的长与宽的差为3，则图2和图3中阴影部分周长之差为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）若关于，的多项式不含项，则k的值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）已知，，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·河南安阳·阶段练习）若，，则A与的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 7．（24-25七年级上·四川成都·期末）下列各式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·重庆·期末）把5张完全相同的长方形纸片不重叠地放在正方形内，用阴影部分表示，若长方形与长方形周长相等，记长方形周长为，长方形周长为，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）若单项式与是同类项，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 10．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，则所捂住的多项式为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知，则 ． 12．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如果单项式与是同类项，那么 ． 13．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知和的和是单项式，x与y互为相反数（），c与d互为倒数，则 ． 14．（24-25七年级上·重庆·期中）若多项式中不含项，则 ． 15．（24-25七年级上·广东湛江·期中）已知关于的多项式化简后不含项，则的值是 16．（24-25七年级上·河南信阳·期末）写出一个单项式，使它与多项式的和为单项式： ． 17．（24-25七年级上·广东揭阳·期末）若关于x，y的单项式与的差仍为单项式，则 ． 18．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如果多项式A减去，再加上后得，则A为 ． 19．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）对整式A，B定义新运算“#”和“※”∶，；(n是正整数，特别地，)．若， （1） ； （2）若的计算结果中的系数大于100，则n至少是 ． 20．（2024·广东河源·一模）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A、B、C、D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形C的边长为，正方形D的边长为，则图2中阴影部分的周长与正方形A的周长之比为 ． 三、解答题 21. 计算 22．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 23．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 24．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 25．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）先化简再求值：，其中，． 26．（24-25七年级上·天津宁河·期末）（1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中，． 27．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）化简并求值：已知，，．当，时，求的值． 28．（24-25七年级上·山东潍坊·阶段练习）（1）先化简，再求值：，其中与互为相反数． （2）若关于、的多项式不含二次项，求的值． 29．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）某位同学做一道题：已知两个多项式，求的值．他误将看成，求得结果为，已知． (1)求多项式； (2)求的值，其中． 30．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）已知代数式：，． (1)求的表达式； (2)若的值与的取值无关，求的值． 31．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知， ， ． (1)求； (2)求，当时，比较与的大小，写出简单的过程． 32．（24-25七年级上·四川成都·期中）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)求的值； (2)若关于的多项式，且中不含一次项，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 33．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）定义一种新运算“◎”：，比如． (1)求的值； (2)求． 34．（24-25七年级上·广东深圳·期中）某小区的一块长方形绿地的造型如图所示（单位：m），其中两个扇形表示绿地，两块绿地用五彩石隔开． (1)绿地的面积为_____平方米；（用含有a，b，π的式子表示） (2)若， ①若铺设五彩石费用为每平方米160元，种草的费用为每平方米80元，则美化这块长方形区域共需多少元？（用含有a，π的式子表示） ②若要求绿地面积大于这块地总面积的，试问该设计方案是否合乎要求？请说明理由． 35．（24-25七年级上·北京·期中）观察下列日历中“阶梯框”中的数字规律，回答问题． (1)若像这样在任意一个日历中用“阶梯框”圈出6个数，请根据规律补全“阶梯框”； (2)请通过列式说明日历中“阶梯框”中的数字之和一定是3的倍数； (3)在（1）的条件下， a 可能等于7或26吗？请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$