广东省汕头市2026-2027学年人教版九年级上学期数学第一次月考测试（第25-26章）

广东省汕头市2026-2027学年人教版九年级上学期数学第一次月考测试 时间:120分 满分:120分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）若是关于x的一元二次方程，则m的值为（     ） A．1 B．3 C． D．3或 2．（本题3分）用配方法解方程，配方后所得的方程是（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）已知、是方程的两个实数根，则与的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 4．（本题3分）二次函数的最大值是（     ） A．3 B． C．2 D．4 5．（本题3分）某商场降价销售一批名牌衬衫．已知商场所获得的利润y（元）与降价金额x（元）之间的关系是，则该商场最多获利（     ） A．15元 B．400元 C．80元 D．1250元 6．（本题3分）已知抛物线经过点，，，则（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽度（包括出口和入口）相等，若停车位的占地面积为，每个车位规格一致，求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）已知二次函数的图象如图所示，则下列判断中错误的是（     ） A．图象的对称轴是直线 B．当时，y随x的增大而减小 C．当时， D．一元二次方程的两个根是，1 9．（本题3分）定义：若点在某个函数的图象上，且点的纵坐标是横坐标的2倍，则称点为该函数的一个“倍点”．已知关于的二次函数对于任意实数都有两个不同的“倍点”，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．（本题3分）二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）抛物线与y轴的交点坐标是________． 12．（本题3分）用一段长为的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为，面积为，则y关于x的函数解析式为________________． 13．（本题3分）设、是一元二次方程的两个根，则______． 14．（本题3分）抛物线，当时，的最小值是________． 15．（本题3分）如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为________m． 16．（本题3分）如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为________． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 18．（本题8分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根为，且，求k的值． 19．（本题8分）有1人不小心患了甲流，经过两轮传染后共有人患了甲流． (1)每轮传染中平均一个人传染几人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后累计是否超过人患了甲流？ 20．（本题8分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)判断点是否在该函数图像上． 21．（本题9分）已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标； （2）画出这条抛物线，并根据图形直接写出当y＞0时的取值范围． 22．（本题9分）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B左边）． (1)请直接写出A，B，C三点的坐标； (2)若P是第一象限内抛物线上一点，求面积最大时点P的坐标． 23．（本题10分）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克． (1)设批发价每千克降x元，写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系式． (2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ (3)若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？ 24．（本题12分）如图，抛物线与x轴相交于、两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D，连接，与抛物线的对称轴交于点E． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标． (2)点P为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时，四边形为平行四边形？ (3)若点F是第一象限抛物线上的一点，连接，．求的面积的最大值及点F的坐标？ 第6页（共6页） 第5页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 《广东省汕头市2026-2027学年人教版九年级上学期数学第一次月考测试（25-26单元）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C A D D B B D A 1．C 【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴ ，且． 解，得或． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 2．A 【详解】解：移项得， 配方得， 整理得． 3．C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出答案． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，． 4．A 【分析】二次函数开口向下，将一般式配方为顶点式可求得最大值． 【详解】解：∵二次函数， 又∵， ∴该函数图像开口向下， ∴当时，取最大值，最大值为． 5．D 【分析】将二次函数配方为顶点式，结合开口方向求最大利润． 【详解】解：， ∵， ∴当时，的最大值为． 6．D 【分析】分别把的横坐标代入解析式，然后比较大小即可． 【详解】解：将代入，得， 同理得，， ∵， ∴． 7．B 【分析】利用平移法，将分散的停车位拼合为一个矩形，确定该矩形的长和宽，结合面积公式列出方程． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为， ∵停车场内车道的宽度（包括出口和入口）相等， ∴入口和出口的宽度均为， 停车位拼合后的长为，宽为， ∵停车位的占地面积为， ∴． 8．B 【分析】利用抛物线与轴的交点坐标得到抛物线的对称轴判断A；利用抛物线对称轴和开口方向判断B；利用抛物线在轴下方所对应的自变量的范围判断C；利用抛物线与轴交点横坐标判断D． 【详解】解：A、由图可知，抛物线与轴的交点坐标为，， ∴抛物线的对称轴为直线，所以选项A的说法正确，该选项不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线，由图可知，抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大，所以选项B的说法错误，该选项符合题意； C、由图可知，当时，图像在轴下方，即，所以选项C的说法正确，该选项不符合题意； D、二次函数与轴交点横坐标就是一元二次方程的两个根，是，，所以选项D的说法正确，该选项不符合题意． 9．D 【分析】根据“倍点”定义将代入二次函数解析式，转化为一元二次方程根的个数问题，结合判别式恒正与二次函数性质求解的范围． 【详解】解：由“倍点”定义得，代入，得 整理得． ∵ 该函数是关于的二次函数， ∴ ． ∵ 对任意实数都有两个不同的“倍点”， ∴ 关于的一元二次方程对任意都有两个不相等的实数根， ∴ 判别式对任意实数恒成立． 整理得对任意实数恒成立． ∵ 关于的二次函数开口向上， ∴ 要使函数值恒大于0，需其与横轴无交点，即判别式小于0． ∴ ， 化简得， 即． 由二次函数的图像可知，开口向上，当时，， 解得：， ∴二次函数与横轴交于和， ∴ 当时，； ∴ 当时，关于的二次函数对于任意实数都有两个不同的“倍点”． 10．A 【分析】先根据抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴交点判断a，b，c的符号，再利用对应的函数值判断的正负，结合对称轴得到与的等量关系，代入不等式推导、的大小关系，最后利用二次函数顶点最小值的性质判断第四个结论． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ，即， 抛物线与轴交于负半轴， ， 即，两负一正， ， 故①正确． 由图象可知，当时，， ， 故②正确． ，且， ， ， 即，故③正确． 当时，二次函数取最小值， 对于任意实数，都有， ， 故④正确． 综上，正确结论的个数有4个． 11． 【分析】y轴上所有点的横坐标为，将代入抛物线解析式计算y的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵y轴上点的横坐标为， ∴在抛物线中，令，计算得， 因此抛物线与轴的交点坐标为． 12． 【分析】已知矩形周长和一边长，先求出另一边长，再根据矩形面积公式推导函数解析式，同时确定自变量的合法取值范围． 【详解】解：∵铁丝总长为，即矩形周长为，矩形一边长为， ∴矩形另一边长为 ， ∵矩形面积等于相邻两边长的乘积，面积为， ∴， 整理得 ， ∵矩形边长为正数， ∴， 解得 ， ∴关于的函数解析式为． 13． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系得，， ∴将其代入得：． 14．2 【分析】将抛物线化为顶点式，得到开口方向和对称轴，根据二次函数的增减性判断给定范围内的最小值位置，计算即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵在对称轴的右侧， ∴当时，取得最小值， 把代入计算得， 所以的最小值是． 15． 【分析】建立适当的坐标系，设抛物线解析式为，由已知抛物线过，可求出，把代入函数表达式即可解决问题． 【详解】建立如图所示坐标系， 抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，把代入解析式，得 ， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴两盏壁灯之间的距离为． 16．或 【分析】过M点作于H点，先确定，设，易得为等腰直角三角形，所以，则或，利用M点纵坐标的表示方法得到即或，然后分别解方程求出m，从而得到M点的坐标． 【详解】解：过M点作于H点，如图， 当时，， ， 设， 是以为直角的等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， ， 或， 即或， 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 综上所述，M点的坐标为或． 17．(1) ， (2) ， 【详解】（1）解：， ， 解得，； （2）解：， ， ， 解得，． 18．(1)证明： ∵， ∴该方程总有两个实数根； (2)或 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再结合，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 解得：或． 19．(1)每轮传染中平均一个人传染人 (2)经过三轮传染后累计患甲流的人数不超过 【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了人，根据两轮传染后共有人患了甲流；列出方程，即可求解； （2）根据题意，求出三轮之后患甲流的人数． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x人． 根据题意得， 解得 因为，所以， 故每轮传染中平均一个人传染10人． （2）解：根据题意可得经过三轮传染后患甲流的总人数为 因为， 所以经过三轮传染后累计患甲流的人数不超过人． 20．(1) (2)在 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）把横坐标代入函数解析式求出纵坐标即可判断． 【详解】（1）解：把代入得； 代入得到 ， 解得． 所以． （2）由（1）可知， 当时，，与点的纵坐标相等， 故点在该函数图像上． 21．（1）y＝−x2−2x＋3，顶点坐标是（−1，4）；（2）图见解析，-3＜x＜1． 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）在直角坐标系中作图，根据函数图像即可求解． 【详解】（1）设抛物线解析式为：y＝ax2＋bx＋c，将点A（−3，0），B（1，0），C（0，3）分别代入得：， 解得：， 故抛物线解析式为：y＝−x2−2x＋3． 由于y＝−x2−2x＋3＝−（x＋1）2＋4， 所以该抛物线的顶点坐标是（−1，4）； （2）在直角坐标系中画出图像如下： 故y＞0时的取值范围为-3＜x＜1． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用及函数的图像特点． 22．(1) (2) 【分析】（1）令列式求解即可得到答案； （2）先求出直线的函数解析式，利用二次函数把面积表示出来，根据二次函数的最值就可以求出点的坐标； 【详解】（1）解：当时，， ． 当时，， 解得：， ． （2）解：如图，过点P作轴于点N，交BC于点D， 则． ， ， ． 设直线对应的函数解析式为， 把分别代入，得， 解得， ∴直线对应的函数解析式为． 设， ， ∴当时，取最大值，即的面积最大，此时． 23．(1) (2)当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大利润为9800元． (3)定价应为43元． 【分析】（1）以每千克利润乘日销售量等于总利润为等量关系列函数，结合盈利条件确定自变量取值范围； （2）利用二次函数的顶点坐标求最大值； （3）令总利润为9750列方程，结合让利于民的要求选取合适的解计算定价． 【详解】（1）解：由题意得，每千克利润为元，日销售量为千克． ， ∵保证盈利， ∴， 解得． 又∵降价金额非负， ∴． 即． ∴． （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值． 当时，取得最大值， 将代入解析式得． ∴当降价4元时，每天利润最大，最大为9800元． （3）解：令，则， 整理得， 解得，． ∵要让利于民，需降价幅度更大， ∴取，此时定价为（元）． 答：定价应为43元． 24．(1)抛物线解析式为，顶点D的坐标为 (2)线段的长为，当时，四边形为平行四边形 (3)的面积最大值为，此时点的坐标为 【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质求出顶点D的坐标． （2）先求出点的坐标，抛物线的对称轴，再求出直线的函数关系式，表示出点、点、点的坐标，再由平行四边形的判定定理得，即可得的值． （3）过点作轴，交线段于点，设，则， 表示出，则，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过、， ∴， 解得：，， ∴抛物线解析式为 ， ∴顶点D的坐标为； （2）解：在中，对称轴为直线， 当时，， ∴， 设直线的函数关系式为， ， ， 解得， ， ∴直线的函数关系式为， ， 在中，当时，， ， ∵点在线段上， ∴点在点的上方， ， ， ∴当时，四边形为平行四边形， ， ， 答：线段的长为，当时，四边形为平行四边形． （3）解：过点作轴，交线段于点， 设，则， ∴， ∴， ∵二次项系数， ∴二次函数的开口向下， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时点的坐标为：， 故的面积最大值为，此时点的坐标为． 答案第2页（共14页） 答案第1页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $