12.4 与三角形角平分线有关的角度计算 专题练习 2024-2025学年苏科版七年级数学下册

三角形角度计算的常见模型 一、角平分线模型 已知△ABC． 1. 若P点为∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°+ ∠A； 1. 若P点为外角∠CBD和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°- ∠A． 1. 若P点为∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，则∠P＝∠A； 简记：内加外减内外半 证明：①∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ②∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴∠P=180°-∠PBC-∠PCB ， ∵， ∴， ③∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴ ①双内角平分线 1．如图，在中，分别平分且则 度． 2．如图，点是的内角和的平分线和的交点，若，则 ． 3．如图，在中，与的平分线相交于点O，则 ． 4．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D＝220°，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P的度数为 ． 5．（1）如图①，平分，平分，试确定和的数量关系； （2）如图②，在中，、把三等分，把三等分，试猜想和的数量关系，并给出证明； （3）在图②的基础上把变成四边形，如图③，把三等分，把三等分，请直接写出和的数量关系． ②双外角平分线 6．如图，在中，，，为的外角，与的平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，两个外角的平分线交于点P． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． ③内外角平分线 8．如图，是的外角，平分，平分，且，相交于点D．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，则 ． 10．如图，在中，度，与的平分线交于点，则∠＝ ；∠与∠的平分线交于点，得∠；……∠与的平分线交于点，得∠．则∠＝ ° 综合题 11．如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，的外角与的三等分线交于点，即，．若，则（   ） A． B． C． D． 12．如图，在中，，、分别平分，，、、分别在、、的延长线上，、分别平分，，、分别平分、，则 ． 13．如图，点C,D分别在和上运动，的平分线与的平分线的反向延长线交于点的平分线与的平分线交于点，当时，（    ） A． B． C． D． 14．综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出的度数． 15．（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示） （2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由． （3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________． 16．【结论发现】 小明在完成教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图1，在中，，点E是的内角平分线与外角平分线的交点，则的度数为 °； （2）如图2，在中，，延长至点E，延长至点D，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于P、F，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，则的度数为______． 17．【结论发现】 田田在完成教材的试题后发现：三角形一个内角的平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形的第三个内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图1，在中，，是的内角的平分线与外角的平分线的交点，则的度数为______． （2）如图2，在中，，延长至点，延长至点，，的平分线与的平分线及其反向延长线分别交于点，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，平分，平分外角，连接．已知，，请直接写出的度数． 18．（1）【探究发现】 如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 （2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 （3）已知，如图3，相交于点C，、、的角平分线交于点P，，，则 ． 二、高线、角平分线 1．如图，在中，平分．若，则的度数为 ． 2．如图在中，是的高．若为内角的平分线．当，，则（   ） A． B． C． D． 三、飞镖/燕尾模型 结论：∠BOC=∠A+∠B+∠C 解：方法一：如图①，连接． 在中， 在中，∠1+∠2+∠BDC=180° ∴． ， 即． 方法二：如图②，连接并延长． 依题意，，， ∴ ， 即． 1．如图是一个“飞镖形”四边形．用两种不同的方法证明． 2．形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”，如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，已知，点O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分平分，平分，…，以此类推，则 ， ． 4．如图，已知中，，于D，于E，BD、CE交于点F，、的平分线交于点O，则的度数为 ． 四、八字形 结论：∠A+∠B=∠C+∠D 1．已知与交于点O． (1)如图①，若，则与的数量关系为_____________． (2)如图②，若不平行，（1）中的结论是否仍然成立？请判断并证明你的结论．（注：请用三角形内角和定理来证明） 2．在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容——利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整： (1)已知：如图1，三角形ABC，求证：，证明：过点A作． (2)如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出、、、之间的数量关系：______； (3)在图2的条件下，和的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，得到图3，请判断与、之间存在的数量关系，并说明理由． 3．[问题背景] （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明； [简单应用]（可直接使用问题（1）中的结论） （2）如图2，、分别平分、， ①若，，求的度数； ②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间的数量关系为 ． [问题探究] （3）如图3，直线平分的邻补角，平分∠ADC的邻补角，若，，则的度数为 ． [拓展延伸] （4）在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ．（用x、y的代数式表示）    第2页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、角平分线模型 1．125 【详解】解：∵，∴， ∵分别平分，∴， ∴； 故答案为：125． 2． 【详解】解：∵，∴， ∵点是的内角和的平分线和的交点， ∴，∴， ∴； 故答案为：． 3． 【详解】解：∵，∴， ∵与的平分线相交于点O，∴， ∴， 故答案为： 4．110°． 【详解】解：∵∠A+∠D＝220°，∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣220°＝140°， ∵PB、PC为角平分线，∴∠PBC+∠PCB＝×140°＝70°，∴∠P＝180°﹣70°＝110°． 故答案为110°． 5．（1）（2），证明见解析（3） 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理，是解题的关键： （1）根据三角形的内角和定理和角平分线平分角，进行求解即可； （2）根据三等分角，求出，再利用三角形的内角和定理进行求解即可． （3）根据三等分角，得到，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2），证明如下： ∵， ∴， ∵、把三等分，把三等分， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵把三等分，把三等分， ∴， ∴； ∴． 6．A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，由可得，即得，再根据角平分线的定义得，进而根据三角形的内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵与的平分线交于点， ∴， ∴， 故选：． 7．(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，熟练掌握三角形的内角和定理，是解题的关键： （1）三角形的内角和定理，求出的度数，根据外角的定义结合角平分线的定义，求出的度数，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可； （2）同法（1）进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵两个外角的平分线交于点P， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； （2）由（1）可知：， ∴当时，． 8．B 【分析】本题考查三角形的外角的定义，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； 根据角平分线的定义可得，，可得，进而求解； 【详解】解：平分，平分， ，， ， ； 故选：B 9． 【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠=∠，进而可求∠，由于∠=∠，∠=∠ =∠A，故∠=∠ =∠A． 【详解】∵B平分∠ABC,C平分∠ACD， ∴∠BC=∠ABC,∠CA=∠ACD， ∵∠CD=∠+∠BC， 即∠ACD=∠+∠ABC， ∴∠= (∠ACD−∠ABC)， ∵∠A+∠ABC=∠ACD， ∴∠A=∠ACD−∠ABC， ∴∠=∠A， ∴∠=×64°=32°， ∵∠=∠A,∠=∠=∠A， ∴∠=∠=∠A=×64°=8°. 故答案为8°. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键. 10． 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，角平分线的定义，熟知三角形的外角的性质是解答此题的关键． 根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，整理即可求出的度数，同理求出，……，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理可得， …… ∴， ∴， 故答案为：； 11．C 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，根据三角形内角和定理求出，结合三等分线可求出，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求出，根据三角形外角的性质求出，根据角平分线定义和三角形外角的性质可求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 又，， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∵的平分线与的外角的平分线交于点， ∴，， 又， ∴， 故选：C． 11．/44度 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和，三角形外角的性质， 先根据角平分线的定义得，进而求出，再根据角平分线的定义得，即可求出，接下来得出，然后根据角平分线的定义得，最后根据得出答案． 【详解】解：∵分别平分， ∴． ∵， 即， ∴． ∵分别平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵分别平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．B 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的含义，三角形的外角的性质，设，，可得，可得，由，可得，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：如图， ∵的平分线与的平分线的反向延长线交于点， ∴设，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴． 故选：B 14．(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵点P是和的平分线的交点， ∴， （2）解：∵外角，的角平分线交于点Q， ∴ ， ∴； （3）解：延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； ∵ ， ∴； 如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 15．（1）；（2）（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）由三角形内角和定理可求得，根据角平分线的定义可求得，在中利用三角形内角和定理可求得； （2）方法同（1）； （3）根据三角形的内角和等于列式整理即可得． 【详解】解：（1）∵，, ∴， ∵点O是和平分线的交点， ∴， ∵， ∴； 同法，在中， ， 故答案为：；； （2） 理由如下：在中， ； 故答案为：； （3）类似（2），可得在中， ； 故答案为：． 16．（1）20；（2）；（3）200 【分析】（1）设，由角平分线定义得，，，由三角形外角定理得，，则，据此得，因此当时可得的度数； （2）先求出，进而得，再由（1）可知，据此可得的度数； （3）①延长，交于，延长，交于，先求出，，再根据，得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）设， 平分，平分， ，，， ，， 整理得：， 当时，， 故答案为：20； （2）和是邻补角， ， 平分，平分， ，， ， 即， ， 由（1）可知， ； （3）①延长，交于，延长，交于，如下图所示： ，， 即， 同理：， ，， ， 由（1）可知：， ； 故答案为：200． 【点睛】此题主要考查了角平分线定义，邻补角定义，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，准确识图，理解角平分线定义，邻补角定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理是解决问题的关键． 17．（1） （2） （3） 【分析】此题主要考查了角平分线定义，邻补角定义，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，准确识图，理解角平分线定义，邻补角定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理是解决问题的关键． （1）设，由角平分线定义得，，， ，由三角形外角定理得，，，则，据此得，因此当时可得的度数； （2）先求出，进而得，再由（1）可知，据此可得的度数； （3）①延长，，并交于点，延长，，并交于点，先求出，，再得出，根据（1）得出，由此可得的度数． 【详解】解：（1）设， 平分，平分， ，，， ，， 整理得：， 当时，， 故答案为：； （2）和是邻补角， ． 平分，平分， ，， ， 即， ． 由（1），可知， ． （3）如图，延长，，并交于点，延长，，并交于点． ，， ． 由（1），可知， ， ． 18．（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （2）根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （3）先根据（1）的结论可得，，再根据角的和差可得，由此即可得出答案． 【详解】解：（1），证明如下： 点是内角和外角的角平分线的交点， ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （2），证明如下： ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （3）由（1）的结论得：，， 即，， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、角n等分的定义、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 二、高线、角平分线 1．/40度 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 2．B 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高，∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 三、飞镖/燕尾模型 1．详见解析 【分析】本题考查了三角形内角和以及三角形外角性质，几何图形的角度运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．方法一：运用三角形内角和得，再结合角的和差关系进行列式整理，即可作答．方法二：运用三角形外角性质得，，再结合等式的性质进行整理，即可作答． 【详解】解：方法一：如图①，连接． 在中，（三角形内角和等于）， 在中，（三角形内角和等于）， （等量代换）． （等式的性质）， 即． 方法二：如图②，连接并延长． 依题意，，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， （等式的性质）， 即． 2．B 【详解】解：连接，延长到． ∵， ∴， ∵，，， ∴ 故选：B 3． 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 先根据三角形的内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可求出的度数，同样的方法求出的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， ， ， 归纳类推得：，其中为正整数， ∴， 故答案为：；． 4． 【分析】根据垂直定义可得：∠BEF=∠CDF=90°，然后根据三角形外角的性质，分别求出∠ABD和∠BFC，然后根据三角形的内角和求出∠FBC＋∠FCB，然后根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可求出. 【详解】解：∵，， ∴∠BEF=∠CDF=90° ∴∠ABD=∠CDF－∠A=30° ∴∠BFC=∠BEF＋∠ABD=120° ∴∠FBC＋∠FCB=180°－∠BFC=60° ∵、的平分线交于点O ∴∠OBC=，∠OCB= ∴ =180°－（∠OBC＋∠OCB） =180°－（＋） =180°－（＋） =180°－×60° =150° 故答案为：150°. 四、八字形 1．(1)，理由见详解 (2)成立，证明见详解 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形内角和定理，熟记平行线的性质是解本题的关键； （1）先证明，，可得； （2）根据三角形内角和定理可得，，根据，进而求解； 【详解】（1）解：，理由如下： ， ∴，， ； 故答案为： （2）解：（1）中结论成立， 理由如下： ，， 又， ． 2．(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）过点A作，即可得出，，即可得出：，根据平角的定义和等量代换即可得出：； （2）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出结论； （3）将和相加，即可得出：，再根据平分线的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点A作， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）， ∵E、A、F三点共线（已知）， ∴（平角定义）． ∴（等量代换）． （2）在中，， 在中，， （对顶角相等）， ∴． 故答案为：． （3）数量关系：． 理由：如图3，由（2），得： ①， ②， ①＋②，得： ． ∵和的平分线AP和CP相交于点P， ∴，． ∴． 3．（1）见解析；（2）①；②；（3）；（4） 【分析】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可； （2）①设，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题； ②由①的结论即可得到数量关系； （3）如图3中，设．利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题； （4）如图4中，设，则，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，    ∵，，， ∴； （2）①如图2中，    设，， 则有， ∴， ∴， ∴； ②由①得：； （3）如图3中，设，，    则有，， ∴， ∴； 故答案为：； （4）如图4中，设，，则，，    则有， ∴ ， ∴， 故答案为：． 答案第22页，共22页 答案第21页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $$