【第四章 整式的加减 01讲 整式】暑假小升初衔接讲义2025-2026学年七年级上册数学（新版人教版专用）

第四章 整式的加减 01讲 整式 目录 【知识点1. 单项式】………………………………………………………………… 1 【知识点2. 多项式】………………………………………………………………… 2 【知识点3. 整式的概念】…………………………………………………………… 3 【题型1. 单项式的概念】…………………………………………………………… 4 【题型2. 单项式的系数、次数】…………………………………………………… 4 【题型3. 多项式的概念】…………………………………………………………… 5 【题型4. 多项式的项、项数和次数】……………………………………………… 5 【题型5. 整式的概念】……………………………………………………………… 6 【题型6. 写出满足特征的单项式或多项式】……………………………………… 6 【题型7. 单项式、多项式求参问题】……………………………………………… 6 【课后作业】…………………………………………………………………………… 8 知识清单 1、单项式 1）单项式的概念：数或字母的积（单独的一个数或一个字母也是单项式）。例：5x；100；x；10ab等。 注：分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式。例：不是单项式。 2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。例：的系数为。 注：单项式的系数是1或－1时，通常省略不写，如的系数是1，－的系数是－1。 3）单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和。例： 的次数为3次。 注：如果一个单项式的次数是n，那么称这个单项式是n次单项式。如92t的次数是1，它是一次单项式；的次数是3，它是三次单项式 对于一个非零的数，规定它的次数为0. 巩固基础 1．代数式，，，，，中，单项式的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 2．下列代数式单项式有（    ）个 （1） （2）  （3）  （4）  （5）  （6） A．1个 B．2个 C．5个 D．4个 3．在下列说法中，正确的是（   ） A．单项式次数是10 B． 不是单项式 C．是三次二项式 D．单项式的系数是 4．下列说法正确的有（　　） ①的系数是；②不是单项式；③是多项式；④次数是3次；⑤的次数是3次；⑥是代数式但不是整式． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．单项式的次数是 ． 6．单项式的系数是 ． 7．单项式的系数为 ，次数为 ． 知识清单 2、多项式 1）多项式：几个单项式的和。 2）项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式。 3）常数项：不含字母的项。 4）多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数。（最高次数是n次，就叫做n次式）。 巩固基础 1．下列各式中是多项式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子：，，，，，，，．其中是多项式的有（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 3．下列说法正确的是（   ） A．的系数是0 B．的一次项系数是1 C．单项式的系数是，次数是6 D．是四次三项式 4．多项式是 次 项式． 5．多项式的最高次项是 ． 6．多项式每项的系数和是 ． 知识清单 3、整式的概念 整式：单项式与多项式统称为整式。 注：①多项式是由多个单项式构成的； ②单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算； ③分母中含有字母的式子不是整式（故不是单项式或多项式） 巩固基础 1．下列各式，，，，，0，整式有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 2．下列说法中正确的是（   ） A．不是单项式 B．单项式的系数是 C．是四次三项式 D．代数式都是整式 3．下列说法：①的系数是；②多项式是二次三项式；③的常数项为；④在，，，，中，整式有个．其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．下列式子：，，，，，，，其中属于单项式的是 ，属于多项式的是 ，属于整式的是 ． 直击考点 题型1：单项式的概念 例1．下列代数式，，，，0，中，单项式的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式1．在这五个代数式中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．在代数式，，，，0，，中，单项式的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型2：单项式的系数、次数 例1．单项式的系数和次数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 例2．单项式的次数是 ． 变式1．单项式的系数和次数分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 变式2．单项式的系数是 ，次数是 ． 变式3．单项式的次数是 ． 题型3：多项式的概念 例1．下列式子：，，，，，，，．其中是多项式的有（   ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 例2．下列说法正确的是（   ） A．没有系数，次数是 B．不是单项式，也不是整式 C．是多项式 D．是三次二项式 变式1．下列式子：①；②0；③；④；⑤；⑥，多项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．下列判断中正确的是（ ） A．是多项式 B．都是单项式 C．是一次多项式，项数为 D．单项式的次数是 题型4：多项式的项、项数和次数 例1．是 次 项式． 变式1．多项式的二次项系数是 ． 变式2．多项式的最高次项是 ． 变式3．多项式的项数和次数之积为 ． 题型5：整式的概念 例1．在代数式；；；；；中整式的个数有（      ）个． A． B． C． D． 例2．下列说法错误的是（    ） A．代数式，，都是整式 B．单项式的系数是，次数是2 C．多项式的项是， D．多项式是二次三项式 变式1．在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥中，整式是（　　） A．⑥ B．①②⑥ C．①②③④ D．①②③⑥ 变式2．下列说法中，不正确的是（　　　） A．的系数是，次数是 B．是整式 C．是二次二项式 D．的项是，， 题型6：写出满足特征的单项式或多项式 例1．请你写出一个单项式，使它的系数为负数，次数为3： ． 例2．①只含有字母x和y；②每一项的次数都是2；③按字母x的升幂排列．请写出一个同时满足上述条件的二次三项式： ． 变式1．一个单项式满足下列两个条件：（1）含有两个字母；（2）次数是3，系数是．请你写出符合上述条件的一个单项式 ． 变式2．任意写出一个含有字母m，n的三次四项式，其中最高次项的系数为6，常数项为-8的式子为 ． 题型7：单项式、多项式求参问题 例1．若单项式的次数是8，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例2．已知是关于的四次单项式，则的值是 ． 例3．已知关于，的三次单项式，求的值． 变式1．如果多项式是关于，的五次三项式，则的值为（   ） A． B．0 C． D．1 变式2．若多项式是关于的三次多项式，则多项式的值为 ． 变式3．对于多项式（其中是大于的整数）． (1)若，且该多项式是关于的三次三项式，求的值； (2)若该多项式是关于的五次三项式，则、要满足什么条件？ 变式4. 已知多项式是五次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求，的值； (2)求该多项式的各项的系数之和． 课后作业 一、单选题 1．（24-25七年级上·广西南宁·期中）单项式的系数、次数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）下列说法正确的是（   ） A．单项式的次数是4 B．单项式的系数是 C．是整式 D．是四次三项式 3．（24-25七年级上·重庆·期中）下列说法中正确的是（   ） A．多项式是一个三次四项式 B．单项式与的次数相同 C．多项式中的二次项的系数是4 D．单项式的系数是，次数是4 4．（24-25七年级上·河南商丘·期中）多项式是关于的二次三项式，则取值为（   ） A．0 B．4 C．4或0 D．-4或1 5．（23-24七年级上·河南信阳·期末）下列说法：①的系数是2；②多项式是二次三项式；③的常数项为2；④在，，，，0中，整式有3个．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25九年级上·云南昭通·期末）按照一定规律排列的单项式：，，，，，按照上述规律，第2024个单项式是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）在多项式中，二次项的系数是（   ） A． B． C． D．3 8．（23-24七年级上·云南昆明·期中）代数式，，，，中，多项式的个数是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·河南郑州·期中）如图所示，在这个运算程序中，若开始输入x的值为2，结果输出的是1，返回进行第2次运算，结果输出的是，……则第2024次输出的结果是（    ） A． B．3 C． D．8 10．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形，，按照此规律排列下去，第50个图中三角形的个数是（   ） A．149 B．150 C．151 D．152 二、填空题 11．（24-25七年级上·甘肃陇南·阶段练习）若多项式是关于，的四次多项式，则 ． 12．（24-25六年级上·山东威海·阶段练习）下列说法中：①是五次单项式；②单项式的系数是，次数5；③是四次三项式；④是二次二项式；⑤各项次数都是5的关于a，b的多项式最多有六项．其中正确的序号为 ． 13．（24-25七年级上·四川南充·期中）单项式与的次数相同，则 ． 14．（23-24七年级上·西藏拉萨·期末）如果关于的多项式中不含一次项，那么 ． 15．（24-25七年级上·山西长治·期末）若关于的多项式●的各项系数之和是7，则“●”代表的数是 ． 16．（24-25七年级上·重庆·期中）观察一列单项式的特点：，，，，，…，它们是按照一定规律排列的，那么请推断出第9个单项式为 ． 17．（24-25七年级上·福建厦门·期末）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了（，2，3，4，……）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）． 　　　1    1                    　　1    2      1               　1    3     3      1           1    4    6      4     1         ………… 请根据规律，写出的展开式中含项的系数是 ． 三、解答题 18．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）已知是多项式的次数，和分别是单项式的系数和次数，是数轴上到原点距离为1的数，求的值． 19．（24-25七年级上·河南濮阳·期中）下列哪些是单项式，哪些是多项式？，0，，，，，， 单项式{                                 } 多项式{                                 } 20．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）已知关于x的多项式不含项和项，求的值． 21．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）已知多项式，m是该多项式的次数，n是四次项系数的倒数，求的值． 22．（24-25七年级上·河南新乡·期中）已知关于，，的代数式 为五次二项式，求，的值． 23．（24-25七年级上·北京·期中）已知关于的二次多项式． (1)直接写出的值； (2)若当时，该多项式的值是2，求的值．（其中表示不超过的最大整数，例如．） 24．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）已知整式． (1)若该整式的次数是1，求a的值并写出常数项； (2)若该整式的常数项是0，求的值． 25．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）观察下列单项式： 第1个单项式：． 第2个单项式：． 第3个单项式：． 第4个单项式：． …… (1)第5个单项式为______． (2)第n个单项式为______（用含有n的式子表示）． (3)前3个（第1个到第3个）单项式中字母a，b的所有指数之和为，求前10个（第1个到第10个）单项式中字母a，b的所有指数之和． 26．（24-25七年级上·山西朔州·阶段练习）已知多项式是五次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求，的值． (2)求该多项式的各项的系数之和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 整式的加减 01讲 整式 知识清单 1、单项式 1）单项式的概念：数或字母的积（单独的一个数或一个字母也是单项式）。例：5x；100；x；10ab等。 注：分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式。例：不是单项式。 2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。例：的系数为。 注：单项式的系数是1或－1时，通常省略不写，如的系数是1，－的系数是－1。 3）单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和。例： 的次数为3次。 注：如果一个单项式的次数是n，那么称这个单项式是n次单项式。如92t的次数是1，它是一次单项式；的次数是3，它是三次单项式 对于一个非零的数，规定它的次数为0. 巩固基础 1．代数式，，，，，中，单项式的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】本题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式．根据单项式的概念找出单项式的个数． 【详解】解：代数式，，，，，中， 单项式有：，，，共个． 故选：A． 2．下列代数式单项式有（    ）个 （1） （2）  （3）  （4）  （5）  （6） A．1个 B．2个 C．5个 D．4个 【分析】根据单项式的定义进行判断即可．本题主要考查了单项式的定义，解题的关键是熟练掌握单项式的定义，由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单个的字或数字也是单项式． 【详解】解：单项式有（1） （2） （4） （5） （6），共5个． 故选：C． 3．在下列说法中，正确的是（   ） A．单项式次数是10 B． 不是单项式 C．是三次二项式 D．单项式的系数是 【分析】本题考查了整式的相关概念，单项式和多项式，单项式的系数和次数，多项式的项，解题的关键是正确理解整式相关的定义．按照单项式和多项式定义，及单项式的系数、次数，多项式的项定义回答即可． 【详解】解：A．单项式次数是7，故此选项错误； B．不是整式，所以不是单项式，故此选项正确； C．是三次三项式，故此选项错误； D．单项式的系数是，故此选项错误； 故选：B 4．下列说法正确的有（　　） ①的系数是；②不是单项式；③是多项式；④次数是3次；⑤的次数是3次；⑥是代数式但不是整式． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】本题主要考查单项式、多项式、整式及代数式的概念，正确理解单项式、多项式、整式及代数式的概念是解题的关键．根据单项式、多项式、整式及代数式的概念可直接进行排除选项． 【详解】解：的系数为，故①错误； 是单项式，故②错误； 是多项式，故③正确； 次数是3次，故④正确； 的次数是2次，故⑤错误； 是代数式但不是整式，故⑥正确； 所以正确的有③④⑥，共3个． 故选：B． 5．单项式的次数是 ． 【分析】此题主要考查了单项式的次数，直接利用单项式次数的定义，各字母的指数和，即可求解． 【详解】解：单项式的次数为：， 故答案为：3． 6．单项式的系数是 ． 【分析】此题主要考查了单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数．利用单项式系数定义进行解答即可． 【详解】解：∵单项式的数字因数是， ∴此单项式的系数是． 故答案为：． 7．单项式的系数为 ，次数为 ． 【分析】本题主要考查了单项式的系数和次数，理解单项式的系数和次数的定义是解题关键．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．根据单项式的系数和次数的定义解答即可． 【详解】解：单项式的系数为，次数为3． 故答案为：，3． 知识清单 2、多项式 1）多项式：几个单项式的和。 2）项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式。 3）常数项：不含字母的项。 4）多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数。（最高次数是n次，就叫做n次式）。 巩固基础 1．下列各式中是多项式的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查多项式，根据多项式的定义解决此题．根据“数与字母的积是单项式”与“几个单项式的和叫做多项式”找出其中的多项式即可． 【详解】解：A．根据多项式的定义，是单项式，不是多项式，故A不符合题意． B．根据多项式的定义，是单项式，不是多项式，故B不符合题意． C．根据多项式的定义，是单项式，不是多项式，故C不符合题意． D．根据多项式的定义，是多项式，故D符合题意． 故选：D． 2．下列式子：，，，，，，，．其中是多项式的有（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【分析】本题考查了多项式的知识，几个单项式的和叫做多项式，结合各式进行判断即可． 【详解】解：下列式子：，，，，，，，．其中，，，是多项式，共4个． 故选B． 3．下列说法正确的是（   ） A．的系数是0 B．的一次项系数是1 C．单项式的系数是，次数是6 D．是四次三项式 【分析】本题考查了单项式的系数、次数，多项式的项、项数或次数，根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数等相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、的系数是1，故该选项不符合题意； B、的一次项系数是，故该选项不符合题意； C、单项式的系数是，次数是6，故该选项符合题意； D、是二次三项式，故该选项不符合题意； 故选：C 4．将多项式按y的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查多项式的次数，理解和掌握多项式的次数是解题的关键． 先判断每一项的次数，再把y按从低次到高次排列得出答案即可，排列时带着系数及符号． 【详解】解：多项式按y的升幂排列为：， 故选：A． 5．多项式是 次 项式． 【分析】本题考查了多项式的相关概念，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数．根据多项式的次数、项数的概念即可作答． 【详解】解：多项式的最高次数为6，项数为4，所以该多项式是六次四项式． 故答案为：六，四． 6．多项式的最高次项是 ． 【分析】此题主要考查了多项式，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．直接利用多项式的次数确定项得出答案． 【详解】解：多项式的最高次项是：， 故答案为：． 7．多项式每项的系数和是 ． 【分析】本题主要考查了多项式，根据多项式的项、单项式的系数的定义求出多项式每项的系数，再相加即可求解． 【详解】解：多项式每项的系数分别是1，，， ．故答案为：2． 8．把多项式按字母x的降幂排列为 . 【分析】本题考查了多项式，先分清多项式的各项，然后按多项式降幂排列的定义排列． 【详解】解：把多项式按字母x降幂排列为， 故答案为：． 知识清单 3、整式的概念 整式：单项式与多项式统称为整式。 注：①多项式是由多个单项式构成的； ②单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算； ③分母中含有字母的式子不是整式（故不是单项式或多项式） 巩固基础 1．下列各式，，，，，0，整式有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 【分析】此题主要考查了整式的概念．根据单项式和多项式统称为整式，即可得出答案． 【详解】解：，，，，，0，中，整式有，，，，0，共6个． 故选：C． 2．下列说法中正确的是（   ） A．不是单项式 B．单项式的系数是 C．是四次三项式 D．代数式都是整式 【分析】本题考查了整式，单项式以及多项式的相关概念．单项式和多项式统称为整式，由数和字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式．单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．多项式的次数：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数．据此即可求解． 【详解】解：、是单项式，故本选项不符合题意； 、单项式的系数是，故本选项不符合题意； 、是三次三项式，故本选项不符合题意； 、代数式都是整式，故本选项符合题意； 故选：． 3．下列说法：①的系数是；②多项式是二次三项式；③的常数项为；④在，，，，中，整式有个．其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【分析】本题考查了单项式、多项式和整式，根据单项式、多项式的有关概念及整式的定义逐项判断即可求解，掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：①的系数是，该选项说法错误； ②多项式是三次三项式，该选项说法错误； ③的常数项为，该选项说法错误； ④在，，，，中，整式有，，，共个，该选项说法正确； ∴正确的有个， 故选：． 4．下列式子：，，，，，，，其中属于单项式的是 ，属于多项式的是 ，属于整式的是 ． 【分析】本题考查单项式、多项式、整式的概念，解题的关键是准确理解并依据这些概念来对给定式子进行分类． ①依据单项式的定义找出单项式； ②依据多项式的定义找出多项式； ③根据整式包含单项式和多项式确定整式． 【详解】①单项式是数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式， 是单独的数，是数与字母的积，是单独的数，是数5与字母x，y的积，是数2与字母x，y的积，所以单项式是； ②几个单项式的和叫做多项式，是单项式与的和，所以多项式是，故（2）处填； ③整式为单项式和多项式的统称，所以整式是， 故答案为：① ② ③ 直击考点 题型1：单项式的概念 例1．下列代数式，，，，0，中，单项式的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】本题考查单项式，根据单项式的定义：数字和字母的乘积的形式，单个数字和字母也是单项式，进行判断即可． 【详解】解：，，0，是单项式，共4个， 故选：B． 变式1．在这五个代数式中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据单项式的定义解决此题 【详解】解：根据单项式的定义，数字或字母的乘积组成的代数式（单个数字或单个字母也是单项式）， ∴单项式有，共3个 故选：C. 变式2．在代数式，，，，0，，中，单项式的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【分析】本题考查单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解题的关键； 根据单项式的定义一一判断即可； 【详解】解：在代数式，，，，，，中， 单项式有：，，，共个， 故选：D 题型2：单项式的系数、次数 例1．单项式的系数和次数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【分析】此题考查了单项式有关概念，根据单项式系数、次数的定义求解即可，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：， ∴单项式的系数是，次数是， 故选：． 例2．单项式的次数是 ． 【分析】根据单项式系数和次数的概念求解． 【详解】解：单项式， 的次数是， 故答案为：8． 变式1．单项式的系数和次数分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【分析】本题主要考查了单项式的相关概念，掌握单项式的系数和次数的定义是正确解题的关键． 根据单项式的系数是数字因数、次数是所有字母指数的和即可求解． 【详解】解：单项式的系数为， 单项式次数是； 故选：C 变式2．单项式的系数是 ，次数是 ． 【分析】本题考查了单项式的系数、次数，熟练掌握单项式的系数、次数的定义是解题的关键：单项式的系数、次数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，注：单项式表示数字与字母相乘时，通常把数字写在前面，当一个单项式的系数是或时通常省略数字不写而只写符号，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，强调：单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，字母的指数不写的，表示这个字母的指数是，不是“没有”． 根据单项式的系数、次数的定义即可直接得出答案． 【详解】解：单项式的系数是，次数是， 故答案为：，． 变式3．单项式的次数是 ． 【分析】本题主要考查了单项式的次数，掌握单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数是解题的关键． 根据单项式次数的定义即可解答． 【详解】解：单项式的次数是． 故答案为：6． 题型3：多项式的概念 例1．下列式子：，，，，，，，．其中是多项式的有（   ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【分析】本题考查整式的分类，熟练掌握多项式的定义是解题的关键，根据几个单项式的和叫多项式，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：其中，，，不是多项式， ∴多项式共有4个． 故选：B． 例2．下列说法正确的是（   ） A．没有系数，次数是 B．不是单项式，也不是整式 C．是多项式 D．是三次二项式 【分析】本题考查单项式的系数、次数以及多项式的次数的定义，整式的定义，据此依次对各选项进行分析判断即可．掌握相应的概念是解题的关键． 【详解】解：A．的系数是，次数是，故此选项不符合题意； B．不是单项式，是整式，故此选项不符合题意； C．不是多项式，故此选项不符合题意； D．是三次二项式，故此选项符合题意． 故选：D． 变式1．下列式子：①；②0；③；④；⑤；⑥，多项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查了多项式，多项式的组成元素是单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 根据几个单项式的和叫做多项式分析判断． 【详解】解：根据多项式的定义可知：①； ②0是单项式； ③是单项式； ④不是多项式； ⑤是多项式； ⑥不是多项式， 故多项式的个数是2个． 故选：B． 变式2．下列判断中正确的是（ ） A．是多项式 B．都是单项式 C．是一次多项式，项数为 D．单项式的次数是 【分析】本题考查了单项式以及多项式的判断、单项式以及多项式的项和次数，根据概念逐项判断即可得到结果，熟练运用概念是解题的关键． 【详解】解：A、中不是整式，故不是多项式，故该选项错误； B、都不是整式，故不是单项式，故该选项错误； C、，故是一次多项式，项数为2，故该选项正确； D、单项式的次数是4，故该选项错误； 故选：C． 题型4：多项式的项、项数和次数 例1．是 次 项式． 【分析】本题考查了多项式的概念，熟练掌握多项式的定义是解题的关键； 几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，据此解答即可． 【详解】解：是四次四项式； 故答案为：四，四． 变式1．多项式的二次项系数是 ． 【分析】此题考查了多项式，多项式即为几个单项式的和，其中每一个单项式称为项，单项式的次数即为多项式的几次项，不含字母的项称为常数项．直接利用多项式的定义得出二次项，进而得出答案． 【详解】解：多项式的二次项系数是． 故答案为：． 变式2．多项式的最高次项是 ． 【分析】本题考查了多项式的项的定义，多项式的次数，根据多项式的项的定义即可得出答案，掌握多项式的项的定义是解题的关键． 【详解】解：， ∴多项式的最高次项是：， 故答案为：． 变式3．多项式的项数和次数之积为 ． 【分析】本题考查了多项式的项和次数的概念，根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数进行分析即可． 【详解】解：多项式是四次五项式， 项数和次数之积为， 故答案为：20． 题型5：整式的概念 例1．在代数式；；；；；中整式的个数有（      ）个． A． B． C． D． 【分析】此题考查了整式，单项式和多项式统称为整式，利用整式的定义即可判断． 【详解】、分母中含字母，不是整式， 是多项式、、、是单项式，属于整式， 故整式有，共4个， 故选：D． 例2．下列说法错误的是（    ） A．代数式，，都是整式 B．单项式的系数是，次数是2 C．多项式的项是， D．多项式是二次三项式 【分析】根据整式的定义，单项式的定义，多项式的定义，单项式的项和次数的定义，多项式的项和次数的定义依次判断即可． 【详解】A. 是多项式，是单项式，是单项式，都是整式，故A选项正确，不符合题意； B. 单项式的系数是，次数是2，故B选项正确，不符合题意； C. 多项式的项是，，故C选项正确，不符合题意； D. 多项式是三次三项式，故D选项错误，符合题意． 故选：D 变式1．在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥中，整式是（　　） A．⑥ B．①②⑥ C．①②③④ D．①②③⑥ 【分析】本题考查了整式，根据整式的定义：单项式和多项式统称为整式，逐个进行判断即可求解，掌握整式的定义是解题的关键． 【详解】解：①是单项式，是整式； ②是多项式，是整式； ③是单项式，是整式； ④不是整式； ⑤不是整式； ⑥是多项式，是整式； 综上，整式是①②③⑥， 故选：． 变式2．下列说法中，不正确的是（　　　） A．的系数是，次数是 B．是整式 C．是二次二项式 D．的项是，， 【分析】根据单项式和多项式的相关定义进行判断即可． 【详解】A. 的系数是，次数是，故选项正确，不符合题意； B. 是整式，故选项正确，不符合题意； C. 是二次二项式，故选项正确，不符合题意； D. 的项是，，，故选项不正确，符合题意． 故选：D． 题型6：写出满足特征的单项式或多项式 例1．请你写出一个单项式，使它的系数为负数，次数为3： ． 【分析】本题考查了单项式，熟知单项式的系数、次数的定义是解题的关键． 根据“数字与字母的积叫做单项式，其中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数”由此解答即可． 【详解】解：根据题意：， 故答案为：（答案不唯一）． 例2．①只含有字母x和y；②每一项的次数都是2；③按字母x的升幂排列．请写出一个同时满足上述条件的二次三项式： ． 【分析】本题考查了多项式的概念和多项式的次数，项数的概念，熟记多项式的次数，项数概念是解题的关键．根据多项式次数，项数的定义来求解即可． 【详解】依题意：由①只含有字母x和y；②每一项的次数都是2；③按字母x的升幂排列的二次三项式：如 故答案为：（答案不唯一） 变式1．一个单项式满足下列两个条件：（1）含有两个字母；（2）次数是3，系数是．请你写出符合上述条件的一个单项式 ． 【分析】本题考查了单项式的概念和单项式的次数和系数，单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和，熟记概念是解题的关键． 根据单项式系数，次数的定义来求解即可． 【详解】解：∵（1）含有两个字母；（2）次数是3，系数是， ∴满足条件的单项式为：． 故答案为：（答案不唯一）． 变式2．任意写出一个含有字母m，n的三次四项式，其中最高次项的系数为6，常数项为-8的式子为 ． 【分析】根据题意，结合三次四项式、最高次项的系数为6，常数项可写出所求多项式，只要符合题意即可． 【详解】解：∵一个含有字母三次四项式，其中最高次项的系数为6，常数项为， 此多项式是：． 故答案是：． 题型7：单项式、多项式求参问题 例1．若单项式的次数是8，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】本题考查单项式次数的定义．熟练掌握单项式中所有字母的指数和，叫做单项式的次数，是解决问题的关键．利用单项式次数的定义计算即可． 【详解】解：∵的次数是，， ， ， 故选：D． 例2．已知是关于的四次单项式，则的值是 ． 【分析】本题考查了单项式的次数的定义以及绝对值，单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，熟练掌握单项式次数的定义是解题的关键； 根据单项式次数的定义求解即可． 【详解】解：是关于的四次单项式， ， 解得：或， ， 故， 则； 故答案为： 例3．已知关于，的三次单项式，求的值． 【分析】本题考查的知识点是单项式的定义及其次数的定义、已知字母的值 ，求代数式的值，解题关键是根据单项式的定义及其次数的定义求出、的值． 先根据单项式的定义及其次数的定义求出、的值，再代入即可求解． 【详解】解：关于，的三次单项式， ， ， ． 变式1．如果多项式是关于，的五次三项式，则的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【分析】本题考查多项式的项数，次数的求解．多项式中含有单项式的个数即为多项式的项数，包含的单项式中字母的指数总和的最大值即为多项式的次数．根据多项式的相关概念进行解答即可． 【详解】解：∵多项式是关于，的五次三项式， ∴，， ∴． 故选：D． 变式2．若多项式是关于的三次多项式，则多项式的值为 ． 【分析】本题考查了多项式的定义．分类讨论，根据多项式的次数为三次，超过三次的项的系数为0，即可求得的值，进而即可求解． 【详解】解：∵多项式是关于的三次多项式， 当时，，此时或6，则， ∴， ∴或1； 当，，此时，则， ∴， ∴； 故答案为：3或5或1． 变式3．对于多项式（其中是大于的整数）． (1)若，且该多项式是关于的三次三项式，求的值； (2)若该多项式是关于的五次三项式，则、要满足什么条件？ 【分析】本题考查多项式，理解多项式的相关定义是解答的关键． （1）利用多项式的定义，得出的次数进而得出答案； （2）利用多项式的定义，得出的次数与系数进而得出答案． 【详解】（1）解：时，原多项式变为， ∵该多项式是关于的三次三项式， ∴，解得，即的值为1； （2）解：由题意得：且，即且． 变式4．已知多项式是五次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求，的值； (2)求该多项式的各项的系数之和． 【分析】本题主要考查多项式与单项式，解题的关键是熟练运用多项式的次数与单项式的次数的概念．单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数． （1）根据多项式、单项式的次数的定义列方程组求出与的值 （2）根据（1）确定多项式，再确定各项的系数，然后求和即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得，； （2）解：因为， 所以多项式为， 所以该多项式的各项的系数分别是，，，， 所以该多项式的各项的系数之和为． 课后作业 一、单选题 1．（24-25七年级上·广西南宁·期中）单项式的系数、次数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【分析】本题考查了单项式的系数和次数的定义，单项式的系数是指单项式中的数字因数，单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 单项式的系数是，次数是，即可得到答案． 【详解】解：单项式的系数是，次数是， 故选：A． 2．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）下列说法正确的是（   ） A．单项式的次数是4 B．单项式的系数是 C．是整式 D．是四次三项式 【分析】本题主要考查了整式，根据单项式的次数是所有字母的指数和，系数是它的数字因数，单项式和多项式统称为整式，进行解答即可．解题关键是熟练掌握单项式和多项式的有关概念． 【详解】解：A．单项式次数是5，此选项的说法错误，故此选项不符合题意； B．单项式的系数是，此选项的说法正确，故此选项符合题意； C．不是整式而是分式，此选项的说法错误，故此选项不符合题意； D．是三次三项式，此选项的说法错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级上·重庆·期中）下列说法中正确的是（   ） A．多项式是一个三次四项式 B．单项式与的次数相同 C．多项式中的二次项的系数是4 D．单项式的系数是，次数是4 【分析】本题考查了单项式的系数、次数“单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数”；多项式的项、项数、次数“多项式中每一个单项式称为该多项式的项（带符号）；次数最高的项的次数即为该多项式的次数；不含字母的项称为常数项”，熟记单项式的系数、次数的定义，多项式的项、项数、次数的定义是解题关键．根据单项式的系数、次数的定义和多项式的项、项数、次数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、多项式中共有四项，次数是，所以是一个四次四项式，则此项错误，不符合题意； B、单项式的次数是0，单项式的次数是1，则此项错误，不符合题意； C、多项式中的二次项是，其系数是，则此项错误，不符合题意； D、单项式的系数是，次数是，则此项正确，符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级上·河南商丘·期中）多项式是关于的二次三项式，则取值为（   ） A．0 B．4 C．4或0 D．-4或1 【分析】本题主要考查了多项式，熟练掌握多项式的次数：多项式中最高次项的次数，叫做多项式的次数；一个多项式有几项就叫几项式是解题的关键． 根据多项式的定义得且，求解即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴且， ∴， 故选：A． 5．（23-24七年级上·河南信阳·期末）下列说法：①的系数是2；②多项式是二次三项式；③的常数项为2；④在，，，，0中，整式有3个．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查整式的相关概念，根据单项式的系数，多项式的项数和次数，常数项，整式的概念逐一进行判断即可． 【详解】解：的系数是；故①错误； 多项式是三次三项式；故②错误； 的常数项为；故③错误； 在，，，，0中，整式有，，0，共3个；故④正确； 故选A． 6．（24-25九年级上·云南昭通·期末）按照一定规律排列的单项式：，，，，，按照上述规律，第2024个单项式是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了与单项式有关的规律探索，先观察指数规律与符号规律，再进行解答即可．如果单项式的符号是正、负相间隔出现，则需要用解决． 【详解】解：，，，，， 第个单项式为， 第个单项式为． 故选：A． 7．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）在多项式中，二次项的系数是（   ） A． B． C． D．3 【分析】本题主要考查了多项式的相关定义，解题的关键是掌握系数是单项式中的数字因数． 先确定二次项，再根据系数的定义即可进行解答． 【详解】解：多项式中的二次项系数是， 故选：C． 8．（23-24七年级上·云南昆明·期中）代数式，，，，中，多项式的个数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了多项式的定义，根据多项式的定义：几个单项式的和求解即可，熟悉相关性质是解题的关键． 【详解】根据多项式的定义可知：，是多项式，共个， 故选：． 9．（24-25七年级上·河南郑州·期中）如图所示，在这个运算程序中，若开始输入x的值为2，结果输出的是1，返回进行第2次运算，结果输出的是，……则第2024次输出的结果是（    ） A． B．3 C． D．8 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键；根据题意进行有理数的运算，进而找到一般规律，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：第一次输出的是1，第二次输出的是，第三次输出的是，第四次输出的是，第五次输出的是，第六次输出的是，第七次输出的是，第八次输出的是；……； 由上可知：从第二次开始，每六次一循环， ∵， ∴第2024次输出的是； 故选C． 10．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形，，按照此规律排列下去，第50个图中三角形的个数是（   ） A．149 B．150 C．151 D．152 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据所给图形，依次求出图形中三角形的个数，发现规律即可解决问题．能根据所给图形发现三角形的个数依次增加3是解题的关键． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图中三角形的个数为：； 第2个图中三角形的个数为：； 第3个图中三角形的个数为：； ， 所以第个图中三角形的个数为个． 当时， （个， 即第50个图中三角形的个数为151个． 故选：C． 二、填空题 11．（24-25七年级上·甘肃陇南·阶段练习）若多项式是关于，的四次多项式，则 ． 【分析】本题主要考查了多项式次数的定义，代数式求值，多项式中次数最高的项叫做多项式的次数，据此可得，求出m、n的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵多项式是关于，的四次多项式， ∴， ∴或，， ∴或， 故答案为：或． 12．（24-25六年级上·山东威海·阶段练习）下列说法中：①是五次单项式；②单项式的系数是，次数5；③是四次三项式；④是二次二项式；⑤各项次数都是5的关于a，b的多项式最多有六项．其中正确的序号为 ． 【分析】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数．根据定义求解即可。 【详解】解：①是三次单项式；故不符合题意； ②单项式的系数是，次数6；故不符合题意； ③是四次三项式；故符合题意； ④不是多项式；故不符合题意； ⑤各项次数都是5的关于a，b的多项式项数最多时为：；有六项．故符合题意； ∴正确的有：③⑤， 故答案为：③⑤ 13．（24-25七年级上·四川南充·期中）单项式与的次数相同，则 ． 【分析】此题考查了单项式的次数，所有字母指数的和叫做单项式的次数．据此进行列式计算即可． 【详解】解：∵单项式与的次数相同， ∴， 解得， 故答案为： 14．（23-24七年级上·西藏拉萨·期末）如果关于的多项式中不含一次项，那么 ． 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．令一次项的系数等于0求解即可． 【详解】解：∵关于的多项式中不含一次项， ∴， ∴． 故答案为：5． 15．（24-25七年级上·山西长治·期末）若关于的多项式●的各项系数之和是7，则“●”代表的数是 ． 【分析】本题考查了多项式的系数，根据题意直接列式，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·重庆·期中）观察一列单项式的特点：，，，，，…，它们是按照一定规律排列的，那么请推断出第9个单项式为 ． 【分析】本题考查了单项式规律题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据第个单项式归纳类推出一般规律：第个单项式是，其中是正整数，再将代入计算即可得． 【详解】解：第1个单项式是， 第2个单项式是， 第3个单项式是， 第4个单项式是， 第5个单项式是， 归纳类推得：第个单项式是，其中是正整数， 则第9个单项式为， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·福建厦门·期末）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了（，2，3，4，……）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）． 　　　1    1                    　　1    2      1               　1    3     3      1           1    4    6      4     1         ………… 请根据规律，写出的展开式中含项的系数是 ． 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，首先确定是展开式中第四项，先求出的第四项的系数，再把代入计算即可． 【详解】解：∵是展开式中第四项， 且第四项系数为1，字母为， 第四项系数为4，字母为， ∴第四项系数为10，字母为， 当时第四项系数为10，字母为， 故展开式中含项为， 故答案为：． 三、解答题 18．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）已知是多项式的次数，和分别是单项式的系数和次数，是数轴上到原点距离为1的数，求的值． 【分析】本题主要考查了代数式求值，多项式的次数的定义，单项式次数和系数的定义，数轴上两点的距离，多项式中次数最高的项为多项式的次数，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，到原点距离为1的点表示的数为，据此可得a、b、c、d的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵是多项式的次数，和分别是单项式的系数和次数， ∴，， ∵是数轴上到原点距离为1的数， ∴， ∴或 ． 19．（24-25七年级上·河南濮阳·期中）下列哪些是单项式，哪些是多项式？，0，，，，，， 单项式{                                 } 多项式{                                 } 【分析】本题主要考查整式的有关概念及分类，注意区分单项式与多项式的概念是解答本题的关键．“由数字或字母组成的式子叫做单项式，特别的，单独的一个数字或字母也是单项式．” “几个单项式的和叫做多项式．”根据单项式和多项式的定义一一判断即分类即可． 【详解】解：单项式{，0，，， } 多项式{，， } 20．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）已知关于x的多项式不含项和项，求的值． 【分析】本题考查了多项式中不含某项，熟练掌握不含某项就让这项的系数等于0是解题的关键．根据题意可知，，从而求得、的值，再代入计算即可． 【详解】解：x的多项式不含项和项， ，， ，， ． 21．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）已知多项式，m是该多项式的次数，n是四次项系数的倒数，求的值． 【分析】本题考查多项式的相关概念，倒数，求代数式的值，根据多项式的次数与各项的系数，倒数求出m，n的值，代入即可求解． 【详解】解：多项式的次数是6，四次项系数是， 因为m是该多项式的次数，n是四次项系数的倒数， 所以，，             所以． 22．（24-25七年级上·河南新乡·期中）已知关于，，的代数式 为五次二项式，求，的值． 【分析】本题考查了多项式的概念，绝对值，根据题意得，则或，求出的值，根据代数式是五次二项式，所以，然后代入即可求解，掌握多项式的概念是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 所以或， 所以或， 因为代数式是五次二项式，所以， 当时，，得； 当时，，得； 所以，或，． 23．（24-25七年级上·北京·期中）已知关于的二次多项式． (1)直接写出的值； (2)若当时，该多项式的值是2，求的值．（其中表示不超过的最大整数，例如．） 【分析】本题考查多项式次数，代数式求值，绝对值意义，解题的关键在于掌握多项式的定义，理解题意． （1）根据已知的多项式为二次多项式可得多项式不含项，且包含项，得到且，进行求解，即可解题； （2）根据当时，该多项式的值是2，代入式子变形得到，再结合代入中求解，即可解题． 【详解】（1）解：是关于的二次多项式， 且， 解得且， 综上所述，； （2）解：当时，该多项式的值是2， ，即， 整理得， ． 24．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）已知整式． (1)若该整式的次数是1，求a的值并写出常数项； (2)若该整式的常数项是0，求的值． 【分析】本题考查了多项式的次数，常数项，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为整式的次数是1，则，即可作答． （2）因为整式的常数项为0，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵整式的次数是1， ∴， 即， 故常数项为； （2）解：∵整式的常数项为0， 则， 即． 25．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）观察下列单项式： 第1个单项式：． 第2个单项式：． 第3个单项式：． 第4个单项式：． …… (1)第5个单项式为______． (2)第n个单项式为______（用含有n的式子表示）． (3)前3个（第1个到第3个）单项式中字母a，b的所有指数之和为，求前10个（第1个到第10个）单项式中字母a，b的所有指数之和． 【分析】本题主要考查了单项式的系数和次数规律探索等知识点，准确发现其规律是解决此题的关键． (1)观察单项式的系数和次数的规律，可以发现系数是序号的2倍，字母的次数不变，字母的次数是序号的2倍减1即可得解； (2)由(1)的规律即可得解； (3)根据规律计算前10个单项式中字母的所有指数之和即可得解． 【详解】（1）解：第1个单项式：， 第2个单项式：， 第3个单项式：， 第4个单项式：， …… 观察单项式的系数和次数的规律，可以发现系数是序号的2倍，字母的次数不变，字母的次数是序号的2倍减1， ∴第5个单项式为， 故答案为：； （2）解：由(1)的规律知，第n个单项式为， 故答案为：； （3）根据规律，前10个单项式中字母的所有指数之和为． 26．（24-25七年级上·山西朔州·阶段练习）已知多项式是五次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求，的值． (2)求该多项式的各项的系数之和． 【分析】本题考查的是单项式的次数与多项式的次数；熟记单项式与多项式的次数的概念是解本题的关键； （1）根据题意可得，，解方程可得答案； （2）本题考查的是多项式的各项的系数，先写出多项式中各单项式的系数，再求和即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，， 解得，； （2）解：因为， 所以多项式为， 所以该多项式的各项的系数分别是，，，， 所以该多项式的各项的系数之和为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$