4.2 整式的加减 暑假讲义2025－2026学年七年级上册数学（人教版2024）

4.2 整式的加减 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 同类项概念 【题型二】 合并同类项 【题型三】 去括号与添括号 【题型四】 整式的化简求值 【题型五】 无关型问题 【题型六】 应用中的整式运算 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1 掌握合并同类项的概念，会对同类项进行合并运算； 2 掌握去括号的法则； 3 会整式的加减运算。 1 合并同类项 (1)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. (2)合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变. 2 去括号的法则 (1)括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号不变； (2)括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号要改变. 3 整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号先去括号，再合并同类项. 4 整式加减的步骤 (1)列出代数式；(2)去括号；(3)合并同类项. 【题型一】 同类项概念 相关知识点讲解 1 引入 我们学了整式，它与数字一样也有“加减乘除运算”，现在我们先学加减法。 学过乘法分配律，我们是懂得如何简便计算； 那若要计算呢？？? 要知道你算得对不对，我们先学什么叫同类项。 2 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 【例】和，和是同类项. 【典题1】（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）下列各组式子中为同类项的是（   ） A．x与y B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同；相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关． 根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，逐项判定即可． 【详解】解：A、与字母不同不是同类项，故此选项不符合题意； B、与相同字母的指数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； C、与所含字母相同且相同字母的指数也相同，是同类项，故此选项符合题意； D、与所含字母不全相同，不是同类项，故此选项不符合题意； 故选：C． 变式练习 1（24-25七年级上·湖南株洲·期末）在下列单项式中与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握两个相同是解题关键．含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项． 根据同类项的定义进行判断即可． 【详解】解：与是同类项的是． 故选：B． 2（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）下列各组中的两项，属于同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类项的定义，根据同类项的定义逐一判断即可，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类项，故选项不符合题意； B、与是同类项，故选项符合题意； C、与不是同类项，故选项不符合题意； D、与不是同类项，故选项不符合题意； 故选：B． 3（24-25七年级上·吉林·期末）下列各组代数式中，属于同类项的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了同类项，判断同类项的关键是字母相同，且相同的字母指数也相同． 根据同类项是字母相同，且相同字母指数也相同，逐项判断即可． 【详解】解：A、和相同字母指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意； B、和所含字母不同，不是同类项，故此选项不符合题意； C、和所含字母不同，不是同类项，故此选项不符合题意； D、和所含字母相同，且相同字母指数也相同，是同类项，故此选项符合题意； 故选：D． 【题型二】 合并同类项 相关知识点讲解 合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变. 【例】. 【典题1】（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，根据同类项合并法则逐项计算即可． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故计算错误； B、，故计算错误； C、，故计算错误； D、，故计算正确； 故选：D． 变式练习 1（24-25七年级上·湖南长沙·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，根据含有相同字母，且相同字母的指数也相同的项为同类项，合并同类项法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； 故选：C 2（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算法则，根据整式的加减运算法则即可求出答案，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 故选：B． 3（24-25七年级上·福建漳州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项的计算，掌握合并同类项的计算法则，系数相加，字母及字母的指数不变是本题的解题关键；按照合并同类项的法则进行计算，然后逐个判断即可. 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项正确，符合题意； 故选：D； 【题型三】去括号与添括号 相关知识点讲解 1 引入 我们在数字的运算中，遇到括号怎么办的？ 计算？计算？ 这涉及到去括号与添括号的问题。 那我们进行整式运算也会遇到类似问题的，比如化简. 2 (1)括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号不变； (2)括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号要改变. 特殊地，可以看成与相乘，利用分配律得； 可以看成与相乘，利用分配律得； 【例】; 。 【典题1】 （2024七年级上·全国·专题练习）化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减，解题的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则．先去括号，然后合并同类项即可得出答案． 【详解】解： 故选：D． 【典题2】（23-24七年级上·福建福州·期中）将多项式的同类项分别结合在一起错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项的定义确定同类项，再加括号即可求解． 【详解】解： ， ∴、正确，不符合题意； 、正确，不符合题意； 、正确，不符合题意； 、错误，符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查同类项的识别，添括号的方法，掌握添括号法则是解题的关键． 变式练习 1（24-25七年级上·浙江杭州·期末）将代数式去括号得（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了去括号，根据去括号法则计算即可得解，熟练掌握去括号法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故将代数式去括号得， 故选：C． 2（24-25七年级上·浙江金华·期末）下列各式去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号，解题的关键是掌握去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同：如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来符号相反．据此解答即可． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项符合题意． 故选：D． 3（24-25七年级上·吉林·期中）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了去括号，解题的关键是熟练掌握去括号法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．根据去括号法则，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．，故A正确； B．，故B错误； C．，故C错误； D．，故D错误． 故选：A． 4（23-24七年级上·广西崇左·期中）下列添括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了添括号，添括号法则：1.如果括号前面是加号或乘号，加上括号后，括号里面的符号不变；2.如果括号前面是减号或除号，加上括号后，括号里面的符号全部改为与其相反的符号，据此即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是正确的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是错误的； 故选：B 5（22-23八年级下·广东梅州·开学考试）下列添括号，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据添括号法则进行解答即可．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． 【详解】解：A． ，因此A不正确，故A不符合题意； B．，因此B不正确，故B不符合题意； C．，因此C正确，故C符合题意； D．，因此D不正确，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查添括号法则，掌握添括号法则是正确判断的前提． 【题型四】 整式的化简求值 相关知识点讲解 1整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号先去括号，再合并同类项. 2 整式加减的步骤 (1)列出代数式；(2)去括号；(3)合并同类项. 【例】 . 【典题1】（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）化简与求值： (1)； (2)； (3)，其中． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查整式加减运算、整式化简求值，涉及含乘方的有理数混合运算，熟记整式加减运算法则、有理数混合运算法则是解决问题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，再合并同类项即可得到答案； （3）先去括号，再合并同类项即可化简，将代入化简后的结果，运用有理数混合运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 当时， 原式 ． 变式练习 1（24-25六年级上·山东东营·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减法则是解答此题的关键． （1）合并同类项即可求解； （2）先去括号，再合并同类项即可求解； （3）先去括号，再合并同类项即可求解； （4）先去括号，再合并同类项即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2（24-25七年级上·广东深圳·期中）)先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减及化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先去括号，再合并同类项即可化简，然后代入计算即可． 【详解】解：原式 当，时，原式． 3（24-25七年级上·广西河池·期末）已知，，． (1)化简； (2)当，，求式子的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减，代数式求值，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键． （1）根据整式的加减运算法则计算即可； （2）把，整体代入（1）的结果求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ． 【题型五】 无关型问题 【典题1】（24-25七年级上·福建福州·期中）多项式合并同类项后，不含项，则m的值是（   ） A．7 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，把多项式合并同类项，再根据合并后的结果中不含项，即含项的系数为0进行求解即可． 【详解】解：， ∵多项式合并同类项后，不含项， ∴， ∴， 故选：A． 变式练习 1（23-24七年级上·内蒙古包头·期中）如果多项式中不含项，则k的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4 【答案】C 【分析】本题考查合并同类项，掌握合并同类项的方法是解题的关键． 先将含项进行合并，再根据其系数为0进行解答即可． 【详解】解：， 因为不含项， 所以， 即． 故选：C． 2（23-24七年级上·湖南永州·期中）已知多项式 不含项，则k的值为（   ） A．12 B． C．0 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．本题先合并同类项，再根据不含某项的含义建立方程求解即可． 【详解】解： ， ∵多项式 不含项， ∴， 解得：； 故选A 3（23-24七年级上·安徽宿州·期末）要使多项式不含三次项，则的值为（    ） A． B．2 C． D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式，关键是根据题意可得，，可得a、b的值并代入求值即可． 【详解】解： ， ∵多项式不含三次项， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 【题型六】应用中的整式运算 【典题1】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）我们常用表示一个十位数字为，个位数字为的两位数，即用代数式表示．类似的，用代数式表示三位数 ___________． （2）证明：各数位上的数字之和能被整除的两位数能被整除． （3）探究三位数能被整除的条件，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减应用，解题的关键是正确列出代数式． （1）根据三位数的表示方法求解即可； （2）首先得出，然后根据能被3整除，能被3整除求解即可； （3）首先得出，进而求解即可． 【详解】（1）根据题意得， 用代数式表示三位数； （2）∵，能被3整除，能被3整除， ∴能被3整除． （3）∵ ， 能被11整除， ∴若能被11整除，那么就能被11整除． 故能被11整除的条件是能被11整除（答案不唯一）． 变式练习 1（24-25七年级上·福建福州·期末）连江县居民生活用电采用阶梯计价收费：月用电量度，单价元/度；月用电量度，单价元/度（即超过度且不超过度部分按元/度收费）；月用电量度以上，单价元/度（即超过度部分按元/度收费），某家庭上月用电量为度，则应缴电费（   ）元 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式、分段收费、整式的加减，掌握以上知识点并读懂题意是解题的关键． 根据题意可知，上月用电量为度，所以分两段来进行收费，第一段电费为元，第二段为元，两段的和即为上月应缴的电费． 【详解】解：根据题意可知，上月应缴电费为： 故选：D． 2（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，剩余部分沿虚线剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据图示，用含的式子表示出拼成长方形的长和宽，根据面积的计算即可求解，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据图示，拼成长方形的长为，宽为， ∴长方形的面积为， 故选：B ． 3（24-25七年级下·河北石家庄·期中）两个边长分别为和的正方形如图放置（图），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图），两个边长为的小正方形叠合部分（阴影）面积为，图中阴影部分的面积． (1)用含，的代数式分别表示，． (2)试说明． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（）根据图形列出代数式即可； （）根据图形表示出，再根据（）求出即可求证； 本题考查了列代数式，整式加减的应用，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，，； （2）证明：由图可得，， ∵， ∴． 4（24-25七年级上·贵州安顺·期中）项目式学习． 【项目主题】校园分布图制作． 【项目背景】为了让初一新生更快熟悉校园生活，善思小组成员准备为初一新生制作简易版校园分布图． 【实践操作】操作一：善思小组根据校园的活动区域分布，将校园分布图分为教学区、操场、学生活动中心、图书馆四个主要区域； 操作二：根据小组成员的实际测量与记录，绘制如图所示的校园总体分布图（单位：）． 【项目思考】 (1)用整式表示这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积； (2)若，b的倒数是，求这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，绝对值意义，倒数定义，解题的关键是理解题意，熟练掌握长方形的面积公式． （1）根据长方形的边长和面积公式表示出学校的操场和学生活动中心一共占地的面积即可； （2）根据，b的倒数是，得出，，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：学校的操场的占地面积为， 学生活动中心的占地面积为， 这个学校的操场和学生活动中心一共占地面积为： ； （2）解：∵，b的倒数是， ∴，， ∵， ∴， 把，代入得： 原式， 答：这个学校的操场和学生活动中心一共占地． 5（24-25七年级下·四川成都·期中）定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的数，记作． (1)根据数的定义，填空：______________，______________． (2)数有如下运算性质：，，其中． 根据运算性质，计算： ①若，求； ②若已知，，试求，的值（用、、表示）． 【答案】(1)1， (2)①3；②， 【分析】本题主要考查阅读题的理解，运用所给公式进行化简，要对公式能够活学活用，考查学生的运用解题能力. （1）根据新定义进行求解即可； （2）①先计算出，然后代入计算即可；②转化为， 然后代入计算即可. 【详解】（1）解：∵， ， ， ， 故答案为：1，； （2） ， ， ； ， ； ． 【A组---基础题】 1（2025·广东云浮·一模）下列各式的计算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了合并同类项．识别哪些是同类项，根据同类项合并的法则，逐一判断． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 2（24-25七年级上·河南驻马店·期末）下列式子变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了去括号和添括号，根据去括号法则和添括号法则进行分析即可． 【详解】解：，故A选项变形错误； ，故B选项变形错误； ，故C选项变形错误； ，故D选项变形正确； 故选D． 3（23-24七年级上·河南洛阳·期末）下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式加括号和去括号．加括号：所添括号前面是加号，括到括号里各项都不改变符号，所添括号前面是减号，括到括号里的各项都改变符号．去括号：括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变；括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号．据此判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 4（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知的取值与x无关，求的值（   ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了多项式无关型问题，根据题意得出，进而求出即可．正确把握多项式的系数定义是解题关键． 【详解】解： ，且多项式的值与无关， ，， 解得：，， 则． 故选：B． 5（23-24六年级上·山东烟台·期末）四个完全相同的小长方形（白色的）按如图所示的方式放置，形成了一个长、宽分别为a、b的大长方形，则图中阴影部分的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 设白色小长方形的长为x，宽为y，则，分别表示出左边阴影部分的长为，宽为，右边阴影部分的长为，宽为，则阴影部分的周长进行化简即可． 【详解】解：设白色小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：， ∵大长方形的长、宽分别为a、b， ∴左边阴影部分的长为，宽为，右边阴影部分的长为，宽为， ∴阴影部分的周长 ． 故选：B． 6（24-25八年级下·山西晋中·期中）城区某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如右图：若张老师有两天去超市购物原价合计900元，若第一天购物的原价为a元，请你用含a的代数式表示张老师两天一共节省了（   ）元 一次性购物 优惠办法 少于200元 无优惠 低于500元但不低于200元 全部金额给予8折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予8折优惠；超过500元部分给予7折优惠 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，根据题干提供的信息，分别表示出第一天和第二天的实际花费即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴张老师两天一共节省了： ； 故选：B． 7（24-25六年级上·山东泰安·期末）先去括号，再合并同类项： (1)； (2)； (3)先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】(1)； (2)； (3)，． 【分析】此题考查了整式的加减混合运算，熟练掌握去括号、合并同类项法则是解本题的关键． （1）先去括号，再合并同类项求解即可； （2）先去括号，再合并同类项求解即可； （3）先去括号，再合并同类项，然后利用非负性的性质得到，，然后代数求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3） ∵， ，， ，， 原式． 8（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，为了方便学生停放自行车，学校建了一块长边靠墙的长方形停车场，其他三面用护栏围起，其中停车场的长为米，宽为米． (1)用含的代数式表示护栏的总长度． (2)若，每米护栏造价90元，求建此停车场所需护栏的费用． 【答案】(1)米 (2)5580元 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，整式加减运算的应用；解题的关键是理解题意，熟练掌握长方形的周长公式，整式加减运算法则． （1）先求出停车场的宽，然后再求出护栏的长度即可； （2）把，代入求值即可． 【详解】（1）解： 米， 即护栏的总长度为米； （2）解：当时， 元， 建此停车场所需护栏的费用为5580元． 【B组---提高题】 1（24-25七年级上·河南郑州·期中）数a，b，c在数轴上的位置如图所示．化简等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减计算，根据数轴上点的位置，可推出，据此化简绝对值，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴ ， 故选：A． 2（24-25七年级下·重庆·期中）已知两个整式，用整式A与整式B求和后得到整式，称为第一次操作；将第一次操作的结果加上结果记为，称为第二次操作；将第二次操作的结果加上，结果记为，称为第三次操作；将第三次操作的结果加上，结果记为，称为第四次操作，…，以此类推．以下三个说法符合题意的个数是（   ） ①；②当时，则有；③． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了整式的加减及数字类变化规律．根据题意找到规律是解题的关键．依次求出，，，，……，找到规律，再结合每个选项的具体问题进行列式化简，即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴， 根据题意可知：， ， ， ， …… 由此可见，第次操作的结果为， ∴， 故①符合题意； 由①得， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 故②符合题意； 由题可知， ，故③符合题意； 综上，①②③符合题意； 故选：D． 3（24-25七年级上·北京·期中）1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰好能被分割成10个大小不同的正方形，如图所示，其中标注为1号和2号的正方形边长分别为x，y． 请你计算： (1)第3个正方形的边长是______；第5个正方形的边长是______；第5个正方形的面积是______．（用含x，y的代数式表示） (2)当时，求第6个正方形的面积． (3)当x，y均为正整数时，这个完美长方形的最小周长是______． 【答案】(1)；； (2)64 (3)224 【分析】本题考查了整式加减的应用，根据图形及1号和2号的正方形边长分别为，，用含，的式子表示出其他8个正方形的边长是解题的关键．第（3）问较难，需要有较强的推理能力及计算能力． （1）根据所给图形，得出第3个正方形的边长为第1，2个正方形的边长之和，再依次表示出4，5号正方形的边长即可解决问题． （2）根据所给图形，表示出第6个正方形的面积，再结合即可解决问题． （3）根据所给图形，用含，的代数式表示出完美长方形的周长，并结合，均为正整数，求这个完美长方形的最小周长． 【详解】（1）解：根据图形及标注为1号和2号的正方形边长分别为，， 所以第3个正方形的边长是1号和2号的正方形边长之和为， 所以第4个正方形的边长是2号和3号的正方形边长之和为， 所以第5个正方形的边长是2号和4号的正方形边长之和为， 所以第5个正方形的面积为． 故答案为：；；． （2）解：根据图形及1号和2号的正方形边长分别为，，第5个正方形的边长是， 所以第6个正方形的边长是2号和5号的正方形边长之和减去1号的正方形边长为， 所以第6个正方形的面积． 当时，． 所以当时，第6个正方形的面积为64． （3）根据图形及1号和2号的正方形边长分别为，，第6个正方形的边长是， 所以第7个正方形的边长是6号正方形的边长减去1号正方形的边长为， 所以第10个正方形的边长是7号正方形的边长减去1号正方形的边长减去3号正方形的边长为， 所以第8个正方形的边长是7号正方形的边长加10号正方形的边长为， 所以第9个正方形的边长是8号正方形的边长加10号正方形的边长为． 因为第5个正方形的边长与第6个正方形的边长之和等于第8个正方形的边长与第9个正方形的边长之和， 所以， 化简得． 因为完美长方形的长为，完美长方形的宽为， 所以完美长方形的周长为． 因为，，均为正整数， 所以，时，完美长方形的周长最小，最小值为． 故答案为：224． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2 整式的加减 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 同类项概念 【题型二】 合并同类项 【题型三】 去括号与添括号 【题型四】 整式的化简求值 【题型五】 无关型问题 【题型六】 应用中的整式运算 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1 掌握合并同类项的概念，会对同类项进行合并运算； 2 掌握去括号的法则； 3 会整式的加减运算。 1 合并同类项 (1)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. (2)合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变. 2 去括号的法则 (1)括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号不变； (2)括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号要改变. 3 整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号先去括号，再合并同类项. 4 整式加减的步骤 (1)列出代数式；(2)去括号；(3)合并同类项. 【题型一】 同类项概念 相关知识点讲解 1 引入 我们学了整式，它与数字一样也有“加减乘除运算”，现在我们先学加减法。 学过乘法分配律，我们是懂得如何简便计算； 那若要计算呢？？? 要知道你算得对不对，我们先学什么叫同类项。 2 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 【例】和，和是同类项. 【典题1】（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）下列各组式子中为同类项的是（   ） A．x与y B．与 C．与 D．与 变式练习 1（24-25七年级上·湖南株洲·期末）在下列单项式中与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 2（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）下列各组中的两项，属于同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3（24-25七年级上·吉林·期末）下列各组代数式中，属于同类项的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【题型二】 合并同类项 相关知识点讲解 合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变. 【例】. 【典题1】（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25七年级上·湖南长沙·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3（24-25七年级上·福建漳州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型三】去括号与添括号 相关知识点讲解 1 引入 我们在数字的运算中，遇到括号怎么办的？ 计算？计算？ 这涉及到去括号与添括号的问题。 那我们进行整式运算也会遇到类似问题的，比如化简. 2 (1)括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号不变； (2)括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号要改变. 特殊地，可以看成与相乘，利用分配律得； 可以看成与相乘，利用分配律得； 【例】; 。 【典题1】 （2024七年级上·全国·专题练习）化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【典题2】（23-24七年级上·福建福州·期中）将多项式的同类项分别结合在一起错误的是（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25七年级上·浙江杭州·期末）将代数式去括号得（   ） A． B． C． D． 2（24-25七年级上·浙江金华·期末）下列各式去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 3（24-25七年级上·吉林·期中）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 4（23-24七年级上·广西崇左·期中）下列添括号正确的是（    ） A． B． C． D． 5（22-23八年级下·广东梅州·开学考试）下列添括号，正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型四】 整式的化简求值 相关知识点讲解 1整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号先去括号，再合并同类项. 2 整式加减的步骤 (1)列出代数式；(2)去括号；(3)合并同类项. 【例】 . 【典题1】（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）化简与求值： (1)； (2)； (3)，其中． 变式练习 1（24-25六年级上·山东东营·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2（24-25七年级上·广东深圳·期中）)先化简，再求值：，其中，． 3（24-25七年级上·广西河池·期末）已知，，． (1)化简； (2)当，，求式子的值． 【题型五】 无关型问题 【典题1】（24-25七年级上·福建福州·期中）多项式合并同类项后，不含项，则m的值是（   ） A．7 B． C．1 D． 变式练习 1（23-24七年级上·内蒙古包头·期中）如果多项式中不含项，则k的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4 2（23-24七年级上·湖南永州·期中）已知多项式 不含项，则k的值为（   ） A．12 B． C．0 D．无法确定 3（23-24七年级上·安徽宿州·期末）要使多项式不含三次项，则的值为（    ） A． B．2 C． D．0 【题型六】应用中的整式运算 【典题1】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）我们常用表示一个十位数字为，个位数字为的两位数，即用代数式表示．类似的，用代数式表示三位数 ___________． （2）证明：各数位上的数字之和能被整除的两位数能被整除． （3）探究三位数能被整除的条件，并说明理由． 变式练习 1（24-25七年级上·福建福州·期末）连江县居民生活用电采用阶梯计价收费：月用电量度，单价元/度；月用电量度，单价元/度（即超过度且不超过度部分按元/度收费）；月用电量度以上，单价元/度（即超过度部分按元/度收费），某家庭上月用电量为度，则应缴电费（   ）元 A． B． C． D． 2（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，剩余部分沿虚线剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 3（24-25七年级下·河北石家庄·期中）两个边长分别为和的正方形如图放置（图），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图），两个边长为的小正方形叠合部分（阴影）面积为，图中阴影部分的面积． (1)用含，的代数式分别表示，． (2)试说明． 4（24-25七年级上·贵州安顺·期中）项目式学习． 【项目主题】校园分布图制作． 【项目背景】为了让初一新生更快熟悉校园生活，善思小组成员准备为初一新生制作简易版校园分布图． 【实践操作】操作一：善思小组根据校园的活动区域分布，将校园分布图分为教学区、操场、学生活动中心、图书馆四个主要区域； 操作二：根据小组成员的实际测量与记录，绘制如图所示的校园总体分布图（单位：）． 【项目思考】 (1)用整式表示这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积； (2)若，b的倒数是，求这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积． 5（24-25七年级下·四川成都·期中）定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的数，记作． (1)根据数的定义，填空：______________，______________． (2)数有如下运算性质：，，其中． 根据运算性质，计算： ①若，求； ②若已知，，试求，的值（用、、表示）． 【A组---基础题】 1（2025·广东云浮·一模）下列各式的计算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2（24-25七年级上·河南驻马店·期末）下列式子变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3（23-24七年级上·河南洛阳·期末）下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 4（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知的取值与x无关，求的值（   ） A．1 B． C．5 D． 5（23-24六年级上·山东烟台·期末）四个完全相同的小长方形（白色的）按如图所示的方式放置，形成了一个长、宽分别为a、b的大长方形，则图中阴影部分的周长是（   ） A． B． C． D． 6（24-25八年级下·山西晋中·期中）城区某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如右图：若张老师有两天去超市购物原价合计900元，若第一天购物的原价为a元，请你用含a的代数式表示张老师两天一共节省了（   ）元 一次性购物 优惠办法 少于200元 无优惠 低于500元但不低于200元 全部金额给予8折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予8折优惠；超过500元部分给予7折优惠 A． B． C． D． 7（24-25六年级上·山东泰安·期末）先去括号，再合并同类项： (1)； (2)； (3)先化简，再求值：，其中x，y满足． 8（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，为了方便学生停放自行车，学校建了一块长边靠墙的长方形停车场，其他三面用护栏围起，其中停车场的长为米，宽为米． (1)用含的代数式表示护栏的总长度． (2)若，每米护栏造价90元，求建此停车场所需护栏的费用． 【B组---提高题】 1（24-25七年级上·河南郑州·期中）数a，b，c在数轴上的位置如图所示．化简等于（　　） A． B． C． D． 2（24-25七年级下·重庆·期中）已知两个整式，用整式A与整式B求和后得到整式，称为第一次操作；将第一次操作的结果加上结果记为，称为第二次操作；将第二次操作的结果加上，结果记为，称为第三次操作；将第三次操作的结果加上，结果记为，称为第四次操作，…，以此类推．以下三个说法符合题意的个数是（   ） ①；②当时，则有；③． A．0 B．1 C．2 D．3 3（24-25七年级上·北京·期中）1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰好能被分割成10个大小不同的正方形，如图所示，其中标注为1号和2号的正方形边长分别为x，y． 请你计算： (1)第3个正方形的边长是______；第5个正方形的边长是______；第5个正方形的面积是______．（用含x，y的代数式表示） (2)当时，求第6个正方形的面积． (3)当x，y均为正整数时，这个完美长方形的最小周长是______． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$